Matemática Aplicada II

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1 Matemática Aplicada II 010G Cópia não autorizada. Reservados todos os MATEMÁTICA direitos APLICADA autorais. II 5E

2 Editora Aline Palhares Desenvolvimento de conteúdo, mediação pedagógica e design gráfico Equipe Técnico Pedagógica do Instituto Monitor Monitor Editorial Ltda. Rua dos Timbiras, 257/263 São Paulo SP Tel.: (11) / Fax: (11) Impresso no Parque Gráfico do Instituto Monitor Rua Rio Bonito, 1746 São Paulo SP Tel./Fax: (11) Em caso de dúvidas referentes ao conteúdo, consulte o Todos os direitos reservados Lei nº de 19/02/98 Proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio, principalmente por sistemas gráficos, reprográficos, fotográficos, etc., bem como a memorização e/ou recuperação total ou parcial, ou inclusão deste trabalho em qualquer sistema ou arquivo de processamento de dados, sem prévia autorização escrita da editora. Os infratores estão sujeitos às penalidades da lei, respondendo solidariamente as empresas responsáveis Cópia 5ª Edição não - Novembro/2006 autorizada. Reservados pela produção de cópias. todos os direitos autorais.

3 Índice Apresentação... 7 Lição 1 - Logaritmos Introdução Definição Propriedades do Logaritmo Exercícios Propostos Lição 2 - Noções de Trigonometria Introdução Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo Teorema de Pitágoras Relações Trigonométricas Uso da Calculadora Científica Conversão de Unidades Conversão de Graus em Radianos Conversão de Radianos em Graus Exercícios Propostos Lição 3 - Números Complexos Introdução Definição Operações com Números Complexos Adição e Subtração Módulo e Argumento Módulo Argumento Forma Trigonométrica ou Polar do Número Complexo Multiplicação e Divisão de Números Complexos na Forma Trigonométrica ou Polar Multiplicação Divisão Exercícios Propostos Resolução dos Exercícios Propostos Bibliografia G/

4 Apresentação Todo conhecimento científico acumulado no decorrer de nossa história é permeado pela matemática, e as respostas para muitas perguntas são dadas por ela. Mas não estamos diante de uma ciência exclusiva para cientistas; a matemática faz parte de nosso dia-a-dia, porque a usamos de forma intuitiva, já que, mesmo sem perceber, fazemos cálculos complexos. Esse uso da matemática pode ser definido como intuitivo. Mas, para nossa vida profissional, é preciso sistematizar esse conhecimento; e é aí que entra a matemática como disciplina teórica. Para quem já domina as operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão; que já conhece frações, potenciação, equações do primeiro e do segundo grau; enfim, para quem já possui um conhecimento elementar da matemática, os temas deste fascículo poderão parecer um pouco complexos, mas nada que você não possa vencer, com um pouco de esforço e dedicação. Ainda que, em alguns momentos, tenhamos a impressão de estar tratando de algo muito diferente do que já aprendemos, é preciso ter consciência de que o que está na base das operações de logaritmos, trigonometria e números complexos são os tais conhecimentos elementares da matemática. Quer dizer, para um bom desempenho nessa matéria, não podemos perder de vista tudo aquilo que aprendemos antes. É importante lembrar que, mesmo diante de estudos mais complexos, existe o fascínio do desafio. E a matemática é uma disciplina fascinante, que envolve raciocínio e criatividade. Caso você tenha ainda alguma dúvida sobre como a matemática pode ser encantadora, recomendamos o excelente livro O Homem que Calculava, de Malba Tahan. 010G/

5 lição 1 Introdução A idéia de logaritmo é transformar operações complexas, como potenciação e radiciação, em operações mais simples. Por isso a importância de seu estudo, já que constitui uma ferramenta para diversas disciplinas, como, por exemplo, as telecomunicações. Veremos, nesta lição, o que são logaritmos e as suas propriedades operatórias. 1. Definição Logaritmo de um número positivo numa base real positiva e diferente de 1 é o expoente a que tem de se elevar esta base para a obtenção do número. Sua notação é: Logaritmos log b a = c Leitura: logaritmo de a na base b é igual a c. Significado: estamos procurando um número c de tal forma que b c = a. Então, temos por definição: log b a = c b c = a Onde: a é o logaritmando, sendo um número maior que zero; b é a base do logaritmo, também um número maior que zero e diferente de 1; c é o logaritmo. Obs.: quando a base é 10, ela pode ser omitida. Por exemplo: log2, lê-se logaritmo de 2 na base 10. Exemplos: log 2 4 Leitura: logaritmo de 4 na base 2. Para calcular este logaritmo, faremos: log 2 4 = c 2 c = 4 Isto é, seguimos a definição de logaritmo. 2 c = 4 é uma equação denominada exponencial. Para resolvê-la, temos que deixar as bases iguais. Para tanto, fatoramos o número 4, assim: = 2 Na equação exponencial, substituímos o 4 por c = 4 2 c = 2 2 Nessa igualdade, observamos que as bases são iguais e, portanto, os expoentes são iguais: c = 2 Então, log 2 4 é 2, ou seja, log 2 4 = 2 010G/9

