referência para Cálculo de Concreto Armado

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO - ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS E FUNDAÇÕES ÍNDICE referência para Conceitos Básicos... Cargas Características... Esforços Soicitantes e Reações... Regras de Pré-dimensionamento de Peças... Fexão Simpes... Diagramas... Estado Limite Útimo convenciona na Fexão... Domínio de Deformação... Vigas de Seção Retanguar com Armadura Simpes... Viga de Seção T com Armadura Simpes... Viga de Seção Retanguar com Armadura Dupa... Lajes Retanguares aciças... Lajes Armadas em uma Direção... Esforços Soicitantes... Dimensionamento à Fexão... Atura Úti... Cácuo das Armaduras... Escoha das Barras... Lajes Armadas em Duas Direções... Esforços nas Lajes Isoadas... étodo simpificado apicáve a pisos usuais de edifícios... Atura Úti... Armaduras ínimas... Escoha das Barras... Lajes Nervuradas... Piares... Tipos de Piares... Situação de Cácuo... Dimensionamento da Seção Retanguar (armadura simétrica)... Dimensões mínimas... Disposições Construtivas, Bitoas e Espaçamentos... Travamentos Adicionais na Seção Transversa São Pauo Compiação e Projeto Gráfico: Karin Regina de Castro arins, Roberto Issamu Takahashi e Tiago Gimenez Ribeiro [ Baseado no resumo de arcos Siveira ] a partir das Apostias do Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações da Escoa Poitécnica

2 CONCEITOS BÁSICOS Ao se cacuar uma estrutura de concreto precisemos, primeiramente, determinar os seguintes itens: Cargas Características; Reações; Esforços Soicitantes; Cargas Características Esforços Soicitantes e Reações Esforços soicitantes e reações foram objeto de matérias básicas desta seqüência de discipinas. Na figura abaixo, a títuo de recordação, estão representados os esforços soicitantes e reações de agumas situações em vigas: Esforços áximos na Viga Biapoiada q Dividem-se em cargas permanentes e variáveis (ou acidentais). - Cargas Permanentes: são cargas constituídas peo peso próprio da estrutura e peos pesos de todos os eementos fixos e instaações permanentes. Abaixo estão aguns exempos de cargas de aguns dos materiais mais conhecidos, fornecidas por peso específico: V V q 2 /8 V q /2 Concreto simpes Concreto armado Argamassa Avenaria de tijoo maciço Avenaria de tijoo furado Avenaria de bocos de concreto 24 KN/m³ 25 KN/m³ 9 KN/m³ 6 KN/m³ 0 KN/m³ 3 KN/m³ Esforços áximos na Viga em Baanço V q P q 2 /2 V q + P - Cargas Variáveis ou Acidentais (NBR 620): são as cargas que podem atuar sobre as estruturas de edificações em função de seu uso. Abaixo estão aguns exempos de cargas acidentais verticais atuando nos pisos das edificações, devidas a pessoas, móveis, utensíios, etc., e são supostas uniformemente distribuídas: Esforços áximos na Viga com três apoios V q q Saas, quartos, cozinhas e wc s Escadas, corredores e terraços Restaurantes e saas de aua Auditórios Bibiotecas (estantes) Cinemas (patéia).5 KN/m³ 3.0 KN/m³ 3.0 KN/m³ 3.0 KN/m³ 6.0 KN/m³ 4.0 KN/m³ V 2 V V V 2 2

