ECV ANÁLISE ESTRUTURAL II

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1 UNIVERSIDDE FEDERL DE SNT CTRIN CENTRO TECNOLÓGICO DEPRTMENTO DE ENGENHRI CIVIL ECV 5 - NÁLISE ESTRUTURL II Prof a Henriette Lebre La Rovere, Ph.D. Prof a Poiana Dias de Moraes, Dr Forianópois, fevereiro de 5

2 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes Índice. Estruturas hiperestáticas ineares Introdução Grau de hiperestaticidade Estruturas externamente hiperestáticas Estruturas internamente hiperestáticas Estruturas externa e internamente hiperestáticas Métodos de resoução de estruturas hiperestáticas Método das Forças (ou dos Esforços ou da Fexibiidade) Método dos desocamentos (ou das deformações ou da rigidez) Método de Cross...9. Método das forças Estruturas externamente hiperestáticas Estruturas uma vez hiperestáticas (g e ) Estruturas duas vezes hiperestáticas (g e ) Estruturas três vezes hiperestática (g e ) Estruturas internamente hiperestáticas Exempo - Treiça pana Exempo - Pórtico com tirante Exempo - Quadro bi-apoiado Exempo 4 - Pórtico bi-engastado Exempo 5 - Estrutura simétrica com carregamento simétrico Exercícios Tirando proveito da simetria Estruturas simétricas com carregamento simétrico Estruturas simétricas com carregamento anti-simétrico: Estrutura simétrica com carregamento quaquer Grehas Exempo - Estrutura simétrica carregamento quaquer Exempo - Greha simétrica com carregamento simétrico Exempo - Greha simétrica com carregamento anti-simétrico Variação de temperatura Deformações em estruturas isostáticas Exempo - Pórtico isostático submetido à variação de temperatura Exempo Pórtico hiperestático submetido à variação de temperatura Método dos desocamentos ou método da rigidez Introdução Exempo - Pórtico pano Vigas -Sistema de um grau de iberdade Exempo - Viga engastada-apoiada Vigas - Esforços de engastamento perfeito Vigas - Coeficientes de rigidez Vigas - Sistema de dois graus de iberdade Exempo - Viga contínua Exempo Treiças Sistema de um grau de iberdade Exempo arra de materia homogêneo e seção transversa constante submetida à carga axia

3 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes.6. Treiças Sistema de dois graus de iberdade Exempo - arra composta de duas hastes de materiais, comprimentos e seções diferentes submetida à carga axia Divisão em eementos Sistema de coordenadas Modeagem - gumas considerações sobre divisão da estrutura em eementos Sistema de coordenadas Graus de iberdade Tipos de estruturas reticuadas Deformações Exempos de estruturas reticuadas panas Exempos de estruturas reticuadas espaciais Eementos de estruturas reticuadas Resumo do Método dos Desocamentos para estruturas reticuadas divididas em eementos Matriz de rigidez de um eemento no sistema oca (estruturas reticuadas panas) Eemento de viga Eemento de treiça Eemento de pórtico pano Matriz de rotação transformação do sistema de coordenadas Matriz de rigidez de um eemento no sistema goba..... Vetor de esforços de engastamento perfeito no sistema goba..... Sistema de equações de equiírio para a estrutura não-restringida Montagem da matriz de rigidez da estrutura Exempo Pórtico pano Regra da correspondência Exempo Pórtico pano Exempo - Eementos de treiça Exempo Eementos de viga Exempo 4 - Viga contínua Exempo Numérico..... Sistema de equações de equiíbrio para a estrutura restringida Reações de apoio da estrutura Exempo numérico esforços nos eementos no sistema oca Eemento de Pórtico Pano Exempo numérico Exempo Treiça pana Exempo 4 Pórtico pano Processo de Cross Princípios do processo Momentos de engastamento perfeito Rigidez das barras e coeficientes de transmissão arra bi-engastada Viga engastada-rotuada Convenção de sinais Coeficientes de distribuição Processo de Cross para estruturas indesocáveis Processo de Cross para um nó apenas (um grau de iberdade-rotação) Processo de Cross para dois ou mais nós...68

4 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 4 Prof a Poiana Dias de Moraes Exercícios propostos Exporando a simetria Vigas contínuas simétricas Pórticos panos simétricos Momentos de engastamento perfeito para o caso de recaques Processo de Cross para estruturas desocáveis Exempo...9. ibiografia... 95

5 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes. ESTRUTURS HIPERESTÁTICS LINERES 5..INTRODUÇÃO Entende-se por estrutura a parte da construção responsáve pea estabiidade e pea resistência a ações externas. estrutura submetida a ações externas deve tanto apresentar segurança quanto à ruptura dos materiais utiizados como também quanto à estabiidade goba ou parcia de todos seus eementos; aém disso deve demonstrar bom desempenho estrutura, no que diz respeito a deformações e durabiidade, de acordo com o fim e vida úti para a qua foi projetada. Definido o sistema construtivo e o tipo de materia a ser utiizado, seja concreto armado ou protendido, madeira, aço, argamassa armada ou avenaria estrutura, a primeira fase de um projeto estrutura é a náise Estrutura. O objetivo gera da náise Estrutura pode ser descrito como: Dada uma estrutura, com características geométricas (geometria, dimensões) e mecânicas (vincuação, propriedades dos materiais) conhecidas, submetidas a certas ações, que podem ser tanto cargas (forças ou binários) como deformações impostas (recaques de apoio, deformações devido à variação de temperatura ou retração,...), Determinar os desocamentos (transações e/ou rotações) de todos os pontos da estrutura; os esforços internos decorrentes das deformações produzidas por estes desocamentos (esforço axia, cortante, de fexão e de torção) e determinar também as reações vincuares. primeira etapa da náise Estrutura consiste em estabeecer o modeo estrutura a ser adotado. s estruturas podem ser tratadas gobamente, ou divididas em diversos eementos. Com reação a suas dimensões, as estruturas podem ser cassificadas em reticuadas, aminares e tridimensionais. estrutura é reticuada quando uma dimensão predomina em reação às outras duas. São em gera denominadas barras, cujo eixo, que pode ser reto ou curvo, é muito mais ongo do que as dimensões da seção transversa. estrutura é aminar quando duas dimensões predominam em reação à terceira. Têm-se como exempo as chapas, as paredes, as pacas e as cascas, sendo sua espessura bem menor do que suas outras dimensões;

