5 Tudo que sobe, desce

Transcrição

1 A U A UL LA Tudo que sobe, desce Rio de Janeiro, temperatura atíssima, tumuto na praia, começa o corre-corre! Dizem que é um arrastão! A poícia chega e a correria se torna desordenada, quando aguém dá um tiro para cima... Essa é uma cena que, infeizmente, temos visto ocorrer diversas vezes, não só no Rio de Janeiro como em várias metrópoes do mundo. Agumas vezes aguém sai ferido com uma baa perdida, que, normamente, ninguém sabe de onde veio, nem se foi intenciona. Uma das causas mais conhecidas dessas baas perdidas são os tais tiros pra cima, quando aguém pega seu revóver, aponta para cima e dá um tiro. Mas, como diz o ditado: Tudo que sobe, desce! Não podemos saber a origem de todas as baas perdidas, mas podemos nos perguntar, em aguns casos especiais, qua pode ter sido sua origem. Podemos nos perguntar como os objetos jogados para cima, perto da superfície da Terra, retornam ao soo. Essa pergunta vem sendo feita há muito tempo, desde a Grécia antiga até os dias de hoje! Uma resposta satisfatória começou a ser dada por um físico chamado Gaieu Gaiei. Como vimos, na Aua 1, Gaieu criou condições, ou seja, criou uma experiência em que se pudesse verificar se um corpo mais pesado caía mais rápido do que um mais eve. Gaieu chegou à concusão de que, quando a resistência do ar infui pouco: Corpos diferentes sotos da mesma atura caem juntos e atingem o chão ao mesmo tempo. Isso a princípio, pode parecer um absurdo, pois como se diz por aí os corpos mais pesados caem mais rápido do que os mais eves. E mais ainda: na nossa experiência diária não vemos essa afirmativa de Gaieu acontecer. Aqui está um dos triunfos do método experimenta! Nem sempre podemos ver certos fenômenos em nossa experiência diária, pois ees só ocorrem em situações muito especiais. Criar uma experiência é na verdade criar condições para que um fenômeno ocorra! Fenômeno esse que nem sempre é fáci de observar. Lembre-se do Passo-a-passo da Aua 1.

2 Caindo! - A queda ivre Vamos começar a estudar de modo mais sistemático o movimento de queda de corpos perto da superfície da Terra. Um dos probemas encontrados ao se fazer esse tipo de estudo é a atmosfera. Como vimos em nossas experiências na seção com a mão na massa (Aua 1), a atmosfera infuencia o movimento dos corpos em queda, aterando seu movimento. Para controar esse probema com mais eficiência, eimina-se a atmosfera, ou peo menos torna-se desprezíve seu efeito sobre o movimento dos corpos. Para isso,usa-se uma bomba de sucção, que retira quase todos os gases presentes num recipiente, chegando, então, ao que chamamos de vácuo. Ao compararmos a queda de dois corpos, de massas diferentes, gostaríamos de fazer agumas medidas, como, por exempo, as distâncias percorridas em cada intervao de tempo. Para isso, fotografamos a queda de dois corpos com uma âmpada especia, chamada estroboscópica, que pisca em intervaos de tempo bem definidos (1/30 s), permitindo obter seqüências de fotos como as da Figura 2. A U L A Podemos ver nas fotos que as duas boas caem simutaneamente, ta como afirmou Gaieu. E, uma vez que caem juntas, podemos medir a distância por eas percorrida em cada intervao de tempo, e verificamos que essa distância é a mesma. Mas é preciso notar que a distância entre duas posições sucessivas vai aumentando. E, se eas percorrem, a cada intervao de tempo, distâncias cada vez maiores, significa que a veocidade está aumen- tando! Mas sabemos que, se a veocidade varia no tempo significa que existe uma aceeração. Uma forma de se medir a aceeração desses corpos é pea veoci- dade média em cada intervao de tempo. Com uma régua, medimos a distância entre duas posições consecutivas de uma das boas. Figura 2

