Operando com potências

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1 A UA UL LA 71 Operando com potências Introdução Operações com potências são muito utiizadas em diversas áreas da Matemática, e em especia no cácuo agébrico O conhecimento das propriedades operatórias da potenciação pode faciitar a resoução de cácuos com expressões agébricas, que de outra forma seriam bastante trabahosos Para estudar essas propriedades, vamos antes rever agumas definições de potências com expoentes inteiros e bases reais Nossa aua Potenciação, por definição, é uma forma prática e simpes de se representar uma mutipicação de fatores iguais Na potenciação, o fator da mutipicação chama-se base e o número de vezes que o fator se repete é representado peo expoente Por exempo: x 2 «2 2 Onde é a base e 2 é o expoente Lê-se: ao quadrado 2 vezes 2 x 2 x 2 8 «2 3 8 Onde 2 é a base e 3 é o expoente Lê-se: 2 ao cubo 3 vezes 3 x 3 x 3 x 3 81 «3 81 Onde 3 é a base e é o expoente Lê-se: 3 à ª potência vezes De maneira gera, podemos escrever: a a a a a n n vezes se n > 2 (número inteiro)

2 Aguns casos especiais da potenciação: a 1 a para quaquer a a 0 1 se a ¹ 0 a -n 1 a n se a ¹ 0 A U L A Aém dessas definições, convenciona-se ainda que: significa - (3) 2 - (3 3) - 9 e (- 3) 2 (- 3) (- 3) + 9 Portanto: ¹ (- 3) 2 Isso nos eva a concuir que, se a base é um número negativo e está eevada a um expoente positivo, é indispensáve o uso dos parênteses Caso os parênteses não sejam utiizados o resutado encontrado poderá ser incorreto Vejamos aguns exempos numéricos de apicação das propriedades vistas até aqui: (- 2) æ1 ³ ö è2 ø (½)³ 1 8 _ 1 () 8 Para cacuar o vaor de uma potência, quase sempre precisamos efetuar a mutipicação equivaente Assim, por exempo, para comparar duas ou mais potências é necessário conhecer antes os seus vaores Por exempo: As potências 3-2 e (-3) -2 são iguais ou diferentes? e (-3) -³ (-3) -³ 9 Portanto as duas potências são iguais e podemos escrever: 3-2 (- 3) -2 Qua é a maior 6-2 ou -6 2? ou (6 6) -36 Vimos que 6-2 resuta num número positivo e -6 2 resuta num número negativo Todo número positivo é maior que quaquer número negativo Logo: 6-2 > -6 2

3 A U L A ³ Qua é o número menor: ou? æ_ 1 ö æ_ 1 ö æ_ 1 ö è 2 ø è 2 ø æ_ 1 ö ³ æ_ 1 ö æ_ 1 ö æ_ 1 ö è 2 ø _ 1 8 _ 1 32 e Se as frações fossem positivas, a menor seria a que tem o maior denominador, portanto 1 32 æ_ 1 ³ Como as öfrações são negativas o resutado é ao contrário e teremos como è 2 ø è 2 ø resposta: > Sugestão: represente as frações obtidas na reta numérica Para efetuar operações com potências, também é necessário cacuar antes o vaor de cada potência Por exempo: : : 8 2 Propriedades da potenciação Vamos apresentar agora as propriedades operatórias, no caso especia das potências de bases iguais Nesses casos, podemos resover a mutipicação sem efetuar as potências e obteremos o resutado em forma de potência Mutipicação de potências de bases iguais 2 x porque 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 x x (-3) vezes 2 vezes Generaizando, para mutipicar potências de bases iguais, repetimos a base e somamos os expoentes a m a n a m+n

4 Divisão de potências de bases iguais : A U L A 7-3 : : Então, para dividir potências de bases iguais, repetimos a base e subtraímos os expoentes a m : a n a m - n Potenciação de potência (3 2 ) 3 (3 2 ) (3 2 ) (3 2 ) 3 2 x vezes (2 (-2) ) æ 1 ö è 2² ø Então, para eevar uma potência a um expoente, repetimos a base e mutipicamos os expoentes (a m ) n a m n Distributividade da potenciação em reação à mutipicação (2 x 3) 3 (2 x 3) (2 x 3) (2 x 3) ( x 7) 1 ( x 7)² 3 vezes 3 vezes 3 vezes 1 ² x 7² -2-2 x 7 Para eevar um produto a um expoente, eevamos cada fator ao mesmo expoente (a b) m a m b m

5 A U L A Distributividade da potenciação em reação à divisão (7 : 3)² æ7ö è3ø æ7ö è3ø 7 7 7² 3 3 3² 2 vezes 7² : 3² æö èø Para eevarmos um quociente (ou uma fração) a um expoente, eevamos o dividendo e o divisor (ou o numerador e o denominador) ao mesmo expoente (a : b) m m m a : b ou m æaö èbø a m b m Apicações Como já foi dito no início da aua, uma das maiores apicações das propriedades operatórias das potências de bases iguais está no cácuo agébrico Na Aua 62, efetuamos a adição e a subtração de expressões agébricas Vejamos nos exempos, a mutipicação e a divisão dessas expressões e verificaremos o uso constante das propriedades estudadas x 2 x 3 x x 10 y 2 (y 2 + y + 1) y 2 y 2 + y 2 y + y 2 1 y + y 3 + y 2 (- 2xy) 3 (- 2) 3 x 3 y 3-8x 3 y 3 (x 2 ) 3 x- x 6 x- x 7 - (2x + 3x ) x 3 (2x x 3 ) + (3x x 3 ) 2x 2 + 3x (xy) βxyγ x 2-1 y x y (x- ) - (x ) - x -1 y 2 β γ βγ x y -1 x-2 y-1x x -2 y y -1x6 y

6 As propriedades podem ser usadas em expressões numéricas como uma forma de simpificação dos cácuos Veja: A U L A ( 3 ) 2 : 16 6 : Exercício 1 Verifique se as sentenças são verdadeiras (V) ou fasas (F): Exercícios a) ( ) b) ( ) æ1ö ΦΙ èxø 1 c) ( ) x 2 x d) ( ) æ_ ö Exercício 2 ² Qua é a maior è- 1 ø æ_ ö ³ Φ Ι 2 Φ ou - 1 Ι 3 è ø? Exercício 3 Se 2 x, qua é o vaor de 2 1 +x? E qua o vaor de 2 3 -x? Exercício Efetue as operações nas seguintes expressões agébricas: a) x 3 (x + x 2 + x ) b) (7x - 8x ) : x c) (6x 3 + 3x 2 ) : (-3x) d) (x 2 + y) xy