6 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 6 Prof a Poiana Dias de Moraes estrutura é tridimensiona quando nenhuma direção é predominante. É o caso de bocos de fundação, aguns tipos de barragens, etc... s estruturas podem ainda ser cassificadas em hipoestáticas, isostáticas (estaticamente determinadas) ou hiperestáticas (estaticamente indeterminadas). s estruturas são consideradas hipoestáticas quando seus movimentos de corporígido não são restringidas e eas não atingem portanto uma configuração de equiíbrio estáve. Eas são consideradas quando são restringidas a movimentos de corpo-rígido e o número de incógnitas a determinar é igua ao número de equações de equiíbrio estático. E finamente, eas são consideradas hiperestáticas quando são restringidas a movimentos de corpo-rígido e o número de incógnitas a determinar é maior do que o número de equações de equiíbrio estático. Será admitido nesta discipina que as estruturas são ineares, ou seja, apresentam pequenos desocamentos e deformações e são compostas de materia eástico-inear. maioria das estruturas utiizadas na prática é hiperestática ou estaticamente indeterminada. O grau de hiperestaticidade da estrutura será definido no próximo item,.. s estruturas hiperestáticas podem ser anaisadas através de dois métodos cássicos da náise Estrutura: Método das Forças e Método dos Desocamentos, ou ainda por um método aproximado conhecido como Processo de Cross; estes métodos serão descritos brevemente no item.. O objetivo gera desta discipina é capacitar o auno a anaisar estruturas reticuadas hiperestáticas, com ênfase em estruturas panas, determinando seus esforços internos e desocamentos generaizados. Serão apresentados nesta apostia os três métodos de resoução de estruturas hiperestáticas, sendo o Método das Forças apresentado no Capítuo, o Método dos Desocamentos no Capítuo e o Processo de Cross no Capítuo 4. Como objetivo específico, pretende-se introduzir o auno na utiização de programas computacionais para náise Estrutura, através do uso do Programa Educaciona NEST.

7 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes..GRU DE HIPERESTTICIDDE 7 O grau de hipertestaticidade de uma estrutura pode ser externo ou interno. O grau de hiperestaticidade externo (g e ) é dado por r e nr, (.) g e sendo r o número de reações, e o número de equações da estática e nr o número de equações provenientes de rótuas. Este útimo é expresso por nr b, (.) sendo b igua ao número de barras igas à rótua. O grau de hiperestaticidade interno (g i ) é igua ao número de esforços internos necessários ao traçado de diagramas, conhecidas as reações.... Estruturas externamente hiperestáticas g g e e g e 6 g e r + b n g e g e 5... Estruturas internamente hiperestáticas g i g i r + b n g i g i 6

8 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes 8... Estruturas externa e internamente hiperestáticas g g g e + g i 4 + ( ) 4 g g g e + g i ( ) 9..MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE ESTRUTURS HIPERESTÁTICS..4. Método das Forças (ou dos Esforços ou da Fexibiidade) Incógnitas: forças Equações: compatibiidade de desocamentos * Processo: iberam-se os víncuos excedentes ou hiperestáticos Sistema de equações (matriciamente): matriz de fexibiidade da estrutura Obs: Métodos dos momentos caso particuar, vigas contínuas * Desocamentos: podem ser obtidos por: Método de Integração direta; Método de Mohr; Teorema de Castigiano; Integração Princípio dos Trabahos Virtuais (PTV); Tabeas de Kurt-eyer Tabeas; Obs: Os dois útimos métodos (PTV e Tabeas) serão os mais utiizados...5. Método dos desocamentos (ou das deformações ou da rigidez) Incógnitas: desocamentos (dos nós, igações entre barras) Equações: equiíbrio de forças em torno dos nós Processo: fixar todos os desocamentos dos nós possíveis (graus de iberdade) Sistema de Equações (matriciamente) Matriz de rigidez da estrutura.

9 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes Obs: Método mais adequado para impementação computaciona, sendo o mais utiizado atuamente Método de Cross É um método aproximado, baseado no Método dos Desocamentos.

10 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes. MÉTODO DS FORÇS.4.ESTRUTURS EXTERNMENTE HIPERESTÁTICS... Estruturas uma vez hiperestáticas (g e ) Seja uma viga engastada-apoiada como mostrado na Figura -. Esta viga apresenta rigidez à fexão igua a EI e grau de hiperestaticidade externo (g e ) igua a. Para determinar os esforços internos desta estrutura peo Método das Forças, é necessário determinar o seu sistema principa. determinação deste sistema consiste na substituição das vincuações excedentes por suas respectivas forças reativas de ta modo que as condições de compatibiidade de desocamentos sejam respeitadas. q Figura -: Viga engastada-apoiada Figura - apresenta dois sistemas principais possíveis para a viga engastadaapoiada mostrada na Figura -. condição de compatibiidade para o sistema principa da Figura -a é o desocamento vertica nuo em, enquanto que para o sistema principa da Figura -b a rotação no ponto que deve ser nua. q M q R (a) (b) Figura -: Sistemas principais com os respectivos hiperestáticos Supondo-se que a estrutura esteja sujeita a pequenas deformações, pode-se determinar o vaor dos hiperestáticos pea superposição dos efeitos do carregamento externo e do hiperestático em questão (EER e JOHNSTON 98; POPOV 978; TIMOSHENKO 967). dotando-se o sistema principa da Figura -a, sabe-se que o desocamento produzido por uma carga uniformemente distribuída em uma viga engastada (Figura -b) é de

11 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes 4 q (.) C +, 8EI e que o desocamento produzido na mesma estrutura por uma carga concentrada R é de R R. EI (.) q (a) q c (b) Figura -: Superposição dos efeitos (c) R R Sabendo-se que o desocamento vertica no ponto é nuo, têm-se C R +, (.) 4 q R (.4), 8EI EI R 8 q (.5). Conhecida a reação em, em seguida pode-se determinar os esforços internos na estrutura, utiizando a viga isostática mostrada na Figura -4. q q 8 Figura -4: Sistema principa com o vaor do hiperestático determinado fim de formaizar o Método das Forças para o sistema uma vez indeterminado da Figura -, adota-se o sistema principa da Figura -a. picando-se um carregamento unitário no ponto, este se desocará de δ (Figura -5). Portanto, apicando-se uma força R, obter-se-á um desocamento igua a (R. δ ). δ Figura -5: Desocamento produzido por uma força unitária

12 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes distribuída C Chamando-se de δ o desocamento em provocado pea carga uniformemente C, e chamando de concentrada unitária (Figura -5) tem-se δ R o desocamento em provocado pea carga C R δ + R δ. (.6) Logo R δ. δ C R (.7) Neste curso, será adotada a convenção proposta por SUSSEKIND, sendo os hiperestáticos denominados de R, R, R ou X, X, X... (incógnitas do probema) e os desocamentos generaizados de δ ij. O índice i indica o oca onde ocorre o desocamento generaizado e o índice j indica a causa deste desocamento. Os desocamentos generaizados provocados peo carregamento externo apresentarão o índice j igua a zero ( δ i). Portanto, para o exempo da Figura -a, o desocamento na direção do hiperestático X provocado peo carregamento externo é expresso por δ e o desocamento na direção do hiperestático X provocado pea força unitária é expresso por δ. q X q δ δ Sistema principa e hiperestático () (I) Figura -6: Decomposição dos efeitos das cargas e hiperestáticos sobre a viga O desocamento no ponto na direção do hiperestático é nuo, portanto a condição de compatibiidade de desocamentos é δ + X δ. (.8) Logo δ X. δ 4 q δ e 8EI No exempo da Figura -a (.9) (.)

