Um Método para o Cálculo da Inversa de Matrizes Simétricas e Positivas Definidas em Bloco

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1 Proceeding Series of the Braziian Society of Appied and Computationa Mathematics, Vo 5, N 1, 2017 Trabaho apresentado no CNMAC, Gramado - RS, 2016 Proceeding Series of the Braziian Society of Computationa and Appied Mathematics Um Método para o Cácuo da Inversa de Matrizes Simétricas e Positivas Definidas em Boco Moisés Ceni 1 Departamento de Matemática e Desenho, CAp-UERJ, UERJ, Rio de Janeiro, RJ Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, FEN, UERJ, Rio de Janeiro, RJ Luiz Mariano Carvaho 2 Departamento de Matemática Apicada, IME, UERJ, Rio de Janeiro, RJ Michae Souza 3 Departamento de Estatística e Matemática Apicada, UFC, Ceará, CE Resumo Nosso objetivo é propor um novo agoritmo para o cácuo de inversas de matrizes simétricas e positivas definidas (SPD) em boco Em [1], os autores propõem um agoritmo baseado no processo de Gram-Schmidt, utiizando um produto interno induzido por uma matriz SPD, para ser usado como precondicionador para o Método de Gradientes Conjugados Aqui propomos uma generaização desse processo para matrizes SPD em boco, que também será utiizado, posteriormente, como precondicionador Paavras-chave Matriz SPD, Inversa Aproximada, Matriz em Boco, Precondicionador 1 Introdução Durante todo o texto, as matrizes são reais Dada uma matriz quadrada A R n n, o i, j-ésimo boco de A será denotado por A [i,j] Anaogamente, dada uma matriz boco couna b, o i-ésimo boco de b será denotado por b É natura ainda definir o vetor boco onde o i-ésimo boco é a identidade e T := [0 0 I n 0], Definição 11 Dados a matriz A R n n e os vetores bocos u, m n, e v, m n, dizemos que u e v, com u v, são A conjugados se u T Av = 0 (matriz nua de ordem n) Esta reação pode ser escrita como u T Av = δ uv P, onde δ uv é a função deta de Kronecker e P R n n Denote por a T a i-ésima inha boco de A No que se segue, A é uma matriz SPD 1 moisesceni@gmaicom 2 uizmc@imeuerjbr 3 souzamichae@gmaicom DOI: / SBMAC

2 Proceeding Series of the Braziian Society of Appied and Computationa Mathematics, Vo 5, N 1, Regras Gerais A matriz A m m é uma matriz em bocos e cada boco A [i,j] é n n, onde m = n k, k N Se conseguirmos obter uma coeção {z }, i = 1,, k, de vetores bocos A conjugados, onde cada vetor boco z é uma matriz m n, podemos formar a matriz Z, m m: Z = [z [1] z [2] z [k] ], de modo que Z T AZ = D, onde D é uma matriz m m diagona por bocos Se A e Z forem não singuares, segue que D é não singuar e obteremos A 1 = ZD 1 Z T O agoritmo a seguir constrói as matrizes Z e D Agoritmo 1 - Método da Inversa = e, 1 i k 2: for i = 1,, k do 3: for j = i,, k do 1: z (0) 4: 5: end for 6: if i = k then 7: vá para 13 8: end if 9: for j = i + 1,, k do 10: 11: end for 12: end for 13: z := z (i 1) P (i 1) j := z (i) [j] := z (i 1) [j] and P i := P (i 1) i, 1 i k { (i 1) (z ) T Az (i 1) [j] a T z(i 1) z (i 1) i j i = j (P (i 1) i ) 1 P (i 1) j P 1 0 n n 0 n n 0 n n P 2 0 n n 14: return Z = [z [1] z [2] z [k] ], and D = 0 n n 0 n n P k Lema 21 Se A R n n é SPD, então A é não singuar Demonstração Veja [4], Fact 324 DOI: / SBMAC