3 Regras de pré-dimensionamento de peças Ao se pré-dimensionar uma peça de concreto deve-se seguir os seguintes passos ógicos: - Determinação das ações; - Determinação das resistências; - Verificação da segurança. As ações são as soicitações à peça, as resistências evam em conta a seção transversa e as características mecânicas dos materiais, e a segurança deve ser garantida com um dimensionamento que supere os esforços que incidam sobre a peça com uma certa foga. Agumas hipóteses básicas devem também ser adotadas: - anutenção da seção pana: as seções transversais da peça, quando fetidas, não perdem a configuração pana; - Aderência perfeita entre o concreto e armadura: não há escorregamento entre os materiais; - A tensão do concreto é nua na região da seção transversa sujeita à deformação de aongamento. FLEXÃO SIPLES Na fexão simpes a ação pode ser admitida como sendo representada apenas peo omento de Projeto d ; são adotadas como resistências aqueas oferecidas peo concreto (f ck ), peo aço (f yk ) e pea seção transversa ( ud ); e a segurança adequada é quando é verificada a condição: d ud. Por razão de economia, faz-se d ud. O concreto mais utiizado tem como característica um f ck entre 20 e 28 Pa (KN/m³), sendo 24 Pa o mais usua, enquanto que o aço mais utiizado, o CA50A, tem como f yk um vaor de 50 KN/m³. Aém da resistência, existem ainda outras características inerentes ao concreto e ao aço, que serão utiizadas para efeito de cácuo, a saber: Concreto f ck 24 Pa γ c,4 E c Pa Aço f yk 50 KN/cm² γ s,5 E s Pa onde f ck é, como dissemos, o vaor característico da resistência do concreto, f yk é o vaor característico de resistência da armadura correspondente ao patamar de escoamento, γ c é o coeficiente de ponderarão de resistência do concreto (coeficiente de segurança), γ s é o coeficiente de ponderação de resistência de armadura (coeficiente de segurança), E s é o móduo de easticidade do concreto e E s é o móduo easticidade do aço. Diagrama Tensão-Deformação (de Cácuo) da Armadura: - Aço de dureza natura (com patamar de escoamento) σsd f yk f yd diagrama de cácuo arctg Es εyd 0,00 εsd 3 4

4 Diagrama Tensão-Deformação (de Cácuo) do Concreto: - Diagrama paráboa-retânguo σcd -A deformação de aongamento na armadura mais tracionada (E su ) atinge 0,00; denomina-se estado imite útimo (ELU) por aongameno pástico excessivo de armadura: εc 0,85 f cd patamar ud 0,00 0,0035 encoriamento εcd Diagrama retanguar simpificado kfcd 0,8 x x ud As Domínios de Deformação: εsu 0,0035 Conforme foi visto no ítem anterior, o estado imite útimo convenciona ocorre quando o diagrama de deformação passa por um dos dois pontos, A ou B, na figura seguinte: As εu deformação de estado imite útimo (ELU) x atura da zona comprimida, medida a partir de borda comprimida k 0,86, quando a atura de zona comprimida não diminui em direção à borda comprimida (seção retanguar) h d As ud 0,0035 x 23 x 34 D2 D3 D4 0,000 Estado imite útimo convenciona na fexão É atingido quando ocorro uma dos seguintes situações -A deformação de encurtamento no concreto (E cu ) atinge 0,0036; denomina-se estado imite útimo (ELU) por esmagamento do concreto: As ud εcu 0,0035 d atura úti da seção distância do CG da armadura à borda comprimida x atura de zona comprimida - Diagrama D2: o concreto é pouco soicitado e a armadura está em escoamento: a ruptura é do tipo dúti (com aviso). - Diagrama D3: o concreto está adequadamente soicitado e a armadura em escoamento: a ruptura também é dúti. As seções acima são ditas subarmadas ou normamente armadas. - Diagrama D4: o concreto é muito soicitado e a armadura pouco soicitada. A ruptura é do tipo frági (sem aviso). A seção é dita superarmada e é uma soução antieconômica pois a armadura não é exporada ao máximo. εs 5 6

5 VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR CO ARADURA SIPLES Tem as seguintes características: - A zona comprimida da seção sujeita à fexão tem forma retanguar; - A armadura é constituída por barras agrupadas junto à borda tracionada e pode ser imaginada concentrada no seu centro de gravidade. Com o vaor de x, tem-se o domínio de deformação correspondente, podendo ocorrer as seguintes situações: -Domínio 2, onde x x 23 0,269 d ; e σ sd f yd -Domínio 3, onde x 23 x x 34 0,0035d/(0, ε yd ); e σ sd f yd h d b As ud 0,85fcd εu 0,8 x x Rcd Rsd 0,4x d- 0,4x -Domínio 4, se x x 34, neste caso convém aterar a seção para se evitar a peça superarmada, aumentando-se h ou adotando-se armadura dupa. Para a situação adequada de peça subermada tem-se σ sd f yd. Assim, a equação 3 nos fornece: σsd Resutante dos tensões A d s σ sd (d-0,4 x) d f yd (d-0,4 x) No Concreto: R cd 0,85 f cd b 0,8 x 0,68 b x f cd Na Armadura: R sd A s σ sd Equações de equiibrío De Força: R cd R sd ou 0,68 b x f cd A s σ sd De omento: ud R cd (d - 0,4x) ou ud R cd (d - 0,4x) substituindo o vaor das resutantes de tensão vem: ud 0,68 b x f cd (d - 0,4x) ou 2 ud A s σ sd (d - 0,4x) 3 Nos casos de dimensionamento, tem-se b, f ck e faz-se ud d, (momento fetor soicitante em vaor de cácuo). Normamente, pode-se adotar d 0,9 h. Desta forma, a equação 2 nos fornece o vaor de x: d x,25 d - - 0,425 b d² f cd 7 8

