A UTILIZAÇÃO DA ANALOGIA DE GRELHA PARA ANÁLISE DE PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS EM CONCRETO ARMADO

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1 A UTILIZAÇÃO DA ANALOGIA DE GRELHA PARA ANÁLISE DE PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS EM CONCRETO ARMADO Marcos Alberto Ferreira da Silva (1) ; Jasson Rodrigues de Figueiredo Filho () ; Roberto Chust Carvalho () (1) Aluno de Pós-Graduação em Construção Civil DECiv/UFSCar () Professores Adjuntos DECiv/UFSCar Resumo Diversos métodos para a análise e dimensionamento de lajes de concreto armado de pavimentos de edifícios têm sido propostos e usados ao longo dos anos. Esses métodos são usados para analisar os deslocamentos, os esforços internos, os elementos de apoio e a capacidade de carga das lajes; conhecendo-se a distribuição dos esforços atuantes, tais como momentos fletores, momentos de torção e esforços cortantes, é possível verificar as tensões e calcular as armaduras necessárias nestas lajes. A substituição de uma laje por uma série ortogonal de vigas que se cruzam formando uma grelha é uma das mais antigas propostas de solução. Dividindo as lajes em um número adequado de faixas é possível reproduzir o comportamento estrutural de pavimentos em concreto armado com praticamente qualquer geometria e em diferentes situações de esquema estrutural. Esta é a base do processo de analogia de grelha, o qual possibilita que se faça o cálculo integrado do pavimento. Neste trabalho comparam-se os esforços e os deslocamentos transversais de lajes isoladas e de lajes associadas obtidos a partir do emprego do processo de analogia de grelha com aqueles obtidos através do emprego de tabelas de lajes e, verifica-se a influência de parâmetros como o espaçamento da malha, a rigidez a torção dos elementos e o tipo de carga (concentrada nos nós ou distribuída nas barras da grelha) utilizada para carregar a estrutura equivalente, nos resultados fornecidos por este processo. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 1

2 1 Introdução Devido à falta de recursos computacionais capazes de resolver o grande volume de equações simultâneas necessárias para analisar um pavimento como um todo, durante muito tempo o cálculo de pavimentos de edifícios compostos por lajes e vigas de concreto armado foi feito de maneira simplificada, considerando-se as lajes como elementos isolados apoiados em elementos rígidos, as vigas. Hoje, com o avanço dos microcomputadores, cada vez mais potentes e velozes e, com o surgimento de programas de análise estrutural avançados que possibilitam o cálculo integrado, a situação é outra, podendo-se analisar o comportamento de um pavimento como um todo, levando-se em consideração a influência da flexibilidade dos apoios e da rigidez à torção, tanto das lajes como das vigas, sendo ainda possível de se incluir na análise a não linearidade física do concreto armado. Entre os diversos processos de cálculo que possibilitam a análise integrada de um pavimento, levando-se em consideração a influência desses parâmetros, destaca-se o processo de analogia de grelha, o qual vem sendo muito usado em programas computacionais de análise de estruturas de concreto armado amplamente difundidos no país e de grande aceitação no meio profissional. Além de possibilitar o cálculo integrado de um pavimento, o processo de analogia de grelha permite ainda que, fazendo-se apenas pequenas modificações em um mesmo conjunto de dados, se analise um mesmo pavimento em diferentes situações de esquema estrutural, propiciando desta maneira, ao projetista, rapidez na definição do sistema estrutural mais adequado a ser utilizado. Processo de Analogia de Grelha Baseado na substituição de um pavimento por uma grelha equivalente, onde os elementos da mesma (barras da grelha equivalente) passam a representar os elementos estruturais do pavimento (lajes e vigas), este processo permite reproduzir o comportamento estrutural de pavimentos com praticamente qualquer geometria, seja ele composto de lajes de concreto armado maciças, com ou sem vigas, ou então de lajes nervuradas. Para analisar um pavimento através do processo de analogia de grelha deve-se dividir as lajes que o compõem em um número adequado de faixas, as quais terão larguras dependentes da geometria e das dimensões do pavimento. Considerando que, assim como as vigas, estas faixas possam ser substituídas por elementos estruturais de V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto

