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1 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO ANÁISE DE ESTRUTURAS APONTAMENTOS DE INHAS DE INFUÊNCIA Eduardo Pereira 1994

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3 NOTA INTRODUTÓRIA Pretende-se com estes apontamentos fornecer aos alunos da disciplina de Análise de Estruturas I um elemento escrito que os auxilie na aprendizagem da determinação de inhas de Influência. Neste sentido, constituem estes apontamentos um complemento aos textos de apoio sobre Análise Elástica de Estruturas, considerando-se como apreendidos os conhecimentos relativos à formulação e aplicação dos métodos de análise matricial de estruturas: o Método das Forças e o Método dos Deslocamentos. Da mesma forma, a notação aqui utilizada coincide com a adoptada na apresentação desses métodos. Nestes apontamentos são introduzidas as noções básicas sobre inhas de Influência, dando-se uma panorâmica geral dos principais métodos utilizados para a determinação de funções de influência em pórticos. Para cada um dos métodos, indica-se quais os princípios em que se baseiam listando-se em seguida as principais etapas que os compõem. A utilização de exemplos de aplicação procura demonstrar a sua forma de aplicação prática. São utilizadas as tabelas de Análise de Estruturas, anexas aos textos de apoio sobre Análise Elástica de Estruturas, para obter os valores das matrizes de flexibilidade e de rigidez dos elementos de barra, bem como para os valores das deformações devidas às cargas de vão e das forças de fixação.

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5 ÍNDICE INTRODUÇÃO... 1 Cargas Móveis, Combóios de Cargas Móveis e Caminho de Rolamento... 1 Função de Influência, inha de Influência e Superfície de Influência... 2 Utilização de inhas de Influência... 3 MÉTODO DIRECTO PARA A DETERMINAÇÃO DE INHAS DE INFUÊNCIA... 4 Aplicação do Método Directo em Estruturas Isostáticas... 4 Aplicação do Método Directo em Estruturas Hiperstáticas... 6 Método Directo Associado ao Método das Forças... 6 Método Directo Associado ao Método dos Deslocamentos MÉTODO INDIRECTO PARA A DETERMINAÇÃO DE INHAS DE INFUÊNCIA Princípios gerais Método Indirecto Aplicado a Estruturas Isostáticas Método Indirecto Aplicado a Estruturas Hiperstáticas Método Indirecto Associado ao Método das Forças Método Indirecto Associado ao Método dos Deslocamentos ESCOHA DO MÉTODO DE CÁCUO Estruturas Isostáticas Estruturas Hiperstáticas CONCUSÕES BIBIOGRAFIA... 37

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7 INTRODUÇÃO Cargas Móveis, Combóios de Cargas Móveis e Caminho de Rolamento Por forma a sistematizar o estudo das linhas de influência, interessa definir o que se entende por carga móvel, combóio de cargas móveis e caminho de rolamento. Considera-se como carga móvel uma força generalizada de direcção, sentido e intensidade determinadas, mas sem posição fixa na estrutura. Na representação gráfica deste tipo de cargas utilizase uma simbologia que consiste em associar uma circunferência ao vector que indica a direcção e sentido da carga por forma a realçar o carácter móvel da acção. Na figura 1 apresentam-se diferentes tipos de cargas móveis. Figura 1 Um combóio de cargas móveis corresponde a um conjunto de cargas móveis que mantêm entre si uma posição relativa constante. Simula a acção de veículos automóveis, composições ferroviárias, pontes rolantes ou outro tipo de solicitação móvel. A zona da estrutura onde se considera a possível actuação de cargas móveis é habitualmente designada por caminho de rolamento. No caso de estruturas compostas por peças lineares o caminho de rolamento é uma linha, enquanto que no caso de estruturas constituídas por peças bidimensionais pode corresponder a uma superfície. Figura 2 Os diferentes tipos de cargas móveis a considerar no projecto de estruturas são, em geral, definidos ou pelo dono da obra ou pelos regulamentos aplicáveis. No caso de pontes rodoviárias de classe I, o Regulamento de Segurança e Acções para Estruturas de Edifícios e Pontes (RSA) define, no seu artigo 41º, o veículo tipo representado na figura 2. É um veículo de três eixos equidistantes, cada um com 1

8 dois rodados de 0.20m por 0.60 m, e com uma carga de 200 kn por eixo. O caminho de rolamento associado a este veículo é constituído pela faixa de rodagem da ponte, considerando-se o eixo do veículo paralelo ao eixo da ponte. Função de Influência, inha de Influência e Superfície de Influência Em todos os casos em que se preveja a actuação de cargas móveis isoladas ou de combóios de cargas, é necessário ter em conta o facto de a cada posição desta acção corresponder um determinado campo de esforços, reacções e deslocamentos. Assim, para uma determinada grandeza em estudo é necessário determinar qual a posição mais desfavorável da carga móvel ou do combóio de cargas considerado. Quando se consideram estruturas com comportamento elástico linear e se admite como válida a hipótese dos pequenos deslocamentos pode ser aplicado, na sua análise, o teorema da sobreposição de efeitos. Assim, o conhecimento do comportamento das estruturas face à actuação de cargas móveis unitárias permite conhecer a sua resposta para a actuação de combóios de cargas. Define-se como função de influência de determinado efeito, E(x), o valor desse efeito (esforço, deslocamento ou reacção) em função da posição, x, de uma carga móvel unitária. O domínio de variação da posição da carga móvel corresponde ao caminho de rolamento considerado. No caso do caminho de rolamento corresponder a uma linha, é possível fazer a representação da função de influência através do traçado de um gráfico em que as abcissas representam a posição da carga ao longo do caminho de rolamento, e as ordenadas o valor da função de influência. A linha obtida nesta representação designa-se por linha de influência. Figura 3 Na figura 3 apresenta-se, como exemplo, a linha de influência correspondente ao momento flector da secção S de um pórtico actuado por cargas móveis verticais. 2

9 No caso do caminho de rolamento corresponder a uma superfície, a representação gráfica da função de influência designa-se por superfície de influência. Utilização de inhas de Influência Conhecendo o traçado da linha de influência de determinada grandeza é possível definir o valor dessa grandeza para cargas móveis isoladas ou para combóios de cargas. Para o exemplo apresentado na figura 3, considere-se a actuação do comboio de cargas apresentado na figura 4. O valor do momento flector na secção S, para a actuação desse conjunto de cargas, é dado por: M S = x 2 p E(x) dx + P E(x 3 ), o que é equivalente, no caso da carga uniformemente distribuída a, M S = p A(x 1,x 2 ) + P E(x 3 ), em que A(x 1,x 2 ) representa a área a sombreado. x 1 Figura 4 3