6 VIGA DE SEÇÃO T CO ARADURA SIPLES A anáise de uma seção T pode ser feita como se indica a seguir: ud 0,85fcd εu σsd 0,8 x x Rsd Rcfd Rcwd O probema pode ser equacionado subdividindo a zona comprimida em retânguos ( e 2). As resutantes de tensão sobre as partes e 2 vaem: R cfd 0,85 f cd (b f - b w ) h f e R cwd 0,85 f cd b w (0,8 x) A equação de equiibro de momento fornece: ud d cfd + cwd R cfd (d - h f /2) + cwd Este momento deve ser resistido pea parte 2 que é uma seção retanguar b w por d, portanto: A equação de equiíbrio de força permite escrever: Portanto x,25 d cwd - - 0,425 b w d² f cd R cd R cfd + R cwd A s f yd R cfd + R cwd R cfd + R cwd A s f yd As bw h f d 2 VIGA DE REÇÃO RETANGULAR CO ARADURA DUPLA Quando se tem, aém da armadura de tração A s, outra A s posicionada junto à borda comprimida, temos uma seção com armadura dupa. Isto é feito para se conseguir uma seção subarmada sem aterar as dimensões de seção transversa. A armadura comprimida introduz uma parcea adiciona na resutante de compressão, permitindo assim, aumentar a resistência da seção. Vejamos as equações de equiíbrio: De Força: De omento: R sd R cd + R sd A s σ sd 0,68 b x f cd + c d R cd (d - 0,4 x) + R sd (d - d ) d 0,68 b x f cd (d - 0,4 x) + A s σ cd (d - d ) Temos assim duas equações (A e B) e três incógnitas: x, A s e A s (pois as tensões na armadura depende de x). Costuma-se adotar um vaor de x, por exempo x d/2. Dessa forma podem ser determinadas as armaduras A s e A s como se indica a seguir. As equações A e B sugerem a decomposição mostrada na figura seguinte: d b As ud ε c εu x 0,4x d- 0,4x Rcd Rsd Conforme se indica na figura acima, pode ser determinado a primeira parcea do momento resistente, designada por wd : A d b A s As2 ud wd 0,68 b x f cd (d - 0,4 x) e R sd wd /(d - 0,4x) Como σ sd f yd (peça subarmado), tem-se: A s R sd /f yd Assim, fica conhecida a parcea restante do momento resistente: B ε c εu x d d- d R sd Rsd2 σsd σsd d d - wd 9 0

7 Também, d R sd (d - d ) A sd σ cd (d - d ) d R sd2 (d - d ) A s2 σ cd (d - d ) Que permitem determinar as áreas restantes de armadura A s2 e A s. De fato, R sd R sd2 d /(d - d ) e A s2 R sd2 /f yd O cácuo de A s, requer a determinação de tensão σ sd. Com x x im, tem-se, no domínio 3 ε c 0,0035 e, no domínio 2: Logo ε c 0,00 x / (d - x) ε s ε c (x - d ) / x e (por semehança de triânguos) LAJES RETANGULARES ACIÇAS Lajes são eementos estruturais panos de concreto armado sujeitos a cargas transversais a seu pano. Os apoios das ajes são, geramente, constituídos por vigas vigas de piso. Nestes casos, o cácuo das ajes é feito, de maneira simpificada, como se eas fossem isoadas das vigas, com apoios ivres à rotação e indesocáveis à transação, considerando, contudo, a continuidade entre ajes contíguas. Do ponto de vista de comportamento à fexão, as ajes retanguares maciças podem ser cassificadas em: - Lajes armadas em uma direção: quando a fexão (curvatura) é bastante predominante segundo a direção paraea a um dos ados; correspondem às ajes apoiadas em ados opostos (isoadas e contínuas, com ou sem baanços aterais), e às ajes aongadas apoiadas em todo o perímetro. - Lajes armadas em duas direções ou em cruz: quando as curvaturas paraeas aos ados são vaores comparáveis entre si, são ajes apoiadas em todo seu contorno e com ados não muito diferentes entre si ( y / x 2). que permite obter σ sd (no diagrama σ x ε de armadura) Finamente A s R sd /σ s e A s A s + A s2 2

