5. (UES-PI) As ilustrações a seguir representam um setor circular, com ângulo central de rad
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- Juliana Caires Almada
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1 LIST DE CONES Cacue a atura do cone circuar reto cuja geratriz mede 5cm e o diâmetro da mede cm Cacue a área da secção meridiana do cone equiátero cuja tem área cm Cacue a área tota e o voume de um cone equiátero de atura medindo 0cm Os catetos de um triânguo retânguo medem e c e a sua área mede m O cone otido pea rotação do triânguo em torno do cateto tem voume cateto c 5 (UES-PI) s iustrações a seguir representam um setor circuar, com ânguo centra de rad e raio 9cm O cone mostrado possui o setor como sua área atera Qua o voume do cone, em centímetros cúicos? m Determine o comprimento do a) ) c) d) e) 6 (UESC-B) Um cone circuar reto possui raio da e atura iguais a cm e cm, respectivamente É correto afirmar que a área atera, em cm, de um ciindro circuar reto de raio da igua à terça parte do raio da do cone e que comporta o mesmo voume do cone é igua a: a) ) c) d) e) 7 (UFG-GO) terra retirada na escavação de uma piscina semicircuar de 6m de raio e,5m de profundidade foi amontoada, na forma de um cone circuar reto, sore uma superfície orizonta pana dmita que a geratriz do cone faça um ânguo de 60º com a vertica e que a terra retirada tena voume 0% maior do que o voume da piscina Nessas condições, a atura do cone, em metros, é de: a),0 ),8 c),0 d),8 e),0 8 (EEER) O raio da de um cone equiátero mede cm O voume desse cone em cm é: a) ) 8 c) d) 8 9 (UFRN) Um recipiente cônico foi projetado de acordo com o deseno ao ado, no qua o tronco do cone foi otido de um cone de atura igua a 8cm Qua o voume desse recipiente, em cm? a) 6 ) 08 c) d) 0 0 nderson coocou uma casquina de sorvete dentro de uma ata ciíndrica de mesma, mesmo raio R e mesma atura da casquina Qua é o voume do espaço (vazio) compreendido entre a ata e a casquina de sorvete? Piramides: Uma quadranguar reguar tem m de atura e a aresta da mede 6m Cacue seu voume e a área tota Cacuar a área da, área atera, área tota e o voume da quadranguar reguar de apótema 5cm e apótema da cm
2 Cacue o voume de uma exagona reguar de área da 88 m e apótema m Uma trianguar reguar tem 5cm de atura e o apótema da mede cm Cacue o voume da 5 Considere uma quadranguar reguar inscrita em um cuo de cm de aresta Cacue: a) a área atera da ; ) a área tota da ; c) a razão entre o voume da e do cuo; d) a razão entre as áreas totais da e do cuo 6 Um prisma de pentagona possui 60m de voume Qua o voume de uma com mesma e mesma atura? 7- Numa reguar de trianguar, a aresta da mede cm e a atura mede cm Cacue o apótema da, o apótema da e a aresta atera 8 Uma e um prisma têm a mesma atura da vae o sêxtupo da atura do prisma Sendo o voume da e o voume do prisma, mostre que = 9 de uma reguar de atura r é um exágono reguar inscrito numa circunferência de raio r Cacue o voume dessa 0 Cacue o voume de uma trianguar reguar de aresta atera igua a cm e cuja está inscrita num círcuo de área 5 cm Gaarito Cones: Cacue a atura do cone circuar reto cuja geratriz mede 5cm e o diâmetro da mede cm Soução O raio da mede 7cm atura será cacuada pea reação de Pitágoras r 5 7 g cm Cacue a área da secção meridiana do cone equiátero cuja tem área cm Soução secção meridiana é um triânguo equiátero cujo ado mede o diâmetro da Conecendo a área da do cone, temos: r r sec ção r 6 Triânguo r sec ção 6 cm 6 (6)(6) cm