6 Leitura: o logaritmo de 4 na base 2 é igual a 2. log 3 81 Faremos log 3 81 = c 3 c = 81 Trabalhando com a equação exponencial 3 c = 81, temos: 3 c = 3 4 c = 4 Portanto, log 3 81 = 4 Leitura: o logaritmo de 81 na base 3 é igual a 4. log c = c = Sabemos que 1 = 3-4, portanto: c = 3-4 c = - 4 Logo, log 3 1 = Leitura: o logaritmo de 1 na base 3 é igual a Instituto Monitor Vejamos outras situações para o cálculo de logaritmo: log 4 32 Para efetuarmos este cálculo, continuamos aplicando a definição de logaritmo, ou seja, log 4 32 = c 4 c = 32. Neste caso, temos que fatorar os números 4 e = 2 2 e 32 = 2 5 Fazendo a substituição na equação exponencial encontrada, temos: 4 c = 32 (2 2 ) c = 2 5 Eliminamos os parênteses fazendo a multiplicação dos expoentes 2 e c, que resulta 2c: 2 2c = 2 5 E continuamos normalmente, considerando apenas a igualdade entre os expoentes: 2c = 5 c = 5 2 Portanto, log 4 32 = 5 2 log 9 27 log 9 27 = c 9 c = 27 Antes de continuar seu estudo, faça o exercício 1 desta lição. (3 2 ) c = c = 3 3 2c = 3 c = G/10

7 log log 9 1 = c 9 c = (3 2 ) c = c = 3-3 2c = -3 c = Em Telecomunicações ao estudar, por exemplo, as relações de potência de sinais, usamos os logaritmos na base 10. Vamos escrever logaritmo de 100 na base 10: log 100, ou seja, quando a base do logaritmo for 10, não precisamos escrevê-la. O cálculo efetua-se normalmente: log 100 = c 10 c = c = 10 2 c = 2 Usando a calculadora científica para a determinação dos logaritmos decimais: 1) No cálculo de log 100, digitamos o número 100, em seguida apertamos a tecla log e aparecerá no visor o número 2. Então log 100 = 2 Isto é, 10 2 = 100 2) Usando a calculadora, vamos determinar log 12: Instituto Monitor Registramos o número 12, em seguida apertamos a tecla log e aparecerá no visor o número: 1, Então log 12 = 1, Ou seja, 10 1, Propriedades do Logaritmo Logaritmo de 1 em qualquer base será sempre igual a 0. log b 1 = 0 Exemplos: log 5 1 = 0 log 3 1 = 0 Logaritmo de um número qualquer, cuja base é o mesmo número, será sempre igual a 1. log a a = 1 Exemplos: log 5 5 = 1 log 6 6 = 1 Logaritmo de uma potência qualquer, em que a base corresponde à base da potência, será sempre igual ao expoente da potência. log a a m = m Exemplos: log = 3 log = 4 010G/11

8 Exercícios Propostos 1 - Calcule: a) log 2 32 = b) log 7 49 = c) log 7 1 = 49 d) log 100 = e) log = g) log = 1 h) log 3 = 243 i) log = j) log = 2 - Calcule: a) log 8 32 = f) log 2 1 = 16 b) log = 010G/13

9 c) log 4 1 = 8 d) log 25 1 = 125 e) log = f) log 4 8 = 3 - Calcule: a) log 10 = b) log 100 = c) log 1000 = d) log = e) log 0,1 = f) log 0,01 = g) log 0,001 = h) log 0,0001 = 010G/14