13 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes δ. EI X X Substituindo os vaores na equação acima, têm-se 4 q 8EI, EI q. 8 (.) (.) (.) Outro sistema principa possíve seria o da Figura -b, na qua o hiperestático X representa o momento no engaste. X q Figura -7: Sistema principa e hiperestático Sabe-se que a rotação no ponto da viga engastada-apoiada (Figura -) é nua. Portanto, a soma da rotação causada pea carga distribuída com a rotação causada peo hiperestático X deve ser nua (Figura -8) ( δ, ou seja, θ ). X q q () δ + X δ (a) (b) (c) Figura -8: Superposição dos efeitos do carregamento externo e do hiperestático (I) Utiizando a nomencatura proposta por SUSSEKIND e supondo que δ é positivo no sentido de X, obtém-se de tabeas que a rotação em (ponto ) produzida por uma carga distribuída (Figura -8b) é q (.4) δ 4EI e a rotação em (ponto ) produzida peo momento unitário apicado em (ponto ) é

14 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes δ +. EI 4 (.5) Utiizando-se a condição de compatibiidade de rotação, têm-se δ + X δ, (.6) q (.7) + X, 4EI EI q (.8) X, 8 sendo X o momento reativo em e o seu sina positivo indica que o sentido arbitrado está correto. Para serem determinados os esforços internos da estrutura, emprega-se o sistema principa utiizado H q 8 DEC 5 q 8 q 8 DMF V q M max V 8 Cácuo das reações q V q q q q 8 8 q V q q q 8 q 8 8 Cácuo do momento máximo O momento é máximo quando o esforço cortante é nuo. V q N x q 8 Tomando-se um segmento de viga acima e efetuando-se o equiíbrio de forças e momentos, têm-se F, V qx q, x q M max q, M + max q 8

15 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes Exempo - Pórtico pano Traçar os diagramas de esforços do pórtico pano mostrado na Figura kn C EI D m EI EI 5m Figura -9: Pórtico uma vez hiperestático Para determinar os diagramas de esforços do pórtico pano iustrado pea Figura -9 é necessário primeiramente determinar as suas reações. Como o pórtico é hiperestático, utiizar-se-á o Método das Forças para a determinação das reações redundantes. Para a apicação do Método das Forças, supõem-se que o materia segue a ei de Hooke e que as condições são tais que os pequenos desocamentos devidos à deformação da estrutura não afetam a ação das forças exteriores e são desprezíveis no cácuo das tensões. Com estas duas restrições, os desocamentos de um sistema eástico são funções ineares das cargas exteriores. Se as cargas crescem numa certa proporção, todos os desocamentos crescem na mesma proporção (TIMOSHENKO 967; POPOV 978; EER e JOHNSTON 98). Para resover o pórtico da Figura -9 peo Método das Forças, substitui-se o víncuo redundante por sua respectiva força reativa, tornando a estrutura isostática como o mostrado na Figura -b. 5 kn C EI D 5 kn m EI EI m X 5m 5m (a) (b) Figura -: Pórtico com a sua estrutura principa e o seu hiperestático

16 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 6 Prof a Poiana Dias de Moraes Da Figura -a, sabe-se que o desocamento horizonta do ponto no qua esta sendo apicada a força X é nuo (δ ). Como o materia é eástico e a estrutura esta submetida a pequenas deformações, pode ser usada a superposição dos efeitos devidos aos carregamentos. Portanto o desocamento horizonta no ponto (onde está sendo apicado o hiperestático) provocado peo carregamento externo mais o desocamento horizonta no ponto provocado peo hiperestático X deve ser nuo para que a condição de compatibiidade de desocamentos no ponto seja obedecida. δ δ + X δ (.9) 5 kn (a) δ Figura -: Desocamentos provocas na estrutura peo carregamento externo e por uma carga unitária. (b) δ Para determinar o vaor do hiperestático X é preciso, primeiramente, determinar os desocamentos generaizados δ e δ. Estes desocamentos podem ser encontrados através do Princípio dos Trabahos Virtuais (TIMOSHENKO, 967; POPOV, 978; SUSSEKIND, 994). Segundo o teorema do Princípio dos Trabahos Virtuais apicados aos corpos eásticos, o trabaho virtua das forças externas é igua ao trabaho virtua das forças internas para quaisquer desocamentos virtuais compatíveis com os víncuos da estrutura. δ W δ (.) e W ei escoha do estado de carregamento deve ser ta que a carga virtua P associada ao desocamento δ (que se deseja cacuar) forneça um trabaho virtua de forças externas igua a P δ. (.) Em uma estrutura, primeiramente apica-se uma força imaginária ou virtua P na direção que se deseja cacuar os desocamentos. força P causa esforços internos virtuais de fexão ( M ), tração ou compressão ( N ), de cisahamento (V ) e de torção (T ) através do corpo.

17 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 7 Prof a Poiana Dias de Moraes Em seguida, com a força virtua atuando sobre a estrutura, apicam-se as forças reais ou induzem-se as deformações específicas. Estas deformações podem ser provocadas peo carregamento, pea variação de temperatura, por recaques dos apoios ou modificações impostas na montagem. O trabaho externo reaizado pea força virtua P, movendo-se de δ na direção dessa força é igua ao trabaho tota reaizado nos eementos internos peas forças virtuais ( M, N,V e T ). O trabaho reaizado pea força virtua é dado pea deformação de todos os eementos dx ao ongo da estrutura. Compreende-se por deformação as deformações devidas à fexão, ao esforço norma ao cisahamento e à torção. W Mdϕ + N + Qdγ + Tdθ int, (.) sendo dϕ as rotações devidas ao carregamento rea, os aongamentos ou encurtamentos devidos ao carregamento rea, γ as deformações anguares e θ as deformações devidas às torções. M N V T P δ M dx + N dx V dx T dx EI + E χ + G, GJ t (.) onde M, N,V e T são os esforços produzidos pea carga virtua; M, N, V e T são os esforços produzidos peo carregamento rea; E é o móduo de easticidade ongitudina, G é o móduo de easticidade transversa, I é o momento de inércia da seção transversa em reação ao seu eixo que passa peo seu baricentro; é a área da seção transversa e J t é momento de inércia à torção. Na prática, a contribuição de agumas parceas de deformação pode ser desprezada em reação às outras, dependendo da sua importância reativa. deformação devido ao cisahamento pode ser negigenciada para a maioria de vigas e piares normamente utiizados na construção civi, porém esta parcea de deformação é importante para estruturas em madeira, estruturas com vãos curtos, em estruturas com cargas eevadas. parcea de deformação axia pode ser desprezada em peças que não trabahem fundamentamente com esforço norma. Neste exempo somente serão conservadas as deformações reativas à fexão. Portanto