8 LAJES ARADAS E UA DIREÇÃO Considere-se a aje esquematizada na figura a seguir: P V A P2 V x Abaixo estão os gráficos destes 3 casos: Esforços áximos na Laje Isoada q x B B p P3 V2 A y P4 Vx x Vx x Vx m x p x2 /8 m y υ m x v x p x /2 Sejam, x, o vão teórico da aje, normamente, igua à distância entre os eixos dos vigas de apoio, e y o seu comprimento. Os cortes AA e BB mostram, de forma esquemática, os desocamentos apresentados pea aje ao ser submetida à uma carga distribuída uniforme de vaor p. Constata-se a presença de curvatura e, portanto, de momento fetor segundo o corte AA. Segundo o corte BB ocorre, praticamente uma transação com curvatura e fexão desprezíveis. Considere-se, agora, faixas isoados de arguras unitárias paraeos ao corte AA: o carregamento de uma dessas faixas é constituído de carga uniforme de vaor p. Cada uma dessas faixas tem, aparentemente, o comportamento de uma viga isostática e o diagrama de momento fetor é uma paráboa de ordenada igua a p x2 /8. Representa-se este momento fetor por m x, com m x p x2 /8, na unidade kn m/m. Anaogamente, a força cortante tem diagrama inear e seu vaor máximo v x p x /2. Para que as faces superior e inferior mantenham-se paraeas entre si aparece um momenfo fetor m y υ m x atuando no pano paraeo ao ado y, também por unidade de argura, sendo m y 0,2 m x, pois no concreto υ 0,2. O momenfo fetor m x é chamado de momento fetor principa e m y de secundário. x Esforços áximos na Laje em Baaço Vx x Esforços áximos na Laje Contínua q q x x P q x2 m x p x2 /8 v x p x + P Esforços Soicitantes V x V x - Laje Isoada: nesse caso, a faixa de argura unitária da aje corresponde a uma viga isoada sujeita a carga distribuída uniforme; - Laje em baanço: nesse caso, a faixa de argura unitária da aje corresponde a uma viga em baanço e o carregamento consiste numa carga uniforme distribuída p mais uma concentrada P apicada junto à extremidade do baanço. - Laje contínua: nesse caso, a faixa de argura unitária da aje corresponde a uma viga contínua. x V x Dimensionamento à Fexão (Estado Limite Útimo - ELU) x2 V x O dimensionamento é feito para uma seção retanguar de argura unitária (normamente, b m 00 cm) e atura igua à espessura tota do aje, h. 3 4

