Você já participou da reforma ou da construção de um imóvel?

Transcrição

1 ÁREA DE POLÍGONOS CONTEÚDOS Área de retânguo Área de paraeogramo Área de triânguo Área de trapézio Área de hexágono AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Área do retânguo e quadrado Você já participou da reforma ou da construção de um imóve? Se já teve essa experiência, deve se embrar o quanto é utiizada a paavra área na reforma ou construção de imóve, isso porque a quantidade de materia que é comprada depende da área. Por exempo, se em uma reforma for necessário fazer o reboco de uma parede, é necessário saber a área dessa parede para que se conheça a quantidade de cimento e areia que serão comprados. Imagine que na reforma de um gapão os donos do imóve decidiram demoir e refazer todas as paredes externas, aém de trocar todo o piso interno. Ao chegar na casa de materia de construção, para reaizar a compra do piso, uma das primeiras perguntas que será feita peo vendedor é: Qua o tamanho da área que será coocado o materia? 30 m Figura 1 Gapão Fonte: Fundação Bradesco 0 m 5 m Na situação descrita, é prováve que o dono do imóve já saiba qua é o tamanho da área que receberá o piso. Até mesmo porque, essa medida não é difíci de cacuar. Considerando que o gapão tem 30 m de argura e 0 m de comprimento, sua área é de 1.00 m². 1

2 Mas, suponha que o dono do imóve não tivesse em mãos a medida da área, conhecendo apenas as medidas de argura e comprimento, você saberia dizer como é possíve conhecer a área? Antes de responder essa pergunta, conheça o que definimos como área. A área de uma forma geométrica é representada por um número que expressa a região ocupada por uma superfície. Para saber como é cacuada a área ocupada peo gapão, que tem o formato de um retânguo, vamos utiizar como exempo uma figura de formato retanguar, mas de medidas menores que as do gapão. Considere a figura como um quadrado que tem 1 cm² de área. Quantos desses cabem na figura 3? 1 cm Figura quadrado Figura 3 retânguo Observe que na figura 3 cabem exatamente 1 quadradinhos que apresentam, cada um, área igua a 1 cm². Portanto, o quadrado apresentado na figura 3 possui área igua a 1 cm². Anaisando ainda a reação entre essas duas figuras, é possíve verificar que o comprimento do retânguo apresentado na figura 3 pode ser composto por 3 quadrados que medem, cada um, 1 cm de ado, portanto, a medida desse comprimento é igua a 3 cm e sua atura é igua a cm.

3 Conhecendo as medidas da figura, sua área pode ser cacuada ao mutipicar a medida de seu comprimento por sua atura. Área retânguo = 3 x Área do retânguo = 1 cm² Para cacuar a área de um retânguo quaquer, basta fazer uso da seguinte expressão: Área do retânguo = b x h (onde b representa a medida da base e h a atura do retânguo) No caso do gapão, que tem o formato retanguar, para cacuar sua área, basta mutipicar seu comprimento por sua argura. Área do gapão = 0 m x 30 m Área do gapão = 1.00 m². Se o gapão tivesse o formato de um quadrado, sua área também poderia ser cacuada ao mutipicar suas medidas. Exempo: Imagine que o gapão tivesse 0 m de comprimento e 0 m de argura, para cacuar sua área basta desenvover o seguinte cácuo: Área = 0 m x 0 m Área = m² Sendo o quadrado uma forma geométrica que apresenta ados com as mesmas medidas, sua área pode ser cacuada ao eevar a medida de seu ado ao quadrado. Área do quadro = ² (onde representa a medida do ado do quadrado) 3

4 Observe que o cácuo da área do quadrado não difere do cácuo da área do retânguo. E o triânguo, o osango, o trapézio e o hexágono, como são cacuadas as áreas dessas formas geométricas? Vamos conhecer! Área do triânguo Para o cácuo da área do triânguo, é possíve partirmos do conhecimento que temos sobre a área do retânguo. Vamos traçar a diagona do retânguo de medidas cm x 3 cm, após traçar a diagona temos dois triânguos congruentes. Se os dois triânguos são congruentes e juntos compõem um retânguo de área igua a 1 cm², pode-se afirmar que a área de cada triânguo é igua a metade da área do retânguo. Veja que o triânguo tem uma base que mede 3 cm e uma atura que mede cm. cm 3 cm

5 Conhecendo as medidas do triânguo sua área pode ser obtida por meio da seguinte expressão: Área de um triânguo quaquer = No triânguo discutido temos: Área do triânguo = base x atura 3 x Área do triânguo = ² A base de um triânguo pode ser quaquer um de seus ados. A atura a ser considerada será sempre a atura reativa a essa base. Vejamos aguns exempos de como identificar a base e a atura. No triânguo ABC, considerando a base como segmento AC, temos como atura reativa a essa base o segmento BD. No triânguo EFG, considerando a base como o segmento FG, temos como atura reativa a essa base o segmento EG. No triânguo HIJ, considerando a base como o segmento IJ, temos como atura reativa a essa base o segmento HK. Em um triânguo retânguo pode-se cacuar a área por meio da seguinte expressão: produtodas medidas dos catetos Área do triânguo retânguo = 5