3 Cacue a área tota e o voume de um cone equiátero de atura medindo 0cm Soução atura do cone equiátero é a atura do triânguo equiátero cm 0 O ado do triânguo equiátero vae o doro do raio: 0 r 0 cm i) Área tota: g 0 tots : r(r g) cm cm ii) oume: Os catetos de um triânguo retânguo medem e c e a sua área mede m O cone otido pea rotação do triânguo em torno do cateto tem voume cateto c 6 m Determine o comprimento do Soução pós a rotação, o cone possui atura e raio c Utiizando a fórmua do voume do cone, temos: c c 6 c 8 6 área do triânguo retânguo é dada pea metade do produto dos catetos e c De acordo com a reação encontrada, temos: c c c 8 (c)c 8 c ()c 8 c 8 m 5 (UES-PI) s iustrações a seguir representam um setor circuar, com ânguo centra de rad e raio 9cm O cone mostrado possui o setor como sua área atera Qua o voume do cone, em centímetros cúicos? a) 8 ) 7 c) 6 d) 5 e)
4 Soução Reacionando o comprimento do arco do setor circuar do cone com o perímetro da, temos: R 9 6 r 6 r r i) atura do cone vae: g r ii) O voume do cone será: cone () 6 8 cm 6 (UESC-B) Um cone circuar reto possui raio da e atura iguais a cm e cm, respectivamente É correto afirmar que a área atera, em cm, de um ciindro circuar reto de raio da igua à terça parte do raio da do cone e que comporta o mesmo voume do cone é igua a: a) ) c) d) Soução O raio do ciindro mede = cm (a terça parte do raio da do cone) Os voumes do ciindro e do cone são iguais Considerando H a atura do ciindro, temos: cone ciindro () () H H cm () H H Logo, a área atera do ciindro vae: (atera) ciindro rh ( )()() cm 7 (UFG-GO) terra retirada na escavação de uma piscina semicircuar de 6m de raio e,5m de profundidade foi amontoada, na forma de um cone circuar reto, sore uma superfície orizonta pana dmita que a geratriz do cone faça um ânguo de 60º com a vertica e que a terra retirada tena voume 0% maior do que o voume da piscina Nessas condições, a atura do cone, em metros, é de: a),0 ),8 c),0 d),8 e),0 Soução forma semicircuar da piscina indica que seu voume é a metade do voume de um ciindro de atura,5m e raio da de 6m O voume da piscina é: (6) (,5) pisicna (8)(,5),5 m O voume de terra (cone) é 0% maior que o da piscina: terra,,5 7 m, pisicna e)
5 r Oservando a figura temos: tg60º Conecendo o voume do cone, cacua- se a atura: (r) ( ) 7 cone cone 7 7 m 8 (EEER) O raio da de um cone equiátero mede cm é: a) 8 ) 8 cm c) O voume desse cone em d) Soução atura do cone será a atura do triânguo equiátero que é a secção meridiana O ado da secção possui a mesma medida da geratriz: o doro do raio Utiizando as fórmuas reacionadas, temos: r (r) r ()(6) cm 6 9 (UFRN) Um recipiente cônico foi projetado de acordo com o deseno ao ado, no qua o tronco do cone foi otido de um cone de atura igua a 8cm Qua o voume desse recipiente, em cm? a) 6 ) 08 c) d) 0 Soução Utiizando a fórmua do voume do tronco de cone, temos: tronco [R () Rr r ] [6 (6)() ] [6 ] [5] 08 cm Soução Encontrando a atura do cone origina que foi retirada: x = 8 = 6cm O voume do tronco será a diferença entre os voumes dos cones maior e menor: maior menor (6) (8) (6) (6) 6 () (6) () () 8 tronco cm 0 nderson coocou uma casquina de sorvete dentro de uma ata ciíndrica de mesma, mesmo raio R e mesma atura da casquina Qua é o voume do espaço (vazio) compreendido entre a ata e a casquina de sorvete?
