Podemos utilizar o cálculo do determinante para nos auxiliar a encontrar a inversa de uma matriz, como veremos à seguir.

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1 O cácuo da inversa de uma matriz quadrada ou trianguar é importante para ajudar a soucionar uma série probemas, por exempo, a computação gráfica, na resoução de probemas de posicionamento de juntas articuadas e nas mesmas proposições agébricas já citadas no tópico de determinantes. Podemos utiizar o cácuo do determinante para nos auxiiar a encontrar a inversa de uma matriz, como veremos à seguir. Características das matrizes inversas Dada uma matriz quadrada A, se existir outra matriz B da mesma ordem que verifique: A B B A I ( I éamatrizidentidade identidade ). Dizemos que B é a matriz inversa de A e representamos por A -. Portanto: A A (A ) AI Agumas propriedades das matrizes inversas (A ) A ( (AB) B A (A inversa da mutipicação de duas matrizes inversíveis A e B mutipicação das inversas de A e B (A T ) (A ) T

2 Nem toda matriz quadrada tem inversa. Se existir a matriz inversa de A, dizemos que a matriz A é inversíve ou reguar ou não-singuar singuar. Caso contrário, dizemos que a matriz A é singuar. Podemos apicar a regra do cácuo do determinante de uma matriz (se det(a), então A é inversíve). Quando é que uma matriz A tem inversa? Uma matriz A de ordem mxn (m inhas e n counas de mesma quantidade) tem inversa quando seu determinante é diferente de zero ou também quando seu posto é m, ou seja, quando o posto desta matriz coincide com a quantidade de inhas da matriz quadrada A.

3 *** CÁLCULO DA MATRIZ INVRSA NO SCILAB *** No SciLab, temos duas maneiras diretas de encontrar a inversa de uma matriz quadrada:. Utiizando a função inv(matriz). x: inv(a) retorna o inverso da matriz A. evando a matriz origina por -. x: A^-. Outra maneira (indireta) pode ser feita pea função rref(), utiizada no método das matrizes escaonadas, estudado no tópico Sistemas de quações Lineares. Mais à frente veremos como apicar ta método na resoução das matrizes inversas. xercícios no SciLab: Dada as matrizes A e B: 5 A B a) Verifique, peo determinante, que as matriz são não-singuares (possuem inversa). b) ncontre a inversa das matrizes, peas formas vistas nos tópicos e deste side. c) Prove que: A A (A ) A I. Faça o mesmo para a matriz B (A ) A. Faça o mesmo para a matriz B (AB) B A (A T ) (A ) T. Faça o mesmo para a matriz B

4 Regra para cacuar a inversa de uma matriz quadrada peo método de Gauss- Jordan º: Posiciona-se as matrizes A e I ado a ado, de modo a formar uma matriz competa escaonada [ A I ] º: Apica-se, agora, Gauss. Se necessário, continuamos apicando Jordan. Ao fina, a porção da matriz, equivaente à matriz A deve gerar a matriz identidade (I) e a porção que antes era a matriz I será, então, a matriz inversa de A. Caso isso não tenha ocorrido, impica dizer que a matriz A é singuar e, consequentemente, não possui inversa. DICA: Se achar mais fáci, verifique primeiro o determinante da matriz A. Se det(a), então a matriz A é inversíve. xempo : Dada a matriz A: 5 A ncontre, se existir a inversa desta matriz. Resoução: Como a matriz A é não-singuar (det(a) -), prosseguimos o cácuo de sua inversa:

5 xempo do cacuo da inversa de uma matriz quadrada peo método de Gauss- Jordan º: Posiciona-se as matrizes A e I ado a ado, de modo a formar uma matriz competa escaonada [ A I ]: º: Apica-se, agora, Gauss: 5 5,67, > >,67, 4,4 >,67,,5, fim Gauss como ainda não zeramos todos os eementos acima dos pivôs, continuamos com Jordan:, 67 >,8,8,5, fim Jordan

6 xempo do cacuo da inversa de uma matriz quadrada peo método de Gauss- Jordan Notamos que a porção de, antes ocupada pea matriz A, gera a matriz identidade (I) e a porção que antes era a matriz I é, então, a matriz inversa de A: ntão:,8,5,8,,8, 8 A,5, Se quisermos comprovar, basta apicarmos as regras de matrizes inversas, vistas anteriormente.

7 xempo : Dada a matriz A: xempo : Dada a matriz A: A ncontre, se existir a inversa desta matriz. ncontre, se existir a inversa desta matriz. Resoução: Como a matriz A é não-singuar (det(a) -), prosseguimos o cácuo de sua inversa: º: Posiciona-se as matrizes A e I ado a ado, de modo a formar uma matriz competa escaonada [ A I ]: º: Apica-se, agora, Gauss: > > > >

8 xempo do cacuo da inversa de uma matriz quadrada peo método de Gauss- Jordan (continuação) Continuação do passo :,5,5,5,5 >,5,5,5,5,5,5,5 >,,67,,,67, >,67,67,67,,5,5,,67, fim Gauss,5,5 como ainda não zeramos todos os eementos acima dos pivôs, continuamos com Jordan:,5,5,,67,,5,5,5, 5, > >, 5,5,5 >

9 xempo do cacuo da inversa de uma matriz quadrada peo método de Gauss- Jordan,5, 5 fim,5,5 Jordan ntão: A,5, 5,5,5 Apicar as regras de matrizes inversas, vistas anteriormente, para comprovação. OBS: Para o cácuo da inversa de matrizes de ordem superior a x, o cácuo deverá ser feito peo SciLab, visto que o esforço agébrico é mais compexo de ser feito manuamente. Para encontrar, no SciLab, a inversa de quaquer matriz quadrada, basta utiizar a função inv(matriz), i ) A^- ou rref(), já vistas anteriormente. t Na mutipicação de A por A -, o SciLab poderá dar um vaor aproximado de ou, o que deveremos entender tratar-se da matriz identidade (I).

10 FIM DA PART 5 FAZR LISTA D XRCÍCIOS 5 (PRÓXIMO SLID) Utiizar o SciLab para conferir as respostas

11 Baseado nos itens da questão de da ista de exercícios 4, cacue a inversa das matrizes não-singuares. Baseado nas matrizes da questão da ista de exercícios 4, cacue a inversa das matrizes não-singuares Baseado na questão, utiize o SCILab para provar que: C C (C ) C I. (D ) D. (AC) C A (D T ) (D ) T.

12 UNIDAD I Introdução Matrizes FIM