10 MÉTODO DIRECTO PARA A DETERMINAÇÃO DE INHAS DE INFUÊNCIA A determinação da função de influência e o consequente traçado da linha de influência pode ser feito a partir da sua definição. Neste caso, a estrutura é resolvida considerando como acção a carga móvel unitária colocada numa posição genérica, função da coordenada no caminho de rolamento. Quando se trata de estruturas isostáticas a sua resolução é feita recorrendo unicamente às condições de equilíbrio, enquanto que no caso das estruturas hiperstáticas é necessário recorrer a um método de análise de estruturas, o qual poderá ser o Método das Forças ou o Método dos Deslocamentos. Este método para a determinação de linhas de influência é habitualmente designado como Método Directo visto recorrer directamente à definição de linha de influência. Aplicação do Método Directo em Estruturas Isostáticas Por forma a exemplificar a aplicação deste método considere-se, para a viga isostática representada na figura 5a, a determinação das linhas de influência das reacções verticais e do momento flector e do esforço transverso na secção S. Na figura 5b representa-se o sentido arbitrado para as reacções verticais, bem como qual a coordenada escolhida para referenciar a posição da carga móvel. Figura 5a Figura 5b Utilizando as equações de equilíbrio, é possível calcular o valor das reacções de apoio R A e R B em função da posição da carga unitária. Obtêm-se assim para as funções de influência das reacções de apoio as seguintes expressões: R A (x) = 1 - x R B (x) = x 4

11 O momento flector e o esforço transverso na secção S podem ser definidos a partir das reacções de apoio na forma, M S (x) = ( - x 0 ) R B para a carga situada entre A e S logo 0 x x 0 M S (x) = x 0 R A para a carga situada entre S e B logo x 0 x V S (x) = - R B para a carga situada entre A e S logo 0 x < x 0 V S (x) = R A para a carga situada entre S e B logo x 0 < x As funções de influência do momento flector e do esforço transverso na secção S obtêm-se substituindo nesta expressão as funções de influência de R A e R B, logo: M S (x) = ( - x 0 ) x para 0 x x 0 M S (x) = x x para x 0 x V S (x) = - x para 0 x < x 0 V S (x) = 1 - x para x 0 < x Na figura 6 apresenta-se o traçado das linhas de influência de R A, R B, M S e V S obtidas a partir da representação gráfica das respectivas funções de influência. Figura 6 5

12 Aplicação do Método Directo em Estruturas Hiperstáticas Para o caso de estruturas hiperstáticas, o procedimento a utilizar é em tudo semelhante, havendo no entanto que utilizar o Método das Forças ou o Método dos Deslocamentos para a resolução da estrutura. Nos parágrafos seguintes descrevem-se sucintamente estes dois métodos, exemplificando-se a sua aplicação com a determinação das linhas de influência do momento flector nas secções S e B e da rotação do nó B da viga contínua representada na figura 7a. Na figura 7b apresenta-se a discretização adoptada na resolução deste problema. Figura 7a Figura 7b Método Directo Associado ao Método das Forças A resolução da estrutura sob a acção da carga móvel unitária é feita recorrendo ao método das forças. Para tal é necessário, com base na escolha de um sistema base isostático, determinar as parcelas complementar e particular da solução. A parcela complementar resulta da actuação das incógnitas hiperstáticas unitárias. A parcela particular define a actuação isolada da carga rolante em cada um dos elementos de barra que constituem o caminho de rolamento. A solução da estrutura é obtida por meio da imposição das equações de compatibilidade ao nível dos deslocamentos associados às incógnitas hiperstáticas. Descrição do método Discretização e orientação da estrutura; Determinação do grau de indeterminação estática, α; Escolha de um sistema base por meio da libertação de α ligações independentes; Parcela complementar: Cálculo dos esforços e deformações associados às α incógnitas hiperstáticas, obtenção dos termos da matriz de flexibilidade e da parcela complementar do esforço, reacção de apoio ou deslocamento do qual se pretende a linha de influência E c ; 6

13 Considerando separadamente a actuação da carga unitária em cada elemento de barra pertencente ao caminho de rolamento: Parcela particular: Aplicação da carga móvel unitária, determinação dos esforços e deformações, determinação dos deslocamentos associados às incógnitas hiperstáticas e da parcela particular do esforço, reacção de apoio ou deslocamento do qual se pretende a linha de influência E 0 ; Resolução da equação do método das forças (F p + v 0 = 0), obtenção das expressões das funções de influência das incógnitas hiperstáticas p para a actuação da carga no elemento de barra considerado; Obtenção da expressão da função de influência para a actuação da carga no elemento de barra considerado a partir da sobreposição de efeitos : E = E c p + E 0. Comentários A solução obtida para a equação do método das forças corresponde à função de influência dos esforços ou reacções de apoio escolhidas como incógnitas hiperstáticas. A parcela particular da função de influência corresponde à função de influência do esforço, reacção ou deslocamento na estrutura isostática que serve de sistema base. No caso da determinação de funções de influência de deslocamentos, o cálculo dos valores dos deslocamentos no sistema base para a actuação das incógnitas hiperstáticas unitárias e para a actuação da carga móvel unitária poderá revestir-se de alguma complexidade se não se colocar um nó na secção cujo deslocamento se pretende determinar. Exemplo de aplicação - Escolha do sistema base e análise da solução complementar A estrutura em análise tem um grau de hiperstatia igual a 1. Assim, é necessário introduzir uma libertação na estrutura por forma a obter um sistema base. Na figura 8a representa-se o sistema base escolhido, o qual consiste na libertação do momento flector na secção inicial da barra 2. Para este sistema base, apresenta-se na figura 8b a distribuição de momentos flectores associada à aplicação da incógnita hiperstática unitária. Figura 8a Figura 8b 7

