4. SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS

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1 4. SOLUÇÕES FUNDAMENAIS Como visto no Capítuo (Seção.), os métodos de anáise de estruturas têm como metodoogia a superposição de casos básicos. No Método das Forças os casos básicos são souções estaticamente determinadas (isostáticas) e no Método dos Desocamentos são souções cinematicamente determinadas (configurações deformadas conhecidas). Essas souções, chamadas de souções fundamentais, formam a base da resoução dos métodos de anáise. Este capítuo apresenta agumas souções fundamentais da anáise de estruturas. O objetivo aqui é dar subsídios para os métodos de anáise tratados neste ivro. Resumidamente, o que é necessário para a resoução de uma estrutura peo Método das Forças é a determinação de desocamentos e rotações em estruturas isostáticas. E, para o Método dos Desocamentos, é necessária a determinação de forças e momentos que impõem uma configuração deformada conhecida para uma estrutura. A dedução dessas souções fundamentais é feita com base no Princípio dos rabahos Virtuais, através de suas duas formuações Princípio das Forças Virtuais e Princípio dos Desocamentos Virtuais. Esta apresentação está fortemente cacada nos ivros de White et a. (976) e auchert (974). 4.. raçado do diagrama de momentos fetores Conforme mencionado nos capítuos anteriores, para o entendimento dos métodos de anáise tratados neste ivro é necessário um conhecimento adequado da resoução de estruturas estaticamente determinadas e do traçado de diagramas de esforços internos (esforços aiais, esforços cortantes, momentos fetores e momentos torçores). Duas boas referências para esses assuntos são os ivros de Süssekind (977-) e Campanari (985). Nesta seção apenas são saientados aguns aspectos importantes no traçado do diagrama de momentos fetores. Primeiro, o diagrama de momentos fetores não é indicado com sina. A convenção adotada é que o diagrama é traçado sempre do ado da fibra tracionada da barra. Outro ponto importante é que esse traçado é feito convenientemente por superposição de efeitos em cada barra, sempre partindo dos vaores dos momentos fetores nas etremidades da barra. Considere, como eempo, a viga biapoiada com baanços mostrada na Figura 4.. Nessa figura estão mostrados as cargas, as reações de apoio e os diagramas de esforços cortantes e de momentos fetores.

2 7 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Q [kn] M [knm] Figura 4. Viga biapoiada com baanços. M I [knm] M II [knm] M [knm] Figura 4. Superposição de efeitos para compor o diagrama de momentos fetores da Figura 4.. A Figura 4. iustra a superposição que é utiizada para compor o diagrama de momentos fetores. Considere a barra centra entre apoios. O diagrama fina (M) nessa barra é obtido pea superposição de um diagrama reto (M I), que é o traçado que une os vaores dos momentos fetores nas etremidades da barra com um diagrama parabóico (M II), que corresponde ao carregamento atuando no interior da

3 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 7 barra considerada como biapoiada. O diagrama M I é sempre uma inha reta pois corresponde a uma situação em que a barra está descarregada. Isso porque d M/d = (pea Equação (.) do Capítuo, com carregamento distribuído transversa nuo). O procedimento de superposição de efeitos mostrado na Figura 4. é conhecido como pendurar o diagrama de viga biapoiada para o carregamento que atua no interior da barra. Dessa forma, o traçado do diagrama de momentos fetores em cada barra é feito em duas etapas. Primeiro determinam-se os momentos fetores nas etremidades da barra. Se a barra não tiver cargas transversais no seu interior, o diagrama fina é obtido simpesmente unindo os vaores etremos por uma inha reta (é o que acontece nos baanços da viga da Figura 4.). Em um segundo passo, se a barra tiver carregamento no seu interior, o diagrama de viga biapoiada para o carregamento é pendurado (superposto transversamente) a partir da inha reta que une os vaores etremos. Esse procedimento também é apicado para pórticos, como o que está mostrado na Figura 4.. Observa-se nessa figura que o traçado do diagrama de momentos fetores na barra horizonta é feito da mesma maneira que para a barra centra da viga da Figura 4.. Depois de cacuadas as reações de apoio, determinam-se os vaores dos momentos fetores nos nós do pórtico. Nesse caso, os momentos fetores tracionam as fibras de fora e, por isso, os diagramas nos nós são desenhados no ado eterno do quadro (esta é a convenção utiizada). Nota-se também que os vaores dos momentos fetores em cada nó são iguais para as barras adjacentes. Este é sempre o caso quando se têm duas barras chegando em um nó e não eiste uma carga momento concentrado atuando no nó. Para as barras verticais, que não têm carga no interior, o diagrama fina é reto. Para a barra horizonta, o diagrama é obtido pendurando, a partir da inha reta, a paráboa do segundo grau que corresponde ao diagrama de viga biapoiada do carregamento uniformemente distribuído. iguais iguais M [knm] Figura 4. raçado de diagrama de momentos fetores em um pórtico pano.

4 7 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha A Figura 4.4 mostra diagramas de momentos fetores de viga biapoiada para cargas usuais: carga uniformemente distribuída, carga concentrada no centro da viga e carga concentrada em uma posição quaquer na viga. q P P q q P P Pb q /8 P/4 Pab/ a / / Figura 4.4 Diagramas de momentos fetores para vigas biapoiadas. b Pa Outro aspecto interessante é a obtenção do diagrama de esforços cortantes a partir do diagrama de momentos fetores. Esse procedimento é feito isoando-se cada barra da estrutura, ta como mostrado na Figura 4.5 para a barra horizonta do pórtico da Figura 4.. A barra é considerada como uma viga biapoiada com cargas momentos apicadas nas etremidades para representar o efeito do restante da estrutura sobre ea. Os vaores dos esforços cortantes nas etremidades das barras são determinados cacuando-se as reações de apoio da viga biapoiada por superposição de casos. O caso I corresponde às cargas momentos nas etremidades da barra e o caso II ao carregamento atuando no interior da barra. M [knm] M I [knm] M II [knm] Q [kn] Q I [kn] Q II [kn] Figura 4.5 raçado do diagrama de esforços cortantes a partir do diagrama de momentos fetores. O cácuo das reações de apoio (esforços cortantes) nas etremidades, V esq (na esquerda) e V dir (na direita), do eempo da Figura 4.5 é mostrado abaio:

5 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 7 Vesq = ( 7 6) 6 ( 4 6) = 6 7 = 78 kn; Vdir = ( 7 6) 6 ( 4 6) = 6 7 = 66 kn. Esse procedimento mostra a importância da obtenção do diagrama de momentos fetores, pois isso possibiita a obtenção do diagrama de esforços cortantes. Deve-se também ressatar que, embora os eempos utiizados nesta seção tenham sido isostáticos, os mesmos procedimentos se apicam para estruturas hiperestáticas. Dessa forma, uma vez que se tenham determinado os vaores dos momentos fetores nas etremidades de quaquer barra e que se conheça o carregamento atuando no seu interior, podem-se traçar os diagramas de momentos fetores e de esforços cortantes na barra. O traçado de diagramas de momentos fetores é muito importante também dentro da metodoogia do Método das Forças. Conforme será visto na Seção 4.., esses diagramas são utiizados nos cácuos de desocamentos e rotações em estruturas isostáticas, que correspondem a souções fundamentais utiizadas por esse método. 4.. Energia de deformação e princípio da conservação de energia O princípio gera da conservação de energia é muito importante em vários métodos da anáise de estruturas. Esse princípio, que é epresso como um baanço de energia (ou trabaho), se apica tanto para estruturas rígidas quanto deformáveis. Quando uma estrutura rígida em equiíbrio é submetida a um campo de desocamentos arbitrário, a soma agébrica do trabaho produzido por todas as forças apicadas peos respectivos desocamentos deve resutar em um vaor nuo. Em estruturas deformáveis, eiste um termo adiciona de energia devido ao trabaho produzido peas tensões internas com as correspondentes deformações. A integra dessa componente pontua (infinitesima) de trabaho ao ongo do voume da estrutura é denominada energia de deformação interna e deve ser evada em conta no baanço de energia. Uma estrutura deformáve deve ser vista como um sistema eástico, ta como uma moa inear. A diferença é que uma estrutura é um sistema eástico contínuo, no qua cada ponto armazena uma parcea da energia tota de deformação. A Figura 4.6 mostra um eemento infinitesima de voume de uma estrutura submetido a uma deformação norma na direção. A energia de deformação por unidade de voume, U, armazenada nesse eemento é a área abaio da curva tensãodeformação, ta como indicado na figura. No caso do materia com comportamento inear, a reação tensão-deformação é dada pea Equação (.) do Capítuo e a energia de deformação por unidade de voume tem a seguinte epressão:

6 74 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha d U ε σ ε σ = =. (4.) d dy dz y z d ε σ σ σ ε E U Figura 4.6 Eemento infinitesima de voume submetido a uma deformação norma. A energia de deformação por unidade de voume pode ser generaizada para as outras componentes de deformação. No caso de uma barra de um pórtico pano, a energia de deformação por unidade de voume é composta por (veja a definição das deformações e das tensões na Seção. do Capítuo ): c c y f f a a c f a U U U U γ τ ε σ ε σ = =. (4.) Sendo: = a a a U ε σ energia de deformação por unidade de voume para o efeito aia; = f f f U ε σ energia de deformação por unidade de voume para o efeito de feão; = c c y c U γ τ energia de deformação por unidade de voume para o efeito cortante. No caso de grehas e quadros espaciais, o efeito de torção também deve ser considerado. Para uma seção com simetria radia, tem-se: = t t t U γ τ energia de deformação por unidade de voume para o efeito de torção. Para seções sem simetria radia, a energia de deformação é computada de uma forma integra ao ongo de uma seção transversa, como será mostrado adiante. A energia de deformação interna tota é obtida pea integração da energia U ao ongo de todo o voume da estrutura. Para pórticos panos, tem-se: = = V c c y V f f V a a V dv dv dv dv U U γ σ ε σ ε σ. (4.)

7 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 75 No modeo matemático de estruturas reticuadas, as barras são representadas peos eios que passam peos centros de gravidade das seções transversais. Nesse modeo, a energia de deformação também tem uma representação integra no níve de seção transversa, resutando em uma energia de deformação por unidade de comprimento de barra. A obtenção das epressões dessa energia é feita separando a integra de voume da Equação (4.) em uma integra de área (ao ongo da seção transversa) e uma integra de inha (ao ongo do comprimento das barras): a f c a f U da U da U da d = du du A A A c U = du. (4.4) Sendo: estrutura estrutura estrutura U energia de deformação eástica tota armazenada na estrutura; a du estrutura energia de deformação para o efeito aia armazenada em um eemento infinitesima de barra; f du energia de deformação para o efeito de feão armazenada em um eemento infinitesima de barra; c du energia de deformação para o efeito cortante armazenada em um eemento infinitesima de barra. A epressão para a du é obtida com base nas Equações (.) e (.) do Capítuo : du a = a du σ da d = N du d, (4.5) A sendo N o esforço norma na seção transversa e du o desocamento aia reativo interno dado pea Equação (.5) (veja a Figura.). A epressão para f du é obtida com base nas Equações (.) e (.): du f = f dθ σ y da d = M dθ d, (4.6) A sendo M o momento fetor na seção transversa e dθ a rotação reativa interna por feão dada pea Equação (.6) (veja a Figura.). A epressão para c du é obtida com base nas Equações (.5) e (.) : du c = c dh τ y da d = Q dh d, (4.7) A sendo Q o esforço cortante na seção transversa e dh o desocamento transversa reativo interno dado pea Equação (.7) (veja a Figura.).