3 barras exatamente nos seus eixos, obtém-se então uma grelha equivalente que passa a representar o pavimento. Quanto aos carregamentos, considera-se que as cargas distribuídas atuantes no pavimento se dividem entre as barras da grelha equivalente de acordo com a área de influência de cada uma; as cargas podem ser consideradas uniformemente distribuídas ao longo das barras da grelha ou então concentradas diretamente nos seus nós. As características geométricas que devem ser consideradas para as barras da grelha equivalente são de dois tipos: as do elemento placa (laje) e as do elemento vigaplaca (viga-laje). O cálculo da inércia à flexão dos elementos de placa é feito considerando-se uma faixa de largura b, a qual é dada pela soma da metade dos espaços entre os elementos vizinhos, e altura h, a qual é representada pela espessura da placa. Para se avaliar a parcela geométrica da rigidez à torção, no estádio I, segundo HAMBLY (1976), deve-se considerar o dobro da rigidez à flexão. Assim, para um elemento de placa, pode-se escrever: I f b h = 1 3 e I t = I f b h = 6 3 onde I e I são respectivamente os momentos de inércia à flexão e à torção do elemento f t de placa. Para o elemento viga-placa, na flexão, pode-se considerar uma parte da placa trabalhando como mesa da viga, configurando então, dependendo da posição, uma viga de seção T ou meio T. Uma vez determinada a largura colaborante, a inércia à flexão da seção resultante pode ser calculada supondo a peça trabalhando tanto no estádio I como no II. A inércia à torção do elemento viga no estádio I, de maneira simplificada, usando a Resistência dos Materiais e considerando a viga como retangular, sem levar em conta a contribuição da laje adjacente, é dada pela expressão: I t h b = 3 3 onde b e h são respectivamente a largura e altura do elemento viga. Como indica CARVALHO (1994), no estádio II, pode-se considerar o valor da inércia à torção do elemento viga como sendo 10% daquele dado pela Resistência dos Materiais. Assim: h b It = 30 V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 3 3

4 Os valores do módulo de deformação longitudinal à compressão do concreto (E c ), do módulo de deformação transversal do concreto (G c ), e do coeficiente de Poisson (ν) relativo às deformações elásticas podem ser determinados a partir das recomendações da NBR Situações Analisadas Para exemplificar a possibilidade de uso do processo de analogia de grelha na análise de pavimentos de edifícios, para comparar os resultados obtidos mediante a sua utilização com aqueles obtidos quando se empregam tabelas de lajes isoladas (teoria das placas delgadas) e, para verificar a influência de parâmetros como o espaçamento da malha, a rigidez a torção dos elementos e o tipo de carga utilizada para carregar a estrutura equivalente, nos resultados fornecidos por este processo, foram resolvidos diversos exemplos, os quais serão apresentados a seguir. Para a determinação dos esforços e deslocamentos das placas atráves da teoria das placas delgadas, utilizou-se tabelas de lajes apresentadas em CARVALHO & FIGUEIREDO FILHO (001), as quais foram extraídas de BARES (197) e devidamente adaptadas, por estes autores, para o coeficiente de Poisson (ν) igual a 0, e, para a resolução das grelhas analisadas, foi utilizado o programa GPLAN4 de CORRÊA & RAMALHO (1987), versão educativa, desenvolvido na Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo. EXEMPLO 1 Para comparar os resultados obtidos mediante o emprego do processo de analogia de grelha com os obtidos atráves da teoria das placas delgadas, foi analisada inicialmente uma placa quadrada de 3,0 x 3,0m e de 8cm de espessura, suposta simplesmente apoiada no seu contorno, considerado indeslocável verticalmente. Utilizouse os dados: Dados para o concreto : E c 7 = 3,0 x 10 kn/m ; ν = 0,; Dados do carregamento da placa : peso próprio : g1 = 0,08 5 =,00 kn/m carga permanente g = 1,00 kn/m sobrecarga de utilização q = 3,00 kn/m G c = 1,8 x 10 7 kn/m carga total = 6,00 kn/m V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 4