14 A matriz dos esforços independentes que equilibram as incógnitas hiperstáticas unitárias toma assim a forma, B t = [ ]. A partir da definição deste operador de equilíbrio e das características geométricas e mecânicas das diferentes barras é possível obter, considerando unicamente a deformabilidade por flexão, a matriz de flexibilidade da estrutura, 2 F * = 3 E I. O momento flector na secção S devido à actuação da incógnita hiperstática unitária é igual a x 0. O momento flector na secção B é igual a 1 e o valor da rotação do nó B é de sentido directo. 3 E I medido no - Solução particular Na análise da acção da carga móvel deve-se considerar separadamente a colocação da carga em cada um dos tramos. Nas figuras 9a e 9b apresenta-se a distribuição de momentos flectores referentes ao caso em que a carga móvel se encontra na barra 1 e na barra 2, respectivamente. Figura 9a Figura 9b A acção da carga móvel é quantificada a partir do vector dos esforços, X 0, bem como do vector das deformações devidas às cargas de vão, u. Assim, para a carga na barra 1 obtém-se, X 0 t = [ ] e u t = x 1 ( - x 1 ) (2 - x 1 ) 6 E I x 1 ( - x 1 ) ( + x 1 ) 6 E I 0 0, sendo o momento flector na secção S igual a x 1 - x 1, para a carga entre A e S x ( 0 x 1 x 0 ) e igual a x 0-0 x 1, para a carga entre S e B ( x 0 x 1 ). x 0 8

15 O valor do momento flector na secção B é nulo e a rotação do nó B é igual a x ( - x 1 ) 6 EI Para a carga na barra 2, tem-se X 0 t [ ] e u t = 0 0 = x 2 ( - x 2 ) (2 - x 2 ) 6 E I x 2 ( - x 2 ) ( + x 2 ) 6 E I, e tanto o momento flector nas secções S e B, como a rotação do nó B, são nulos. O valor da descontinuidade associada à incógnita hiperstática toma o valor, x v 0 = 1 ( - x 1 ) ( + x 1 ), 6 E I quando a carga se encontra na barra 1 e, v 0 = x 2 ( - x 2 ) (2 - x 2 ), 6 E I quando a carga móvel actua na barra 2. - Equação do Método das Forças Tendo em conta a equação de compatibilidade ( F p + v * 0 = 0 ), obtêm-se para a incógnita hiperstática os seguintes valores: - carga na barra 1 p = - x 1 ( - x 1 ) ( + x 1 ) 4 2 ; - carga na barra 2 p = - x 2 ( - x 2 ) (2 - x 2 ) 4 2. Estas expressões correspondem à função de influência do momento flector na secção B. - Sobreposição de efeitos. Obtenção das expressões das linhas de influência Para se obterem as expressões da função de influência do momento flector em S basta sobrepor a solução complementar com a solução particular. 9

16 inha de influência do momento flector na secção S - carga móvel na barra 1 M S = - x 1 ( - x 1 ) ( + x 1 ) 4 2 x x 0 - x 0 x 1 0 x 1 x 0 x 0 x 1 x 0 x 1, ou simplificando, M S = 1 - x 0-5 x 0 4 x 1 + x x x 1 x 0 5 x 0 4 x 1 + x x 1 3 x 0 x 1. - carga móvel na barra 2 M S = - x 2 ( - x 2 ) (2 - x 2 ) 4 2 x 0 = - x x 2-3 x 2 3 ( 2 + x 2 ). inha de influência do momento flector na secção B - carga móvel na barra 1 M B = p = - x 1 ( - x 1 ) ( + x 1 ) 4 2, - carga móvel na barra 2 M B = p = - x 2 ( - x 2 ) (2 - x 2 ) 4 2. inha de influência da rotação do nó B - carga móvel na barra 1 θ B = - x 1 ( - x 1 ) ( + x 1 ) E I + x ( - x 1 ) 6 EI, 10

17 ou simplificando, θ B = x ( - x 1 ) 12 EI. - carga móvel na barra 2 θ B = - x 2 ( - x 2 ) (2 - x 2 ) EI = - 6 EI x EI x EI x 2 3. Método Directo Associado ao Método dos Deslocamentos A resolução da estrutura para a acção da carga móvel unitária é feita recorrendo ao método dos deslocamentos. Para tal é necessário identificar os deslocamentos independentes e determinar as parcelas complementar e particular da solução. A parcela complementar resulta da imposição dos deslocamentos independentes unitários. Na parcela particular deve-se considerar separadamente a actuação isolada da carga rolante em cada um dos elementos de barra que constituem o caminho de rolamento. A solução da estrutura é obtida por meio da imposição do equilíbrio de forças associadas aos deslocamentos independentes. Descrição do método Discretização e orientação da estrutura; Determinação do grau de indeterminação cinemática β; Escolha dos β deslocamentos independentes; Parcela complementar: Cálculo das forças de fixação associadas aos β deslocamentos independentes, obtenção dos termos da matriz de rigidez e da parcela complementar do esforço, reacção de apoio ou deslocamento do qual se pretende a linha de influência E c ; Considerando separadamente a actuação da carga unitária em cada elemento de barra pertencente ao caminho de rolamento: Parcela particular: Aplicação da carga móvel unitária, determinação das forças de fixação e da parcela particular do esforço, reacção de apoio ou deslocamento do qual se pretende a linha de influência E 0 ; Resolução da equação do método dos deslocamentos: (K q + Q 0 = Q N ), obtenção das expressões das funções de influência dos deslocamentos q para a actuação da carga no elemento de barra considerado; Obtenção da expressão da função de influência para a actuação da carga no elemento de barra considerado a partir da sobreposição de efeitos : E = E c q + E 0. 11

18 Comentários A solução obtida para a equação do método dos deslocamentos corresponde à função de influência dos deslocamentos independentes. A parcela particular da função de influência corresponde à função de influência do esforço, reacção ou deslocamento na estrutura bloqueada. Exemplo de aplicação - Deslocamentos independentes e análise da solução complementar Na figura 10a indica-se qual o deslocamento independente escolhido, a rotação do nó B. A solução complementar é obtida impondo um valor unitário para este deslocamento. Na figura 10b apresenta-se a distribuição de momentos flectores associada à solução complementar. Figura 10a Figura 10b Tendo em conta as características geométricas e mecânicas da estrutura, a solução complementar permite obter a seguinte matriz de rigidez da estrutura, 6 E I K =. O momento flector na secção S na solução complementar é igual a 3 E I 2 secção B, considerando-a como secção final da barra 1, é igual a 3 E I um valor unitário. x 0. O momento flector na, e a rotação do nó B toma - Solução particular Na análise da acção da carga móvel é necessário considerar separadamente a colocação da carga em cada um dos tramos. Nas figuras 11a e 11b apresenta-se a distribuição de momentos flectores referentes ao caso em que a carga móvel se encontra na barra 1 e na barra 2, respectivamente. 12