8 76 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha No caso de grehas e pórticos espaciais, o efeito de torção deve ser considerado: t du energia de deformação para o efeito de torção armazenada em um eemento infinitesima de barra. t A epressão para du, para seções transversais com simetria radia, é obtida com t base nas Equações (.6) e (.8). Para uma seção genérica sem simetria radia, du é obtida de forma integra na seção transversa (consute a Seção.4.4), resutando em: du t = dϕ, (4.8) sendo o momento torçor na seção transversa e dϕ a rotação reativa interna por torção dada pea Equação (.9) (veja a Figura.). A energia de deformação interna U é utiizada no princípio gera da conservação de energia. A apicação desse princípio no conteto da anáise estrutura tratada neste ivro requer a definição das seguintes premissas: O carregamento é apicado entamente, de ta forma que não provoca vibrações na estrutura (não eiste energia cinética). O único tipo de energia armazenada pea estrutura é a energia de deformação eástica, não eistindo perda de energia na forma de caor, ruído, etc. A estrutura tem um comportamento inear-eástico, isto é, o materia da estrutura trabaha em um regime eástico e inear (não eiste pastificação em nenhum ponto) e os desocamentos da estrutura são pequenos o suficiente para se escrever as equações de equiíbrio na configuração indeformada da estrutura. Considerando essas hipóteses, o princípio da conservação de energia se reduz a: sendo: WE W E = U, (4.9) trabaho reaizado peas forças eternas quando a estrutura se deforma. Isto é, o trabaho mecânico reaizado peas cargas apicadas em uma estrutura é igua à energia de deformação interna armazenada na estrutura. Se as cargas forem removidas entamente, o trabaho mecânico vai ser recomposto, da mesma forma que ocorre na compressão e descompressão de uma moa. A apicação direta desse princípio é iustrada abaio na determinação do desocamento no ponto centra da viga mostrada na Figura 4.7, submetida a uma força vertica P apicada no meio do vão. Deseja-se cacuar o desocamento vertica D no ponto de apicação da carga. É desprezada a energia de deformação por cisa-

9 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 77 hamento em presença da energia de deformação por feão. O diagrama de momentos fetores da viga para esse carregamento também está mostrado na figura. O trabaho reaizado pea força eterna é a área abaio da curva que reaciona a carga com o desocamento do seu ponto de apicação, ta como indicado na Figura 4.7. As reações de apoio da viga, que também são forças eternas, não produzem trabaho pois os desocamentos correspondentes são nuos (restrições de apoio). P P P P P D /4 P M() / / / / Figura 4.7 Viga biapoiada com uma carga centra. W E D D Portanto, considerando um comportamento inear para a estrutura, o trabaho tota das forças eternas para esse eempo é: W E = P D. Como não eistem esforços aiais nessa estrutura e a energia de deformação por cisahamento é desprezada, a energia de deformação eástica é função apenas do efeito de feão. Considerando as Equações (4.4), (4.6) e (.6), tem-se: U = f du = = = M d M d estrutura M M θ d. Iguaando o trabaho eterno com a energia de deformação interna, chega-se a: P D = M d. Finamente, o desocamento vertica do ponto centra é dado por: D M P = d D =. P 48 Observa-se que a utiização do princípio da conservação de energia possibiitou o cácuo do desocamento vertica do ponto centra dessa viga. Entretanto, este princípio não permite o cácuo de desocamento de uma forma genérica. Considere, por eempo, que se deseja apicar uma outra carga na estrutura ou determinar o desocamento em outro ponto. Nesses casos, o princípio da conservação de e- nergia não fornece meios para o cácuo desejado. Isso porque uma única equação

10 78 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha W E = U não é suficiente para a determinação de mais de um desocamento desconhecido. A soução para isso é a generaização desse princípio para o Princípio dos rabahos Virtuais, conforme vai ser mostrado na seção a seguir. 4.. Princípio dos trabahos virtuais O princípio da conservação de energia é bastante intuitivo mas tem uma apicação muito imitada para o cácuo de desocamentos em estruturas. asicamente, como visto na seção anterior, este princípio só permite cacuar desocamentos para o caso de soicitação de uma força concentrada, e o desocamento cacuado tem que ser no ponto de apicação e na direção da força. Anaogamente, também é possíve cacuar a rotação na direção de um momento concentrado apicado. Esse princípio pode ter seu enfoque modificado de forma a eiminar as imitações notadas acima. Considere um sistema de forças (F A, f A) em equiíbrio e uma configuração deformada (D, d ) compatíve ta como definidos na Seção.7 do Capítuo. Isto é, F A é um sistema de forças eternas (soicitações e reações de apoio) a- tuando sobre uma estrutura, f A são esforços internos (N A, M A, Q A) em equiíbrio com F A, D é um campo de desocamentos eternos (eástica) de uma estrutura e d é um campo de desocamentos reativos internos (du, dθ, dh ) compatíveis com D. A generaização que é feita em reação ao princípio de conservação de energia é que, agora, não eiste quaquer igação entre o sistema de forças e a configuração deformada, a não ser que atuam em uma mesma estrutura. Isto é, não eiste reação causa-efeito entre (F A, f A) e (D, d ). O baanço entre o trabaho eterno e a e- nergia de deformação interna combinando esses dois sistemas independentes resuta no Princípio dos rabahos Virtuais (PV): em equiíbrio W E FA D = f A = U d (4.) compatíveis Sendo: W E = FA D trabaho virtua das forças eternas F A com os correspondentes desocamentos (eternos) D ; U = f A d energia de deformação interna virtua armazenada em uma estrutura, combinando os esforços internos f A com os correspondentes desocamentos reativos internos d. No caso de pórticos panos, a energia de deformação interna virtua pode ser desmembrada em parceas que consideram os efeitos aia, de feão e cortante:

11 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 79 N A du MA d QA U θ. (4.) = dh Deve-se saientar que nas Equações (4.) e (4.) o termo ½ não aparece nem na epressão do trabaho eterno virtua nem na epressão da energia de deformação interna virtua. Esse termo aparecia nas epressões do princípio da conservação de energia mostrado na Seção 4. porque forças e desocamentos estavam associados (causa e efeito). No trabaho eterno virtua, as forças não são a causa ou efeito dos desocamentos, assim como na energia interna virtua os esforços internos não são a causa ou efeito dos desocamentos reativos internos. Devido justamente a essa independência entre forças e desocamentos, o termo virtua se apica. Em outras paavras, o trabaho W E e a energia de deformação U são ditos virtuais porque ees são meras abstrações de cácuo. O PV só é váido se o sistema de forças (F A, f A) reamente satisfizer as condições de equiíbrio e se a configuração deformada (D, d ) reamente satisfizer as condições de compatibiidade. Portanto, esse princípio pode ser utiizado para impor condições de compatibiidade a uma configuração deformada (D, d) quaquer. asta que se escoha arbitrariamente um sistema de forças ( F, f ), denominado virtua, do qua se saiba que satisfaz as condições de equiíbrio. Esta versão do PV é chamada de Princípio das Forças Virtuais e vai ser apresentada na próima seção. De maneira anáoga, o PV pode ser utiizado para impor condições de equiíbrio a um sistema de forças (F, f) quaquer. asta que se escoha arbitrariamente uma configuração deformada ( D, d), denominada virtua, da qua se saiba que satisfaz as condições de compatibiidade. Esta versão do PV é chamada de Princípio dos Desocamentos Virtuais e será apresentada na Seção Princípio das forças virtuais Em muitas situações na anáise de estruturas é necessário impor condições de compatibiidade a uma configuração deformada. Por eempo, quando se cacua uma componente de desocamento em um ponto de uma estrutura, o que se deseja é o vaor do desocamento que é compatíve com a configuração deformada da estrutura, que é provocada por aguma soicitação. No conteto deste ivro, o cácuo de desocamentos em estruturas isostáticas é a principa soução fundamenta utiizada dentro da metodoogia do Método das Forças, ta como introduzido na Seção.. do Capítuo. O Princípio das Forças Virtuais (PFV) é uma das principais ferramentas para a determinação de desocamentos em estruturas. Esse princípio diz que:

12 8 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Dada uma configuração deformada rea (D, d) e um sistema de forças ( F, f ) arbitrário (virtua) em equiíbrio, a iguadade W E = U estabeece uma condição de compatibiidade para a configuração deformada rea. Sendo que: W E = F D trabaho das forças eternas virtuais F com os correspondentes desocamentos eternos reais D; U = f d energia de deformação interna virtua armazenada em uma estrutura, combinando os esforços internos virtuais f com os correspondentes desocamentos reativos internos reais d. O PFV utiiza um sistema auiiar, chamado sistema virtua, que é competamente independente do sistema rea, sendo este a estrutura da qua se quer cacuar um desocamento ou rotação (ou estabeecer uma condição de compatibiidade). O sistema virtua trabaha com a mesma estrutura, mas com cargas diferentes. As cargas do sistema virtua são compostas de uma força (ou momento) escohida arbitrariamente na direção do desocamento (ou rotação) que se deseja cacuar e de suas correspondentes reações de apoio. As cargas do sistema virtua não eistem na reaidade (por isso, são ditas virtuais) e são meras abstrações para cácuo. Considere a viga biapoiada mostrada na Figura 4.8 com uma carga concentrada P no centro (sistema rea). Deseja-se determinar o vaor do desocamento D em um ponto quaquer definido por uma distância a ao apoio da esquerda. O sistema virtua é definido arbitrariamente com um força P apicada nesse ponto e com a mesma direção do desocamento. Nessa figura estão indicados os diagramas de momentos fetores M e M dos sistemas rea e virtua. Sistema Rea P Sistema Virtua P = P D D a b / / P /4 P P b a P ab b P b M () M() Figura 4.8 Cácuo de desocamento genérico em viga biapoiada com uma carga centra. O PFV apicado à viga da Figura 4.8 resuta em (desprezando deformações provenientes do efeito cortante):

13 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 8 W E = U P D = M dθ, sendo dθ a rotação reativa interna do sistema rea. Pea Equação (.6), tem-se: D = P M( ) M( ) d. Portanto, o PFV permite o cácuo de desocamentos e rotações de forma generaizada. As cargas da estrutura rea podem ser quaisquer e podem-se cacuar desocamentos e rotações em quaquer ponto e em quaquer direção. Nesse eempo, a magnitude da força virtua P é irreevante, haja vista que o vaor dessa força vai se cancear na epressão acima pois o diagrama de momentos fetores virtuais M é uma função inear de P. Entretanto, usuamente adota-se um vaor unitário para a carga virtua. Observa-se que a apicação do PFV para o cácuo de desocamentos em estruturas que trabaham à feão resuta no cácuo de uma integra que combina diagramas de momentos fetores nos sistemas rea e virtua. A abea 4. mostra epressões para avaiar essa integra para diagramas usuais em uma barra. abea 4. Combinação de diagramas de momentos fetores em barra. MMd M A M M M C M C MA M A M A M M A M C M A M M C M D M M C M MC M A M M A M C M M M M C 6 M C M 6 M C M C MD M A M D M M D M C M D

14 8 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha A epressão gera do PFV para o cácuo de um desocamento genérico de um ponto de um pórtico pano é obtida das Equações (4.) e (4.): Em que: W E = U = N du M dθ Q dh. (4.) P estrutura estrutura estrutura desocamento genérico a ser cacuado no sistema rea; du desocamento aia reativo interno no sistema rea; dθ rotação reativa interna por feão no sistema rea; dh desocamento transversa reativo interno no sistema rea; P carga virtua genérica associada ao desocamento a ser cacuado; N esforço norma no sistema virtua provocado por P ; M momento fetor no sistema virtua provocado por P ; Q esforço cortante no sistema virtua provocado por P. No caso de uma greha (estrutura pana com cargas fora do pano), o efeito de torção também deve ser considerado, resutando na seguinte epressão para o cácuo de um desocamento genérico peo PFV: Sendo: W E = U = M dθ dϕ Q dh. (4.) P estrutura estrutura estrutura dϕ rotação reativa interna por torção no sistema rea; momento torçor no sistema virtua provocado por P. A abea 4. mostra aguns tipos de cargas virtuais utiizadas dentro do conteto do PFV para cacuar desocamentos e rotações em pontos de um pórtico pano. As cargas virtuais mostradas nessa tabea são utiizadas, dentro da metodoogia de cácuo do Método das Forças, para determinar desocamentos ou rotações nas direções de víncuos eiminados de estruturas hiperestáticas. Como visto na Seção.. do Capítuo, o Método das Forças utiiza uma estrutura auiiar isostática, chamada Sistema Principa, que é obtida da estrutura origina (hiperestática) pea eiminação de víncuos. Esses víncuos podem ser impedimentos de apoio ou víncuos de continuidade interna, e os desocamentos e rotações são sempre cacuados nas direções dos víncuos eiminados. O próimo capítuo aborda essa metodoogia em detahes.