10 lição 2 Introdução A trigonometria está relacionada com o estudo da medição de triângulos. Problemas relacionados à topografia, navegação, indústria de moldes, entre muitos, exigem a resolução de triângulos. A trigonometria é uma ferramenta importante para a eletrônica, pois permite, entre outras operações, estabelecer relações entre tensão, corrente e resistência elétrica. 1. Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo O triângulo retângulo é caracterizado por ter um ângulo interno reto, ou seja, um ângulo de 90 graus. A B Noções de Trigonometria No encontro dos lados AB com BC, temos o ângulo de 90 o.uma vez localizado o ângulo de 90 o, o lado oposto a ele é denominado, e os outros dois lados são os catetos: C No triângulo retângulo, fixando um ângulo agudo, por exemplo Â, podemos estabelecer as relações trigonométricas seno (sen), cosseno (cos) e tangente (tg) do ângulo agudo Â, assim definidas: cateto oposto ao ângulo  senâ = cateto adjacente ao ângulo  cosâ = cateto oposto ao ângulo  tg  = cateto adjacente ao ângulo  Exemplo: Considerando o triângulo retângulo: 4 cm B A 3 cm 5 cm C A Determinaremos o seno, o cosseno e a tangente do ângulo Â. Hipotenusa Cateto O lado AC, por ser oposto ao ângulo de 90 graus, é a e sua medida é 5 cm. Os Cópia B não autorizada. Reservados C outros todos dois lados, os AB direitos e BC, são catetos. autorais. Como Cateto estamos fixando o ângulo agudo Â, o lado opos- 010G/15

11 to a este ângulo é denominado cateto oposto, no caso o lado BC, que mede 3 cm. O lado que está formando o ângulo  junto com a é o cateto adjacente, no exemplo, o lado AB, que mede 4 cm. Calculando: senâ = cateto oposto ao ângulo  senâ = 3 5 cosâ = cateto adjacente ao ângulo  cosâ = 4 5 tgâ = tgâ = 3 4 cateto oposto ao ângulo  cateto adjacente ao ângulo  Observamos ainda que é possível fixar o ângulo C. Dessa forma, o cateto oposto ao ângulo C mede 4 cm, o cateto adjacente mede 3 cm e a, como vimos, mede 5 cm. Calculando seno, cosseno e tangente do ângulo agudo C, temos: senc = cateto oposto ao ângulo C senc = 4 5 cosc = cateto adjacente ao ângulo C cosc = 3 5 Instituto Monitor 010G/16 tgc = cateto oposto ao ângulo C cateto adjacente ao ângulo C tgc = Teorema de Pitágoras Dado o triângulo retângulo: A Vamos calcular o seno, o cosseno e a tangente do ângulo agudo Â. Verificamos, porém, que não é fornecida a medida da. Para determiná-la, utilizamos o Teorema de Pitágoras, que diz o seguinte: o quadrado da medida de é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Ou seja, () 2 = (cateto) 2 + (cateto) 2 Designando por x a medida da, obtemos: B x 2 = x 2 = x 2 = 400 x = 400 x = Portanto, a medida da é 20. C

12 Com essa informação, podemos normalmente calcular seno, cosseno e tangente do ângulo Â. cateto oposto ao ângulo  senâ = senâ = 16 = cateto adjacente ao ângulo  cosâ = cosâ = 12 = tgâ = cateto oposto ao ângulo  cateto adjacente ao ângulo  tgâ = 16 = Em circuitos de corrente alternada em série, fazemos uso do triângulo retângulo, por exemplo: Podemos através do Teorema de Pitágoras encontrar o valor da, representada pela impedância, esta caracteriza um importante fator elétrico, que estudaremos no curso. Instituto Monitor X (Reatâncias) R (Resistência) Z (impedância) 1.2 Relações Trigonométricas A tabela abaixo apresenta as relações trigonométricas com os ângulos de 30 o, 45 o e 60 o. A partir dos valores de seno, cosseno e tangente, é possível calcular as medidas dos catetos e. Relação trigonométrica Seno Cosseno Tangente Vejamos, de forma prática, como aplicar esse conhecimento. Uma escada está apoiada num muro, formando com o solo um ângulo de 30 o. Qual a altura do muro, se a escada tem 10 metros de comprimento? Muro x 10 m o o o o Considerando o muro, a escada e o solo, temos um triângulo retângulo, com medindo 10m e um ângulo de 30 o. Queremos determinar o valor do cateto oposto a esse ângulo. Para isso, vamos utilizar a fórmula do seno: Antes de continuar os estudos, faça o exercício 3 desta lição. sen 30 o cateto oposto ao ângulo de 30o = 010G/17

