Notas de Aulas 3 - Cônicas Prof Carlos A S Soares

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1 Notas de Aulas 3 - Cônicas Prof Carlos A S Soares 1 Parábolas 11 Conceito e Elementos Definição 1 Sejam l uma reta e F um ponto não pertencente a l Chamamos parábola de diretriz l e foco F o conjunto dos pontos P tais que a distância de P a F é igual à distância de P a l, isto é, P F = P l ( Vide figura abaixo ) parábola eixo l (diretriz) F V Na figura cima temos os elementos: 1 eixo = reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz 2 vértice ( V ) = ponto do eixo que pertence à parábola, isto é, ponto médio entre o segmento determinado pelo foco e o ponto de interseção entre a diretriz e o eixo 1

2 3 parâmetro (p) = distância entre o vértice e o foco 1 Exemplo 2 Determine a equação da parábola de foco F(2,1) e diretriz x 4y = 0 Determine, ainda, a equação do eixo e as coordenadas do vértice Solução: Em sala de aula! Exemplo 3 Determine a equação da parábola de foco F(3,2) e diretriz x 4 = 0 Determine, ainda, a equação do eixo e as coordenadas do vértice Solução: Em sala de aula! 12 Caracterização de Parábolas de diretriz horizontal ou vertical Neste curso, estaremos particulamente interessados em estudar parábolas cuja diretriz é paralela ao eixo x ou ao eixo y, respectivamente diretriz horizontal e diretriz vertical Nestes casos, os teoremas abaixo, que não nos preocuparemos em demonstrar, nos serão muito úteis Teorema 4 Uma parábola possui diretriz paralela ao eixo x ( diretriz horizontal ) se, e somente se, sua equação pode ser escrita na forma y = ax 2 + bx + c onde a, b e c são números reais com a 0 Além disso, teremos: a > 0 concavidade para cima a < 0 concavidade para baixo distância entre foco e vértice = p = 1 4 a As coordenadas do vértice serão dadas por x v = b, y 2a v = (b2 4ac) 4a De maneira análoga teremos = 4a Teorema 5 Uma parábola possui diretriz paralela ao eixo y ( diretriz vertical ), se e somente se, sua equação pode ser escrita na forma x = ay 2 + by + c onde a, b e c são números reais com a 0 Além disso, teremos: a > 0 concavidade para direita a < 0 concavidade para esquerda distância entre foco e vértice = p = 1 4 a As coordenadas do vértice serão dadas por x v = (b2 4ac) 4a 1 Alguns autores denominam parâmetro a distância entre o foco e a diretriz =, y 4a v = b 2a 2

3 Exemplo 6 1) Consideremos a parábola de equação Determine: (a) as coordenadas do vértice (b) as coordenadas do foco (c) a equação da diretriz (d) a equação do eixo 2) Consideremos a parábola de equação Determine: (a) as coordenadas do vértice (b) as coordenadas do foco (c) a equação da diretriz (d) a equação do eixo x 2 8x 8y + 40 = 0 x = 1 8 y2 y + 5 3) Uma parábola cuja diretriz é horizontal, passa pelos pontos (1,2), (2,3) e (3,6) Determine sua equação 4) Represente, no plano cartesiano, o conjunto dos pontos (x,y) tais que (x y 2 )(y + x 3) < 0 Solução em sala de aula! 13 Exercícios 1) Considere a parábola de foco F ( 2, 6) e diretriz de equação 2x 5y + 20 = 0 (a) Determine a equação da parábola (b) Determine a equação do eixo (c) Determine as coordenadas do vértice 2) Dada a parábola de foco F (5, 3) e diretriz de equação y 8 = 0 (a) Determine a equação da parábola (b) Determine a equação do eixo 3