15 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 8 abea 4. Cargas virtuais utiizadas para cacuar desocamentos e rotações em víncuos eiminados de estruturas hiperestáticas. Víncuo eiminado Desocamento ou rotação associado(a) Carga virtua Impedimento horizonta de apoio Desocamento horizonta do ponto do víncuo eiminado P = Impedimento vertica de apoio Desocamento vertica do ponto do víncuo eiminado P = Impedimento de rotação de apoio Rotação da seção do víncuo eiminado M = Continuidade de rotação da eástica Rotação reativa entre seções adjacentes à rótua introduzida M = M = Desocamento horizonta reativo na seção de corte P = P = Continuidade de desocamentos e rotação da eástica Desocamento vertica reativo na seção de corte P = P = Rotação reativa na seção de corte M = M =

16 84 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Os desocamentos reativos internos no sistema rea dependem da soicitação eterna que atua sobre a estrutura. Os desocamentos reativos internos foram definidos na Seção.4 do Capítuo para o caso de soicitações de carregamentos eternos. Entretanto, eistem outros tipos de soicitações que também provocam deformações em estruturas. As seções a seguir mostram apicações do PFV para o cácuo de desocamentos (e rotações) em estruturas isostáticas devidos a diferentes tipos de soicitações: carregamento eterno, variação de temperatura e recaque de apoio. Na seqüência também é mostrada uma apicação do PFV para a verificação do atendimento a condições de compatibiidade de estruturas hiperestáticas Desocamentos provocados por carregamento eterno As soicitações eternas mais comuns em uma estrutura são carregamentos apicados, tais como peso próprio, cargas de ocupação, cargas móveis, cargas de vento, etc. A epressão gera do PFV para o cácuo de um desocamento genérico devido a soicitações desse tipo em um quadro pano é obtida substituindo as Equações (.5), (.6) e (.7) dos desocamentos reativos internos reais na Equação (4.): Sendo: = N N M M Q Q d d χ d. GA (4.4) P EA estrutura estrutura estrutura N esforço norma no sistema rea provocado peo carregamento eterno; M momento fetor no sistema rea provocado peo carregamento eterno; Q esforço cortante no sistema rea provocado peo carregamento eterno. No caso de uma greha, utiizando a Equação (.9), a epressão do PFV resuta em: Sendo: = M M Q Q d d χ d. GJ (4.5) P estrutura estrutura t GA estrutura momento torçor no sistema rea provocado peo carregamento eterno. A útima integra que considera o efeito de cisahamento (cortante) nas Equações (4.4) e (4.5) tem vaor pequeno em comparação com os outros termos no caso de barras ongas (atura da seção transversa menor que aproimadamente ¼ do vão da barra). Nesse caso a integra é desprezada.

17 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 85 A estrutura da Figura 4. vai ser utiizada para eempificar o cácuo de desocamento em um pórtico pano. Considere que se deseja cacuar o desocamento horizonta do apoio da direita. A Figura 4.9 mostra os sistemas rea e virtua utiizados, com a configuração deformada rea (onde o desocamento desejado está indicado) e o diagrama de momentos fetores virtua M. O diagrama de momentos fetores rea M está indicado na Figura 4.. O materia adotado é um aço com móduo de easticidade E =,5 8 kn/m. Para as counas é adotada a seção transversa CS 5., com área A c = 6,7 - m e momento de inércia I c = 4,8-5 m 4. A seção transversa da viga é a VS 4., com área A v = 5,5 - m e momento de inércia I v = 8,8-5 m 4. Sistema Rea Sistema Virtua M P = Figura 4.9 Cácuo de desocamento devido a um carregamento eterno peo PFV. A energia de deformação interna virtua para o cácuo do desocamento da estrutura da Figura 4.9 é composta de duas parceas, uma provocada peos efeitos aiais e outra peos efeitos de feão. O cácuo da parcea associada aos efeitos aiais é mostrado abaio, sendo que a integra ao ongo da estrutura é decomposta em um somatório de integrais ao ongo das três barras: estrutura N N d = EA barras barra N N d = EA barras N N EA barra. (4.6) Nessa epressão, os esforços normais reais N e virtuais N são obtidos diretamente das reações de apoio indicados na Figura 4.9 e é o comprimento de uma barra. Dessa forma, tem-se: N = N ( ) ( 8) ( /) ( 78) ( /) ( 66) d 6 4. EA EAv EAc EA (4.7) c estrutura

18 86 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha O cácuo da parcea de energia de deformação virtua por feão também é decomposto em um somatório de integrais computadas em cada barra: estrutura M M d = barras barra M M d. (4.8) A integra ao ongo de cada barra na Equação (4.8) é cacuada com base na abea 4.. O cácuo para a viga é epicado na Figura 4.. O diagrama de momentos fetores rea é desmembrado em dois triânguos e uma paráboa com máimo no centro, e o diagrama de momentos fetores virtuais é desmembrado em dois triânguos. Com base na abea 4., essas parceas são combinadas em separado para avaiar a integra. Esse eempo iustra a utiização da tabea de combinação de diagrama de momentos. Observa-se que os sinais da integra são positivos quando as parceas dos diagramas tracionam fibras do mesmo ado da barra, e são negativos quando tracionam fibras opostas. M M 6 M Md = M Md = M Md = M Md = M Md = M Md = 8 6 Figura 4. Combinação de diagramas de momentos fetores rea e virtua para a viga da estrutura da Figura 4.9. As parceas de contribuição para a energia de deformação virtua por feão indicadas na Figura 4. são somadas às parceas de contribuição das counas, resutando em:

19 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 87 6 v estrutura M M d = 7 6 v v v v c v c 6 (4.9) Com base nas Equações (4.4), (4.7) e (4.9), e nos vaores dos parâmetros E, A v, I v, A c e I c, o desocamento desejado da estrutura da Figura 4.9 pode ser cacuado: N N M M 4 = d d =,4,79 =,8 m. P EA estrutura estrutura O sina negativo do desocamento cacuado significa que o seu sentido, da direita para a esquerda, é contrário ao sentido da carga virtua P apicada. Observa-se que a contribuição da parcea de energia de deformação devida ao efeito aia (,4-4 m) é muito menor em móduo do que a contribuição da parcea devida ao efeito de feão (,79 - m). Isto é usua para pórticos que trabaham à feão e, em gera, no cácuo manua a contribuição da energia de deformação aia é desprezada. Deve-se ressatar que as cargas, dimensões e parâmetros de materia e seções transversais adotados para esse eempo são reaistas Desocamentos provocados por variação de temperatura Como visto na Seção.5 do Capítuo, variações de temperatura não provocam esforços em uma estrutura isostática. Isto porque a estrutura isostática tem o número eato de víncuos para ser estáve e, portanto, sempre se ajusta a pequenas modificações no comprimento (diatação ou encurtamento) de suas barras provocados por variações de temperatura. Em outras paavras, pode-se imaginar que uma estrutura isostática não oferece resistência para acomodar uma barra que sofreu uma pequena modificação em seu comprimento devido a uma variação de temperatura, já que a estrutura isostática sem aquea barra se configura em um mecanismo. Isto significa que a variação de temperatura provoca desocamentos sem que apareçam esforços em uma estrutura isostática. Entretanto, variações de temperatura em estruturas hiperestáticas provocam deformações e esforços internos na estrutura. Muitas vezes essas soicitações são de grande importância em estruturas hiperestáticas. Os efeitos de variação de temperatura em estruturas hiperestáticas serão considerados no próimo capítuo. Esta seção mostra como se apica o Princípio das Forças Virtuais para o cácuo de desocamentos provocados por variação de temperatura em uma estrutura isostática.