13 x 60 o Instituto Monitor Consultando a tabela, vemos que o seno de 30 o é igual a. A altura do muro será x. Assim: 1 2 cateto oposto ao ângulo de seno 30 o 30o = 1 = x 2 = 10 Resolvendo a igualdade, temos: 2. x = x = 10 x = 10 2 x = 5 Portanto, o muro tem 5 metros. Vamos, agora, pensar numa pilha de livros apoiada numa estante, com o livro mais próximo da lateral da estante formando um ângulo de 60 o com a mesma, assim: cateto adjacente cos60 o = 1 = x x = 25 x = 25 = 12,5 2 Portanto, o valor de x é 12,5 cm. 1.3 Uso da Calculadora Científica Em Eletrônica, iremos estudar a potência real em qualquer circuito de corrente alternada e, também a força sobre cargas elétricas em movimento, entre outros conceitos, onde é necessária a determinação do seno, cosseno e tangente de um determinado ângulo, sendo a calculadora científica, um excelente instrumento na agilização dos cálculos. Ao se determinar o seno do ângulo de 65 o, faremos: Digitamos 65 e apertamos a tecla sin e lemos no visor 0,9063 Então, sen 65 o = 0,9063. Ao se determinar o cosseno do ângulo de 65 o, faremos: Digitamos 65 e apertamos a tecla cos e lemos no visor 0,4226 Então, cos 65 o = 0,4226. Ao se determinar a tangente do ângulo de 65 o, faremos: Digitamos 65 e apertamos a tecla tan e lemos no visor 2,1445 Então, tg 65 o = 2,1445. A altura do triângulo formado pelo livro, se considerarmos este ângulo, estará correspondendo ao cateto adjacente, e temos a que vale 25 cm. Assim, a fórmula a ser utilizada é: Ao se determinar o seno do ângulo de 82 o, faremos: Digitamos 82 e apertamos a tecla sin e lemos no visor 0,9902 Então, sen 82 o = 0, G/18

14 Ao se determinar o cosseno do ângulo de 82 o, faremos: Digitamos 82 e apertamos a tecla cos e lemos no visor 0,1392 Então, cos 82 o = 0,1392. Ao se determinar a tangente do ângulo de 82 o, faremos: Digitamos 82 e apertamos a tecla tan e lemos no visor 7,1154 Então, tg 82 o = 7,1154. A calculadora pode facilmente dar a medida do ângulo, tendo o valor do seno, cosseno ou tangente. Assim, se tivermos senâ = 0,9063, com o uso da função arco seno ou sin -1, teremos a indicação no visor 64,9989. Dessa forma o ângulo  65 o Outros exemplos: 1) Sabendo que cosâ = 0,4226, determine a medida do ângulo Â. Na calculadora, usaremos arco cosseno, basta digitar 0,4226 e apertar a tecla cos -1 e aparecerá no visor 65,0011. Então, o ângulo  65 o 2) Sabendo que tgâ = 2,1445. determine a medida do ângulo Â. Na calculadora, usaremos arco tangente. Digitamos 2,1445 e apertamos a tecla tan -1 e aparecerá no visor 64,9999. Então, o ângulo  65 o Instituto Monitor Cópia não autorizada. Reservados 2. Conversão todos os de direitos Unidadesautorais. Antes de continuar seus estudos, faça o exercício 4 desta lição. π 2 Vejamos a medida de um arco usando o radiano (rad) como unidade. Observe as figuras: 2π rad π rad 360 o 180 o 2.1 Conversão de Graus em Radianos Para converter graus em radianos, utilizamos a regra de três simples, considerando a equivalência: 360 o equivale a 2π radianos 3π 270 o equivale a 2 radianos 180 o equivale a π radianos 90 o equivale a radianos Por exemplo, para converter 60 o em radianos, procedemos assim: Graus Radianos π x 3π rad 2 π rad o 90 o 010G/19

15 Por se tratar de grandezas diretamente proporcionais, basta multiplicá-las em cruz: 180x = 60π x = 60π, simplificando temos: 180 x = π rad 3 Portanto, 60 o = π rad 3 Façamos mais um exercício: o de converter 70 o em radianos. Graus Radianos π x 180. x = 70. π 180x = 70π x = 70π 180 x = 7π 18 Portanto, 70 o = 7π rad 18 Instituto Monitor 2.2 Conversão de Radianos em Graus Para transformar radianos em graus, fazemos o processo inverso. Exemplos: 1) Converta π rad em graus: 5 Graus Radianos π x... π 5 Multiplicando em cruz temos: πx = 180. π 5 πx = 36π x = 36 o 2) Converta 3π rad em graus: Graus Radianos π x... 3π πx = π π x = π x = 540 o 010G/20