18 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes MM P δ dx. EI 8 (.4) Efetuando-se a integração das deformações ao ongo das três barras do pórtico da Figura - e considerando a força virtua igua a, tem-se MM MM MM δ dx + dx + dx. E I E I E I (.5) Para a determinação do desocamento generaizado δ, têm-se os estados de deformação e de carregamento mostrados na Figura -. Visto que a soução dessas integrais são encontradas em tabeas como propõe SUSSEKIND (994). 5 Estado de deformação REL Estado de carregamento VIRTUL 5 P 5 M Figura -: Estados de deformação e de carregamento para o cácuo de δ M s reações e os esforços soicitantes mostrados para os estados de deformação e de carregamento (Figura -) são determinados utiizando-se as equações de equiíbrio de estática, como estudado na discipina ECV 59 náise estrutura I. pós a determinação dos momentos nas barras efetua-se a combinação, barra a barra, desses esforços a fim de se determinar o vaor tabeado das integrais da equação acima (Tabea -).

19 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes Tabea -: Combinação dos diagramas de momentos fetores 9 5 arra arra arra 5 L 44 m MMdx MM MMdx MM L M Mdx Como a rigidez à fexão é constante ao ongo de toda a estrutura, pode-se escrever ( kn) MMdx + MMdx + EI δ MMdx. (.6) Das combinações mostradas na Tabea -, obtêm-se: (.7) EI( kn) δ ( m)( 5kN m)( kn m) + ( 5 m)( 5kN m)( kn m). EI( kn) δ 45 kn m 45kN m. (.8) 575 (.9) δ kn m EI O cácuo do desocamento horizonta em devido à carga unitária na direção do hiperestático X (δ )é efetuado a partir dos estados de deformação e de carregamento mostrados na Figura -. s reações e os esforços soicitantes mostrados para os estados de deformação e de carregamento (Figura -) são determinados utiizando-se as equações de equiíbrio de estática. pós a determinação dos momentos fetores nas barras, efetua-se a combinação, barra a barra, desses esforços a fim de determinar o vaor tabeado das integrais da equação acima (Tabea -). ( kn) MMdx + MMdx + EI δ MMdx. (.)

20 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes Estado de deformação Estado de carregamento REL VIRTUL P M M Figura -: Estados de deformação e de carregamento para o cácuo de δ Tabea -: Combinação dos diagramas de momentos fetores para o cácuo de δ arra arra arra MMdx MM - MMdx MM MMdx MM Das combinações mostradas na Tabea -, obtêm-se: (.) EI ( kn) δ ( )( )( ) + ( 5 )( )( ) + ( )( )( ). EI( kn) δ 9kN m + 45kN m + 9kN m. (.) 6 (.) δ kn m EI Substituindo os desocamentos generaizados δ e δ compatibiidade, têm-se na equação de

21 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes (.4) kn m + X kn m, EI EI 575 (.5) X 5, 6 X 5 kn. (.6) Para a determinação do desocamento generaizado δ, não é necessário traçar novamente o diagrama de momento fetor, basta fazer MI MI δ dx, EI barras (.7) sendo M I o diagrama dos momentos fetores devido à carga unitária na direção do hiperestático X. Para a determinação do desocamento generaizado δ, tem-se MIM δ dx, EI barras sendo M o diagrama dos momentos fetores devido ao carregamento externo. Portanto o vaor dos desocamentos generaizados é dado por MiM j δ ij dx. EI barras (.8) (.9) pós o vaor do hiperestático X ter sido determinado, as reações e os esforços internos no pórtico isostático são cacuados utiizando-se as equações de equiíbrio da estática. 5 H5 5 V 5m m V FX, H 5kN FY V V M 5 m V 5 kn m 5 kn V kn ( ) m V Figura -4: Reações de apoio do pórtico pano pós a determinação dos esforços internos, são traçados os seus respectivos diagramas como mostrado na Figura -5.

22 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes DMF(kN*m) DEN (kn) DEC (kn) + +5 (a) Diagrama de esforço norma (b) Diagrama de esforço cortante (b) Diagrama de momento fetor Figura -5: Diagrama de esforços do pórtico pano... Exempo - Pórtico pano Determinar os diagramas de esforços do pórtico pano mostrado na Figura -6, cujos eementos estruturais apresentam uma seção retanguar constante de cm 4 cm e 7 kn móduo de easticidade de. No cácuo dos desocamentos generaizados, m considerar as deformações devidas à fexão e ao esforço norma. m 4 kn m 4m 6m Figura -6: Pórtico pano Para a determinação do diagrama de esforços do pórtico hiperestático mostrado na Figura -6, primeiramente as reações de apoio devem ser cacuadas. Utiizando o Método das Forças para isto, tem-se que determinar iniciamente o sistema principa a ser utiizado (estrutura isostática mais o carregamento externo) (Figura -7)

23 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes 4 kn X Figura -7: Sistema principa e hiperestático do pórtico pano da Figura -6 Sabe-se que, para estruturas eásticas submetidas à pequenas deformações, o desocamento tota da estrutura pode ser determinado pea soma dos desocamentos de cada uma das ações. Portanto, os desocamentos do pórtico isostático da mostrado na Figura -7 pode ser determinado como sendo a soma dos efeitos mostrados na Figura -8, sendo δ o desocamento na direção do hiperestático X devido ao carregamento e δ o desocamento na direção do hiperestático X devido à carga unitária na direção do hiperestático X. 4 kn 4 kn + X. X Figura -8: Superposição de efeitos Da Figura -6, sabe-se que o desocamento em é nuo (δ ), resutando na equação de compatibiidade de desocamentos δ + X δ. (.4) Neste exempo serão consideradas no cácuo dos desocamentos generaizados δ ij as contribuições do esforço norma e do momento fetor. Portanto MiM j NiN j δ ij dx + dx EI, E (.4)

24 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes sendo E o móduo de easticidade do materia; a seção transversa das barras e I o momento de inércia da seção transversa. 4 O momento de inércia da seção retanguar da barra é (, m) (,4 m) 4 b h I,67m. (.4) área da seção transversa é (, m) (,4 m),8 m b h. (.4) e 4 E 6 kn m,. (.44) 4 EI, kn m. (.45) O cácuo dos desocamentos generaizados é reaizado a partir dos diagramas dos esforços normais e fetores da situação (devido ao carregamento externo) e da situação I (devido ao hiperestático X ). Os diagramas dos esforços N e M são mostrados na Figura -9 e os diagramas N e M são mostrados na Figura -. 4 kn H N - Figura -9: Diagramas N, M devido ao carregamento M s reações e os esforços internos mostrados na Figura -9 e na Figura - foram cacuados a partir do pórtico isostático utiizando unicamente as equações de equiíbrio da estática.