20 88 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Para se apicar o PFV é necessário determinar os desocamentos reativos internos devidos à variação de temperatura (rea): du dθ dh desocamento aia reativo interno devido à variação de temperatura; rotação reativa interna por feão devido à variação de temperatura; desocamento transversa reativo interno devido à variação de temperatura. Considere iniciamente um eempo simpes de uma viga biapoiada que sofre um aquecimento uniforme de temperatura [ C], ta como indicado na Figura 4.. O materia tem um coeficiente de diatação térmica α [/ C]. y [ C] u = du = α d u du d du = α d Figura 4. Viga biapoiada com variação uniforme de temperatura. Nesse caso, a variação de comprimento de um eemento infinitesima de barra (de comprimento inicia d) é: du = α d. Agora considere o caso de uma viga que sofre um aquecimento [ C] nas fibras inferiores e um resfriamento [ C] nas fibras superiores, ta como indicado na Figura 4.. A viga tem uma seção transversa ta que o centro de gravidade (por onde passa o eio ongitudina ) se situa no meio da atura h da seção. Para pequenos desocamentos, um ânguo em radianos pode ser aproimado à sua tangente. Portanto, com base na Figura 4., a rotação reativa interna por feão devido a essa variação transversa de temperatura é: d θ = α d. h

21 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 89 y [ C] [ C] dθ = ( α d) h h/ α d (encurtamento da fibra superior) d h/ dθ d α d (aongamento da fibra inferior) Figura 4. Viga biapoiada com variação transversa de temperatura. No caso gera, indicado na Figura 4., as fibras superiores e inferiores da barra sofrem variações diferentes de temperatura e o centro de gravidade se situa em uma posição quaquer ao ongo da atura da seção transversa, definida pea sua distância y em reação à base da seção. Para a definição dos desocamentos reativos internos devidos a uma variação genérica de temperatura, as seguintes hipóteses serão adotadas: Não eiste desocamento transversa reativo devido à variação de temperatura ( dh = ). A temperatura varia inearmente ao ongo da atura da seção transversa (da fibra inferior para a superior). A variação de temperatura da fibra inferior é i e a da fibra superior é s. A conseqüência desta hipótese é que a seção transversa da barra vai permanecer pana com a variação de temperatura (considerando um materia homogêneo). O desocamento aia reativo interno devido à variação de temperatura ( du ) corresponde ao aongamento ou encurtamento da fibra que passa peo centro de gravidade da seção transversa. A variação de temperatura nessa fibra ( CG) é obtida por interpoação inear de i e s. Com base na Figura 4., os desocamentos reativos internos para uma variação genérica de temperatura são: du = α d ; (4.) CG ( i s ) d dθ = α. (4.) h

22 9 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha y s α s d (aongamento da fibra superior) h y du dθ = α = α CG ( i s ) d h d i d α i d (aongamento da fibra inferior) Figura 4. Deformação de um eemento infinitesima de barra por variação de temperatura. O sina da rotação reativa interna da Equação (4.) depende dos vaores de i e s. Conforme está indicando na Figura 4., quando i é maior que s (no sentido agébrico), dθ tem o sentido anti-horário e é convencionada positiva. O sina vai ser negativo quando a rotação for no sentido horário. A epressão gera do PFV para o cácuo de um desocamento genérico devido a uma variação de temperatura genérica em um quadro pano é obtida substituindo as Equações (4.) e (4.) dos desocamentos reativos internos reais (com dh = ) na Equação (4.): Sendo: M α ( i s ) = N α CG d d. h (4.) P estrutura estrutura α coeficiente de diatação térmica do materia; h atura da seção transversa de uma barra; i s CG variação de temperatura na fibra inferior de uma barra; variação de temperatura na fibra superior de uma barra; variação de temperatura na fibra do centro de gravidade de uma barra. As integrais ao ongo da estrutura da Equação (4.) são decompostas em um somatório de integrais ao ongo das barras. Considerando que as barras são prismáticas e que a variação de temperatura nas fibras superiores e inferiores de cada barra é uniforme, essa equação pode ser simpificada para:

23 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 9 ( ) α i s = α CG N d M d. P barras barra h (4.) barras barra Observa-se na Equação (4.) que as integrais que aparecem correspondem às á- reas dos diagramas de esforço norma e momento fetor do sistema virtua cacuadas em cada barra. Para eempificar o cácuo de desocamento peo PFV devido a uma variação de temperatura, a mesma estrutura das Figuras 4. e 4.9 vai ser utiizada. Considere que a estrutura sofre um aquecimento interno de C, ta como indicado na Figura 4.4, e que também se deseja cacuar o desocamento horizonta do apoio da direita. Portanto, o mesmo sistema virtua adotado na Figura 4.9 será adotado aqui. O materia tem um coeficiente de diatação térmica α =,/ C. A atura da seção transversa das counas é h c =, m e a atura da seção transversa da viga é h v =, m. anto para a viga quanto para as counas, o centro de gravidade da seção transversa se situa no meio da atura. Sistema Rea Sistema Virtua M P = Figura 4.4 Cácuo de desocamento devido a uma variação de temperatura peo PFV. Os esforços normais virtuais nas barras do eempo da Figura 4.4 são obtidos a partir das reações de apoio indicadas na figura, sendo que a viga tem N =, a couna da esquerda tem N = / e a couna da direita tem N = /. A apicação da Equação (4.) para o cácuo do desocamento desse eempo resuta em: 4 = α CG 6 CG CG ( ) α α ( ) α ( ) ( ) α ( ) ( ) ( ) α i s i s i s 8 8 hv hc hc. (4.4) Adotou-se, como convenção, que os sinais dos momentos fetores são positivos quando tracionam as fibras interiores do quadro, resutando em áreas positivas.