5 Para analisar a placa através do processo de analogia de grelha foi utilizada uma grelha equivalente composta de 5 nós e 40 barras (figura 1), com espaçamento de 75cm entre as barras nas duas direções. Figura 1: Grelha equivalente da placa do exemplo 1 (5 nós e 40 barras). O carregamento da grelha equivalente foi feito considerando as cargas uniformemente distribuídas nas suas barras; o valor numérico destas cargas foi determinado a partir da área de influência das barras. Assim: 0,75 0,75 6,00 4 para as barras do contorno : p = = 1,15 kn/m 0,75 0,75 0,75 6,00 4 para as barras do centro : p = =,50 kn/m 0,75 Os esforços e os deslocamentos no centro da placa, obtidos admitindo comportamento linear, estão apresentados no quadro 1. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 5

6 QUADRO 1 Momento fletor (em kn.m/m) e flecha (em mm) no centro da placa quadrada do exemplo 1 Modelos de cálculo m = m Flecha x y Analogia de Grelha (A),895,106 Tabelas (B),381 1,385 razão (A/B) 1,16 1,51 Comparando os resultados apresentados no quadro 1, observa-se que o momento fletor obtido através da utilização da analogia de grelha resultou maior que aquele obtido utilizando-se as tabelas de placa, aproximadamente %, enquanto que a flecha resultou maior em aproximadamente 5%. No exemplo 3 poderá ser observado que estes percentuais diminuiram na medida em que se reduziu o espaçamento da malha. EXEMPLO Ainda na intenção de comparar os resultados obtidos mediante o emprego da analogia de grelha com os obtidos atráves da teoria das placas delgadas, foi analisada neste exemplo uma placa retangular de 3,00 x 4,80m e de 8cm de espessura, suposta simplesmente apoiada no seu contorno, considerado indeslocável verticalmente. Para analisar a placa através da analogia de grelha foi utilizada uma grelha equivalente composta de 55 nós e 94 barras (figura ), com espaçamento entre as barras de 48cm na maior direção da placa e, de 75cm, na menor direção. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 6

7 Figura : Grelha equivalente da placa retangular do exemplo (55 nós e 94 barras). As cargas foram consideradas uniformemente distribuídas nas barras. Os dados para o concreto e para os carregamentos foram os mesmos do exemplo 1. Os esforços e os deslocamentos no centro da placa, obtidos considerando comportamento linear, estão apresentados no quadro. QUADRO Momento fletor (em kn.m/m) e flecha (em mm) no centro da placa retangular do exemplo Modelos de cálculo m x m y Flecha Analogia de Grelha (A) 5,194 1,636 3,554 Tabelas (B) 4,504 1,696,830 razão (A/B) 1,153 0,965 1,56 Comparando os resultados apresentados no quadro, observa-se que o momento fletor na menor direção da placa, obtido através da utilização da analogia de grelha, resultou maior que aquele obtido utilizando-se as tabelas de placa, aproximadamente 15%, enquanto que o momento fletor na maior direção da placa resultou 3,5% menor e, a flecha, resultou maior em aproximadamente 6%. EXEMPLO 3 Para averiguar a influência do espaçamento da malha nos resultados da analogia de grelha, foi analisada a mesma placa do exemplo 1 considerando mais três malhas com espaçamentos diferentes: malha de 50 x 50cm, composta de 49 nós e 84 barras, malha de 30 x 30cm, composta de 11 nós e 0 barras e, malha de 15 x 15cm, composta de 441 nós e 840 barras. As cargas foram consideradas uniformemente distribuídas nas barras. Os esforços e os deslocamentos no centro da placa, obtidos considerando comportamento linear, estão apresentados no quadro 3. QUADRO 3 Momento fletor (em kn.m/m) e flecha (em mm) no centro de uma mesma placa quadrada para quatro tipos diferentes de grelha equivalente Malha da grelha equivalente N de nós m x = my Flecha Malha 1 (75 x 75cm) 5,895,106 V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 7

