Calculando áreas. Após terem sido furadas, qual delas possui maior área?

Transcrição

1 A UA UL LA 53 5 Cacuando áreas Para pensar Imagine que você vá revestir o piso de sua saa com ajotas. Para saber a quantidade de ajotas necessária, o que é preciso conhecer: a área ou o perímetro da saa? Foram feitos 8 furos iguais em duas pacas de madeira. As pacas são de mesmo tamanho e mesma espessura, como indica a figura: Após terem sido furadas, qua deas possui maior área? Quantos quadradinhos de 1 centímetro (1cm) de ado serão necessários para cobrir um quadrado de 1 metro quadrado (1m ) de área? Nossa aua Leia com atenção o texto seguinte, que foi extraído do Jorna do Teecurso 1º Grau - Matemática, 3ª 3 fase (Fundação Roberto Marinho, Editora Gobo, 1981). Cacuando áreas Existem muitas situações práticas que envovem o cácuo de áreas, como veremos nos exempos a seguir. Um azuejista, ao ser chamado para executar um serviço, começará seu trabaho cacuando a área das paredes que vão ser revestidas. Depois, ee vai comprar o materia e, quando pedir os azuejos, o baconista certamente he perguntará quantos metros quadrados ee deseja. Assim, cacuando a área das paredes, e das portas e janeas, o azuejista poderá pedir a quantidade certa de azuejos, evitando a fata ou o desperdício de materia.

2 Uma vez eaborado o projeto de uma casa, é necessário preparar seu orçamento. É preciso saber, por exempo, qua a quantidade de tijoos a ser usada na obra. Para isso, devemos saber quantos metros quadrados de parede a casa terá. Esse cácuo é necessário não apenas para saber a quantidade de materia que se deve comprar, mas também para avaiar o custo da mão-de-obra que vai ser utiizada. As cadeiras industriais são fabricadas com chapas de aço. Quando são projetadas, é preciso cacuar a área das chapas que vão ser usadas na sua construção. Esse cácuo serve para fazer o orçamento do custo da cadeira e, também, para prever o peso que ea terá. Os garotos da rua acertaram a boa numa vidraça, e vão ter de comprar uma nova. Você já foi ao vidraceiro comprar um pedaço de vidro? Quando damos as medidas do vidro que queremos, o vidraceiro faz aguns cácuos e diz o preço a pagar. Você sabe o que ee está cacuando? Se não sabe, tente descobrir o que ee cacua. Esses são aguns dos exempos que mostram que o cácuo de áreas faz parte do dia-a-dia de muitos profissionais. A U L A 5 O que é área de uma superfície? Medir uma superfície é compará-a com outra, tomada como unidade. O resutado da comparação é um número positivo, ao qua chamamos de área. Como não existe instrumento para medir a área de uma superfície, comparamos sua área com a área de uma figura mais simpes, como o retânguo ou o quadrado. EXEMPLO 1 Deseja-se forrar uma parede de 3 m 5 m com quadrados de cortiça de 1 m de ado. Quantos quadrados de cortiça serão necessários? Para resover esse probema, é preciso cacuar a área da parede, que tem a forma de um retânguo e a área do pedaço de cortiça, que tem a forma de um quadrado. Área do retânguo = comprimento argura = 3 m 5 m = 15 m Área do quadrado = ado ado = 1 m 1 m = 1 m Como cada quadrado tem 1 m de área, serão necessários 15 pedaços de cortiça para forrar a parede.

3 A U L A 5 Unidade de área Na Aua 15, estudamos unidades específicas para cada figura a ser medida. No quadro abaixo, vamos recordar as unidades de área mais usuais. Metro quadrado (m ): é a superfície de um quadrado de 1 metro (1 m) de ado. 1 m 1 m 1 m Quiômetro quadrado (km ): é a superfície de um quadrado de 1 quiômetro (1 km) de ado. Centímetro quadrado (cm ): é a superfície de um quadrado de 1 centímetro (1 cm) de ado. Existem ainda: o hectômetro quadrado (hm ), o decâmetro quadrado (dam ), o decímetro quadrado (dm ) e o miímetro quadrado (mm ). Observação: No Brasi, costuma-se usar o hectare (ha) ou o aqueire para medir grandes extensões de terra. Lembre que: 1 hectare (ha) = m (um quadrado cujos ados medem 100 metros). O aqueire não é uma medida uniforme para todo o país. Existem: o aqueire pauista; o aqueire do norte; o aqueire mineiro. Mudando de unidade Quantos centímetros quadrados cabem em um quadrado de 1 metro de ado? 1 cm 1 m 1 m 1 m Observe que 1 m = 100 cm, ogo, a área desse quadrado é: 100 cm 100 cm = cm Portanto, concuímos que: em um quadrado de 1 m de área, cabem quadradinhos de 1 cm de área, isto é, quadradinhos de 1 cm de ado. Agora, é sua vez! Quantos quadrados de 1 m de ado são necessários para cobrir um quadrado de 1 km de área?