9 Atura úti A armadura de fexão será distribuída no argura de 00 cm. Em gera, tem-se nos vãos, num mesmo ponto, dois momentos fetores (m x e m y, positivos) perpendicuares entre si. Desta forma, a cada um desses momentos corresponde uma atura úti; d x para o momento fetor m x e d y para o momento fetor m y. Normamente, m x é maior que m y ; por isso costuma-se adotar d x > d y ; para isto, a armadura correspondente ao momento fetor m y (A sy ) é coocada sobre a armadura correspondente ao momento fetor m x (A sx ): Nas ajes, normamente, a fexão conduz a um dimensionamento como peça subarmada com armadura simpes. Assim, conforme a figura acima, a equação de equiíbrio conduz a m d 0,68 b x f cd (d - 0,4x) com m d γ c m,4 m Resutando, para a atura de zona comprimida o vaor m x,25 d - - d 0,425 b w d² f cd 00 cm h d x d v v x c e a armadura m A s d f yd (d-0,4 x) Asy Asx Conforme a figura acima, tem-se: onde A d A sx para m m x e A d A sy para m m y onde d x h - c - φ x /2 d y h - c - φ x - φ y /2 e c cobrimento mínimo de armadura em ajes, fixado em 0,5 cm nas ajes protegidas com argamassa de espessura mínima de cm (NBR 68) φ x diâmetro da armadura A sx correspondente a m x φ y diâmefro da armadura A sy correspondente a m y Nas ajes maciças revestidas, usuais em edíficios, pode-se adotar aproximadamente: d x h - c - 0,5 cm d y h - c -,0 cm Cácuo das Armaduras h d 00 cm e d 0,85fcd 0,8x Rcd Rsd Escoha das barras A escoha da bitoa o espaçamento (φ e s) é feita para as bitoas comerciais com as seguintes recomendações: φ min 4 mm φ φ max h/0 s min 8 mm s s max 20 cm (p/ arm. princ. imitar a 2h) Para as bitoas, adota-se um mínimo de 4 mm e um máximo correspondente a um décimo da espessura da aje. O espaçamento mínimo de 8 cm tem por finaidade faciitar a concretagem da aje, e o espaçamento máximo visa garantir a uniformidade de comportamento admitida nos cácuos. A tabea a seguir mostra as bitoas comerciais mais utiizadas: h s 00 cm φ diâmetro nomina da barra em mm A s área nomina da seção transversa de uma barra m massa de uma barra por metro inear φ (mm) A s (cm) m (kg/m) 4,0 0,25 0,0 5,0 0,200 0,6 6,3 0,35 0,25 8,0 0,500 0,40 0,0 0,800 0,63 5 6

10 LAJES ARADAS E DUAS DIREÇÕES (E CRUZ) Considere-se a aje esquematizada na figura a seguir, apoiada em todo o seu contorno sobre vigas, sujeita à carga distribuída p e sejam: onde o carregamento usua é constituído de carga distribuída uniforme, são muito úteis as tabeas de Czèrny preparadas com coeficiente de Poisson 0,2 (admitido para o concreto). Os momentos fetores extremos são dados por: y A C B x α x o menor vão teórico x o maior vão teórico ( y x ) m x p x² m y p y² m α x α x p x² m y β y p y² ; ; ; x β y onde as variáveis e estão tabeadas de em função dos seguintes parâmetros: Normamente consideram-se as hipóteses simpificadoras: - vigas rígidas à fexão - continuidade de ajes vizinhas quando no mesmo níve A deformada da aje segundo os cortes A (paraea a x ) e B (paraea a y ) estão esquematizadas na figura a seguir: x - Tipo de carga (por ex. distribuída uniforme); - Condições de apoio da aje (tipo de apoio); - Reação ( y / x ). Particuarmente, interessa-nos o tipo de carga distribuída uniforme, e os tipos de apoio indicados a seguir: x y A B y 2A 3 4A 5A 6 C 2B 4B 5B Pode-se notar a presença de curvaturas comparáveis segundo os dois cortes, sugerindo a presença de momentos fetores comparáveis: m x momento por unidade de argura com pano de atuação paraeo a x ; m y momento por unidade de argura com pano de atuação paraeo a y. Considere-se o corte genérico CC e a deformada segundo este corte. Nota-se também a presença de momento, podendo este ser expresso por: m x m x cos²α + m y sen²α Esforços nas ajes isoadas Nas ajes interessam, particuarmente, os momentos fetores máximos no vãos e sobre os apoios (quando engastados). Existem tabeas que nos fornecem estes momentos máximos para aguns casos usuais de ajes maciças. Nos edifícios, engastado apoiado étodo simpificado apicáve a pisos usuais de edifícios Para os pisos usuais de edifícios residenciais e comerciais pode ser apicado o método simpificado exposto a seguir: Lajes isoadas: iniciamente separam-se as ajes admitindo-se, para cada uma deas, as seguintes condições de apoio: - Apoio ivre, quando não existir aje vizinha a este apoio; - Apoio engastado, quando existir aje vizinha no mesmo níve, permitindo assim a continuidade da armadura negativa de fexão de uma aje para a outra; - Vigas rígidas de apoio da aje; 7 8