6 3 cm cm Área do triânguo retânguo = 3. Área do triânguo retânguo = ² A área de um triânguo também pode ser obtida sendo conhecida apenas as medidas de seus ados. Para tanto, faz-se o uso da seguinte expressão: A p.(p a).(p b).(p c) a, b e c são as medidas dos ados p é o semiperímetro do triânguo Essa expressão é conhecida como fórmua de Heron. Saiba mais Heron de Aexandria era um matemático grego. A fórmua de Heron ficou conhecida com esse nome porque segundo os registros da história da Matemática foi Heron quem demonstrou geometricamente as reações que permitem cacuar a área de um triânguo conhecendo as medidas de seus ados. Figura Heron de Aexandria Fonte: Wikimedia Commons 6

7 Vejamos uma apicação da fórmua de Heron, dado um triânguo de ados de medidas iguais a 8 cm, e 10 cm. 8 cm c b a 10 cm Primeiro vamos cacuar o semiperímetro do triânguo. p = a b c p = A 1.(1 10).(1 6).(1 8) A A A 1.().(6).() 1.().(6).() 576 A = cm² Tem-se então, como medida da área do triânguo, o vaor de cm². No cácuo da área do triânguo, temos um caso particuar para os triânguos equiáteros. Para cacuar a área desse poígono, vamos considerar o triânguo de ado, e antes de determinar sua área, primeiro vamos cacuar sua atura. 7

8 Traçando a atura desse triânguo é possíve determiná-a em função de. h Ao traçar a atura o triânguo equiátero, este foi dividido em dois triânguos retânguos. Esses triânguos possuem as seguintes medidas para seus ados. h Para determinar a atura em função de, apica-se o teorema de Pitágoras, sendo a atura (h) um dos catetos desse do triânguo retânguo, tem-se: h² + 3² h² = h = 3 = ² h² = ² - h = 3² Cacuando a subtração das frações: ² - ² ² - = ² = ² - ² - 3² = 8

9 Portanto, dado um triânguo equiátero, sua atura pode ser cacuada em função de seu ado. Por exempo, considere que um triânguo equiátero tem ado de medida igua a, conhecida essa medida, vamos determinar sua atura. h = 3 6 h = h = Lembre-se: Para cacuar a área de um triânguo, basta fazer uso da expressão: Área = base x atura. No caso dos triânguos equiáteros, sabemos que a medida de cada ado é igua a e a atura é 3. Assim, o cácuo da área será: Área do triânguo equiátero =. 3 = 3 Área do triânguo equiátero = 3 Considerando o triânguo de medida de ado igua a, tem-se: Área = Área = 3 Área = 3 Área = 9 3 cm² 9

10 Área do osango A área do osango pode facimente ser cacuada ao observar sua reação com a área de um retânguo. Com o objetivo de observar essa reação, vamos trabahar com o retânguo WTUV. Considere que os ados desse retânguo têm as seguintes medidas: WV = cm TW= cm Conhecendo as medidas, sabemos que sua área é igua a 8 cm². Interno ao retânguo observa-se o osango ZABC. Antes de cacuar sua área, é importante anaisar as seguintes informações: Os segmentos WC e ZW medem, respectivamente, cm e 1 cm. Observando a parte interna do retânguo, aém do osango, parte interna mais escura, tem-se quatro triânguos congruentes, parte mais cara. Sendo conhecida as medidas desses triânguos, torna-se possíve saber a área de cada um. Acompanhe: 1 cm cm Área do triânguo retânguo = produtodas medidas dos catetos 10

11 .1 Área do triânguo retânguo = 1 Cada triânguo retânguo apresenta uma área de 1 cm². Se o retânguo WTUV apresenta uma área de 8 cm² e os quatro triânguos juntos apresentam uma área de cm², a parte escura da figura ocupa uma área de cm². Isto é, o osango tem uma área de cm². Veja que a área do osango é exatamente metade da área do retânguo. De maneira mais prática, a área do osango pode ser cacuada por meio do uso da seguinte expressão: Área do osango = D.d (onde D é a diagona maior e d é a diagona menor) Diagona menor cm cm Diagona maior Veja agora o cácuo da área desse osango, com o uso da expressão D.d. Área do osango =. 8 Área do osango = Á área do osango é igua a cm². 11