8 Malha (50 x 50cm) 49,636 1,941 Malha 3 (30 x 30cm) 11,450 1,799 Malha 4 (15 x 15cm) 441,30 1,693 Os resultados apresentados no quadro 3 mostram claramente que existe uma influência da malha utilizada na análise da placa; observa-se que os valores do momento fletor e da flecha diminuíram na medida em que se reduziu o espaçamento da malha. Comparando os resultados obtidos para a malha 4 (malha mais "fina") com aqueles obtidos utilizando-se as tabelas de placa (exemplo 1), observa-se uma pequena diferença no valor do momento fletor, aproximadamente 3%, para menos, enquanto que para a flecha observa-se uma diferença de aproximadamente 3%, para mais. EXEMPLO 4 Para averiguar se ocorre grande variação nos valores do momento fletor e da flecha ao considerar-se as cargas como concentradas diretamente nos nós da grelha equivalente ou como uniformemente distribuídas nos elementos da mesma, resolveu-se novamente a placa do exemplo 1 utilizando as malhas 1, 3 e 4 do exemplo 3, considerando para estas, as cargas aplicadas diretamente nos seus nós. Para determinar o valor numérico da carga a ser aplicada diretamente em um nó, determina-se inicialmente a sua área de influência, multiplicando-a a seguir pela carga atuante por metro quadrado na placa. Para efeito de ilustração apresenta-se a seguir, para a malha 1, o cálculo da carga a ser aplicada diretamente nos nós: 0,75 0,75 nós de canto : p = 6,00 = 0, 844 kn 4 0,75 0,75 nós da periferia : p = 6,00 = 1,688 kn 4 0,75 0,75 nós centrais : p = 6,00 4 = 3, 375 kn 4 Os resultados obtidos, considerando comportamento linear, estão apresentados no quadro 4. Os resultados obtidos, pelo menos para este exemplo, mostram que para fins práticos não há diferença alguma em considerar-se as cargas aplicadas diretamente nos nós da grelha equivalente ou uniformemente distribuída nas barras da mesma. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 8

9 QUADRO 4 Momento fletor (em kn.m/m) e flecha (em mm) no centro de uma mesma placa quadrada para as situações de cargas concentradas nos nós e uniformemente distribuídas nos elementos Malha da grelha Tipo de carga Tipo de carga concent. (A) uniform e (B) concent. (C) uniform e (D) m x = my x my m = razão Flecha Flecha razão (A/B) (C/D) Malha 1 (75 x 75cm),919,895 1,008,00,106 0,951 Malha (50 x 50cm),65,636 1,006 1,899 1,941 0,978 Malha 3 (30 x 30cm),457,450 1,00 1,785 1,799 0,99 Malha 4 (15 x 15cm),30,30 1,000 1,690 1,693 0,998 EXEMPLO 5 Para averiguar a influência do módulo de deformação transversal do concreto nos resultados da analogia de grelha, foi analisada novamente a placa do exemplo 1, para as malhas 1,, 3 e 4 do exemplo 3, considerando a relação G c /E c = 0,. As cargas foram consideradas uniformemente distribuídas nas barras das grelhas equivalentes e, admitiu-se comportamento linear. Os resultados obtidos para esta nova relação e aqueles já obtidos para a relação G c /E c = 0,4 (exemplo 3), estão apresentados no quadro 5. Pelos resultados obtidos percebe-se que, tanto o momento fletor como a flecha no centro da placa, aumentaram quando se diminuiu a relação G c /E c de 0,4 para 0,; este comportamento era esperado, uma vez que ao diminuir o valor do módulo de deformação transversal do concreto, diminui-se a rigidez à torção dos elementos da grelha equivalente e, consequentemente, ocorre uma diminuição dos momentos torsores nas extremidades das barras desta grelha; como o equilíbrio da grelha deve ser mantido, ele é obtido através do balanceamento entre momentos fletores e momentos torsores, ou seja, os momentos torsores diminuindo, originam um aumento dos momentos fletores e também da flecha no centro da placa. QUADRO 5 Momento fletor (em kn.m/m) e flecha (em mm) no centro de uma V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 9