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22 lição 3 Introdução Os números complexos constituem uma extensão dos números reais; eles surgiram a partir da necessidade de se realizar operações que no campo real não tinham solução, como a extração da raiz quadrada de números negativos. Esse conhecimento é importante, por exemplo, em eletrônica. 1. Definição Chamamos de complexo todo número composto de duas partes: uma parte real e outra imaginária. A forma algébrica de um número complexo é dada por: z = a + bi Onde: a e b são números reais. i é a unidade imaginária, e é igual à raiz quadrada de (- 1), ou seja, i = - 1. Ao elevarmos i ao quadrado, teremos: i 2 = ( - 1 ) 2 = - 1. O número real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a parte imaginária do número complexo z. Exemplos: z = 3 + 5i z = 3 + 6i Números Complexos z = 8i z = 5 7i Vamos, agora, identificar as partes real e imaginária de alguns números complexos: 8 + 5i Parte real: 8 Parte imaginária: 5 5 4i Parte real: 5 Parte imaginária: 4 6 i Parte real: 6 Parte imaginária: 1 6 Parte real: 6 Parte imaginária: 0 Antes de continuar seus estudos, faça o exercício 1 desta lição. 010G/27

23 Instituto Monitor 2. Cópia Operações não com autorizada. Reservados 3. Módulo todos e os Argumento direitos autorais. Números Complexos 2.1 Adição e Subtração Para efetuarmos a adição de números complexos, somamos: parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária. Para subtrairmos, fazemos o mesmo: subtraímos parte real de parte real e parte imaginária de parte imaginária. Exemplos: a) Dados os números complexos: z 1 = 3 + 4i e z 2 = 5 + 7i. Efetue a soma: z 1 + z 2 = (3 + 4i) + ( 5 + 7i) = 3 + 4i 5 + 7i = i Fizemos a adição algébrica da parte real com a parte real (3 e 5), o mesmo ocorrendo com a parte imaginária (4i e 7i). z 1 z 2 = (3 + 4i) ( 5 + 7i) = 3 + 4i + 5 7i = 8 3i Obs.: lembre-se da regra de sinais na hora de eliminar os parênteses, ( ) com ( ) = (+). 3.1 Módulo O módulo de um número complexo z = a + bi, representado por lzl, está associado a um ponto P representado num plano. Assim: Destacamos o módulo de z e indicamos por z, que corresponde à distância da origem até P. Assim, y b 0 Exemplos: O módulo do número complexo z = 4 3i é: O módulo do número complexo z = 4 + i é: 3.2 Argumento O argumento de um número complexo z é a medida do ângulo θ. Em Eletrônica, este ângulo poderá ser negativo, indicando desta forma a reatância capacitiva, diferenciando da reatância indutiva que tem ângulo positivo. a P (a, b) Antes de continuar seus estudos, faça os exercícios 1,2 e 3 desta lição. θ lzl x 010G/28

24 Instituto Monitor 4. Cópia Forma não Trigonométrica autorizada. ou Reservados todos os direitos autorais. Polar do número complexo Em Circuitos Elétricos, o número complexo na sua forma trigonométrica assume a seguinte representação z θ Por exemplo, considere o número complexo z = 4 + 3i, vimos que ele se encontra na forma algébrica. Querendo escrevê-lo na forma z θ, teremos que determinar inicialmente, o módulo z e o ângulo θ. Cálculo do módulo de 4 + 3i z = = = 25 = 5 Para a determinação da medida do ângulo θ (argumento), podemos também recorrer a arco tangente, representada por arc tg (considerando condições bem determinadas, é inversa à tangente). Cálculo de arc tg b = a arc tg 3 = 4 arc tg 0,75 = 37 o Ao fazer arc tg 0,75, usando a calculadora científica, seguimos o processo: Digite 0,75 e pressione a tecla tan -1, aparecerá no visor 36, o 37 o Assim, o número complexo z = 4 + 3i pode ser expresso na forma z θ ficando, então, 5 37 o Outro exemplo: Escrever o número complexo z = 1 + i, na forma z θ Cálculo do módulo de 1 + i z = = = 2 Determinação da medida do ângulo θ (argumento), por arco tangente, representada por arc tg. Cálculo de arc tg b = a arc tg 1 = 1 arc tg 1 = 45 O número complexo z = 1 + i, expresso na forma z θ é 2 45 o Para efeito de operações de adição e subtração, é conveniente fazer a conversão para a forma algébrica z = a + bi, e efetuar a operação. Onde a = z. cos θ Exemplo: b = z. sen θ Escrever o número complexo 4 60 o forma algébrica a + bi. e na Vamos determinar os valores de a e b, sabendo que: a = z. cos θ a = 4. cos 60 o a = a = 2 b = z. sen θ b = b= 2 3 Então, a forma algébrica de 4 60 o é i 010G/29