12 Área do paraeogramo Na figura a seguir, temos o paraeogramo ABCD. Neste poígono, temos os ados AC e BD congruentes. O segmento h representa a atura desse paraeogramo. Observe que os pontos CAF, formam um triânguo retânguo. Suponha que esse triânguo (CAF) será desocado para o ado direito do paraeogramo. Os segmentos AC e BD irão coincidir e obteremos o retânguo ABFE. Agora, para cacuar a área, basta mutipicar a medida da base pea atura. Sendo o ado AF igua a cm e o ado AB igua a cm, tem-se: Área do paraeogramo = x Área do paraeogramo = 8 cm² Nota-se que para cacuar a área do paraeogramo utiizamos os mesmos procedimentos que permitem cacuar a área do retânguo. Área do paraeogramo = b x h (onde b representa a medida da base e h a atura) 1

13 Área do trapézio A figura a seguir, representa o trapézio ADCE. As bases estão identificadas como B e b e a atura como h. Traçando a diagona AC desse trapézio, obtêm-se os triânguos EAC e ADC. b B Para esses triânguos, considere as seguintes medidas: A base B do triânguo EAC mede. A base b do triânguo ADC mede 3 cm. A atura h do triânguo EAC mede 3 cm. A atura h do triânguo ADC mede 3 cm. b B 13

14 Podemos então cacuar a área de cada triânguo e assim obter a área do trapézio. Área do trapézio = Área do triânguo EAC + Área do triânguo ADC Área do trapézio = B.h b.h Área do trapézio = h(b b) No caso do trapézio ADCE, temos: Área do trapézio = 3(6 3) Área do trapézio = 3(6 3) 13,5 cm² h(b b) Área do trapézio = ( onde h é a atura, B é a medida da base maior e b é a medida da base menor) Área do hexágono A área do hexágono reguar pode ser cacuada ao observar que esse poígono é composto por 6 triânguos equiáteros. 1

15 Já vimos que a área de um triânguo equiátero pode ser cacuada por meio da expressão 3. Se o hexágono reguar é composto por 6 triânguos equiáteros, sua área pode ser obtida ao determinar a área do triânguo equiátero e mutipicá-a por seis. Área do hexágono = 6. 3 No caso do hexágono que apresenta medida de ado igua a, tem-se o seguinte cácuo: Área do hexágono = Área do hexágono = Área do hexágono = 6. 3 Área do hexágono = Área do hexágono = 5 3 cm² ATIVIDADES 1. Um campo de futebo tem o formato retanguar e suas medidas são 90 cm de argura e 10 m de comprimento. Após uma reforma nesse campo, sua área teve uma redução de 10%, passando então a apresentar quantos metros quadrados?.(enem 011) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de azer reivindicam à prefeitura municipa a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a soicitação e afirma que irá construí-a em formato retanguar devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tea para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça: Terreno 1: 55 m por 5 m Terreno : 55 m por 55 m Terreno 3: 60 m por 30 m Terreno : 70 m por 0 m Terreno 5: 95 m por 85 m 15

16 Para optar peo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pea prefeitura, os moradores deverão escoher o terreno a) 1. b). c) 3. d). e) Determine a área de um triânguo equiátero de medida de ado igua a 8 cm.. A caixa de uma joia apresenta uma forma que embra um diamante. Para deixar a caixa mais refinada, a tampa será revestida com um tecido brihante de cor ouro. Observe na figura a seguir, o formato da tampa produzida para guardar a joia. Para revestir toda essa tampa, foi comprado um tecido que custa R$ 1,00 o metro quadrado. Veja que essa tampa é a composição de um hexágono reguar e um triânguo equiátero. cm cm 16

17 Conhecendo as medidas desses poígonos, quanto será aproximadamente, gasto com o tecido que revestirá a tampa? 5. Observe o mapa que apresenta parte das regiões do estado de São Pauo. Veja que na região de Presidente Prudente é possíve contorná-a, quase 100%, traçando dois poígonos, um trapézio e um triânguo. Presidente Prudente Grande São Pauo A seguir, tem-se um recorte da região de Presidente Prudente com a indicação das medidas dos poígonos que podem ser traçados para representar a área ocupada pea região. 0 km 5 km 18 km 7 km km 17

18 Dada as medidas de comprimento e atura desses poígonos, qua é, aproximadamente, a área ocupada por Presidente Prudente? 6. O vitra de um museu passará por uma reforma. Nesta reforma, decidiu-se que os vidros escuros de formato quadrado serão todos trocados. Observe a seguir, o desenho do vitra. Sabendo que cada um desses vidros escuros, de formato quadrado, tem exatamente 5 cm de medida de ado, qua é a quantidade tota de vidro que deverá ser comprada? 7. Na região escurecida da maha quadricuada há um poígono irreguar. Considerando a medida de cada quadradinho que compõem a maha, qua é a área ocupada por esse poígono? 18