3 A U L A Podemos então construir uma tabea com os dados obtidos: NÚMERO DO INTERVALO DESLOCAMENTO TABELA 1 VELOCIDADE MÉDIA VARIAÇÃO DA VELOCIDADE MÉDIA ACELERAÇÃO D x D v Dx x (cm) = (cm/s) Dv v (cm/s) = a (m/s /s 2 ) Dt 1 7, , ,6 3 9, ,3 4 10, ,6 11, ,3 6 13, ,9 7 14, ,6 8 1, ,6 9 16, , , , 11 18, ,6 ACELERAÇÃO MÉDIA 9,8 Na quarta couna está cacuada a variação da veocidade em cada intervao de tempo e ago surpreendente acontece: essa variação tem quase o mesmo vaor, podemos dizer que a variação da veocidade em cada intervao de tempo é constante, ogo, como vemos na quinta couna a aceeração é praticamente constante. a = v 2 - v 1 = v 3 - v 2 = v 4 - v 3 =... = g Þ CONSTANTE Se medirmos essa aceeração com bastante cuidado, e por várias vezes, teremos o vaor aproximado de 9,8 m/s 2. Isto significa que, independente da massa e desprezando a interferência da atmosfera, a veocidade dos corpos em queda, perto da superfície da Terra, aumenta de 9,8 m/s a cada segundo. Chamaremos de agora em diante essa aceeração especia de Aceeração da gravidade Þ g A aceeração da gravidade é uma das formas de se verificar que a Terra exerce, sobre os corpos, uma atração chamada atração gravitaciona (trataremos desse assunto agumas auas mais adiante). Como para os probemas que vamos abordar, não precisamos de medidas muito precisas, podemos aproximar a aceeração da gravidade para g = 10 m/s 2. Descendo - cinemática da queda ivre Chamaremos, a partir de agora, todo movimento retiíneo de descida, que ocorre nas proximidades da superfície da Terra, de queda ivre. Com as informações que já temos sobre o movimento de queda ivre, podemos concuir que é um Movimento Retiíneo Uniformemente Variado, pois sua veocidade varia sempre da mesma forma no tempo, ou seja, a aceera- ção é constante.

4 Tudo que aprendemos na aua passada serve para anaisarmos o movimento de um corpo em queda ivre. A função horária da posição será: 1 y = y 0 + v 0 t + 2 g t2 Onde, em vez de usarmos a etra x, para a posição, usamos a etra y para representar a atura, já que estamos trabahando com o movimento de subida e descida (vertica). É necessário dizer que não importa a etra usada na expressão matemática. O fundamenta é saber que grandeza física a etra está representando. E, neste caso, y representa uma posição no espaço! A função horária da veocidade é: v = v 0 + g t A U L A Com as equações horárias do movimento podemos saber a posição e a veocidade do objeto, em quaquer instante. E, com eas, somos capazes de prever aguns fenômenos. Passo-a-passo Um acidente comum na construção civi é o da queda ivre de objetos (tijoos, ferramentas) do ato de edifícios em construção. Sabemos que, por exempo, um tijoo tem uma aceeração g = 10 m/s 2. Vamos supor que ee caiu do segundo andar do prédio e, que cada andar tem aproximadamente 2, metros de atura. Vamos agora descobrir com que veocidade ee chega no soo. Como em todo probema de cinemática, precisamos, antes de quaquer coisa, definir o referencia utiizado para descrever o movimento. Uma das mehores maneiras para uma boa escoha de referencia é fazer um esboço da situação, coocando os eixos de coordenadas. Definine-se assim o sentido do que está caindo ou do que está subindo. Por exempo: Vamos medir a atura y a partir da posição inicia y 0 no segundo andar. y cresce à medida que o tijoo cai, isto é, o eixo y tem o sentido positivo, para baixo. Ou seja, definimos a origem (0) do sistema de coordenadas, a posição inicia y 0 = 0 (2º andar) e a posição fina ao chegar no soo y fina = m. 2 andar 0 1 andar 2, T rreo g = +10m/s2 y 0 v 0 = 0 y fina v =? Figura 3 É possíve definir o sentido positivo ou negativo, tanto para cima quanto para baixo. Escohemos o sentido dos eixos, em cada situação diferente, de modo que nos faciite a compreensão do que está ocorrendo. Sabemos, também, que iniciamente a veocidade do tijoo era zero (v 0 = 0).

5 A U L A Como vimos, nos movimentos retiíneos, o sina da veocidade pode ser positivo ou negativo; isso significa que o corpo está se movimentando para um ado ou para o outro em reação à origem do sistema de coordenadas. Com esses dados, podemos montar a função horária da posição do tijoo que caiu: y = y 0 + v 0 t gt = 0 + 0t t2 y = t 2 Essa função reaciona a atura do tijoo em cada instante de tempo. Com as informações que temos, podemos saber quanto tempo demora para que o tijoo chegue ao chão. Usando a função horária da posição e substituindo y por, temos: = t 2 t 2 = 1 t = 1 s O tijoo demora 1 segundo para atingir o soo. Esse tempo é, aproximadamente, o mesmo de reação de uma pessoa; ou seja, não daria tempo de avisar ninguém que estivesse embaixo! Qua será a veocidade do tijoo ao chegar ao soo? Podemos usar a sua função horária da veocidade. Sabemos qua é sua veocidade inicia e sua aceeração, portanto, podemos escrever: v = v 0 + gt = t v = 10t Sabemos também que o tijoo demorou 1 segundo para chegar ao soo, dessa forma, a veocidade no instante em que chega ao soo será v = 10 1 = 10 m/s Tudo que sobe, desce - O tiro para cima Com a experiência adquirida no Passo-a-passo da página anterior, vamos tentar resover o probema do tiro para cima. Vamos prever qua será o movimento da baa, sua posição e sua veocidade a cada instante. Temos de embrar que estamos y g = Ð10m/s2 fazendo um modeo, e que, estamos desprezando a y m x? v = 0 interferência da atmosfera sobre o movimento. v = 0 O que encontramos de diferente nesse caso é o fato de o objeto não estar sendo argado de uma certa atura; ao contrário, está sendo ançado para cima com uma veocidade v 0 = 200m/s inicia diferente de zero! Esse movimento é um MRUV, pois a aceeração, independentemente de o objeto estar subindo ou descendo, é cons- 0 h 0 = 0 tante e igua a g. Figura 4