25 Instituto Monitor 5. Cópia Multiplicação não autorizada. e Divisão de Reservados todos Agora vamos os direitos adicionar os autorais. argumentos Números Complexos na Forma Trigonométrica ou Polar 60 o + 43 o = 103 o Utilizando a representação z θ,vamos efetuar a multiplicação e a divisão dos números complexos. 5.1 Multiplicação Neste caso, multiplicamos os módulos e adicionamos os argumentos: Sejam z 1 = o e z 2 = Determine z 1. z 2. Vamos inicialmente multiplicar os módulos = O resultado é: z 1. z 2 = o 5.2 Divisão Neste caso, dividimos os módulos e subtraímos os argumentos: Sejam z 1 = 6 45 o Determine z 1 : z 2. e z 2 = 2 36 o Vamos inicialmente dividir os módulos 6 : 2 = 3 Agora vamos subtrair os argumentos 45 o - 36 o = 9 o O resultado é z 1 : z 2 = 3 9 o 010G/30

26 Exercícios Propostos 1 - Identifique a parte real e a parte imaginária dos números complexos: a) 8 + 4i b) 6 10i c) 7 4i d) i e) 8 + 4i 2 - Efetue as operações indicadas: a) (4 + i) (7 + 3i) b) (3 + 8i) + ( i) c) ( 2 + 7i) (7 + 4i) d) (6 8i) + (4 7i) e) ( 8 10i) (14 8i) f) i 010G/31

27 f) (8 + 5i) ( 7 + 3i) g) (1 + i) + (5 + 2i) h) (3i) + (8 + 6i) i) (24 + i) (14 2i) j) (-3 + 7i) + ( i) 3 - Determine o módulo dos números complexos: a) 2 + 3i b) 6 8i c) 3 + 4i d) 3 + 2i 4 - Dados os números complexos a seguir, efetue as operações indicadas: a) Sejam z 1 = 8 30 o e z 2 = o Determine z 1. z G/32

28 b) Sejam z 1 = 2 45 o e z 2 = 3 60 o Determine z 1. z 2. c) Sejam z 1 = o e z 2 = 5 20 o Determine z 1 : z 2. d) Sejam z 1 = o e z 2 = o Determine z 1 : z G/33

29 Resolução dos Exercícios Propostos Lição Calcule: a) log 2 32 = 2 c = 32 2 c = 2 5 c = 5 b) log 7 49 = 7 c = 49 7 c = 7 2 c = 2 c) log 7 1 = 49 7 c = c = c = 7-2 c = -2 d) log 100 = 10 c = c = 10 2 c = 2 e) log = 5 c = c = 5 3 c = 3 1 f) log 2 = 16 2 c = c = c = 2-4 c = -4 g) log = 3 c = c = 3 5 c = 5 1 h) log 3 = c = c = c = 3-5 c = -5 i) log = 2 c = c = 2 10 c = 10 j) log = 7 c = c = 7 3 c = Calcule: a) log 8 32 = 8 c = 32 (2 3 ) c = c = 2 5 3c = 5 c = 5 3 b) log = 27 c = 243 (3 3 ) c = c = 3 5 3c = 5 c = c) log 4 = 8 4 c = 1 8 (2 2 ) c = c = 2-3 2c = -3 c = G/35