11 e, cacuam-se os momentos fetores máximos (em vaor absouto) nestas ajes isoadas (m x, m y, m x, m y ). Correção dos momentos fetores devido à continuidade entre as ajes vizinhas: - omentos sobre os apoios comuns às ajes adjacentes: adota-se para o momento fetor de compatibiização, o maior vaor entre 0,8 m > e (m + m 2 ) / 2, onde m e m 2 são os vaores absoutos dos momentos negativos nas ajes adjacentes junto ao apoio considerado, e m >, o maior momento entre m e m 2. - omentos no vãos: para sobrecargas usuais de edifícios podem ser adotados os momentos fetores obtidos nas ajes isoadas; portanto, sem nenhuma correção devido à continuidade. Para sobrecargas maiores convém efetuar essas correções. Atura úti Da mesma forma que para as ajes armadas em uma só direção, as aturas úteis são dadas por: d x h - c - φ x /2 e d y h - c - φ x - φ y /2 Armaduras mínimas - Armaduras de vão: (A sx ou A sy ) 0,9 cm²/m e ρ A s 0,5 % (CA50 / 60) b h 0,20 % (CA25) - Armaduras sobre os apoios de continuidade: A s,5 cm²/m e ρ A s 0,5 % (CA50 / 60) b h 0,20 % (CA25) Escoha das barras - Diâmetro : 4 mm φ h/0 - Espaçamento entre as barras: armadura nos vãos: A s 8 cm s 20 cm 3h podendo ser estimadas, nas ajes usuais, por d x h - c 0,5 cm e d y h - c,0 cm armadura nos apoios: A s 8 cm s 20 cm 2h cácuo de A s m x,25 d d - - 0,425 b d² f cd e a armadura A s m d f yd (d-0,4 x) onde A s A sx para m m x A s A sy para m m y A s A s para m m 9 20

12 LAJES NERVURADAS As ajes maciças podem ser recomendadas para vãos até cerca de 5m. Para vãos maiores, ea se torna antieconômica devido ao seu grande peso próprio. Uma opção mehor para este caso pode ser conseguida através das ajes nervuradas. As nervuras tem a função de garantir a atura necessária para a armadura de tração resistir à fexão. hf > b /5 > 4 cm PILARES Piares são estruturas de concreto armado que transmitem as cargas do edifício para a fundação. A carga principa, nos edifícios, tem o sentido vertica (peso). Por isso, o esforço soicitante nos piares é constituído essenciamente pea força norma de compressão. Ações outras como, por exempo, a do vento, introduzem soicitações transversais nos piares. Como a força norma de compressão é grande, deve-se ainda considerar os efeitos provenientes do desaprumo construtivo, da indefinição do ponto de apicação das reações das vigas e dos desocamentos apresentados peos piares (efeito de segunda ordem). De fato, considere-se o piar em baanço esquematizado a seguir e seus esforços soicitantes usuais: bw 00 cm bw > 4 cm Para estas ajes tem-se as seguintes recomendações: H P - Os esforços soicitantes podem ser obtidos pea teoria das pacas para faixas de argura unitária; mutipicando estes esforços peos espaçamentos entre nervuras tem-se os esforços atuantes em cada nervura; - A mesa deve ser verificada à fexão se b > 50 cm ou se houver carga concentrada atuando diretamente sobre ea; - A verificação do cisahamento nas nervuras pode ser feita como aje se b 50 cm e, como viga em caso contrário. h Conforme a figura acima, tem-se que h momento fetor devido a H, com 4 m; P 800 kn e H 0 kn. Assim, o momento máximo na base do piar vae: H 0 4,0 40 kn m A força norma N (de compressão) vae 800 kn. Considere-se agora, como mostra a figura seguinte, o efeito de um eventua desaprumo (a) do piar de, digamos, 2 cm. O desocamento transversa da carga P produz um momento fetor adiciona no piar. o momento adiciona máximo vae: a P a 800 0,02 6 kn m P a a 2 22