25 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes 6m 4m m +/ / N M / Figura -: Diagramas N, M devido a carga unitária na direção -/ O cácuo do desocamento generaizado δ será reaizado pea equação NN MM δ dx dx E +, EI sendo N N e M M (Figura -). (.46) Tabea - mostra a combinação dos diagramas de esforços normais Ne N. Tabea -: Combinação dos esforços N e N para o cácuo de δ arra arra arra Combinação nua 4m NNdx N N NNdx NN Tabea -4 mostra a combinação dos diagramas de esforços normais M e M.

26 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes 6 Tabea -4: Combinação dos esforços M e M para o cácuo de δ arra arra arra Combinação nua N N dx N N Combinação nua NN MM δ dx dx E +, EI (.47) δ, (.48) E EI δ (,8 ) (4,94 ) 4,86 ( m), (.49) 4 4 6, O cácuo do desocamento generaizado δ será reaizado utiizando a equação NN MM δ dx dx E +. EI (Figura -). (.5) Tabea -5 mostra a combinação dos diagramas de esforços normais N e N cujo vaor da contribuição é dado por N N 64 dx ( 4m) ( 6m)( )( ) ( 6m) E E + +. E Tabea -5: Combinação dos esforços N e N para o cácuo de δ arra arra arra NNdx N N NNdx NN NNdx NN (.5) Tabea -6 mostra a combinação dos diagramas de momentos fetores M e M, sendo o vaor da integra dos momentos na barra é dada por

27 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes M M dx 6 ( 6 m) {[ 4 ( 4 + 6) + 6 ( 6 + 4) ]} 56 e a contribuição tota devido ao momento fetor é dada por ( 4m) ( )( ) ( 6 ) ( )( ) MM m dx EI EI MM dx EI EI EI, 7 (.5) (.5) (.54) N N M M (.55) δ dx dx E +, EI δ E EI 9 6,, (.56) δ,44 + 5, 5,6. (.57) 4 Tabea -6: Combinação dos esforços M e M para o cácuo de δ arra arra arra m - MMdx M M M M dx - - 6m M 6 M 6 6m ( M + M ) + ( M + M ) M M dx MM Substituindo os desocamentos generaizados δ e δ na equação de compatibiidade, têm-se (.58) kn m + X kn m, EI EI 4 ( 4,86 ) (.59) X, 4 5,6 X +,67kN. reação hiperestática é positiva (.6) pós a determinação da reação hiperestática, determinam-se as reações do pórtico isostático (Figura -7) utiizando as reações de equiíbrio da estática cujos vaores são mostrados na Figura -.

28 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes 4 kn 4m m m 6m H 6V V V,67 kn 4,67, kn 8,8 kn 8,67,67 8,8, Figura -: Reações no do pórtico mostrado na Figura -6 Conhecendo-se as reações é possíve determinar os esforços internos e traçar os seus gráficos respectivos (Figura -). Os esforços internos podem ser determinados peo princípio das superposição dos esforços segundo as expressões mostradas na Figura ,8 - -, - XN -, ,67 -, +8,8 N N + V X V (kn) ,7-4,7 +4,65 +,67 V + M M + X M (a) Diagrama de esforço norma (b) Diagrama de esforço cortante (c) Diagrama de momento fetor Figura -: Diagrrama de esforços internos do pórtico pano da Figura -6 -, -, Neste exempo, se o esforço axia fosse desprezado, a diferença no resutado da reação hiperestática seria,% (o que é muito pequeno). Como exercício didático, deverá ser recacuado os hiperestáticos considerando somente a contribuição dos momentos fetores.

29 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes... Estruturas duas vezes hiperestáticas (g e ) Exempo - Viga engastada com dois apoios Figura - apresenta um exempo de estrutura duas vezes hiperestática. O grau de hiperestaticidade é determinado segundo o item. Esta estrutura apresenta cinco reações externas: reações verticais, reação horizonta e um momento (Figura -4) q C Figura -: Viga engastada com dois apoios g e O grau de hiperestaticidade é determinado pea expressão r e, (.6) sendo r o número de reações e e o número de equações da estática. Portanto o grau de hiperestaticidade da viga mostrada na Figura - é g e 5 (.6) como foi afirmado anteriormente. M q H L L C C R R R R C R Figura -4: Reações da viga R C viga mostrada na Figura - apresenta diversos sistemas principais possíveis como iustra a Figura -5.

30 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes (a) δ δ C (b) M θ δ C (c) θ δ C (d) θ E D θ θ ou θ Figura -5: Sistemas principais possíveis da viga mostrada na Figura - O sistema principa mostrado na Figura -5d costuma ser conveniente, especiamente quando o carregamento ou a rigidez são diferentes nos dois vãos. Este sistema apresenta condições de compatibiidade de rotação simiar ao Método dos Três Momentos. O sistema principa mostrado na Figura -5a apresenta a visuaização mais fáci dos efeitos do carregamento e dos hiperestáticos (Figura -6) q re X X ) q ) ) δ δ δ X vezes δ Figura -6: Deformação do carregamento e dos hiperestáticos X vezes s condições de compatibiidade de desocamentos fornecem um sistema de duas equações e duas incógnitas: δ δ + X δ + X δ, (.6) δ δ + X δ + X δ. (.64) O sistema de equações pode ser reescrito como

31 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes δ X + δ X δ. δ X + δ X δ que pode ser reescrito sob a forma matricia: (.65) δ δ δ δ X δ. ou X δ δ (.66) δ X, (.67) onde δ é a matriz de fexibiidade, X é o vetor de esforços ou forças (incógnitas) e δ é o vetor de desocamento devido à ação do carregamento. Para se obter o vetor de incógnitas é necessário inverter a matriz de fexibiidade da estrutura: X δ, (.68) δ sendo δ K a matriz de rigidez da estrutura. Em gera, para vigas contínuas, é mais conveniente adotar o sistema principa mostrado na Figura -5iv, conforme será visto no próximo exempo. Os coeficientes δ ij podem ser obtidos por diversos métodos, neste curso será usado o Princípio dos Trabahos Virtuais (PTV) Exempo - Viga contínua com três vãos Seja a viga contínua com três vãos, com dois graus de hiperestaticidade e rigidez à fexão (EI) constante (Figura -7). 4 kn kn/m kn/m C D m m m m Figura -7: Viga contínua com três vãos O sistema principa adotado para a resoução do probema é representado pea Figura -8. O sistema apresenta as rotações reativas entre as barras igadas peas e