4 (c) Determine as coordenadas do vértice 3) Uma parábola tem foco F (4, 6) e vértice V ( 1, 2) (a) Determine a equação do eixo da parábola (b) Determine a equação da diretriz da parábola 4) Uma parábola tem vértice V ( 2, 1) e diretriz de equação 3x 4y +12 = 0 Determine: (a) a equação do eixo da parábola (b) as coordenadas do foco 5) Determine o foco e a equação da diretriz para cada parábola cuja equação é dada a seguir: (a)2x 2 5y = 0 (c)8x + 9y 2 = 0 (b)3x 2 + 4y = 0 (d)5x 6y 2 = 0 6) Obtenha os pontos de interseção da circunferência de equação x 2 +y 2 = 0 com a parábola de vértice na origem, cujo foco é F (0, 5/12) 7) Consideremos uma parábola de equação y = 2x 2 8x + 6 Determine: (a) as coordenadas do vértice (b) as coordenadas do foco (c) a equação da diretriz (d) a equação do eixo (e) a interseção com o eixo y (f) a intereseção com o eixo x 8) Represente no plano cartesiano os pontos (x, y) tais que: (a) (x y + 1) 2 + (x 2 y 4x + 5) 2 = 0 (b) (x y + 1)(x 2 y 4x + 5) = 0 (c) (x y + 1)(x 2 y 4x + 5) > 0 9) Uma parábola cuja diretriz é horizontal passa pelos pontos (1, 3), (2, 4) e (3, 3)Dê sua equação 10) Uma parábola tem equação x = 6y 2 9y + 2 Determine: (a) as coordenadas do vèrtice; (b) as coordenadas do foco; (c)a equação da diretriz; (d) a equação do eixo 11) Seja uma parábola de equação x = 2y 2 + 4y + 1 Determine: (a) as coordenadas do vértice; (b) as coordenadas do foco 4

5 2 Elipses 21 Conceito e Elementos Sejam F 1 e F 2 dois pontos distintos, cuja distância indicaremos por 2c Consideremos, ainda, um número real 2a tal que 2a > 2c Chamaremos elipse de focos F 1 e F 2 e eixo maior 2a, o conjunto de todos os pontos P tais que a soma das distâncias de P a F 1 e de P a F 2 é igual a 2a, isto é, P F 1 + P F 2 = 2a (Vide figura abaixo) 2b A1 B2 F2 C 2c F1 A2 B1 2a Na figura acima estão destacados: focos = F 1 e F 2 distância focal = distância entre F 1 e F 2 igual a 2c centro = ponto médio C do segmento F 1 F 2 eixo maior = segmento A 1 A 2 de comprimento 2a eixo menor = segmento B 1 B 2 cujo comprimento é igual a 2b vértices = pontos A 1, A 2, B 1, B 2 excentricidade = número e definido por e = c a Observação 7 Note que, como o vértice B 1 é um ponto da elipse, teremos o segmento B 1 F 1 medindo a e, portanto, teremos a relação a 2 = b 2 + c 2 Exemplo 8 1) Um elipse tem eixo maior medindo 10 e eixo menor medindo 6 Determine: (a) a distância focal 5

6 (b) a excentricidade 2) Determine a equação de uma elipse cujos focos são os pontos F 1 ( 1, 1) e F 2 (1, 2), sabendo que o comprimento do eixo maior é igual a 2a = 4 22 Elipse de eixo maior horizontal ou vertical Novamente, não nos ocuparemos com as demonstrações, mas utilizaremos com frequência os seguintes teoremas Teorema 9 Uma elipse possui eixo maior horizontal de comprimento 2a e eixo menor vertical de comprimento 2b com centro no ponto C(x C, y C ) se, e somente se, sua equação pode ser escrita na forma (x x C ) 2 + (y y C) 2 = 1 a 2 b 2 De maneira análoga temos: Teorema 10 Uma elipse possui eixo maior vertical de comprimento 2a e eixo menor horizontal de comprimento 2b com centro no ponto C(x C, y C ) se, e somente se, sua equação pode ser escrita na forma (y y C ) 2 + (x x C) 2 + = 1 a 2 b 2 Exemplo 11 1) Determine a equação da elipse de eixo maior horizontal igual a 4 e eixo menor 2 com centro C(3, 2) 2) Determine a equação da elipse de eixo maior vertical igual a 8 e eixo menor 4 com centro C(5, 6) Observação 12 As equações apresentadas nos teoremas acima são ditas equações reduzidas da elipse Exemplo 13 Consideremos uma elipse cuja equação é Determine sua equação reduzida x 2 + 9y 2 8x 36y + 43 = 0 6