10 placa quadrada para as relações G c /E c = 0, e G c /E c = 0,4 Relação G c /E c Relação G c /E c Malha da grelha 0, 0,4 0, 0,4 (A) (B) (C) (D) m x = my x my m = razão Flecha Flecha razão (A/B) (C/D) Malha 1 (75 x 75cm) 3,308,895 1,143,359,106 1,10 Malha (50 x 50cm) 3,18,636 1,07,86 1,941 1,178 Malha 3 (30 x 30cm) 3,073,450 1,54,05 1,799 1,6 Malha 4 (15 x 15cm),973,30 1,81,18 1,693 1,57 EXEMPLO 6 Para comparar os resultados obtidos através da teoria das placas delgadas, a qual considera as bordas das placas como apoios indeslocáveis na direção vertical, com os obtidos quando se considera os contornos dessas mesmas placas deformáveis verticalmente, resolveu-se novamente a placa do exemplo 1, considerando porém, que agora, a mesma encontra-se apoiada em seu contorno em vigas de seção de 0 x 30cm, estando estas vigas apoiadas em pilares nas suas extremidades (figura 3). Para analisar a placa através do processo de analogia de grelha foi utilizada a malha 4 (441 nós e 840 barras) do exemplo 3. As vigas de contorno da laje foram consideradas como retangulares, sem levar em conta a contribuição da laje adjacente e, as inércias à flexão e à torção das mesmas, foram calculadas para o estádio I. As cargas foram consideradas uniformemente distribuídas nos elementos da grelha equivalente. Os dados para o concreto e para os carregamentos foram os mesmos do exemplo 1. Os esforços e os deslocamentos obtidos para o centro da placa estão apresentados no quadro 6. Comparando os resultados apresentados no quadro 6, observa-se que o momento fletor obtido através da utilização da analogia de grelha resultou menor que o obtido utilizando-se as tabelas de placa em aproximadamente 7% e, a flecha, resultou menor em aproximadamente 7%. Em função da inércia à torção das vigas de contorno ser elevada, maior que a própria inércia à flexão das mesmas, nos nós correspondentes ao encontro dos elementos de placa com os elementos de viga (nós do contorno da grelha equivalente), surgem momentos fletores negativos elevados, contribuindo para que ocorra uma redução do momento fletor positivo e da flecha no centro da placa. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 10

11 PILAR VIGA (0/30) PILAR VIGA (0/30) LAJE (H = 8 cm) VIGA (0/30) 3,0 m VIGA (0/30) PILAR 3,0 m PILAR Figura 3: Placa quadrada apoiada em vigas consideradas deformáveis verticalmente. QUADRO 6 Momento fletor (em kn.m/m) e flecha (em mm) no centro de uma placa quadrada apoiada em vigas consideradas deformáveis verticalmente e razão com o valor fornecido pela teoria das placas delgadas Modelos de cálculo m = m Flecha x y Analogia de Grelha (A) 1,693 1,576 Tabelas (B),30 1,693 razão (A/B) 0,730 0,931 EXEMPLO 7 Neste exemplo procurou-se verificar a variação que ocorre nos valores do momento fletor e da flecha no centro da placa do exemplo 6, ao considerar-se a inércia à torção das vigas de contorno dessa placa no estádio II, mantendo-se inalterada a inércia à flexão das mesmas (estádio I). A inércia à torcão das vigas no estádio II foi considerada, segundo recomendação apresentada em CARVALHO (1994) e, já comentada neste trabalho, como sendo 10% da inércia à torção das vigas no estádio I. Os resultados obtidos neste exemplo estão apresentados no quadro 7. QUADRO 7 Momento fletor (em kn.m/m) e flecha (em mm) no centro de uma placa quadrada apoiada em vigas deformáveis verticalmente e com inércia à torção considerada ora no estádio I e ora no estádio II V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 11