13 Para se ter uma idéia do efeito dos desocamentos (efeito de segunda ordem), considere-se, no momento, o comportamento eástico inear do concreto com E o 3000 kn/cm² e seção transversa de 25 x 25 cm (seção quadrada). O desocamento (usua) do topo do piar devido a H vae: a H ³ 3 E c I 0 400³ 2,8 cm c (24 4 /2) A consideração do equiíbrio do piar na sua configuração deformada, acarreta um momento fetor adiciona devido ao desocamento transversa da força P. O desocamento transversa fina pode ser estimado através da expressão: a a + a 2 a - P / P f O momento fetor adiciona máximo vae 2 P a, então , ,3 kn m. A figura a seguir representa 2 : P a O momento máximo na base do piar vae: 2 onde sendo Assim P f π² E c I c ² π² E c A c λ² λ c, com e i c θ comprimento de fambagem do piar θ 2 no piar em baanço; θ no piar biarticuado com aongamento ivre; θ, biengastado com desocamento transversa ivre; θ 0,7, engastado de um ado e articuado do outro; i o raio de giração da seção do piar i c I c λ c i c P f 24 4 /2 A c 25² π² E c I c ² ,22 π² E c A c λ² a a + a 2 a - P / P n 7,22 cm π² ² 502 kn ² i c I c A c 2,8 4,66 cm / 502 h + a 2 ( + / h + 2 / h ) 40 ( + 6/ ,3/40) 40 ( + 0,40 + 0,93) Portanto, nesse caso, a representa 40% de h e, 2, 93%, mostrando a importância do desaprumo e do desocamento (efeito de segunda ordem) no esforço soicitante fina. Convém embrar que ainda existem soicitações adicionais provenientes do comportamento não inear com concreto armado e da fuência que age sobre o efeito da carga permanente. Outro fator de grande importância é a esbetez do piar (índice de esbetez λ), que pode ser notado através da expressão a 2, pois quanto maior for o λ, maior será o momento de segunda ordem 2. Considere-se, no exempo visto anteriormente, o efeito da variação da seção transversa de 25 x 25 cm até 90 x 90 cm. A figura a seguir apresenta os resutados obtidos: ( + 2) / a 2 2,0,8,6,4,2, λ 23 24

14 Nota-se que o efeito de segunda ordem é desprezíve para vaores de até em torno de 40 e que a partir deste vaor a sua infuência é cada vez maior. Assim, para efeito de um método de verificação e de cácuo, a NBR 68 propõe a seguinte cassificação dos piares em função do índice de esbetez: - Piar Curto: para λ 40; pode-se desprezar o efeito de segunda ordem e fuência; - Piar edianamente Esbeto: para 40 λ 80; o efeito de segunda ordem deve der considerado (podendo-se utiizar o método do piar padrão) e pode-se desprezar o efeito da fuência; - Piar Esbeto: para 80 λ 40; o efeito de segunda ordem deve der considerado (podendo-se utiizar o método do piar padrão) e deve-se considerar o efeito da fuência (podendo ser estimada através de uma excentricidade compementar equivaente); - Piar uito Esbeto: para 40 λ 200; o efeito de segunda ordem e a fuência devem ser considerados e cacuados de forma rigorosa, aém disso o coeficiente de ponderação das ações deve der majorado, passando a vaer: Tipos de Piares -Piares de canto: situados junto aos cantos do piso; para situação de projeto considera-se como esforços soicitantes a força norma (N) de compressão e dois momentos fetores ( x e y ), atuando segundo os panos constituídos peo piar e por cada uma das vigas nee apoiadas; normamente o conjunto de vaores (N, x e y ) é substituído por (N), (e ix x /N) e (e iy y /N). Situação de cácuo A situação de cácuo corresponde à verificação do estado imite útimo (ELU) de cada seção do piar; aos esforços provenientes da situação de projeto são acrescentados os seguintes efeitos: - A indefinição do ponto de apicação da força norma e o desaprumo do piar que podem ser considerados através da chamada excentricidade acidenta e a estimada, conforme a NBR 68 por e a 2 cm ou h/30, com h sendo a dimensão do piar segundo a dimensão considerada; - Os efeitos de segunda ordem quando λ 40 que podem ser considerados através da excentricidade e 2. Esta excentricidade pode ser estimada, para piares medianamente esbetos, através do método do piar padrão. As hipóteses admitidas neste método são: Normamente, os piares de edifícios podem ser agrupados em dois conjuntos: - Piares de Contraventamento: são aquees que, devido à sua grande rigidez, permitem considerar os diversos pisos do edifício como, praticamente, indesocáveis (caixas de eevadores, piares enrigecidos); o seu cácuo exige sua consideração como um todo; - Piares contraventados: são constituídos peos piares menos rígidos, onde as extremidades de cada ance podem ser consideradas indesocáveis, graças aos piares de contraventamento; seu cácuo pode ser feito de feito de forma isoada em cada ance. Os piares contraventos podem ser agrupados nos seguintes tipos: -Piares internos: situados internamente ao piso; para situação de projeto considera-se como esforço soicitante a fornça norma (N) de compressão; -Piares de estremidade: situados nas bordas do piso; para situação de projeto, considera-se como esforços soicitantes a força norma (N) de compressão e o momento fetor (), atuando segundo o pano constituído peo piar e pea viga; este par de esforços normamente é substituído por (N) e (e i /N). - Seção constante do piar (incusive armadura); - Configuração fetida de forma senoida. P e 2 y d r dx ε dx ε dx 25 26