6 Soução O voume vazio será a diferença entre os voumes do ciindro e do cone ciindro menor (R) (R) v azio (R) R (R) Cacue a atura do cone circuar reto cuja geratriz mede 5cm e o diâmetro da mede cm Soução O raio da mede 7cm atura será cacuada pea reação de Pitágoras r 5 7 g cm cm Cacue a área da secção meridiana do cone equiátero cuja tem área Soução secção meridiana é um triânguo equiátero cujo ado mede o diâmetro da Conecendo a área da do cone, temos: r r sec ção r 6 Triânguo r sec ção 6 cm 6 (6)(6) cm Cacue a área tota e o voume de um cone equiátero de atura medindo 0cm Soução atura do cone equiátero é a atura do triânguo equiátero cm 0 O ado do triânguo equiátero vae o doro do raio: 0 r 0 cm i) Área tota: g 0 tots : r(r g) cm
7 cm ii) oume: Os catetos de um triânguo retânguo medem e c e a sua área mede m O cone otido pea rotação do triânguo em torno do cateto tem voume cateto c 6 m Determine o comprimento do Soução pós a rotação, o cone possui atura e raio c Utiizando a fórmua do voume do cone, temos: c c 6 c 8 6 área do triânguo retânguo é dada pea metade do produto dos catetos e c De acordo com a reação encontrada, temos: c c c 8 (c)c 8 c ()c 8 c 8 m 5 (UES-PI) s iustrações a seguir representam um setor circuar, com ânguo centra de rad e raio 9cm O cone mostrado possui o setor como sua área atera Qua o voume do cone, em centímetros cúicos? a) 8 ) 7 c) 6 d) 5 e) Soução Reacionando o comprimento do arco do setor circuar do cone com o perímetro da, temos: R 9 6 r 6 r r i) atura do cone vae: g r ii) O voume do cone será: () 6 cone 8 cm 6 (UESC-B) Um cone circuar reto possui raio da e atura iguais a cm e cm, respectivamente É correto afirmar que a área atera, em cm, de um ciindro circuar reto de raio da igua à terça parte do raio da do cone e que comporta o mesmo voume do cone é igua a: a) ) c) d) e)
8 Soução O raio do ciindro mede = cm (a terça parte do raio da do cone) Os voumes do ciindro e do cone são iguais Considerando H a atura do ciindro, temos: cone ciindro () () H H cm () H H Logo, a área atera do ciindro vae: (atera) ciindro rh ( )()() cm 7 (UFG-GO) terra retirada na escavação de uma piscina semicircuar de 6m de raio e,5m de profundidade foi amontoada, na forma de um cone circuar reto, sore uma superfície orizonta pana dmita que a geratriz do cone faça um ânguo de 60º com a vertica e que a terra retirada tena voume 0% maior do que o voume da piscina Nessas condições, a atura do cone, em metros, é de: a),0 ),8 c),0 d),8 e),0 Soução forma semicircuar da piscina indica que seu voume é a metade do voume de um ciindro de atura,5m e raio da de 6m O voume da piscina é: (6) (,5) pisicna (8)(,5),5 m O voume de terra (cone) é 0% maior que o da piscina: terra,,5 7 m, pisicna r Oservando a figura temos: tg60º Conecendo o voume do cone, cacua-se a atura: (r) ( ) 7 cone cone 7 7 m 8 (EEER) O raio da de um cone equiátero mede cm O voume desse cone em cm é: a) ) 8 c) d) 8 Soução atura do cone será a atura do triânguo equiátero que é a secção meridiana O ado da secção possui a mesma medida da geratriz: o doro do raio Utiizando as fórmuas reacionadas, temos: r (r) r ()(6) cm 6