19 Figura 11a Figura 11b A acção da carga móvel é quantificada a partir do vector das forças de fixação. Assim, para a carga na barra 1 obtém-se, Q 0 = - ( ) 2 2 x x 1 2, sendo o momento flector na secção S igual a x 1 + e igual a x 0 + x x x 0, para a carga entre A e S ( 0 x 1 x 0 ) x x x 0, para a carga entre S e B ( x 0 x 1 ). O momento flector na secção B é igual a - Para a carga na barra 2, tem-se x ( - x 1 ) 2 2, e a rotação do nó B é nula. Q 0 = ( ) ( 2 - x 2 ) x 2 - x 2 2 2, e valores nulos para o momento flector nas secções S e B, e para a rotação do nó B. 13

20 - Equação do Método dos Deslocamentos Tendo em conta a equação de equilíbrio seguintes valores: ( K q + Q 0 = Q N ), obtém-se para a rotação do nó B os - carga na barra 1 q = - carga na barra 2 q = - x 1 ( 2 - x 1 2 ) 12 EI x 2 - x 2 12 EI ; ( ) ( 2 - x 2 ). Estas expressões correspondem à função de influência da rotação do nó B. - Sobreposição de efeitos. Obtenção da expressão da linha de influência Para se obterem as expressões da função de influência do momento flector em S, basta sobrepor a solução complementar com a solução particular, - carga móvel na barra 1 M S = x 1 ( 2 - x 1 2 ) 12 E I ou simplificando, 3 E I 2 x 0 + x 1 + x 0 + x x1 2 3 x 0 0 x 1 x 0 x x1 2 3 x 0 x 0 x 1, M S = 1 - x 0-5 x 0 4 x 1 + x x x 1 x 0 5 x 0 4 x 1 + x x 1 3 x 0 x 1. - carga móvel na barra 2 M S = - ( ) ( 2 - x 2 ) x 2 - x 2 12 EI 3 E I 2 x 0 = - x x 2-3 x ( x2 ). Como era de esperar, a expressão obtida para a linha de influência do momento flector na secção S é idêntica à obtida recorrendo ao método das forças. O seu traçado é apresentado na figura 12. A função de influência do momento flector na secção B é determinada da mesma forma, tomando os seguintes valores: 14

21 - carga móvel na barra 1 M B = x 1 ( 2 - x 1 2 ) 12 E I 3 E I - x ( - x 1 ) 2 2 = - x ( - x 1 ) carga móvel na barra 2 M B = - ( )( 2 - x 2 ) x 2 - x 2 12 EI 3 E I = - ( )( 2 - x 2 ) x 2 - x Figura 12 A expressão obtida para a função de influência do momento flector na secção B é idêntica à obtida utilizando o método das forças. O traçado da respectiva linha de influência é apresentado na figura 13. Figura 13 Na figura 14 apresenta-se o traçado da linha de influência da rotação do nó B, a qual corresponde à função de influência do deslocamento independente, q, utilizado na resolução deste problema. Figura 14 15

22 MÉTODO INDIRECTO PARA A DETERMINAÇÃO DE INHAS DE INFUÊNCIA Princípios gerais - inhas de influência de esforços ou de reacções de apoio O método indirecto para a determinação de linhas de influência de esforços decorre da aplicação do teorema de Müller-Breslau. Este teorema tem o seguinte enunciado: O valor da ordenada da linha de influência de um determinado esforço na secção de abcissa x 0, X x0, provocado por uma força unitária, λ x =1, é igual ao deslocamento, δ x, correspondente a λ x, obtido a partir da introdução da deformação unitária associada ao esforço X, u x0 =1. Este teorema é válido na hipótese dos pequenos deslocamentos e deformações. No caso de estruturas hiperstáticas, é necessário garantir a linearidade física (comportamento elástico e linear). Este resultado não é mais do que uma aplicação do Princípio da Dualidade, visto que exprime a dualidade entre relações de equilíbrio e compatibilidade na forma: se X x0 = f( x,x 0 ) [ ] λ x então [ ( )] u x0 desde que o deslocamento δ x seja o deslocamento verifica-se que δ x = f x,x 0 correspondente à força λ x e a deformação u x0 seja a correspondente ao esforço X x0. Para o caso das reacções de apoio, devido ao facto de se tratar de forças exteriores, é necessário adaptar estas relações da seguinte forma: R = f x [ ( )] λ x e δ x = - f( x) [ ] r, representando r o deslocamento correspondente à reacção de apoio R. Assim, a determinação das linhas de influência de esforços e reacções pode ser considerada como a determinação da deformada do caminho de rolamento, na direcção e sentido da carga móvel, sob a acção da descontinuidade unitária dual do esforço ou da reacção pretendida. Figura 15 16

23 As deformações unitárias positivas a considerar para o caso do momento flector, esforço transverso e esforço normal encontram-se representadas na figura inhas de influência de deslocamentos O método indirecto aplicado à determinação das linhas de influência de deslocamentos corresponde a uma aplicação do Teorema da Reciprocidade: O valor do deslocamento na secção x 0, δ x0, quando a carga móvel unitária, λ x =1, actua na secção de abcissa x, é igual ao valor do deslocamento da secção de abcissa x, δ x, quando se aplica uma carga unitária, λ x0, na secção de abcissa x 0. [ ( )] λ x então verifica-se que [ ( )] λ x0, desde que o deslocamento δ x seja o deslocamento correspondente à força λ x e Esta relação pode ser escrita na forma: se δ x0 = f x,x 0 δ x = f x,x 0 a força λ x0 seja a correspondente ao deslocamento δ x0. Este resultado é válido dentro das hipóteses de linearidade física e geométrica. Assim, a determinação das linhas de influência de deslocamentos pode ser considerada como a determinação da deformada do caminho de rolamento, na direcção e sentido da carga móvel, sob a acção da força generalizada unitária correspondente ao deslocamento em análise. Método Indirecto Aplicado a Estruturas Isostáticas A aplicação do método indirecto à determinação de linhas de influência em estruturas isostáticas faz-se a partir da aplicação dos teoremas enunciados. Assim, a determinação das linhas de influência em estruturas isostáticas corresponde à determinação da deformada do caminho de rolamento quando da actuação da descontinuidade unitária correspondente. No caso de esforços ou reacções, as linhas de influência correspondentes serão definidas por troços rectos. Este facto deve-se a que a introdução de uma deformação ou de um deslocamento de apoio numa estrutura isostática, por se realizar através da introdução da libertação correspondente, não provoca esforços. Sendo assim, as deformações são nulas e a deformada é unicamente devida aos deslocamentos de corpo rígido dos vários elementos. No caso de deslocamentos em estruturas isostáticas em que os diferentes elementos de barra apresentam secções constantes, as correspondentes linhas de influência serão constituídas por troços polinomiais de grau não superior ao terceiro. As deformadas cúbicas justificam-se pelo facto da 17

