, um deslocamento segundo o eixo local l 2. , u l 2. . Para aplicar ou restringir estes deslocamentos aplica-se uma força segundo o eixo local l 1

Transcrição

1 Método dos desocamentos formuado matriciamente MATRIZ DE RIGIDEZ NO REFERENCIA OCA Introdução Na figura 4.1 representa-se uma arra com um nó i na sua extremidade esquerda e um nó na sua extremidade direita. Considere-se que se trata de uma arra de um pórtico idimensiona contínuo. O procedimento que se descreverá é, contudo, extensivo a arras de quaquer tipo de estrutura reticuada. A arra de pórtico idimensiona contínuo tem três graus de ierdade por nó, que por exempo, no nó i são constituídos por um desocamento segundo o eixo oca 1, u 1, um desocamento segundo o eixo oca, u, e uma rotação segundo o eixo oca, u. Para apicar ou restringir estes desocamentos apica-se uma força segundo o eixo oca 1, 1, uma força segundo o eixo oca,, e um momento segundo o eixo,,. O mesmo se passa para a extremidade em que actua desocamentos u 4 e u 5 segundo 1 e, respectivamente, e uma rotação u 6 segundo. No que se refere a forças generaizadas, nesta extremidade actua forças 4 e 5 segundo 1 e, respectivamente, e o momento 6 segundo. Cada couna da matriz de rigidez, no seu referencia oca, é otida iertando um dos graus de ierdade da arra, impondo um desocamento generaizado de vaor unitário a esse grau de ierdade, mantendo-se fixos os restantes graus de ierdade e otendo as forças necessárias, quer para produzir o desocamento generaizado unitário, quer para impedir os desocamentos generaizados dos restantes graus de ierdade. Essas forças constituem a couna da matriz de rigidez correspondente à ordem do grau de ierdade ierto. Assim, se o grau de ierdade número i for iertado determinar-se-á, segundo este procedimento, a couna com a variar de 1 a 6, dado existirem 6 graus de ierdade no caso da arra em anáise. Cada coeficiente representa a força necessária apicada segundo o grau de ierdade de ordem devido à apicação de um desocamento generaizado unitário segundo o grau de ierdade de ordem i, mantendo fixos os restantes graus de ierdade. Na figura 4.1a apresenta-se a arra genérica com as extremidades ocadas, isto é, com os seus graus de ierdade fixos (u i c/ i 1,..6) e representa-se as forças nodais equivaentes as acções que actuam nessa arra (cargas apicadas A, cargas distriuídas a e variação de temperatura t. Assim, se a arra for soicitada por acções que he induzem esforços, como seam por exempo, cargas pontuais no seu interior (ver figura 4.a), forças distriuídas no seu interior (ver figura 4.) e variação de temperatura (ver figura 4.c), então as forças i c/ i 1,..6 representarão as forças segundo os graus de ierdade u i c/ i 1,..6 equivaentes a essas acções na arra. Essas forças otêm-se por intermédio da determinação das reacções de encastramento devidas às acções que soicitam a arra e invertendo o sina dessas forças de reacção, por forma a oter-se as forças de acção equivaentes às soicitações que actuam ao ongo da arra.

2 Método dos desocamentos formuado matriciamente 4. u u u 5 u 6 1 u 1 i 4 u (a) 6 u u u () (c) 1 4 u (d) (e) 64 u (f) 65 u (g) 66 Figura Procedimento esquemático de determinação da matriz de rigidez.

3 Método dos desocamentos formuado matriciamente 4. a A 1 1 A A i i (a) 6 () 6 1 t i t 5 (c) Figura 4. - Forças nodais equivaentes a acções ao ongo da arra. Nas figuras 4.1 a 4.1g representa-se, esquematicamente a determinação das counas 1 a 6 da matriz de rigidez da arra, respectivamente. No procedimento representado nesta figura utzou-se o princípio de soreposição dos efeitos. Fazendo o equiírio de forças segundo a direcção dos graus de ierdade u i c/ i 1,..6 otém-se (ver figura 4.1): u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u (4.1) ou u1 u u u4 u 5 u6 (4.) ou ainda U (4.)

4 Método dos desocamentos formuado matriciamente 4.4 em que são as forças generaizadas nodais equivaentes no referencia oca da arra, é a matriz de rigidez da arra no seu referencia oca e U incui os desocamentos generaizados no referencia oca da arra. A reação (4.) pode ainda ser rescrita da seguinte forma: i i U U i (4.4) em que os índices i e referem grandezas associadas ao nó i e ao nó da arra. Assim, é uma matriz de dimensão x (no caso de arra de pórtico pano), representando as forças generaizadas que se apicam segundo os graus de ierdade do nó i, devidoa à imposição de desocamentos generaizados unitários segundo os graus de ierdade do nó i. Por sua vez i é uma matriz x representando as forças generaizadas que se apicam segundo os graus de ierdade do nó i, devidas à imposição de desocamentos generaizados unitários segundo os graus de ierdade do nó. Resutado do teorema da reciprocidade das forças sae-se que T, peo que a matriz é simétrica. i Nas secções seguintes descreve-se os procedimentos necessários à otenção da matriz de rigidez de arras de diversos tipos da estruturas reticuadas Barra de estrutura articuada idimensiona Na Figura 4. apresenta-se os procedimentos necessários à otenção da matriz de rigidez de uma arra de estrutura articuada idimensiona no referencia oca da arra. Dos resutados otidos na figura 4. verifica-se que as sumatrizes, apresentam a constituição seguinte e T i (4.5) T i (4.6)

5 Método dos desocamentos formuado matriciamente 4.5 u u 4 u1 u 1 i 11 u u u u Figura 4. - Procedimento esquemático de otenção da matriz de rigidez da arra de estrutura articuada idimensiona no referencia oca de eixos da arra Barra de estrutura reticuada contínua idimensiona Na Figura 4.4 apresenta-se os procedimentos necessários à otenção da matriz de rigidez de uma arra de estrutura reticuada contínua idimensiona no referencia oca da arra.

6 Método dos desocamentos formuado matriciamente 4.6 u u u 5 u 6 u 1 i u u u EI 4 1EI u EI 4 5 EI u u EI EI u EI EI 66 Figura Procedimento esquemático de otenção da matriz de rigidez da arra de estrutura reticuada contínua idimensiona no referencia oca de eixos da arra. Dos resutados otidos na Figura 4.4 verifica-se que as sumatrizes, apresentam a forma seguinte e T i

7 Método dos desocamentos formuado matriciamente 4.7 1EI 4EI i 1EI EI T 1EI 4EI (4.7) (4.8) (4.9) Barra de greha Na Figura 4.5 apresenta-se os procedimentos necessários à otenção da matriz de rigidez de uma arra de greha no referencia oca da arra. Dos resutados otidos na figura 4.5 T verifica-se que as sumatrizes, e i apresentam a constituição seguinte 1EI GI 1 4EI (4.1)