24 9 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Para o cácuo do desocamento pea Equação (4.4), as fibras interiores do quadro estão sendo consideradas como fibras inferiores das barras. Portanto, i = C, s = C e CG = C. Utiizando h v =, m e h c =, m na Equação (4.4), resuta no desocamento horizonta do apoio da direita: [,8 ] [,64 ] =,7 = m. O sina positivo indica que o desocamento é da esquerda para a direita, pois este foi o sentido da carga virtua apicada Desocamentos provocados por recaques de apoio Recaques de apoio, em gera, são soicitações acidentais. Entretanto, as fundações de uma estrutura podem apresentar pequenos movimentos que devem ser considerados no projeto. Como visto no Capítuo (Seção.5), recaques de apoio, quando pequenos em reação às dimensões da estrutura, não provocam esforços em uma estrutura isostática. Isto porque a estrutura isostática tem o número eato de víncuos para ser estáve e, portanto, sempre se ajusta a um pequeno movimento de apoio. Em outras paavras, pode-se imaginar que ao se movimentar um a- poio a estrutura isostática perde um víncuo, transformando-se em um mecanismo (uma cadeia cinemática). Assim, a estrutura se acomoda como um corpo rígido (sem deformações) para a nova posição do apoio. Portanto, recaques de apoio provocam desocamentos em uma estrutura isostática sem que ocorram deformações ou esforços. Por outro ado, movimentos diferenciados de apoios de estruturas hiperestáticas provocam deformações e esforços internos na estrutura. Assim como no caso de variações de temperatura, os recaques de apoio podem provocar soicitações que são de grande importância em estruturas hiperestáticas. Os efeitos de recaques de apoio em estruturas hiperestáticas serão considerados no próimo capítuo. Esta seção mostra como se apica o Princípio das Forças Virtuais para o cácuo de um desocamento provocado por um recaque de apoio de uma estrutura isostática. O mesmo pórtico pano adotado nas seções anteriores é considerado como eempo para o cácuo de desocamento, ta como mostrado na Figura 4.5. No eempo, o apoio da esquerda da estrutura sofre um recaque vertica (para baio) ρ =,6 m. Observa-se através da eástica indicada (com ampitude eagerada) na Figura 4.5 que o quadro isostático sofreu um movimento de corpo rígido devido ao recaque. Isto é, as barras permanecem retas (sem deformação). Portanto, a energia de deformação interna virtua é nua: U =.

25 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 9 Sistema Rea Sistema Virtua P = Figura 4.5 Cácuo de desocamento devido a um recaque de apoio peo PFV. Por outro ado, o trabaho virtua das forças eternas agora recebe a contribuição da reação de apoio do sistema virtua com o correspondente desocamento (recaque) de apoio rea: ( / ) ( ) W E = P ρ. Nessa epressão foi considerado que a reação vertica virtua no apoio da esquerda é negativa pois tem o sentido de cima para baio, assim como o recaque (rea) é negativo porque é para baio. A imposição da epressão do PFV ( W E = U ) resuta no vaor do desocamento desejado, no qua o sina negativo indica que o desocamento é da direita para a esquerda: W E = = [ ( /) ( ρ) ] =, m. P A epressão gera do PFV para o cácuo de um desocamento genérico devido a recaques de apoio em um quadro isostático é obtida considerando que U = : = [ ρ]. P (4.5) recaquesr Sendo: ρ recaque de apoio genérico na estrutura rea; R reação de apoio no sistema virtua correspondente ao recaque rea ρ. Os sinais das reações e recaques na Equação (4.5) devem ser consistentes.

26 94 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Verificação de atendimento à condição de compatibiidade Embora os eempos mostrados nas seções anteriores tenham tratado de estruturas isostáticas, o PFV também pode ser apicado para estruturas hiperestáticas. Nesse caso, a estrutura do sistema virtua não necessariamente precisa ter os mesmos víncuos da estrutura rea, pois a única restrição quanto ao sistema de forças virtuais é que satisfaça condições de equiíbrio. Por eempo, considere a viga engastada e apoiada da Figura 4.6. q Sistema Rea Sistema Virtua q /8 q /8 M M = M 5q q / / 8 8 / / q /8 q /8 M M M M MMd MMd = = M M q 8 q 8 Figura 4.6 Sistema virtua para verificação de correção de diagrama de momentos fetores de uma viga engastada e apoiada. Na Figura 4.6, a estrutura rea é hiperestática e a estrutura virtua é uma estrutura isostática obtida da estrutura rea pea eiminação de um víncuo (restrição à rotação θ na etremidade esquerda). Nesse caso, tendo-se disponíve o diagrama de momentos fetores da estrutura hiperestática rea, o cácuo da rotação na direção do víncuo eiminado deve resutar em um vaor nuo. Isto é na verdade uma verificação da correção do diagrama: o diagrama correto é aquee que faz com que a condição de compatibiidade no víncuo iberado no sistema virtua seja satisfeita. De fato, o cácuo da rotação θ peo PFV resuta em um vaor nuo: M( ) M( ) q q θ = d = =. M 8 8 Nessa epressão, a integra foi avaiada conforme indica a Figura 4.6. O diagrama de momentos fetores rea foi desmembrado em um triânguo e em uma paráboa com máimo no centro. Com base na abea 4., essas parceas foram combinadas

27 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 95 em separado com o triânguo do diagrama de momentos fetores virtua para avaiar a integra. Deve-se tomar cuidado adiciona na escoha do sistema virtua: a estrutura adotada no sistema virtua nunca deve acionar um víncuo em reação à estrutura rea. Considere como eempo a estrutura da Figura 4.7, da qua se deseja cacuar o desocamento D no ponto centra. Note que a estrutura rea é hiperestática e a estrutura virtua é isostática. Entretanto, a estrutura virtua tem um víncuo adiciona na etremidade direita (engaste) que não eiste na estrutura rea. Sistema Rea Sistema Virtua q /8 q P = M = / 5q 8 D θ / / q 8 / / q /8 q /8 M M / Figura 4.7 Sistema virtua com víncuo adiciona em reação à estrutura rea. O probema com a escoha do sistema virtua da Figura 4.7 é que no trabaho eterno virtua tota deve ser computado o trabaho reaizado pea reação de apoio momento virtua M com a correspondente rotação rea θ na etremidade direita. Isto impede a determinação do desocamento D pois na epressão do PFV aparecem duas incógnitas, D e θ : = = MM WE U P D M θ d. Note nessa epressão que o trabaho da reação momento virtua M reaizado com a rotação rea θ é negativo pois essas entidades têm sentidos opostos (horário e anti-horário, respectivamente) Princípio dos desocamentos virtuais Em agumas situações na anáise de estruturas é necessário impor condições de equiíbrio a um sistema de forças. Por eempo, as souções fundamentais do Método dos Desocamentos correspondem à determinação de vaores de forças e momentos que equiibram uma estrutura que tem uma configuração deformada compatíve imposta, ta como apresentado na Seção.. do Capítuo.