32 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes como sendo nua. Destas condições resutam as equações de compatibiidades expressas por E D δ θ θ, (.69) E D δ θ c θ c, (.7) X X m m m m Figura -8: Sistema principa da viga contínua mostrada na Figura -7. Figura -9 apresenta os diagramas de esforços da situação (M ) para o sistema principa da Figura -8. kn/m kn/m 4kN + ) M + +.9, ,5 4 8 Figura -9: Momentos fetores do sistema principa causados peo carregamento. Figura - apresenta os diagramas de momentos devidos à um momento unitário apicado na direção dos hiperestáticos X M Figura -: Momentos fetores devido a um momento unitário apicado na direção do hiperestático X Figura - apresenta os diagramas de momentos devidos à um momento unitário apicado na direção dos hiperestáticos X. Os momentos

33 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes - M Figura -: Diagrama de momentos devidos à um mom. unitário apicado na direção dos hiperestáticos X Para se obter a rotação reativa na rótua, apicam-se os binários unitários. Faz-se o mesmo para a rótua. Portanto, para obter-se rotação reativa na rótua devido ao carregamento, ou seja δ, utiizando PVT, basta fazer M M (.7) δ dx, EI barras visto que o esforço axia é nuo neste exempo. Procede-se anaogamente para determinar os demais coeficientes δ ij. O sistema de equações de compatibiidade é δ X δ X δ. (.7) δ X δ resutando X δ Para a determinação de δ procede-se a combinação mostrada na Tabea -7, EI δ ( m)( ),5 + ( 4m)( +,5)( )( 4), 6 5,5 δ. EI (.7) Tabea -7: Combinação dos diagramas de momentos para o cácuo de δ arra arra arra - - Combinação nua + +,5 4 M M dx M M max M M dx ( + α ) M M 6

34 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes resutando Para a determinação de δ procede-se a combinação mostrada na Tabea -8, EI δ ( 4 m)( +,5)( )( 4) + ( m)( ), 5, 6 6,5 δ. (rad) (.74) EI 4 Tabea -8: Combinação do diagrama de momentos para o cácuo de δ arra arra arra Combinação nua M M dx ( +α ) M M M M dx +,5 M M max resutando Para a determinação de δ procede-se a combinação mostrada na Tabea -9, EI δ ( m)( )( ) + ( 4m)( )( ), 7 δ. (rad/kn) EI (.75) Tabea -9: Combinação do diagrama de momentos para o cácuo de δ arra arra arra Combinação nua - - M M dx M M M M dx M M resutando Para a determinação de δ procede-se a combinação mostrada na Tabea -, EI δ ( 4m)( )( ), 6 δ. (rad/kn.m) EI (.76)

35 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes 5 Tabea -: Combinação do diagrama de momentos para o cácuo de δ arra arra arra Combinação nua Combinação nua M M dx M 6 M resutando Para a determinação de δ procede-se a combinação mostrada na Tabea -, EI δ ( 4m)( )( ) + ( m)( )( ), 7 δ.(rad/kn.m) EI (.77) Tabea -: Combinação do diagrama de momentos para o cácuo de δ arra arra arra - - Combinação nua ,5 + 6,5 + M M dx M M M M dx M M Substituindo os desocamentos generaizados na equação (.7), obtém-se 7 X X X X. (.78) X 5, 6 kn m. (.79) X, kn m. (.8) Os esforços podem ser obtidos a partir do sistema principa, isostático, empregando o princípio da superposição dos efeitos

36 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 6 Prof a Poiana Dias de Moraes M M + X M + X. (.8) M Os vaores máximos (e mínimos) do momento fetor correspondem aos pontos onde o esforço cortante muda de sina. Portanto, é necessário conhecer as reações e, a partir deas, traçar o diagrama de esforço cortante da viga. s reações podem ser cacuadas a partir dos trechos da viga contínua (Figura -), cujos momentos fetores internos foram determinas a partir dos hiperestáticos. Como atividade didática, devem ser cacuadas as reações nos apoios e concuídos os diagramas de esforços cortantes e momentos fetores. kn/m 5,6 kn m 4 kn 5,6 kn m, kn m, kn m kn/m m m m C C m D Figura -: Trechos da viga contínua kn/m 4 kn 5,6 kn m, kn m kn/m C m m m m D, kn m 5,6 kn m 5,6 kn m,5 kn m,5 kn m Figura -: Diagramas de esforços cortantes e momentos fetores da viga da Figura -7.

37 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes Exercício 7 Uma viga contínua de quatro vãos tem, à esquerda, uma parte em baanço como se vê na figura. Determinar as reações e traçar os diagramas dos esforços internos da viga, no espaço indicado da Figura -4. I 475 cm 4 e I 4 cm 4. 5 kn 6,67 kn/m 5 kn I I m C I 6 m D I m 7,5 m m E V M Figura -4: Viga contínua de quatro vão e seus esforços internos

38 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes... Estruturas três vezes hiperestática (g e ) 8 Seja o pórtico pano bi-engastado mostrado na Figura -5, do qua deseja-se determinar os esforços internos e traçar os respectivos diagramas. Este pórtico apresenta 6 reações devidas aos engastamentos em e, portanto o seu grau de hiperestaticidade (g h ) é igua a. C q D F ge Reações 6 Equações Figura -5: Pórtico pano bi-engastado Um dos sistemas principais possíveis para o pórtico mostrado na Figura -5 é aquee mostrado pea Figura -6. q F X X X Figura -6: Sistema principa do pórtico mostrado na Figura -5 s condições de compatibiidade do sistema principa da Figura -6 é desocamentos horizonta e vertica e rotação nuos no ponto, o que resuta δ, δ e δ. Para determinar os esforços no ponto, usar-se-á o princípio da superposição dos efeitos das cargas sobre o sistema principa (isostático), segundo o esquema mostrado na Figura -7. Superpondo a contribuição de desocamento dessas cargas e apicando as condições de compatibiidade para o ponto da estrutura rea (Figura -5), obtém- se o sistema de equações