24 curvatura, em peças rectas de secção transversal constante, ser proporcional ao momento flector, o qual apresenta um andamento linear tendo em conta que o carregamento é constituído apenas por cargas concentradas unitárias. Exemplo de aplicação Considere-se a estrutura representada na figura 16, para a qual se pretende determinar as linhas de influência do momento flector na secção S 1, do esforço transverso na secção S 2, da reacção vertical no apoio C e do deslocamento vertical da secção B, utilizando o método indirecto. Figura 16 - inha de influência do momento flector em S 1 Utilizando o método indirecto, a linha de influência do momento flector na secção S 1 corresponde à deformada da estrutura devida à introdução de uma deformação unitária correspondente ao momento flector na secção S 1. Na figura 17 apresenta-se o traçado desta deformada, indicando-se os valores úteis para a sua completa definição. Figura 17 Saliente-se o facto da linha de influência do momento flector ser expressa em unidades de comprimento, neste caso metro. 18

25 - inha de influência do esforço transverso em S 2 A linha de influência do esforço transverso na secção S 2 corresponde à deformada da estrutura devida à introdução de uma deformação unitária correspondente ao esforço transverso na secção S 2. Na figura 18 apresenta-se o traçado desta deformada, indicando-se todos os valores necessários à sua completa definição. Figura 18 No caso do esforço transverso, os valores da função de influência são adimensionais - inha de influência da reacção vertical no apoio C A linha de influência da reacção vertical no apoio C corresponde à deformada da estrutura devida à introdução de um deslocamento unitário na direcção e sentido desta reacção. Arbitrando para a reacção de apoio o sentido positivo representado, a linha de influência toma a configuração apresentada na figura 19. Saliente-se que, tratando-se de uma linha de influência de uma reacção de apoio, são consideradas positivas as ordenadas marcadas no sentido inverso ao da carga móvel. Figura 19 19

26 - inha de influência do deslocamento vertical da secção B A linha de influência do deslocamento vertical da secção B corresponde à deformada da estrutura quando da aplicação de uma força unitária com a direcção e o sentido do deslocamento. O cálculo desta deformada é feito com base na distribuição de esforços que esta força origina na estrutura. Figura 20 Tendo em conta o diagrama de momentos flectores apresentado na figura 20, é possível concluir que apenas a barra AB se deforma pois só neste troço da estrutura os esforços são não nulos. Assim, considerando apenas a deformabilidade por flexão, é possível determinar qual o deslocamento vertical do ponto B, = = e, com base neste deslocamento, a deformada do troço BF. 3 EI 3 EI Figura 21 Na figura 21 apresenta-se o traçado da linha de influência do deslocamento vertical da secção B. Para o troço AB a função de influência apresenta a seguinte expressão: δ vc = 3 3 EI 3 x x em que 0 x e = 4m. 20

27 Método Indirecto Aplicado a Estruturas Hiperstáticas Para o caso de estruturas hiperstáticas o procedimento a utilizar é em tudo semelhante, havendo no entanto que utilizar o Método das Forças ou o Método dos Deslocamentos para a resolução da estrutura. Nos parágrafos seguintes descrevem-se sucintamente estes dois métodos exemplificando-se a sua aplicação recorrendo à determinação das linhas de influência do momento flector nas secções S e B e da rotação do nó B da viga contínua utilizada no método directo, figuras 7a e 7b. Método Indirecto Associado ao Método das Forças A resolução da estrutura, sob a acção da descontinuidade unitária correspondente à grandeza para a qual se pretende a função de influência, é feita recorrendo ao método das forças. Para tal é necessário, com base na escolha de um sistema base isostático, determinar as parcelas complementar e particular da solução. A parcela complementar resulta da actuação das incógnitas hiperstáticas unitárias. Na parcela particular deve-se considerar a actuação da descontinuidade unitária para cada uma das linhas de influência a determinar. A solução da estrutura é obtida por meio da imposição da compatibilidade ao nível dos deslocamentos associados às incógnitas hiperstáticas. As equações obtidas para a deformada do caminho de rolamento correspondem às expressões das funções de influência. Descrição do método Discretização e orientação da estrutura; Determinação do grau de indeterminação estática, α; Escolha de um sistema base por meio da libertação de α ligações independentes; Parcela complementar: Cálculo dos esforços e deformações associados às α incógnitas hiperstáticas, obtenção dos termos da matriz de flexibilidade e da parcela complementar da deformada do caminho de rolamento δ c ; Para cada linha de influência a determinar: Parcela particular: Aplicação da descontinuidade unitária, determinação dos esforços e deformações, determinação dos deslocamentos associados às incógnitas hiperstáticas e da parcela particular da deformada do caminho de rolamento δ 0 ; Resolução da equação do método das Forças (F p + v 0 = 0), obtenção dos valores das incógnitas hiperstáticas p; Obtenção da expressão da deformada da estrutura, a qual corresponde à função de influência, a partir da sobreposição de efeitos : δ = δ c p + δ 0. Comentários 21

28 A parcela particular da função de influência corresponde à função de influência do esforço, reacção ou deslocamento na estrutura isostática que serve de sistema base. No caso da determinação de funções de influência de deslocamentos, o cálculo dos valores dos deslocamentos no sistema base para a actuação das incógnitas hiperstáticas unitárias e para a actuação da carga móvel unitária poderá revestir-se de alguma complexidade se não se colocar um nó na secção cujo deslocamento se pretende determinar. No caso da determinação de linhas de influência de esforços ou de reacções de apoio, os esforços na parcela particular são nulos, sendo a deformada constituída unicamente por troços lineares. Exemplo de aplicação Para ilustrar a aplicação do Método Indirecto associado ao Método das Forças, é utilizado o exemplo apresentado anteriormente para a determinação de linhas de influência pelo método directo em estruturas hiperstáticas, representado nas figuras 7a e 7b. - Escolha do sistema base e análise da solução complementar Quando do estudo deste exemplo para aplicação do Método Directo associado ao Método das Forças, já foi analisada a parcela complementar tendo sido obtida a matriz de equilíbrio, B t 2 = [ ], e a matriz de flexibilidade da estrutura F * = 3 E I. Além destes dois operadores, torna-se necessário obter a expressão da deformada na parcela particular. Tendo em conta unicamente a deformabilidade de flexão, e com base no diagrama de momentos flectores representado na figura 8b, é possível obter a seguinte deformada: elemento de barra 1 δ c1 = 6 EI x 1 - x ; elemento de barra 2 δ c1 = 6 EI 2 x 2-3 x x ; 22