30 d) log 25 1 = c = (5 2 ) c = c = 5-3 2c = -3 c = e) log = 49 c = 343 (7 2 ) c = c = 7 3 2c = 3 c = 3 2 f) log 4 8 = 4 c = 8 (2 2 ) c = c = 2 3 2c = 3 c = Calcule: a) log 10 = 10 c = c = 10 1 c = 1 b) log 100 = 10 c = = 100 c = 2 c) log 1000 = 10 c = c = 10 3 c = 3 Lição 2 Instituto Monitor d) log = 10 c = c = 10 4 c = 4 e) log 0,1 = 10 c = 0,1 10 c = 10-1 c = -1 f) log 0,01 = 10 c = 0,01 10 c = 10-2 c = -2 g) log 0,001 = 10 c = 0, c = 10-3 c = -3 h) log 0,0001 = 10 c = 0, c = 10-4 c = a) cateto oposto senâ = senâ = cateto adjacente cosâ = cosâ = 5 13 cateto oposto tgâ = cateto adjacente tgâ = G/36 b) senc = cateto oposto senc = 5 13 cateto adjacente cosc = cosc = cateto oposto tgc = cateto adjacente tgc = a) cateto oposto senâ = senâ = 6 = cateto adjacente cosâ = cosâ = 8 = cateto oposto tgâ = cateto adjacente tgâ = 6 = b) cateto oposto senc = senc = 8 = cateto adjacente cosc = cosc = 6 = cateto oposto tgc = cateto adjacente tgc = 8 = 4 6 3

31 3 - () 2 = (cateto) 2 + (cateto) 2 x 2 = x 2 = x 2 = 100 x = 10 cateto oposto senâ = senâ = 8 = cateto adjacente cosâ = cosâ = 6 = cateto oposto tgâ = cateto adjacente tgâ = 8 = x 60 o y 8 m cos60 o cateto adjacente = cos60 o = x 8 1 x = 2 8 x = 4 metros sen60 o = sen60 o = y 8 cateto oposto Instituto Monitor 3 = y 2 8 2y = 8 3 y = 4 3 metros Resposta: a altura do muro é de 4 metros e a distância do muro à base da escada é de 4 3 metros. 5 - Converter: a) 40 o em rad π x 180x = 40π 40 π 2π x = = rad b) 50 o em rad π x 180x = 50πΠ 50π 5π x = = rad c) 100 o em rad π x 180x = 100π 100π 5π x = = rad G/37

32 d) 120 o em rad e) 310 o em rad f) 200 o em rad π x 180x = 200π 200π 10π x = = rad Converter: a) 4π rad em graus π x 180x = 120π 120π 2π x = = rad π x 180x = 310π 310π 31π x = = rad π 4π x 6 4π πx = πx = 120 π x = 120 o Instituto Monitor b) 3π rad em graus π 3π x 4 3π πx = πx = 135 π x = 135 o c) 6π rad em graus π 6π x 5 6π πx = πx = 216 π x = 216 o d) 7π rad em graus π 7π x 3 7π πx = πx = 420 π x = 420 o e) 3π rad em graus π 3π x 5 3π πx = πx = 108 π x = 108 o 010G/38 f) 4π rad em graus Usando a calculadora científica, dê o valor: a) 0,9848 b) 0,2756 c) 8,1443 d) 0,6018 e) 0,8829 f) 0, Usando a calculadora científica, dê o valor: a) 80 o b) 74 o c) 83 o d) 37 o e) 28 o f) 44 o Lição 3 π 4π x 3 4π πx = πx = 240 π x = 240 o 1 - Identifique: a) 8 + 4i Parte real = 8 Parte imaginária = 4 b) 6-10i Parte real = 6 Parte imaginária = - 10

33 c) 7-4i Parte real = 7 Parte imaginária = 4 d) i Parte real = 10 Parte imaginária = 15 e) i Parte real = - 8 Parte imaginária = 4 f) i Parte real = - 4 Parte imaginária = Efetue as operações: a) ( 4+ i) ( 7+ 3i) = 4+ i 7 3i = 3 2i b) ( 3+ 8i) + ( i) = 3+ 8i i = i c) ( 2+ 7i) ( 7+ 4i) = 2+ 7i 7 4i = 9+ 3i Instituto Monitor d) ( 6 8i) + ( 4 7i) = 6 8i+ 4 7i = 10 15i e) ( 8 10i) ( 14 8i) = 8 10i 14+ 8i = 22 2i f) ( 8+ 5i) ( 7+ 3i) = 8+ 5i + 7 3i = 15+ 2i g) ( 1+ i) + ( 5+ 2i) = 1+ i+ 5+ 2i = 6+ 3i h) ( 3i) + ( 8+ 6i) = 3i i = 8+ 9i i) ( 24+ i) ( 14 2i) = 24+ i 14+ 2i = 10+ 3i j) ( 3+ 7i) + ( 2+ 10i) = 3+ 7i 2+ 10i = 5+ 17i 3 - Determine o módulo: a) z = 2 + 3i z = z = z = 13 b) z = 6 + 8i z = (- 8) 2 z = z = 100 z = 10 c) 3 + 4i z = z = z = 25 z = 5 d) 3 + 2i z = (-3) z = z = Dados os números complexos a seguir, efetue as operações indicadas: a) z 1. z 2 = o b) z 1. z 2 = o c) z 1 : z 2 = 3 25 o d) z 1 : z 2 = 6 30 o 010G/39