39 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes δ δ δ δ δ δ + X + X + X δ δ δ + X + X + X δ δ δ + X + X + X δ δ δ, que na forma matriz é expresso como sendo 9 (.8) δ δ δ δ δ δ δ X δ δ X δ X δ X X δ δ δ δ ou δ, (.8) onde δ é a matriz de fexibiidade, X é o vetor das forças (incógnitas) eδ é vetor de desocamento devido ao carregamento (conhecidos). q F + X. + X. + X. () () () () Figura -7: Efeitos devidos ao carregamento atuante na Figura -6 Conforme foi visto anteriormente, os coeficientes δ ij podem ser obtidos peo Princípio dos Trabahos Virtuais. Para o pórtico pano, desprezando esforço por cisahamento, tem-se MiM j NiN j δ ij dx + dx EI, E (.84) sendo E o móduo de easticidade do materia; a seção transversa das barras, I o momento de inércia da seção transversa e todas as barras da estrutura. Como M i.m j M j.m i, tem-se δ ij δ ji, ou seja, a matriz de fexibiidade é sempre simétrica, o que já foi demonstrado anteriormente (Teorema da Reciprocidade de etti- Maxwe, SUSSEKIND, 994a). Para uma estrutura com g h, deve-se determinar 6 coeficientes da matriz δ (δ, δ, δ, δ, δ, δ ) e coeficientes do vetor força δ (δ, δ, δ ). Resovendo-se o sistema de equações (.8) obtém-se X.

40 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes 4... Exempo : Pórtico bi-engastado Determinar o diagrama de esforços do pórtico bi-engastado mostrado no Figura -8, desprezando a contribuição do esforço axia. C kn D m 5 kn m m m Figura -8: Pórtico bi-engastado O sistema principa escohido para a resoução do pórtico (Figura -8) é mostrado na Figura -9. C kn D 5 kn X X X Figura -9: Sistema principa e hiperestáticos do pórtico da Figura -8 Para a determinação dos desocamentos generaizados δ ij, é necessário a determinação das reações e dos esforços internos causados peo carregamento (sistema ) e peo hiperestático X (sistema I). Utiizando-se as equações de equiíbrio, determinam-se as reações e os esforços internos do pórtico isostático do sistema principa causadas peo carregamento (Figura -4) e peo hiperestático X (Figura -4), X (Figura -4) e X (Figura -4).

41 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes kn 5 kn kn.m 5 kn.m kn, kn.m M kn kn Figura -4: Reações e diagrama momentos internos do sistema - - M nuo Figura -4: Reações e diagrama momentos internos do sistema I M Figura -4: Reações e diagrama momentos internos do sistema II

42 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes 4 M nuo Figura -4: Reações e diagrama momentos internos do sistema III Desprezando-se o esforço axia, a expressão para os desocamentos generaizados é dada por M im j δ ij dx. EI - (.85) O desocamento generaizado δ é obtido pea combinação apresentada pea Tabea EI δ ( m)( )( ) + ( m)( )( + 5) + ( m)( )( + 5), 6 6 EI δ,5 4,45 6,95 δ. EI (.86) Tabea -: Combinação dos diagramas de momentos fetores para o cácuo de δ arra arra arra - 5-6,67 Combinaçã o nua M M dx M M ( ) ( ) M M dx M M + M + +α M M 6 6

43 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 4 Prof a Poiana Dias de Moraes O desocamento generaizado δ é obtido pea combinação apresentada pea Tabea - EI δ ( m) + ( m) ( + 5) + ( m) 6,67 + ( m)( + ) 5 4 EI δ ,5 δ. EI 5 6 6, (.87) Tabea -: Combinação dos diagramas de momentos fetores para o cácuo de δ arra arra arra 5 5 6,67 M M dx M M M M dx M ( M + M ) + M M 6 M M dx ( M + M ) M O desocamento generaizado δ é obtido pea combinação apresentada pea Tabea -4 EI δ ( m ) ( + 5) + ( m ) + 6,67 + ( m ) 5, 6 6 EI δ + 5,56,5, + 6 8,6 δ. EI (.88) Tabea -4: Combinação dos diagramas de momentos fetores para o cácuo de δ arra a arra b arra 5 5 6,67

44 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes 44 ( ) M M M dx M M M M dx M M + M M dx M M Efetuando o mesmo procedimento, determinam-se os desocamentos generaizados: ( ) ( ) + m m EI δ, ( ) ( ) 7, + m m EI δ, ( ) ( ) + m m EI δ, ( ) ( ) 5 m m EI δ, ( ) 5, 6 m EI δ, ( ) ( ) 5 + m m EI δ. (.89) De posse dos desocamentos generaizados, é possíve obter o sistema de compatibiidade 8,6 5,5 8,5 5 7, 5 6,95, X X X X X X X X X, (.9) 8,6 8,5 6,95 5,5 5 7, 5,5 5 X X X. Resovendo o sistema, obtém-se,89 5,98, X X X. (.9) Os esforços podem ser obtidos por X N X N X N N N + + +, X V X V X V V V e (.9) X M X M X M M M

45 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes 45 Como exercícios didático, devem ser cacuadas as reações do pórtico e traçados os diagramas de esforços normais, cortantes e momentos fetores, especificando os vaores dos momentos máximos e os ocais onde ees ocorrem. Figura -44: Diagrama de esforços normais

46 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes Figura -45: Diagrama de esforços cortantes 46 Figura -46: Diagrama de momentos fetores.5.estruturs INTERNMENTE HIPERESTÁTICS... Exempo - Treiça pana Seja a treiça mostrada na Figura -47, cuja rigidez à tração de suas barras (E) é constante. Esta treiça é internamente hiperestática de grau (g i ). Portanto, apresenta uma única incógnita hiperestática a ser determina. Esta incógnita é o esforço norma em uma das barras. kn m m Figura -47: Treiça pana internamente hiperestática Para a determinação do sistema principa da treiça mostrada na Figura -47, cortase uma das barras, coocando-se o esforço interno atuante na secção(figura -48). No caso de uma treiça, o esforço interno é o norma. condição de compatibiidade é dada peo desocamento reativo nuo entre a seção à esquerda e a seção à direita.

47 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 47 Prof a Poiana Dias de Moraes δ E δ D ou (.9) E D δ δ (.94) kn X X Figura -48: Sistema principa e hiperestático da treiça pana determinação do esforço interno X se dará pea superposição dos efeitos e utiizando as condições de compatibiidade de desocamento (Figura -49) δ δ + X δ, (.95) δ (.96) X. δ kn kn X X X. + X. () (I) Figura -49:Superposição dos efeitos do carregamento e do hiperestático X Como as barras de uma treiça estão sujeitas unicamente a esforços normais, considera-se somente a contribuição desses esforços no cácuo dos desocamentos generaizado. Sendo N i N j δ ij dx, E barras onde j é o carregamento. (.97) Então, para a obtenção dos desocamentos generaizados, é necessário determinar os esforços axiais devido ao carregamento (sistema ) e devido ao hiperestático X (sistema I). Estes vaores foram cacuados utiizando as equações da estática de equiíbrio de forças.