29 inha de influência do momento flector na secção S -Solução particular Neste caso, a solução particular corresponde à deformada da estrutura sob a acção da descontinuidade unitária de flexão na secção S. Na figura 22 representa-se a aplicação desta descontinuidade. Figura 22 O valor do deslocamento associado à incógnita hiperstática devido à acção da descontinuidade unitária, como se indica na figura 22, é dado por: v 0 = x 0. O mesmo resultado podia ser obtido por dualidade, v 0 = B t u 0, em que o operador B agrupa os momentos flectores na secção S devidos às incógnitas hiperstáticas unitárias, e u 0 representa a deformação de flexão imposta na secção S. A parcela particular da deformada da estrutura é expressa na forma: Barra 1 δ 0 = Barra x 0 x 1 x 1 0 x 1 x 0 x 0 x 0 x 1 δ 0 = 0 23

30 - Equação do Método das Forças Tendo em conta a equação de compatibilidade ( F * p + v 0 = 0 ), obtém-se para a incógnita 3 EI hiperstática o valor p = x 0. - Sobreposição de efeitos. Obtenção da expressão da linha de influência do momento flector em S Para se obterem as expressões da função de influência do momento flector em S, basta sobrepor a solução complementar com a solução particular, - carga móvel na barra 1, deformada da barra 1 M S = 6 EI x 1 - x EI x x 0 x 1 x 1 0 x 1 x 0 x 0 x 0 x 1, ou simplificando, M S = 1 - x 0-5 x 0 4 x 1 + x x x 1 x 0 5 x 0 4 x 1 + x x 1 3 x 0 x 1. - carga móvel na barra 2, deformada da barra 2 M S = 6 EI 2 x 2-3 x x EI 2 2 x 0 = - x x 2-3 x 2 3 ( 2 + x 2 ) inha de influência do momento flector na secção B -Solução particular Tendo em conta o facto da incógnita hiperstática coincidir com a grandeza para a qual se pretende determinar a função de influência, a deformada correspondente à solução particular é nula. Contudo, o valor do deslocamento associado à incógnita hiperstática toma um valor unitário, v 0 = 1, como se pode verificar a partir da representação apresentada na figura

31 Figura 23 - Equação do Método das Forças Tendo em conta a equação de compatibilidade ( F * p + v 0 = 0 ), obtém-se para a incógnita 3 EI hiperstática o valor p = Sobreposição de efeitos. Obtenção da expressão da linha de influência do momento flector em B Para se obterem as expressões da função de influência do momento flector em B, basta considerar a solução complementar, - carga móvel na barra 1, deformada da barra 1 M B = 6 EI x 1 - x EI 2 - carga móvel na barra 2, deformada da barra 2 2 ( ) = - x x M B = 6 EI 2 x 2-3 x x EI 2 ( ) ( 2 - x 2 ) = - x 2 - x inha de influência da rotação do nó B -Solução particular Figura 24 Para se obter a linha de influência da rotação do nó B, é necessário determinar qual a deformada da estrutura devida à actuação de um momento unitário em B. Assim, a análise da solução particular corresponde ao cálculo da deformada da estrutura e do valor da descontinuidade associada à incógnita 25

32 hiperstática para a actuação deste momento unitário. Na figura 24 apresenta-se a configuração da deformada para a solução particular, - elemento de barra 1 δ 0 = 6 EI x 1 - x ; - elemento de barra 2 δ 0 = 0. A descontinuidade associada à incógnita hiperstática é igual a v 0 = 3 EI. - Equação do Método das Forças Tendo em conta a equação de compatibilidade ( F * p + v 0 = 0 ), obtém-se para a incógnita 1 hiperstática o valor p = Sobreposição de efeitos. Obtenção da expressão da linha de influência da rotação do nó B Para se obterem as expressões da função de influência da rotação do nó B, basta sobrepor a solução complementar com a solução particular, - carga móvel na barra 1, deformada da barra 1 θ B = 6 EI x 1 - x EI x 1 - x = x ( - x 1 ) 12 EI, - carga móvel na barra 2 θ B = 6 EI 2 x 2-3 x x ( ) ( 2 - x 2 ) = - x 2 - x 2 12 EI. Método Indirecto Associado ao Método dos Deslocamentos A aplicação do método indirecto na determinação de linhas de influência baseia-se na utilização do Teorema de Müller-Breslau ou do Teorema da Reciprocidade recorrendo ao método dos 26

33 deslocamentos para a resolução da estrutura. A estrutura deve considerar-se solicitada pela acção unitária (deslocamento, deformação ou força) associada à grandeza (reacção, esforço ou deslocamento) para a qual se pretende a linha de influência. A aplicação desta acção induz na estrutura campos de esforços e deslocamentos. O deslocamento do caminho de rolamento na direcção e sentido da carga rolante corresponde ao traçado da linha de influência. No caso de estruturas hipercinemáticas (β > 0), a resolução da estrutura para a acção unitária pode ser feita recorrendo ao método dos deslocamentos, o que corresponde à aplicação do método indirecto associado ao método dos deslocamentos. Descrição do método Discretização e orientação da estrutura; Determinação dos β deslocamentos independentes; Solução complementar: Traçado das β deformadas, obtenção dos termos da matriz de rigidez e da parcela complementar da deformada do caminho de rolamento, δ c ; Solução particular: Aplicação da descontinuidade unitária, determinação dos vectores Q 0 e Q N, determinação da solução particular para a deformada do caminho de rolamento δ 0 ; Resolução da equação do método dos deslocamentos (K q + Q 0 = Q N ), obtenção dos deslocamentos nodais q; Obtenção da expressão da deformada do caminho de rolamento sobrepondo barra a barra a solução particular com a solução complementar: δ = δ c q + δ 0. Comentários No caso da determinação de linhas de influência de reacções, haverá lugar à aplicação de um deslocamento unitário segundo a direcção e sentido da reacção. A acção corresponde a um assentamento de apoio unitário, a deformada do caminho de rolamento corresponde à linha de influência, tendo em conta que um deslocamento segundo o sentido da carga rolante corresponde a um valor negativo da função de influência. Há a considerar os termos Q 0 e δ 0 sendo os termos Q N nulos. No caso da determinação de linhas de influência de esforços, encontra-se tabelado o valor das forças de fixação para a deformação unitária e a expressão da parcela particular da linha de influência para os diferentes elementos de barra. Há a considerar os termos Q 0 e δ 0 sendo os termos Q N nulos. No caso da determinação de linhas de influência de deslocamentos, a descontinuidade unitária corresponde à aplicação de uma carga unitária. Se o deslocamento for um deslocamento nodal, existem 27