6 Vamos primeiro fazer um esboço da situação, e definir o referencia e o sistema de coordenadas. Neste caso fica mais fáci adotar como positivo o sentido que vai de baixo para cima. Ao ser ançada, uma baa de revóver tem veocidade inicia de aproximadamente 200 m/s. Podemos definir que a posição inicia da baa é y 0 = 0, exatamente na boca do cano do revóver. Assim, a função horária da posição é: A U L A y = y 0 + v 0 t gt2 = t (-10) t2 y = 200 t - t 2 O que significa o sina negativo da aceeração g = - 10 m/s 2? Lembre-se de que, o eixo de coordenadas foi orientado positivamente para cima e a aceeração da gravidade sempre está dirigida para baixo independente da escoha do referencia. E o mais fundamenta é saber que, tendo a veocidade e a aceeração sinais contrários, a veocidade da baa diminui. Nesse caso a veocidade diminui de 10 m/s a cada segundo, enquanto está subindo. A atração gravitaciona age nos corpos sempre de cima para baixo, não importando o sentido escohido para os eixos de coordenadas! Podemos saber quanto tempo demora para que a baa desça novamente até sua posição inicia. Sabemos que a posição da baa, quando vota, é igua à posição inicia, ou seja: y inicia = y fina = 0 Assim, substituindo este vaor na função horária da posição, obtemos: 0 = 200 t - t 2 t t = 0 t = 40 s que é o tempo que a baa eva para subir e descer. Podemos saber, também, qua é a veocidade com que a baa vota ao soo, usando a função horária da veocidade: v = v 0 + gt v = t Já sabemos que a baa vota ao soo após 40 segundos. A veocidade com que a baa chega ao soo cacuada nesse instante será: v = = v = m/s Isso significa que a baa vota com a mesma veocidade com que partiu, mas no sentido contrário, ou seja, para baixo. Esse é o significado do sina negativo da veocidade. Podemos, ainda, saber qua é a atura máxima que a baa atinge. Sabemos que, antes que a baa vote, ea atinge uma atura máxima e, nesse instante, ea pára de subir e começa a descer. Isso significa que a veocidade muda de sina, de positivo para negativo e, necessariamente, ea passa peo vaor zero.

7 A U L A Mas isso é óbvio. Todo corpo que jogamos para cima, sobe, pára no ponto mais ato, e desce. Sabendo disso, votamos à função horária da veocidade e descobrimos quanto tempo demora para que a baa chegue no ponto mais ato, pois sabemos que a veocidade da baa naquee momento é zero. v = 0 Þ 0 = t ymax t ymax = 20 s Verificamos que a baa eva exatamente a metade do tempo tota para subir (20 s) e a outra metade para descer (20 s) totaizando os 40 s de subida e descida, cacuado no início do probema. Tendo o instante em que a baa chega no ponto mais ato, podemos, com a função horária da posição, saber quanto vae essa atura máxima y = 200 t - t 2 y max = (20) 2 y max = 2000 m Isto significa que a baa sobe 2 quiômetros antes de começar a cair. Com os cácuos feitos, podemos construir os gráficos da posição X tempo, veocidade X tempo e aceeração X tempo para compreender mehor a situação: y (m) v (m/s) Figura v (m/s2) Ð t (s) t (s) t (s) Ð200 Ð10 (a) Posição X tempo (b) veocidade X tempo (c) aceeração X tempo Tudo o que sobe, desce, e do jeito que subiu! Portanto, muito cuidado, pode ser sobre a sua cabeça! É preciso se embrar de que existe atmosfera e ea amortece o movimento da baa, diminuindo sua veocidade, mas ainda assim pode ferir; os corpos na superfície da Terra caem com aceeração constante de vaor g = 10 m/s 2, independente de sua massa e considerando desprezíve a resistência da atmosfera; esse movimento é chamado de queda ivre; é necessário fazer iniciamente um esboço dos probemas, definindo o seu referencia e a posição do sistema de coordenadas; é necessário deixar bastante caro qua é o sentido positivo e o sentido negativo do movimento, para não se atrapahar com os sinais da veocidade e da aceeração; é preciso construir as equações horárias da posição e veocidade do movimento de queda ivre; é possíve cacuar tempo de subida e descida de um projéti e sua veocidade de retorno; é possíve cacuar a atura máxima acançada por um projéti, sabendo que sua veocidade nesse ponto é zero.