28 96 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha O Princípio dos Desocamentos Virtuais (PDV) é uma das principais ferramentas para a determinação de forças (e momentos) necessárias para impor uma determinada configuração deformada a uma estrutura. Esse princípio diz que: Dado um sistema de forças rea (F, f) e uma configuração deformada ( D, d) arbitrária (virtua) compatíve, a iguadade W E = U estabeece uma condição de equiíbrio para o sistema de forças rea. Sendo que: W E = F D trabaho das forças eternas reais F com os correspondentes desocamentos eternos virtuais D ; U = f d energia de deformação interna virtua armazenada em uma estrutura, combinando os esforços internos reais f com os correspondentes desocamentos reativos internos virtuais d. Assim como o PFV, o PDV utiiza um sistema auiiar virtua, que é competamente independente do sistema rea, sendo este a estrutura da qua se quer estabeecer uma condição de equiíbrio. O sistema virtua trabaha com a mesma estrutura, mas com uma configuração deformada ( D, d) escohida arbitrariamente de ta maneira que uma única força (ou momento) desconhecida (a que se deseja cacuar) produza trabaho eterno. A configuração deformada do sistema virtua não eiste na reaidade (por isso, é dita virtua) e é uma mera abstração para cácuo. Considere a viga biapoiada mostrada na Figura 4.8 com uma carga concentrada P com posição definida por uma distância a ao apoio da esquerda (sistema rea). Deseja-se determinar o vaor da reação vertica V A no apoio da esquerda. O sistema virtua é definido arbitrariamente com um campo de desocamentos eternos virtuais D ta que a outra reação de apoio desconhecida V não produza trabaho eterno. Sistema Rea P D A Sistema Virtua = D b/ = V A V a b a b Figura 4.8 Cácuo de reação de apoio de uma viga biapoiada peo PDV. Observa-se na Figura 4.8 que o campo de desocamentos eternos virtuais não precisa satisfazer as condições de compatibiidade (eternas ou internas) da estrutura rea. Como dito, a única restrição quanto à configuração deformada virtua é

29 Luiz Fernando Martha Souções Fundamentais 97 que os desocamentos eternos virtuais sejam compatíveis com desocamentos reativos (ou deformações) internos virtuais. Nesse eempo, foi imposto um campo de desocamentos virtuais de corpo rígido, isto é, sem deformação interna ( U = ). Pea Figura 4.8, o vaor do desocamento virtua D, que corresponde à carga eterna rea P, é obtido por semehança de triânguos. Portanto o vaor da reação V A sai diretamente da imposição de W E = U : P b VA DA P D = VA =. O PDV também pode ser utiizado para determinar um esforço interno em uma estrutura. Para tanto, é necessário escoher uma configuração deformada virtua que isoe na equação W E = U o esforço que se quer cacuar. Considere, por e- empo, que se deseja determinar o esforço cortante na seção S de uma viga apoiada, ta como mostrado na Figura 4.9. A viga está submetida a uma carga concentrada P definida por uma distância a ao apoio da esquerda, e a seção S é definida pea ordenada ao início da viga, sendo que a >. Sistema Rea Sistema Virtua A V A M S a S Q S M S P b V / ( )/ a S = b D b / = Figura 4.9 Cácuo de esforço cortante de uma viga biapoiada peo PDV. A configuração deformada virtua do eempo da Figura 4.9 foi definida de ta forma que não eiste deformação no interior da viga, com eceção do ponto correspondente à seção S, onde eiste um desocamento transversa reativo interno virtua S = concentrado. Isto é, foi imposta uma descontinuidade transversa unitária na posição da seção S. Deve-se observar que não eiste rotação reativa entre os trechos da eástica virtua antes e depois da seção S. Este campo de desocamentos virtua foi escohido de ta forma que somente o esforço cortante Q S na seção S produza energia de deformação virtua interna (M S não provoca energia de deformação pois não eiste rotação reativa): U =. Q S S

30 98 Métodos ásicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Por outro ado, somente a força eterna rea P provoca trabaho eterno. As outras forças eternas, as reações de apoio V A e V, têm correspondentes desocamentos virtuais nuos. Portanto: W E = P D,, che- sendo que D está indicado na Figura 4.9. Com base na epressão ga-se ao vaor do esforço cortante desejado: W E = U P b Q S =. É óbvio que, nesse eempo, a apicação do equiíbrio diretamente é uma forma muito mais simpes para se determinar o vaor do esforço cortante em S. O que se pretendeu mostrar com esse eempo é que o PDV é uma maneira aternativa para se impor condições de equiíbrio, que em aguns casos pode ser muito mais adequada. Deve-se observar também que o vaor do esforço cortante Q S foi obtido diretamente peo PDV, sem que se tivesse cacuado as reações de apoio da viga. Isso evidencia a eegância desse princípio como ferramenta matemática para imposição de equiíbrio. De maneira anáoga, o momento fetor na seção S desse eempo também pode ser determinado diretamente peo PDV. A Figura 4. mostra a configuração deformada virtua que é utiizada para determinar M S. A Sistema Rea a S M S M S P b ( ) / Sistema Virtua a b D = b / θ S = V A Q S V Figura 4. Cácuo de momento fetor de uma viga biapoiada peo PDV. A eástica virtua do eempo da Figura 4. é composta de trechos retos com uma rotação reativa interna θ S = concentrada na posição da seção S (considerando pequenos desocamentos de ta forma que o arco de um círcuo é aproimado por sua corda). Nesse caso, não eiste desocamento transversa reativo virtua e, portanto, somente M S produz energia de deformação interna virtua:

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