19 INDICAÇÕES Consute os inks indicados a seguir e estude um pouco mais área de poígonos Área e Perímetro das figuras geométricas panas Disponíve em: Área de figura panas Disponíve em: REFERÊNCIAS CECIERJ, Fundação. Matemática e suas Tecnoogias Móduo I/ Matemática. Rio de Janeiro, 013. INEP, ENEM 011. Disponíve em:< pdf >. Acesso em: 3 jan h0min. SÃO PAULO (Estado). Secretária da Educação (SEE). Educação de Jovens e Adutos: Mundo do Trabaho modaidade semipresencia, v 1. Matemática: caderno do estudante. Disponíve em: < =Auno>. Acesso em: 18 fev h. SÃO PAULO, Governo do Estado. Bibioteca Virtua. São Pauo: aspectos territoriais. Disponíve em:< Acesso em: 6 jan h. WALLE, Jonh A. Van. Matemática no Ensino Fundamenta. Formação de Professores e Apicação em saa de aua. 6ª ed. Porto Aegre: Artmed, 009 IEZZI, Geson. MACHADO, Antonio. DOCE, Osvado. Geometria Pana. Conceitos básicos. 1ª ed. São Pauo: Atua, 008. GABARITO 1.Para saber qua é a nova área do campo, primeiramente, deve-se cacuar a área inicia. Área = 90 x 10 Área = m². 19

20 Após a reforma tem-se: , = 9.70 Com a reforma a área do campo será de 9.70 m².. Aternativa correta é a C. Para saber qua é o terreno de maior área que atenderá às restrições da prefeitura, é necessário cacuar o perímetro e a área de cada um dos terrenos disponíveis. Terreno 1 Área = 55 x 5 Área =.75 m² Perímetro = 00 m Terreno Área = 55 x 55 Área = 3.05 m² Perímetro = 0 m Terreno 3 Área = 60 x 30 Área = m² Perímetro = 180 m Terreno Área = 70 x 0 Área = 1.00 m² Perímetro = 180 m Terreno 5 Área = 95 x 85 Área = m² Perímetro = 360 m Dentre as opções dadas pea prefeitura, o terreno que apresenta a maior área e utiizará apenas 180 m de tea para cercar a praça é o terrreno A área de um triânguo equiátero pode ser determinada com o uso da expressão 3. Área do triânguo equiátero = 3 Área do triânguo equiátero = 16 3 cm² 8.Para cacuar o quanto será gasto com a compra do tecido, é necessário determinar a área do hexágono e a área do triânguo. Área do triânguo equiátero = 3 0

21 Área do triânguo equiátero = 3 = 3 Área do hexágono = 6. 3 Área do hexágono = 6. 3 = 3 Área tota da tampa = Área tota da tampa = 8 3 Considerando 8.1,73 = 8, 3 = 1,73, temos: Serão utiizado 8, m² de tecidos. Se cada metro custa R$ 1,00, haverá um gasto aproximado de R$ 581,8. 5. Para cacuar a área da região informada, deve-se observar que o trapézio tem as seguintes medidas: base maior 7 km; base menor 0 km; atura km. Já o triânguo, apresenta as seguintes medidas: base 18 km; atura 5 km. Com essas informações basta cacuar a área de cada poígono e somá-as para obter a área tota. Área do trapézio =.(7 0) Área do trapézio = 517 km² Área do triânguo = 18.5 Área do triânguo = 5 km² Área tota = 517 km² + 5 km² Área tota = 56 km² Portanto, de acordo com as medidas apresentadas, a região de Presidente Prudente ocupa uma área de aproximadamente 56 km². 6. Se o vitra é composto por 9 vidros escuros de formato quadrado, para saber a quantidade de vidro que deverá ser comprada, basta cacuar a área de um quadrado e mutipicar por 9. Área do quadrado = 5² Área do quadrado = 5 cm² 5 cm² x 9 = 5 cm² No tota deverão ser comprados 5 cm² de vidro. 1

22 7. Para cacuar a área do poígono é necessário observar que ee pode ser dividido em retânguo e triânguos. Acompanhe: Se cada quadradinho da maha tem 1 cm de medida de ado, nesse poígono temos: Área 1 retânguo Área = 3 x 5 Área = 15 cm² Área triânguo Área = 5. = 5 cm² Área 3 triânguo Área =.1 = cm² 1.1 Área triânguo Área = 0,5 cm² 1.1 Área 5 triânguo Área = 0,5 cm² 1.1 Área 6 triânguo Área = 0,5 cm² Área tota = área 1 + área + área 3 + área + área 5 + área 6 Área tota = 15 cm² + 5 cm² + cm² + 0,5 cm² + 0,5 cm² + 0,5 cm² Área tota = 3,5 cm².