12 Situação das vigas de contorno m = m Flecha x y Com inércia à torção no estádio II (A),093 1,914 Com inércia à torção no estadio I (B) 1,693 1,576 razão (A/B) 1,36 1,14 Pelos resultados obtidos observa-se que o momento fletor e a flecha no centro da placa aumenta bastante quando se considera a inércia à torção das vigas de contorno da placa no estádio II; no quadro 8 apresenta-se a comparação dos resultados obtidos considerando-se as vigas de contorno com inércia à torção no estádio II com os obtidos empregando-se a teoria das placas delgadas. QUADRO 8 Momento fletor (em kn.m/m) e flecha (em mm) no centro de uma placa quadrada apoiada em vigas consideradas deformáveis verticalmente e com inércia à torção no estadio II e razão com o valor fornecido pela teoria das placas delgadas Modelos de cálculo m = m Flecha x y Analogia de Grelha (A),093 1,914 Tabelas (B),30 1,693 razão (A/B) 0,90 1,131 Comparando os resultados apresentados no quadro 8, observa-se que o momento fletor obtido através da utilização da analogia de grelha resultou menor que aquele obtido utilizando-se as tabelas de placa em aproximadamente 10%, enquanto que a flecha resultou maior em aproximadamente 13%. EXEMPLO 8 Com a intenção de mostrar que mediante a utilização do processo de analogia de grelha é possivel calcular pavimentos de concreto armado de uma forma integrada, fugindo do cálculo clássico, o qual considera os elementos componentes do pavimento de forma isolada, sem levar em conta a interação entre os mesmos, neste exemplo foi analisado um pavimento composto por quatro lajes, seis vigas e nove pilares, conforme mostra a figura 4 e, os resultados assim obtidos, foram comparados com os obtidos utilizando-se tabelas de placas. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 1

13 P1 VIGA (0/40) P P3 L1 H = 10cm L H = 10cm 4 m P4 VIGA (0/40) P5 P6 VIGA (0/40) L3 H = 10cm VIGA (0/40) VIGA (0/40) L4 H = 10cm VIGA (0/40) 4 m P7 P8 P9 4 m 4 m Figura 4: Fôrma do pavimento do exemplo 8. Os dados utilizados neste exemplo foram: Dados para o concreto : E c 7 = 3,0 x 10 kn/m ; ν = 0,; G c = 1,8 x 10 7 kn/m Dados do carregamento das lajes : peso próprio : g1 = 0,10 5 =,50 kn/m carga permanente g = 1,00 kn/m sobrecarga de utilização q = 3,00 kn/m carga total = 6,50 kn/m A inércia à torção das vigas foi calculada no estádio II ( 10% da inércia à torção no estádio I), enquanto que a inércia à flexão das mesmas, foi calculada no estádio I. As vigas foram consideradas como retangulares, sem levar em conta a contribuição da laje adjacente. Para analisar o pavimento através da analogia de grelha foi utilizada uma grelha equivalente composta de 441 nós e 840 barras, com espaçamento de 40cm entre as barras nas duas direções. As cargas foram consideradas uniformemente distribuídas nas barras. Os resultados obtidos neste exemplo estão apresentados no quadro 9. QUADRO 9 Momentos fletores (em kn.m/m) e flecha (em mm) nas lajes do pavimento do exemplo 8 V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 13

14 Laje m x = my x x y x = Flecha L1=L=L3=L4 (A) 3,13-6,35,043 Tabelas (B),9-7,70 1,58 razão (A/B) 1,069 O,870 1,64 Comparando os resultados apresentados no quadro 9, observa-se que o momento fletor positivo obtido através da utilização da analogia de grelha resultou pouco maior que o obtido utilizando-se as tabelas de placa, aproximadamente 7%, enquanto que o momento fletor negativo resultou menor em aproximadamente 13% e, a flecha, resultou maior em aproximadamente 6%. 4 Conclusões As conclusões deste trabalho são apresentadas a seguir: Os resultados apresentados no quadro 3 mostram claramente que existe uma influência da malha utilizada na análise da placa; observou-se que os valores do momento fletor e da flecha diminuíram na medida em que se reduziu o espaçamento da malha; para o centro de uma placa quadrada de 3,0 x 3,0m e de 8,0cm de espessura, suposta simplesmente apoiada em seu contorno, considerado indeslocável verticalmente, verificou-se que ocorreu uma razoável variação nos valores do momento fletor e da flecha em função do espaçamento da malha utilizada na sua análise; da malha mais "larga" (75 x 75cm) para a mais "fina" (15 x 15cm), tanto o momento fletor como a flecha sofreram uma redução de aproximadamente 0%; para o centro de uma placa quadrada de 3,0 x 3,0m e de 8,0cm de espessura, suposta simplesmente apoiada em seu contorno, considerado indeslocável verticalmente, verificou-se que tanto o momento fletor como a flecha obtidos considerando-se as cargas aplicadas diretamente nos nós da grelha equivalente resultaram praticamente iguais àqueles obtidos considerando-se as cargas aplicadas uniformemente distribuídas nas barras dessa mesma grelha; para o centro de uma placa quadrada de 3,0 x 3,0m e de 8,0cm de espessura, suposta simplesmente apoiada em seu contorno, o qual foi considerado indeslocável verticalmente, pode-se verificar que tanto o momento fletor como a flecha no centro da placa, aumentaram quando se diminuiu a relação G c /E c de 0,4 para 0,; V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 14