3 Proceeding Series of the Braziian Society of Appied and Computationa Mathematics, Vo 5, N 1, Lema 22 Se A R n n é SPD, então todas as submatrizes íderes principais e o compemento de Schur são matrizes SPD Demonstração Veja [4], Fact 327 Teorema 21 O Agoritmo 1 produz uma matriz D não singuar e uma matriz Z trianguar superior (por bocos), cujas entradas diagonais são a identidade e cujas counas são A conjugadas Demonstração A prova seguirá por indução: mostraremos que a matriz Z é trianguar com entradas diagonais iguais à identidade fazendo a indução sobre as counas de Z, ou seja, mostraremos que z só tem preenchimento não nuo até o i-ésimo boco, o qua é a identidade, com indução em i Juntamente com essa indução, chegaremos à concusão de que as counas z de Z são A conjugadas Finamente, demonstraremos que cada P i gerado é não singuar ETAPA 1 - Primeiro caso A primeira couna z [1] de Z nada mais é que I 0 z [1] = 0 Portanto, z [1] só tem preenchimento não nuo até o primeiro boco, o qua é a identidade Agora, peos Lemas 21 e 22, P 1 = A [1,1] é não singuar Segue ainda que z [1] A conjuga com ee mesmo ETAPA 2 Já provamos que vae o primeiro passo da indução Provaremos agora que os ( 1)-ésimos primeiros passos impicam no -ésimo passo Mas o que dizem os ( 1)-ésimos primeiros passos? São três informações: Se z {z [1],, z [ 1] }, então z só tem preenchimento não nuo até o i-ésimo boco, o qua é a identidade; {z [1],, z [ 1] } são A conjugados; P 1,, P 1 são não singuares Nosso intuito é concuir que: z [] só tem preenchimento não nuo até o -ésimo boco, o qua é a identidade; z [], A conjuga com z {z [1],, z [ 1] }; P é não singuar DOI: / SBMAC

4 Proceeding Series of the Braziian Society of Appied and Computationa Mathematics, Vo 5, N 1, ETAPA 3 - z [] só tem preenchimento não nuo até o -ésimo boco, o qua é a identidade Podemos escrever, no -ésimo passo do agoritmo: Por sua vez, e, portanto, z [] = z ( 1) [] z ( 2) [] z [] = z ( 3) [] = z ( 2) [] = z ( 3) [] Apicando este mesmo raciocínio, concuímos que: z [] = z (0) [] z [ 1] P 1 1 P ( 2) z [ 2] P 1 2 P ( 3), z [ 2] P 1 2 P ( 3) z [ 1] P 1 1 P ( 2) z [1] P1 1 P (0) z [2] P2 1 P (1) z [ 2] P 1 2 P ( 3) z [ 1] P 1 1 P ( 2) Agora, z (0) [] só tem preenchimento não nuo no -ésimo boco, que é a identidade Por outro ado, os ( 1) passos anteriores impicam que z só tem preenchimento não nuo até o i-ésimo boco, para i = 1,, 1 Segue que z [] = z ( 1) [] não tem preenchimento depois do -ésimo boco e é igua à identidade no -ésimo boco ETAPA 4 - z [], A conjuga com z {z [1],, z [ 1] } Seja z {z [1], z [2],, z [ 1] } Então, z T Az [] = z T A(z( 2) [] = z T Az( 2) [] z [ 1] P 1 1 P ( 2) Agora, se i = 1, então z T Az [ 1] = P 1 e portanto, z T Az [] = z T Az( 2) [] Por outro ado, se i 1, então z T Az [ 1] = 0 e ) z T Az [ 1]P 1 1 P ( 2) P ( 2) = 0 z T Az [] = z T Az( 2) [] = z T A(z( 3) [] z [ 2] P 1 2 P ( 3) = z T Az( 3) [] ) z T Az [ 2]P 1 2 P ( 3) Novamente, se i = 2, então z T Az [ 2] = P 2 e, assim z T Az [] = z T Az( 3) [] Se, por outro ado, i 2, z T Az [ 2] = 0 e teremos: P ( 3) = 0 z T Az [] = z T Az( 3) [] DOI: / SBMAC

5 Proceeding Series of the Braziian Society of Appied and Computationa Mathematics, Vo 5, N 1, Repetindo este mesmo argumento quantas vezes for necessário, chegaremos no útimo caso possíve, ou seja: z T Az [] = z T Az(0) [] P (0) = 0 ETAPA 5 - P é não singuar Seja B o ( n) ( n) boco íder principa de A Então, B é não singuar peo Lema 21 Se z {z [1], z [2],, z [] } então, pea etapa 3, z tem o i-ésimo boco igua à identidade e só possui bocos não nuos antes do i-ésimo boco, incusive este Logo, anua a T [j] para j > Reciprocamente, anua a couna a [j] de A para j > Portanto, z T [] Az [] é equivaente a: z T [] A Az [] z T [] B z [], onde z [] é a restrição de z [] aos primeiros bocos Pea etapa 4 e peos ( 1) passos anteriores, z [] A conjuga com z {z [1],, z [ 1] } e {z [1],, z [ 1] } são A conjugados Como Z = [ z [1] z [2] z [] ] é não singuar e B também é não singuar Segue que P Z T 0 P 2 0 B Z = D = 0 0 P tem posto competo Então P é não singuar Coroário 21 Sejam B i o boco íder principa (i n) (i n) de A e i = det(b i ) Vae a reação det(p i ) = i, onde 0 = 1, i = 1,, k i 1 Demonstração A reação Z T B Z = D nos diz que det(b ) = det( D) = det(p 1 ) det(p ), pois det( Z) = 1 Assim, det(p 1 ) = det(b 1 ) = 1 0 Agora, se det(p k ) = k, então k 1 k+1 = det(b k+1 ) = det(p 1 ) det(p k+1 ) = 1 2 k det(p k+1 ) = k det(p k+1 ) 0 1 k 1 Portanto, o resutado segue imediatamente DOI: / SBMAC