34 apenas os termos Q N sendo os termos Q 0 nulos. No caso de deslocamentos de vão os termos Q N são nulos, existindo os termos Q 0, bem como a parcela particular δ 0. Exemplo de aplicação Para ilustrar a aplicação do Método Indirecto associado ao Método dos Deslocamentos é utilizado o exemplo apresentado anteriormente para a determinação de linhas de influência em estruturas hiperstáticas, representado nas figuras 7a e 7b. - Análise da solução complementar A parcela complementar já foi analisada quando do estudo deste exemplo para aplicação do Método Directo associado ao Método dos Deslocamentos, tendo sido obtida a matriz de rigidez da estrutura 6 E I K =. Além da matriz de rigidez da estrutura, torna-se necessário obter a expressão da deformada correspondente à parcela complementar. Tendo em conta unicamente a deformabilidade por flexão, e com base no diagrama de momentos flectores representado na figura 10b, é possível obter a seguinte expressão: elemento de barra 1 1 δ c1 = ( x 1 - x 1 ); elemento de barra 2 δ c1 = x 2-3 x ( x2 ); inha de influência do momento flector na secção S -Solução particular Neste caso, a solução particular corresponde à deformada da estrutura sob a acção da descontinuidade unitária de flexão na secção S. Na figura 25 representa-se a acção desta descontinuidade no sistema base. 28

35 Figura 25 O valor da força de fixação devida à acção da descontinuidade unitária, como se indica na figura 25, é dado por: Q 0 = - 3 EI 2 x 0. A parcela particular da deformada da estrutura é expressa na forma: Barra 1 δ 0 = x 1 - x x x ( - x 1 ) 2 - ( - x 1 ) 2 - x x ( - x 1 ) 3 0 x 1 x 0 ( - x 1 ) 3 x 0 x 1 Barra 2 δ 0 = 0 - Equação do Método dos Deslocamentos Tendo em conta a equação de equilíbrio x independente o valor q = 0. 2 ( K q + Q 0 = Q N ), obtém-se para o deslocamento - Sobreposição de efeitos. Obtenção da expressão da linha de influência do momento flector em S Para se obterem as expressões da função de influência do momento flector em S, basta sobrepor a solução complementar com a solução particular, - carga móvel na barra 1, deformada da barra 1 29

36 M S = 2 x 1 - x x x 1 - x x 0 - x x 0 - x 1 ( ) 2 ( ) x 0 ( - x 1 ) x 1 x 0 ( ) x 0 x 1 x 0 - x 1 ou simplificando, M S = 1 - x 0-5 x 0 4 x 1 + x x x 1 x 0 5 x 0 4 x 1 + x x 1 3 x 0 x 1. - carga móvel na barra 2, deformada da barra 2 M S = - ( ) x 2-3 x x2 3 x 0 2 = - x x 2-3 x ( x2 ) inha de influência do momento flector na secção B -Solução particular Neste caso a solução particular corresponde à deformada da estrutura sob a acção da descontinuidade unitária de flexão na secção B. Considerando a secção B como a secção final da barra 1, representase na figura 26 a acção desta descontinuidade no sistema base. Figura 26 O valor da força de fixação devida à acção da descontinuidade unitária, como se indica na figura 26, é dado por: Q 0 = - 3 EI A parcela particular da deformada da estrutura é expressa na forma: Barra 1. δ 0 = x ( - x 1 ) ( - x 1 ) 3 30

37 Barra 2 δ 0 = 0 - Equação do Método dos Deslocamentos Tendo em conta a equação de equilíbrio 1 independente o valor q =. 2 ( K q + Q 0 = Q N ), obtém-se para o deslocamento - Sobreposição de efeitos. Obtenção da expressão da linha de influência do momento flector em B. Para se obterem as expressões da função de influência do momento flector em B, basta sobrepor a solução complementar com a solução particular, - carga móvel na barra 1, deformada da barra 1 M B = 2 x 1 - x x x 1 2 ( ) 2 - ( - x 1 ) = - x ( - x 1 ) carga móvel na barra 2, deformada da barra 2 M B = x 2-3 x 2 3 ( 2 + x 2 ) 1 2 ( ) ( 2 - x 2 ) = - x 2 - x inha de influência da rotação do nó B Para se obter a linha de influência da rotação do nó B, é necessário determinar a deformada da estrutura devida à actuação de um momento unitário em B. Assim, a solução particular para esta acção corresponde ao anulamento do termo Q 0 e da solução particular da deformada δ 0, sendo a solicitação devida simplesmente à acção de Q N = 1. - Equação do Método dos Deslocamentos Tendo em conta a equação de equilíbrio independente o valor q =. 6 EI ( K q + Q 0 = Q N ), obtém-se para o deslocamento 31

38 - Sobreposição de efeitos. Obtenção da expressão da linha de influência da rotação do nó B As expressões da função de influência da rotação do nó B, devido ao facto da solução particular ser nula, obtêm-se multiplicando a solução complementar pelo valor do deslocamento independente obtido. Assim, - carga móvel na barra 1 θ B = ( x 1 - x 1 ) - carga móvel na barra 2 6 EI = x ( - x 1 ) 12 EI ; θ B = x 2-3 x ( x2 ) 6 EI = - ( ) ( 2 - x 2 ) x 2 - x 2 12 EI. 32