15 para o centro de uma placa quadrada de 3,0 x 3,0m e de 8,0cm de espessura, apoiada em seu contorno em vigas de 0 x 30cm, consideradas deformáveis verticalmente e, com as inércias à torção e à flexão calculadas no estádio I, verificouse que o momento fletor obtido através da utilização da analogia de grelha, considerando-se uma malha de 15 x 15cm, resultou menor que aquele obtido utilizando-se as tabelas de placa em aproximadamente 7% e, a flecha, resultou menor em aproximadamente 7%; para o centro de uma placa quadrada de 3,0 x 3,0m e de 8,0cm de espessura, apoiada em seu contorno em vigas de 0 x 30cm, consideradas deformáveis verticalmente e, com inércia à flexão calculada no estádio I e inércia à torção calculada no estádio II, verificou-se que o momento fletor obtido através da utilização da analogia de grelha, considerando-se uma malha de 15 x 15cm, resultou maior que o obtido considerando-se a inércia à torção destas mesmas vigas no estádio I, aproximadamente 4%; o mesmo ocorreu com a flecha, que resultou maior em aproximadamentre 1%; para o centro de uma laje quadrada de 3,0 x 3,0m e de 8,0cm de espessura, apoiada em seu contorno em vigas de 0 x 30cm, consideradas deformáveis verticalmente e, com inércia à flexão calculada no estádio I e inércia à torção calculada no estádio II, verificou-se que o momento fletor obtido através da utilização da analogia de grelha, considerando-se uma malha de 15 x 15cm, resultou menor que o obtido utilizando-se as tabelas de placa, aproximadamente 10%, enquanto que a flecha resultou maior em aproximadamente 13%; exceto para um caso (exemplo 6), a flecha obtida através da utilização analogia de grelha resultou maior que a obtida através da utilização das tabelas de placas; o processo de analogia de grelha permite dinamizar a análise de um mesmo pavimento em diferentes situações de esquema estrutural, dimensões em planta, espessura das lajes, dimensões de vigas, condições de apoio e carregamentos; com a utilização do processode analogia de grelha é possível calcular pavimentos de concreto armado de uma forma integrada, fugindo do cálculo clássico, o qual considera os elementos componentes do pavimento de forma isolada, sem levar em conta a interação entre os mesmos. Com o cálculo integrado, a contribuição de cada elemento que compõe o pavimento fica corretamente caracterizada e, dessa forma, os esforços e os deslocamentos determinados tendem a ser mais precisos e mais próximos dos valores reais; V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 15

16 5 Referências ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (001). NBR Projeto de concreto estrutural procedimento. Texto base do projeto de revisão da NBR-6118 e NBR Rio de Janeiro, 001. BARES, R. Tablas para el calculo de placas y vigas pared. Barcelona: Editorial Gustavo Gili S.A., 197. CARVALHO, R. C. Análise não-linear de pavimentos de edifícios de concreto através da analogia de grelha Tese de Doutorado. Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos. CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado. São Carlos: EdUFSCar, p. CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R.; FURLAN JÚNIOR, S. Cálculo de lajes de concreto com a analogia de grelha. In: CONGRESSO DE ENGENHARIA CIVIL DA UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA,., 1996, Juiz de Fora. Anais... Juiz de Fora: UFJF, p CORRÊA, M. R. S.; RAMALHO, M. A. Sistema laser de análise estrutral. In: SIMPÓSIO NACIONAL DE TECNOLOGIA DE CONSTRUÇÃO: SOFTWARE PARA O PROJETO DE EDIFÍCIOS, 5., 1987, São Paulo. HAMBLY, E. C. Bridge deck behaviour. London: Chapman and Hall, V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 16

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