9 9 (UFRN) Um recipiente cônico foi projetado de acordo com o deseno ao ado, no qua o tronco do cone foi otido de um cone de atura igua a 8cm Qua o voume desse recipiente, em cm? a) 6 ) 08 c) d) 0 Soução Utiizando a fórmua do voume do tronco de cone, temos: tronco [R () Rr r ] [6 (6)() ] [6 ] [5] 08 cm Soução Encontrando a atura do cone origina que foi retirada: x = 8 = 6cm O voume do tronco será a diferença entre os voumes dos cones maior e menor: maior menor (6) (8) (6) (6) 6 () (6) () () 8 tronco cm 0 nderson coocou uma casquina de sorvete dentro de uma ata ciíndrica de mesma, mesmo raio R e mesma atura da casquina Qua é o voume do espaço (vazio) compreendido entre a ata e a casquina de sorvete? Soução O voume vazio será a diferença entre os voumes do ciindro e do cone ciindro menor (R) (R) v azio (R) R (R) LIST DE PIRÂMIDES - GBRITO Uma quadranguar reguar tem m de atura e a aresta da mede 6m Cacue seu voume e a área tota Soução Oservando os eementos na figura, temos: i) oume: 6 (6) ()() 8m
10 g 9 6 5m ii) Área tota: (6) 6m (6)(5) 5 60m t m Cacuar a área da, área atera, área tota e o voume da quadranguar reguar de apótema 5cm e apótema da cm Soução Se o apótema da mede cm, então a aresta da mede cm Oservando os eementos na figura, temos: 5 cm i) Áreas: () 6cm ()(5) 0 0cm t cm ii) oume: 6 ( ) 6 cm Cacue o voume de uma exagona reguar de área da 88 m e apótema m Soução área da é o sêxtupo da área de um triânguo eqüiátero com ado de mesma medida da aresta do exágono Temos: ()(88) m O apótema do exágono é a atura do triânguo eqüiátero atura da é cacuada com a reação de Pitágoras no triânguo retânguo de ipotenusa m a p 8 (8)() 69 m 5 5m 88 (5) 96 (5) 80 m
11 Uma trianguar reguar tem 5cm de atura e o apótema da mede cm Cacue o voume da Soução é um triânguo eqüiátero cujo apótema mede a terça parte da atura (o centro da circunferência circunscrita é o aricentro do triânguo) Temos: a a p p 6 8 cm O voume vae: 8 (5) 6() (5) 6 (5) 80 cm 5 Considere uma quadranguar reguar inscrita em um cuo de cm de aresta Cacue: a) a área atera da ; ) a área tota da ; c) a razão entre o voume da e do cuo; d) a razão entre as áreas totais da e do cuo Soução Oservando a figura e seus eementos, temos: a) cm g a p cm ()( 5) 5cm 5cm () cm 5cm 5 cm ) t c) cuo ( tota) ( tota) 8 cm ()()() 8cm cuo 5 5 6() 6 cuo d) 6 Um prisma de pentagona possui 60m de voume Qua o voume de uma com mesma e mesma atura?
12 Soução O voume do prisma é o tripo do voume da : m m m prisma prisma 7- Numa reguar de trianguar, a aresta da mede cm e a atura mede cm Cacue o apótema da, o apótema da e a aresta atera Soução O apótema da é a medida da distância do aricentro do triânguo até a aresta ae a terça parte da atura do triânguo eqüiátero i) cm a a a p p ii) cm g g 7 6 iii) cm g L Uma e um prisma têm a mesma atura da vae o sêxtupo da atura do prisma Sendo o voume da e o voume do prisma, mostre que = Soução Expressando as medidas indicadas e estaeecendo as reações, temos: ) (6 ) (6 prisma 9 de uma reguar de atura r é um exágono reguar inscrito numa circunferência de raio r Cacue o voume dessa Soução O ado do exágono inscrito possui a mesma medida do raio área é o sêxtupo da área do triânguo eqüiátero ) ( ) ( 6 r r r r
13 0 Cacue o voume de uma trianguar reguar de aresta atera igua a cm e cuja está inscrita num círcuo de área 5 cm Soução O triânguo inscrito é eqüiátero, pois a é reguar atura H da intersecta a no aricentro do triânguo distante / da atura em reação ao vértice Cacuando os eementos da, temos: i) circunf circunf a r 5 a r r 5 cm 5 r 5 5cm x 5cm L H x H 5 ii) a 5 H H cm H ii) 75 () 75 () 75 cm
GABARITO LISTA 5 = REVISÃO GEOMETRIA ESPACIAL: PRISMAS, CILINDROS, PIRÂMIDES, CONES E ESFERAS.
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