7 23 Exercícios 1) Dê as coordenads dos focos das elipses cujas equações são dadas a seguir: (a) x y2 36 = 1 (b) x y2 81 = 1 (c) x2 4 + y2 = 1 (d) x2 3 + y2 4 = 1 (e) 2x y2 4 = 1 (f)3x 2 + 4y 2 = 1 (g)9x y 2 6 = 0 2) Uma elipse de excentricidade e = 1/2 tem centro na origem, focos no eixo x e eixo maior medindo 12 Determine sua equação 3) Um elipse tem focos no eixo x e centro na origem Determine sua equação sabendo que ela passa pelos pontos (0, 2) e (3, 9) 4) Uma elipse com centro na origem tem um foco no ponto (3, 0) e um vértice no ponto ( 7, 0) Qual a sua excentricidade? 5) Uma elipse, cujo eixo maior é vertical, tem centro C( 1, 1), excentricidade e = 1/3 e eixo menor de medida 6 Dê a equação da elipse 6) Uma elipse de eixo maior horizontal passa pelos pontos (0, 1) e (3, 1) Dê sua equação sabendo que o centro é o ponto (3, 1) 7) Uma elipse tem equação Determine: (a) as coordenads do vértice (b) as coordenadas dos focos (c) a excentricidade x 2 + 2y 2 + 2x 4y 7 = 0 8) Determine as coordenadas do centro e dos focos da elipse cuja equação é 3x 2 + 2y x + 4y + 8 = 0 9) Dê a equação reduzida da elipse cuja equação é 9x y 2 36x + 50y 164 = 0 7

8 3 Hipérbóles 31 Conceito e Elementos Sejam F 1 e F 2 dois pontos distintos, cuja distância indicaremos por 2c Consideremos, ainda, um número real 2a tal que 0 < 2a < 2c Chamaremos hipérbole de focos F 1 e F 2 e eixo real(ou transverso) 2a, o conjunto de todos os pontos P tais que o módulo da diferença entre as distâncias de P a F 1 e de P a F 2 é igual a 2a, isto é, P F 1 P F 2 = 2a (Vide figura abaixo) B1 F2 A2 2b C A1 F1 B2 2a 2c Observando a figura acima, destacamos: focos = F 1 e F 2 distância focal = distância entre F 1 e F 2 igual a 2c centro = ponto médio C do segmento F 1 F 2 eixo real = segmento A 1 A 2 de comprimento 2a eixo imaginário = segmento B 1 B 2 cujo comprimento é igual a 2b, onde b é dado por b 2 = c 2 a 2 vértices = pontos A 1 e A 2 excentricidade = número e definido por e = c a Uma hipérbole será dita equilátera se os eixos real e imaginário possuem a mesma medida, isto é, a = b Exemplo 14 1) Um hipérbole tem distância focal 2c = 10 e eixo imaginário de medida 2b = 6 Determine: (a) a medida do eixo real 8

9 (b) a excentricidade 2) Determine a equação da hipérbole de focos F 1 (1, 2), F 2 (4, 3) e eixo real medindo 2 32 Hipérbole de eixo real horizontal ou vertical Tal como no caso de parábolas e elipses nosso interesse recairá sobre hipérboles cujo eixo real seja horizontal ou vertical, já que para estas as equações se tornam bem simples, conforme os teoremas abaixo deixam claro Teorema 15 Uma hipérble possui eixo real horizontal de comprimento 2a e eixo imaginário(vertical) de comprimento 2b com centro no ponto C(x C, y C ) se, e somente se, sua equação pode ser escrita na forma (x x C ) 2 (y y C) 2 = 1 a 2 b 2 De maneira análoga temos: Teorema 16 Uma hipérbole possui eixo real vertical de comprimento 2a e eixo imaginário(horizontal) de comprimento 2b com centro no ponto C(x C, y C ) se, e somente se, sua equação pode ser escrita na forma (y y C ) 2 (x x C) 2 + = 1 a 2 b 2 Novamente, as equações apresentadas nos teorema acima são ditas equações reduzidas da hipérbole Exemplo 17 1) Determine a equação da hipérbole de eixo real horizontal medindo 8, eixo imaginário medindo 4 e com centro C(3, 2) 2) Uma hipérbole cujo eixo real é paralelo a um dos eixos coordenados tem equação dada por 3x 2 y 2 6x 4y + 2 = 0 Determine sua equação reduzida 9

10 33 Exercícios 1) Uma hipérbole tem eixo real medindo 8 e eixo imaginário medindo 10 Calcule: (a) a distância focal (b) a excentricidade 2) Uma hipérbole de excentricidade 4/3 tem eixo imaginário medindo 4 Determine: (a) a medida do eixo real (b) a distância focal 3) A medida do eixo real de uma hipérbole é 20 Calcule a distância focal 4) Dê a equação da hipérbole cujos focos são F 1 ( 2, 1) e F 2 (3, 1), sabendo que seu eixo real mede 3 5) Qual figura representa a equação Faça um esboço de tal figura! (x 2) 2 + (y 1) 2 (x 6) 2 + (y 4) 2 = 4? 6) Qual figura representa a equação Faça um esboço de tal figura! (x + 2) 2 + (y 1) 2 (x 6) 2 + (y + 4) 2 = 4? 7) Qual figura representa a equação Faça um esboço de tal figura! (x 2) 2 + (y 1) 2 + (x 6) 2 + (y 4) 2 = 4? 8) Qual figura representa a equação Faça um esboço de tal figura! (x + 2) 2 + (y 1) 2 + (x 6) 2 + (y + 4) 2 = 4? 9) Consideremos uma hipérbole cujo eixo real é horizontal, o eixo imaginário mede 6, o eixo real mede 8 e o centro é C( 2, 1) Determine a equação da hipérbole 10) Determine a equação da hipérbole de centro C(4, 5), eixo imaginário medindo 8 e eixo real verticel 10