6 Proceeding Series of the Braziian Society of Appied and Computationa Mathematics, Vo 5, N 1, No artigo [1] é provado que, se impantarmos uma estrutura arbitrária de zeros na parte estritamente superior de Z ou eiminarmos os termos que tenham uma magnitude menor que um parâmetro previamente estabeecido, o Agoritmo 1 (boco escaar) não quebrará (isto é, P i 0) Para tanto é suficiente que A seja uma matriz H 4 Lembramos que quaquer matriz diagonamente dominante é uma matriz H Considere a matriz 2, 00 0, 40 0, 10 0, 00 A = 0, 40 1, 08 2, 00 0, 00 0, 10 2, 00 3, 96 0, 00, 0, 00 0, 00 0, 00 1, 00 e uma toerância para excusão de T o = 0, 06 para as entradas da parte estritamente superior de Z Apicando o Agoritmo 1 para o caso onde o boco tem ordem um (que coincide com o agoritmo proposto por [1]), há uma quebra em P 3, produzindo: 2, 00 0, 00 0, 00 0, 00 D = 0, 00 1, 00 0, 00 0, 00 0, 00 0, 00 0, 00 0, 00 0, 00 0, 00 0, 00 NaN Considere novamente a matriz A com uma toerância para excusão de T o = 0, 06 para as entradas da parte estritamente superior de Z Vamos apicar o Agoritmo 1 para o caso onde os bocos tenham ordem 2, ou seja, vamos repartir a matriz A em A[1,1] A A = [1,2], A [2,1] A [2,2] onde A [1,1] = 2, 00 0, 40, A 0, 40 1, 08 [1,2] = e A [2,2] = 0, 10 0, 00, A 2, 00 0, 00 [2,1] = 3, 96 0, 00 0, 00 1, 00 Neste caso, as matrizes produzidas peo Agoritmo 1 são: 2, , , , 0000 D = 0, , , , , , , , , , , , A é uma matriz H se à = ãij é uma matriz M, onde { aij i j, ã ij := a ii i = j 0, 10 2, 00, 0, 00 0, 00 DOI: / SBMAC

7 Proceeding Series of the Braziian Society of Appied and Computationa Mathematics, Vo 5, N 1, e 1, , , , 0000 Z = 0, , , , , , , , , , , , 0000 Repare que neste caso não houve quebra Essa diferença é justificada peo Coroário 21, pois quanto maior for a ordem do boco, menor é a quantidade de menores principais não nuos que são necessários para que o agoritmo funcione 3 Concusões O método proposto estende o resutado apresentado em [1] para matrizes SPD com uma estrutura em bocos A famíia de matrizes para a qua o Agoritmo 1 não quebra é maior do que a famíia de matrizes para a qua o agoritmo proposto em [1] funciona Agradecimentos O primeiro autor agradece à CAPES peo apoio ao projeto de pesquisa Agradecemos ainda a Univesidade do Estado do Rio de Janeiro e, em especia, ao Programa de Pós- Graduação em Engenharia Mecânica Agradecemos ainda aos revisores peo cuidadoso trabaho feito Referências [1] M Benzi, C D Meyer and M Tuma A Sparse Approximate Inverse Preconditioner for the Conjugate Gradiente Method, Soc Ind App Math, 17: , 1996 [2] M Benzi and M Tuma A Sparse Approximate Inverse Preconditioner for Nonsymmetric Linear Systems, Soc Ind App Math, 19: , 1998 [3] R A Horn and C R Johnson Matrix Anaysis, Cambridge University Press, New York, 2013 [4] I C F Ipsen Numerica Matrix Anaysis, Linear Systems an Least Squares, Soc Ind App Math, Phiadephia, 2009 [5] M J Tsatsomeros Principa Pivot Transforms: properties and appications, Lin Ag App, 307: , 1999 DOI: / SBMAC