34 Bibliografia IEZZI, Gelson Fundamentos da Matemática Elementar Atual Editora, São Paulo, s/d. GIOVANNI, José Ruy BONJORN, José Roberto Matemática Editora FTD, São Paulo, s/d. DANTE, Luiz Roberto Matemática - Contexto & Aplicações Ática, São Paulo, s/d. BIANCHINI, Edwaldo PACCOLA, Herbal Matemática Editora Moderna, São Paulo, s/d. 010G/40

35 Pesquisa de Avaliação 010G - Matemática Aplicada II Caro Aluno: Nome (campo não obrigatório): N o de matrícula (campo não obrigatório): Curso Técnico em: Eletrônica Secretariado Gestão de Negócios Transações Imobiliárias Informática Telecomunicações Contabilidade QUANTO AO CONTEÚDO Queremos saber a sua opinião a respeito deste fascículo que você acaba de estudar. Para que possamos aprimorar cada vez mais os nossos serviços, oferecendo um material didático de qualidade e eficiente, é muito importante a sua avaliação. Sua identificação não é obrigatória. Responda as perguntas a seguir assinalando a alternativa que melhor corresponda à sua opinião (assinale apenas UMA alternativa). Você também pode fazer sugestões e comentários por escrito no verso desta folha. Na próxima correspondência que enviar à Escola, lembre-se de juntar sua(s) pesquisa(s) respondida(s). O Instituto Monitor agradece a sua colaboração. 1) A linguagem dos textos é: a) sempre clara e precisa, facilitando muito a compreensão da matéria estudada. b) na maioria das vezes clara e precisa, ajudando na compreensão da matéria estudada. c) um pouco difícil, dificultando a compreensão da matéria estudada. d) muito difícil, dificultando muito a compreensão da matéria estudada. e) outros: 2) Os temas abordados nas lições são: a) atuais e importantes para a formação do profissional. b) atuais, mas sua importância nem sempre fica clara para o profissional. c) atuais, mas sem importância para o profissional. d) ultrapassados e sem nenhuma importância para o profissional. e) outros: 3) As lições são: a) muito extensas, dificultando a compreensão do conteúdo. b) bem divididas, permitindo que o conteúdo seja assimilado pouco a pouco. c) a divisão das lições não influencia Na compreensão do conteúdo. d) muito curtas e pouco aprofundadas. e) outros: A Editora.

36 QUANTO AOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 4) Os exercícios propostos são: a) muito simples, exigindo apenas que se decore o conteúdo. b) bem elaborados, misturando assuntos simples e complexos. c) um pouco difíceis, mas abordando o que se viu na lição. d) muito difíceis, uma vez que não abordam o que foi visto na lição. e) outros: 5) A linguagem dos exercícios propostos é: a) bastante clara e precisa. b) algumas vezes um pouco complexa, dificultando a resolução do problema proposto. c) difícil, tornando mais difícil compreender a pergunta do que respondê-la. d) muito complexa, nunca consigo resolver os exercícios. e) outros: QUANTO À APRESENTAÇÃO GRÁFICA 6) O material é: a) bem cuidado, o texto e as imagens são de fácil leitura e visualização, tornando o estudo bastante agradável. b) a letra é muito pequena, dificultando a visualização. c) bem cuidado, mas a disposição das imagens e do texto dificulta a compreensão do mesmo. d) confuso e mal distribuído, as informações não seguem uma seqüência lógica. e) outros: 7) As ilustrações são: a) bonitas e bem feitas, auxiliando na compreensão e fixação do texto. b) bonitas, mas sem nenhuma utilidade para a compreensão do texto. c) malfeitas, mas necessárias para a compreensão e fixação do texto. d) malfeitas e totalmente inúteis. e) outros: Sugestões e comentários Lembre-se: você pode fazer seus comentários e sugestões, bem como apontar algum problema específico encontrado no fascículo. Sinta-se à vontade! PAMD1

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