11 11) Uma hipérbole tem focos F 1 ( 3, 0) e F 2 (5, 0) Sabendo que sua excentricidade é igual a e, determine sua equação 12) Em cada caso a seguir é dada a equação de uma hipérbole de eixo real paralelo a um dos eixos coordenados Determine, em cada caso, a equação reduzida (a) x 2 2y 2 + 6x + 4y (b) 2x 2 3y 2 4x 30y 67 = 0 13) Em cada caso a seguir é dada a equação de uma hipérbole cujo eixo real é paralelo a um dos eixos coordenados Determine as coordenadas do centro e dos focos (a) 3x 2 5y 2 + 6x 12 = 0 (b) x 2 4y 2 + 8y 20 = 0 (c) 2x 2 3y 2 + 4x + 6y 7 = 0 (d) x 2 2y 2 + 4x + 4y = 0 4 Respostas dos Exercícios Seção 13 1) (a) 25x 2 + 4y xy + 36x 148y = 0 (b) 5x + 2y 2 = 0 (c) ( 44/29, 139/29) 2) (a) x 2 10x + 10y 30 = 0 (b) x 5 = 0 (c) (5, 11/2) 3) (a) 4x 5y + 14 = 0 (b) 5x + 4y + 38 = 0 4) (a) 4x + 3y + 11 = 0 (b) ( 4/5, 13/5) 5) (a) F (0, 5/8); d : y = 5/8 (b) F (0, 1/3); d : y = 1/3 (c) F ( 2/9, 0); d : x = 2/9 (d) F (5/24, 0); d : x = 5/24 6) (1, 3) e ( 1, 3) 7) (a) V (2, 2) (b) F (2, 15/8) (c) 8y + 17 = 0 (d) x 2 = 0 (e) (0, 6) (f) (1, 0) e (3, 0) 9) y = x 2 + 4x 10) (a) V ( 11/8, 3/4) (b) F ( 4/3, 3/4) (c) x = 17/12 (d) y = 3/4 11) (a) V (3, 1) (b) F (23/8, 1) Seção 23 1) (a) ( 13, 0) e ( 13, 0) (b) (0, 17 e (0, 17 (c) ( 3, 0) e ( 3, 0) (d) (0, 1) e (0, 1) (e) 6/6, 0) e ( 6/6, 0) (f) (1, 0) e ( 1, 0) (g) ( 15/15, 0) e ( 15/15, 0) 2) x 2 /36 + y 2 /27 = 1 3) x 2 /9 + y 2 /4 = 1 4) e = 3/7 11

12 5) (x + 1) 2 /9 + (y 1) 2 /(81/8) = 1 6) (x 3) 2 /9 + (y 1) 2 /4 = 1 7) (a) C( 1, 1) (b) F 1 ( 1 5, 1) e F 2 ( 1 + 5, 1) (c) e = 2/2 8) C( 2, 1), F 1 ( 2, 2), F 2 ( 2, 0) 9) (x 2) (y+1)2 9 = 1 Seção 33 1) (a) 2 14 (b) 41/4 2) (a) 24 7/7 (b) 32 7/7 3) ) 16x 2 + 5y x + 10y 20xy + 41 = 0 9) (x+2)2 16 (y 1)2 9 = 1 10) (y+5)2 25 (x 4)2 16 = 1 11) (x 1) 2 /4 y 2 /12 = 1 12) (a) (x+3)2 4 (y 1)2 2 = 1 (b) (y+5)2 2 (x 1)2 3 = 1 13) (a) C( 1, 0), F 1 ( 1 2 2, 0), F 2 ( , 0) (b) C(0, 1), F 1 ( 2 5, 1), F 2 (2 5, 1) (c) C( 1, 1), F 1 ( 1 5, 1), F 2 ( 1 + 5, 1) (d) C( 2, 1), F 1 ( 2 3, 1), F 2 ( 2 + 3, 0) 12