15 Conforme a figura anterior, temos: ( ) o ( ) y e 2 sen πx ; ý e 2 sen πx ; ÿ - π ² e 2 sen πx - π ² y o o o o Situação de projeto e y h y e x N d Com ou - ÿ r tem-se, para a seção do meio do vão o ² e 2 / r ( π / o )² π² r ( o ) π ² e 2 r Por outro ado, sendo /r (ε co + ε o )/d, a NBR 68 permite considerar piares medianamente esbetos e esbetos: h y e y e y h x e x eax ex e 2x h x Nd h y e 2 y e y e ay e y e y e y N d r 0, f yd / E s h [( υ d + 0,5 )p ] Situação de cácuo h x Situação de cácuo 2 onde E s 2000 kn/cm² e υ d N d / A c f cd O comprimento de fambagem do piar ( o ) é tomado aproximadamente igua ao pé direito, pois as extremidades de cada ance do piar podem ser consideradas indesocáveis. Os efeitos de fuência (quando λ > 80) podem der considerados através da excentricidade compementar equivaente e o. Dimensionamento da Seção Retanguar (armadura simétrica) Costuma-se dimensionar uma seção retanguar com armadura simétrica considerando-se a mais crítica entre as situações de projeto indicadas na figura a seguir. No caso gera (piar de canto), tem-se duas situações de cácuo sujeitas a fexão composta obíqua (FCO); da situação resuta a taxa mecânica ω e da situação 2, ω 2 ; a maior destas taxas define a armadura da seção. Estas situações de cácuo são obtidas através do desocamento máximo do ponto de apicação da força norma segundo h x (situação ) e, segundo h y (situação 2). Para piares internos, tem-se duas situações de cácuo sujeitas a fexão composta norma (FCN). Nos piares de extremidade resutam uma FCN e uma FCO. Nesta útima situação, pode-se, em gera, desprezar a excentricidade inicia resutando, então, dois dimensionamentos a FCN. 27 Dimensões ínimas Para a seção retanguar de dimensões h x h y seja b o menor dos ados e h o maior. recomenda-se: b 20 cm e o /25, onde o é o pé direito ivre. Neste caso, toma-se γ f,4. Excepcionamente 2 cm b 20 cm e h 60 cm, devendo-se utiizar, neste caso, γ f,8. Recomenda-se que a armadura tenha distribuição simétrica e que sua taxa geométrica (ρ) obedeça a seguinte condição: onde ρ min ρ A s / A o ρ max ρ max 3% (6% nas emendas) ρ min 0,8% se λ > 30 ρ min 0,5% se λ 30 28

16 Disposições Construtivas, Bitoas e Espaçamentos h y s s t b < h As disposições construtivas, bitoas e espaçamentos apresentados na figura acima estão assim convencionados: 0 ρ b/0 ; 4 cm ou 4 φ t s 40 cm ; φ t 5 ; 7cm s 30 cm b 2 φ t 90 φ² t / φ CA50A Travamentos Adicionais na Seção transversa A possibiidade de fambagem das armaduras é inibida peos estribos que introduzem pontos de travamento, a cada distância s t. Este travamento é integra junto aos cantos, mas travamentos adicionais a cada 20 φ t, são necessários nas seções aongadas. 29