48 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 48 Prof a Poiana Dias de Moraes Os esforços nas barras devidos ao carregamento são determinados a seguir e mostrados na Figura -5. Nó D N F x N, Nó N Nó N 5 N 4 N, N N N 5 F F F 5 5 F x y x y N N N OK C kn D + kn 5 + kn Nuo kn 4 kn kn + kn Figura -5: Reações e esforços normais nas barras devidos ao carregamento Os esforços devidos ao carregamento unitário na direção do hiperestático X são cacuados a seguir e mostrados na Figura -5 Nó D N Nó N N Fy N + Fx N + Fy :N N 4 Fx :N 4 N N

49 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes Nó C N 5 Fx Fy N N 5 N 5 OK 49 C 5 D Figura -5: Reações e esforços internos devidos à carga unitária na direção do hiperestático X O cácuo do desocamento reativo na direção devido ao carregamento (δ ) é dado por δ N N i i dx ( ) E E 6 N N i (.98) e o cácuo do desocamento reativo na direção devido ao esforço unitário na direção (δ ) é dado por 6 N N δ N N. i i dx ( ) E E i (.99) É recomendáve organizar uma tabea como a Tabea -5. Ea permite o cácuo sistemático dos esforços em cada barra e dos desocamentos generaizados. Tabea -5: Cácuo dos desocamentos generaizados δ e δ arra (m) E N N (N.N )/E (N.N )/E N (kn) E + 7,9 E E E + 7,9 E E E -,7 E 4 E + 7,9 E E

50 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes 5 E 6 E 8 E 64,85 E -, E 7,7 E 9,66 E 5 Substituindo os desocamentos generaizados na equação de compatibiidade, obtém-se 64,85 9,66 (.) + X, E E X 7, 7 kn. (.) Os esforços normais finais são obtidos por N N + X N, (.) cujos resutados são apresentados na útima couna da Tabea Exempo - Pórtico com tirante Seja um pórtico com tirante, uma vez hiperestático, cuja rigidez à fexão das barras (EI) é 4 4 kn m e a rigidez à tração do tirante (E t ) é kn (Figura -5) kn E m m C EI EI TIRNTE (E) t EI D EI 4 m 4 m Figura -5: Pórtico com tirante Para a determinação do sistema principa do pórtico mostrado na Figura -5, secciona-se o tirante, coocando-se os esforços internos, no caso, o esforço norma (Figura -5). condição de compatibiidade é dada peo desocamento reativo nuo na seção do corte.

51 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes δ (.) kn 5 X Figura -5: Sistema principa e hiperestático do pórtico mostrado na Figura -5 O efeito do carregamento e do hiperestático X sobre o sistema principa pode ser determinado por superposição de efeitos, sendo cacuados separadamente os efeitos da carga e do hiperestático sobre a estrutura (Figura -54). Para o sistema () (Figura -54), tomando o eemento CE do pórtico e fazendo o equiíbrio de forças na vertica, determina-se a reação vertica em. Fazendo-se o equiíbrio de momentos em torno do ponto E, obtém-se o vaor da reação horizonta em como sendo 5 4 H 6, H kn. (.4) Para o sistema (I) (Figura -54), tomando o eemento CE do pórtico e fazendo o equiíbrio de forças na vertica, determina-se a reação vertica em, que é zero. Fazendose o equiíbrio de momentos em torno do ponto E, obtém-se o vaor da reação horizonta em como sendo H 6, H,5. (.5)

52 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes kn 5 X H H H,5,5 5 kn 5 kn Figura -54: Superposição dos efeitos do carregamento e do hiperestático - - nuo - -,5 + nuo nuo +,5 M +,5,5 M + Figura -55: Diagramas de momentos fetores devido ao carregamento e à carga unitária no tirante É importante embrar que, no sistema principa, o esforço norma no tirante devido ao carregamento é nuo (N ) e que o esforço norma no tirante devido à força unitária é (N ). Neste exempo, o esforço axia nas barras do pórtico é desprezado visto que EI>>E, porém não podemos fazê-o para o caso do tirante. Logo, a expressão para o cácuo dos desocamentos generaizados é dada por M im j Ni N j δ ij dx + EI. arras Tirante ( E) dx t (.6) Portanto os vaores dos desocamentos generaizados são δ m,5 5 m.,5 + EI δ m 4 EI m (.7)

53 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes δ m 5, 5, + EI ( E) 8 m 5 m 5, 5, + ( E) t δ + + 4, EI t m/kn 5 (.8) equação de compatibiidade é δ + X δ (.9) e substituindo-se os vaores cacuados, obtém-se + X,4 (.) (.) X 8, 57 kn,4 s reações (R) e os momentos finais (M) podem ser obtidos por R R e (.) + R X M M (.) + M X Como exercícios didático, devem ser cacuadas as reações do pórtico (Figura -56) e traçados os diagramas de esforços normais (Figura -57), cortantes (Figura -58) e momentos fetores (Figura -59), especificando os vaores dos momentos máximos e os ocais onde ees ocorrem. N 8,57 kn 5,75 kn 5,75 kn 5 kn 5 kn Figura -56: Reações e esforço norma no tirante

54 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes 54 N 8,57 kn Figura -57: Diagrama de esforços normais nas barras e no tirante Figura -58: Diagrama de esforços cortantes -7,5 kn -7,5 kn -7,5 kn Momento nuo -7,5 kn Figura -59: Diagrama de momentos fetores

55 NÁLISE ESTRUTURL II - ECV5 Prof a Poiana Dias de Moraes Exempo - Quadro bi-apoiado Seja o quadro bi-apoiado mostrado na Figura -6a. Esta estrutura se caracteriza por ser três vezes hiperestática. Isto pode ser constatado por meio de um corte virtua de uma barra do quadro. Na seção deste corte aparecerão os esforços internos norma (N), cortante (V) e momento fetor (M) (Figura -6b). 5 kn/m 5 kn/m m EI EI EI m M V N N V M EI 4 m 4 m (a) Quadro bi-apoiado (b) Seção no quadro bi-apoiado Figura -6: Quadro bi-apoiado Para determinar os esforços internos nas barras do quadro bi-apoiado, pode-se utiizar a secção apresentada na Figura -6b. Chamando N X, V X e M X, têm-se as incógnitas hiperestáticas internas e tem-se o sistema principa (Figura -6). 5 kn/m X X X X X m X 4 m Figura -6: Sistema principa e hiperestáticos condição de compatibiidade é dada peos desocamentos reativos nuos na seção do corte. O desocamento horizonta reativo δ, o desocamento vertica reativo E D δ e a rotação reativa na seção do corte δ ( θ θ ). Estas condições podem