39 ESCOHA DO MÉTODO DE CÁCUO O objectivo fundamental deste texto de apoio foi o de apresentar os principais métodos para determinação de linhas de influência. Contudo, tem grande interesse reflectir sobre que método escolher quando se pretende determinar linhas de influência numa estrutura. Estruturas Isostáticas A escolha do método de cálculo, para estruturas isostáticas, limita-se à opção entre o método directo e o método indirecto, dependendo esta escolha do tipo de estrutura em causa. No caso de vigas Gerber, ou vigas de rótulas, a utilização do método indirecto parece ser a mais adequada visto que a simplicidade destas estruturas permite uma fácil determinação não só das deformadas resultantes da imposição de deformações unitárias (linhas de influência de esforços ou reacções) como também a determinação da deformada para a actuação de cargas unitárias (linhas de influência de deslocamentos). No caso de linhas de influência de esforços ou reacções em pórticos isostáticos, devido ao facto das deformações unitárias poderem induzir movimentos de corpo rígido mais complexos, é, em geral, aconselhável a utilização do método directo. Para o caso da determinação de linhas de influência de deslocamentos neste tipo de estruturas, o método indirecto parece ser de mais fácil aplicação. Em treliças isostáticas pretende-se geralmente a determinação das linhas de influência dos esforços normais nas barras. O método mais eficiente para se proceder à determinação destas linhas de influência consiste na determinação das linhas de influência das reacções de apoio utilizando o método indirecto, aplicando-se em seguida as relações de equilíbrio, equilíbrio de nós ou método das secções, para a determinação das linhas de influência dos esforços normais nas barras. Estruturas Hiperstáticas Se, no caso das estruturas isostáticas, a escolha do método se limita à opção entre método directo ou método indirecto, no caso das estruturas hiperstáticas, além desta escolha, é necessário optar pelo método das forças ou pelo método dos deslocamentos para a resolução da estrutura. Uma forma simples de decidir qual o método a utilizar para a resolução da estrutura pode ser a comparação entre o grau de indeterminação estática, α, e o grau de indeterminação cinemática, β. Assim, quando α<<β será aconselhável a utilização do método das forças, optando-se pelo método dos deslocamentos sempre que α>>β. 33

40 Contudo, esta opção encontra-se também condicionada pelas ferramentas de cálculo disponíveis. Presentemente, devido ao facto de ser menos condicionado pela topologia das estruturas, a maioria dos programas de cálculo automático de estruturas têm como base a utilização do método dos deslocamentos. Assim, tem-se generalizado a utilização deste método no cálculo de linhas de influência, apesar de para alguns tipos de estruturas, como é o caso das vigas contínuas, o método das forças ser de muito fácil aplicação. Em relação à utilização do método directo ou do método indirecto na determinação de linhas de influência em estruturas hiperstáticas é necessário não só ter em conta que linhas de influência se pretendem determinar mas também quantas linhas de influência. Se o número de linhas de influência a determinar é inferior ao grau de indeterminação da estrutura (α ou β), o método geralmente utilizado consiste na utilização do método indirecto para a determinação de cada uma das linhas de influência. No entanto, se o número de linhas de influência pretendidas é superior ao grau de indeterminação da estrutura, torna-se mais aconselhável a utilização de um método misto. Os métodos mistos consistem na utilização do método directo ou do método indirecto para o cálculo das linhas de influência dos deslocamentos independentes ou das incógnitas hiperstáticas, utilizando em seguida a sobreposição de efeitos para a determinação das linhas de influência pretendidas. Assim, para a determinação de linhas de influência utilizando o método dos deslocamentos procede-se da seguinte forma: Determinar as linhas de influência dos deslocamentos independentes, q i (x), utilizando o método directo ou o método indirecto (em geral o método indirecto); Determinar a parcela particular que corresponde à linha de influência da grandeza pretendida, na estrutura bloqueada, E 0 (x). Este cálculo pode ser feito utilizando o método directo ou indirecto (estes valores são tabelados e correspondem à parcela particular do método indirecto associado ao método dos deslocamentos); Determinar o valor da grandeza da qual se pretende a linha de influência, E ci, para a acção de cada um dos deslocamentos independentes, q i ; Aplicar a sobreposição de efeitos E(x) = β [ E ci q i (x)] + E 0 (x). i=1 O procedimento para a aplicação do método misto associado ao método das forças é em tudo análogo ao descrito para o método dos deslocamentos. Assim: Determinar as linhas de influência das incógnitas hiperstáticas, p i (x), utilizando o método directo ou o método indirecto (em geral o método indirecto); 34

41 Determinar a parcela particular, que corresponde à linha de influência da grandeza pretendida, no sistema base, E 0 (x). Este cálculo pode ser feito utilizando o método directo ou indirecto (estes valores coincidem com a linha de influência na estrutura isostática que serve de sistema base); Determinar o valor da grandeza da qual se pretende a linha de influência, E ci, para a acção de cada uma das incógnitas hiperstáticas, p i ; Aplicar a sobreposição de efeitos E(x) = α [ E ci p i (x)] + E 0 (x). i=1 Quando se pretende automatizar o cálculo de linhas de influência, é geralmente adoptado o método misto com base no método dos deslocamentos. Na realidade, com base num programa de análise de estruturas pelo método dos deslocamentos, é com grande simplicidade que se adicionam as rotinas necessárias ao cálculo de linhas de influência. Estas rotinas deverão permitir o cálculo das deformadas, bem como das soluções particulares para as linhas de influência no elemento de barra. CONCUSÕES Do que anteriormente foi exposto interessa sublinhar as seguintes ideias principais: Uma função de influência estabelece os valores de determinada grandeza numa estrutura em função da posição de uma carga unitária, considerando-se que a carga pode ocupar diferentes posições ao longo de um caminho de rolamento previamente definido; Uma linha de influência é a representação gráfica de uma função de influência quando se considera como caminho de rolamento uma linha; O método directo para a determinação de funções de influência consiste na determinação dos valores da grandeza a determinar directamente a partir da resolução da estrutura para a posição genérica da carga unitária no caminho de rolamento; O método indirecto consiste na determinação dos deslocamentos, nas diferentes secções do caminho de rolamento e segundo a direcção e sentido da carga unitária, originados pela imposição da descontinuidade unitária correspondente à grandeza para a qual se pretende determinar a linha de influência; No caso de estruturas hiperstáticas, existe a necessidade de escolher qual o método de análise estrutural para a resolução da estrutura. No caso de estruturas reticuladas, a escolha reside na opção entre o método das forças e o método dos deslocamentos. 35

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