8 Resumo de Cinemática Nas Auas 3, 4 e estudamos a Cinemática. Você deve ter aprendido os conceitos de referencia, sistema de coordenadas, posição, desocamento, veocidade e aceereção. Vimos até agora dois tipos de movimento em inha reta: A U L A Movimento Retiíneo Uniforme (MRU) 1. A posição varia em função do tempo, mantendo uma razão constante; por isso o movimento é chamado de uniforme ou seja, sua veocidade é constan- te e o gráfico que representa a posição em função do tempo é uma reta. 2. Existe uma grandeza: a veocidade que reaciona a variação da posição com o tempo 3. A grandeza veocidade é definida matematicamente como: variação da posição em um intervao de tempo v = = x f - x i intervao de tempo t f - t i 4. No MRU, a veocidade não varia, ea é constante. = D x. Por meio da função horária, é possíve fazer previsões: FUNÇÃO HORÁRIA DA FORMA MATEMÁTICA PODEM-SE PREVER posição x = x 0 + vt posições Movimento Retiíneo Uniformemente Variado (MRUV) 1. No MRUV, variam a posição e a veocidade. 2. A veocidade varia sempre na mesma razão; por isso o movimento é chamado de uniformemente variado e o gráfico que representa a veocidade em função do tempo, é uma reta. 3. Existe uma grandeza: a aceeração, que reaciona a variação da veocidade com o tempo. 4. A grandeza aceeração se define matematicamente como: variação da veocidade em um intervao de tempo a = = v f - v i intervao de tempo t f - t i. No MRUV, a aceeração não varia, ea é constante. = D v 6. Peas funções horárias, é possíve fazer previsões da posição e da veocidade em cada instante: FUNÇÃO HORÁRIA DA FORMA MATEMÁTICA PODE-SE PREVER POSIÇÃO x = x 0 + v 0 t at2 Posições VELOCIDADE v = v 0 + at Veocidades

9 A U L A Podemos representar o conjunto de informações sobre os movimentos, usando tabeas, gráficos e funções como formas equivaentes de representar um mesmo conjunto de dados. Por exempo, no MRU: t (s) x (m) Tabea x = x 0 + vt x = t 2 Função x (m) Gráfico 9 10 x = x 0 + vt t (s) Figura 6. Formas equivaentes de se representar um MRU. Passo-a-passo Usando a tabea acima, obtenha a função horária da posição. É possíve verificar que, em cada intervao de tempo, a distância x aumenta sempre com o mesmo vaor, ou seja: x 2 - x 1 = x 3 - x 2 = x 4 - x 3 =... = 4 m ou seja, a veocidade é constante: x 2 - x 1 = x 3 - x 2 = x 4 - x 3 t 2 - t 1 t 3 - t 2 t 4 - t 3 =... = 4 m/s = constante essa é a característica do Movimento Retiíneo Uniforme. Sua função horária é: x = x 0 + vt x = t Onde x 0 é a posição no instante t=0! Com essa equação você pode construir novamente a tabea e fazer o gráfico x X t.

10 Sempre que necessário use g = 10 m/s 2. Exercício 1. Na construção de um edifício, Nestor está evantando uma parede de tijoos no primeiro andar. Néson, que está no térreo, joga os tijoos um a um para Nestor. Quanto tempo demora para que um tijoo jogado por Néson chegue às mãos de Nestor com veocidade zero? Considere que Néson ança cada tijoo com uma veocidade inicia de aproximadamente 7,7 m/s e que cada andar tem aproximadamente 3 metros. A U L A Exercício 2. Sivio, um menino evado que mora no 100º andar de um edificio, faz uma brincadeira de mau-gosto. Ee deixa cair um ovo pea janea tentando atingir uma pessoa na caçada. Qua será a veocidade com que o ovo chega ao soo? (Ta como no exercício, anterior considere que cada andar tem aproximadamente 3 metros de atura.) Exercício 3. Um homem joga cara ou coroa com uma moeda, atirando-a para cima com uma veocidade aproximada de 10 m/s. A que atura ea chega e quanto tempo demora pra votar à sua mão? Exercício 4. Sívio, um criador de frangos, eu vários ivros sobre a queda dos corpos perto da superfície da Terra. Mas não ficou muito satisfeito e resoveu verificar se as afirmações dos ivros eram verdadeiras. Foi até o gainheiro, pegou uma gainha e um ovo, subiu até o tehado de sua casa e sotou o ovo e a gainha. Quem cairá primeiro, o ovo ou a gainha?