4 Áreas de figuras geométricas panas Área do quadrado Considere um quadrado quaquer. Usando a ágebra para representar a medida do ado desse quadrado, vamos chamá-o por a. A área desse quadrado é: A U L A 5 A = a a = a Área do retânguo Considere um retânguo quaquer, de dimensões a e b. A área do retânguo é o produto da medida da base pea atura. Então: atura (a) a base (b) A = b a Área do paraeogramo Observe as figuras abaixo. Podemos cortar um pedaço do paraeogramo e encaixá-o do outro ado, transformando o paraeogramo num retânguo: atura atura (h) (h) h base (b) b A área do paraeogramo é, assim, igua à área do retânguo obtido, ou seja, ao produto das medidas da base pea atura: A = b h Observação: a atura do paraeogramo é a distância de uma base a outra; portanto, é perpendicuar à base. Área do osango O osango é uma figura geométrica de ados iguais e diagonais perpendicuares. A C D AB = diagona maior CD = diagona menor B

5 A U L A 5 Podemos construir um retânguo de ta forma que o osango fique inscrito nessa construção. Observe que, dessa forma, a área do osango é metade da área do retânguo, sendo determinada em função de suas diagonais: Diagona maior diagona menor diagona maior ou, em inguagem agébrica: A = D d diagona menor Área do trapézio O trapézio é um quadriátero com dois ados paraeos, chamados bases: base menor (b) base maior (B) Construa dois trapézios iguais e encaixe-os, coocando um dees de cabeça para baixo em reação ao outro. b B atura B b A figura obtida é um paraeogramo cuja área é o dobro da área do trapézio. Dessa forma, a área do trapézio é: Área do trapézio = (base maior + base menor) atura = α B + bφ h

6 EXEMPLO Um terreno em forma de trapézio tem 75 m na base menor, 100 m na base maior e 40 m de atura. Qua a área desse terreno? 75 m 40 m 40 m 75 m 100 m 100 m Área = = ( ) = 1 = = = A U L A 5 Logo, a área do terreno é de m. Área do triânguo Usaremos um raciocínio semehante ao que usamos para determinar a área do trapézio. Assim, construímos dois triânguos iguais: Encaixando-os, como na figura da esquerda, obtemos um paraeogramo cuja área é o dobro da área do triânguo. Como a área do paraeogramo é determinada peo produto da base pea atura, a área do triânguo é igua à área do paraeogramo dividida por dois. atura (h) base (b) Área do triânguo = base atura = b h Se o triânguo for retânguo, a área pode ser cacuada mutipicando-se os catetos e dividindo o resutado por, pois, nesse caso, um cateto corresponde à base (b) e o outro à atura (h). a A = b h b

7 A U L A 5 Decompondo figuras panas Muitas vezes nos deparamos com figuras estranhas, que não são nem triânguos, nem trapézios, nem nenhuma dessas figuras cujas áreas sabemos determinar. E aí, o que fazer? Nesses casos, podemos usar uma técnica muito simpes: decompor a figura estranha em outras de formatos conhecidos, cujas áreas são mais fáceis de serem obtidas. Veja o exempo seguinte. EXEMPLO 3 Cacue a área da figura: 3 cm 4,5 cm 4,5 cm 1,5 cm,5 cm 3 cm Podemos decompor essa figura da seguinte maneira: 1 3 Cacuamos, então, a área de cada uma das figuras: (1) é um trapézio de área: (3+ 4,5) 1,5 = 5,65m () é um paraeogramo de área: 4,5.,5 = 11,5 cm (3) é um triânguo de área: 4,5 3 = 6,75m Somando os três resutados, temos a área da figura dada: 5, ,5 + 6,75 = 3,65 Assim, a área da figura é 3,65 cm.

8 Cácuo aproximado de áreas Existem figuras panas cujas áreas são obtidas por cácuos aproximados. EXEMPLO 4 A U L A 5 Esta figura representa a panta de um terreno, na qua cada cm corresponde a 1 km no rea. Qua é a área do terreno? Quadricuamos a figura tomando, por exempo, o centímetro quadrado como unidade de área: Figura B Figura A Contando os quadradinhos internos e os que cobrem a figura, temos: Figura A (quadradinhos internos) = 43 cm Figura B (quadradinhos que cobrem a figura) = 80 cm A área da figura, portanto, está entre 43 cm e 80 cm.

9 A U L A 5 Aproximamos os vaores encontrados por meio de média aritmética: A área da figura é, portanto, 61,5 cm. = 61, 5cm Como cada cm corresponde a 1 km, na reaidade o terreno têm uma área de, aproximadamente, 61,5 km. Observação: Se usarmos uma unidade de área menor, como por exempo o miímetro quadrado (mm ), o resutado obtido será mais preciso. Exercícios Exercício 1 Com a ajuda de uma régua, meça os comprimentos necessários e determine a área das figuras. a) b) h h c) Exercício Dê o significado de: a) 1 m b) 1 km Exercício 3 Cacue a área da capa de seu ivro de Matemática do Teecurso 000. Exercício 4 Cacue a área do banheiro de sua casa. Exercício 5 Uma cozinha tem formato de um paraeepípedo com as seguintes dimensões: 3 m 3 m 3,5 m 4 m Deseja-se azuejar as paredes dessa cozinha até o teto. Quantos azuejos devemos comprar, se os azuejos são quadrados de 15 cm de ado?

10 Exercício 6 Pedro desenhou retas paraeas. Em uma marcou o segmento AB e em outra marcou os pontos C, D, E e F, como mostra a figura: C D E F A U L A 5 A Em seguida igou aguns pontos formando os triânguos CAB, DAB, EAB e FAB. Anaisando esses triânguos, Pedro descobriu um segredo sobre suas áreas. Qua foi o segredo descoberto por Pedro? B Exercício 7 Cacue a área da figura: 4 cm 1 cm 1 cm cm cm 4 cm 3 cm Exercício 8 Quantos metros quadrados de pape são necessários para forrar uma caixa fechada, no formato de um cubo de 0 centímetros de aresta? Exercício 9 Considerando o quadradinho como unidade de área (u), determine o vaor aproximado da área da figura: u