Profª Gabriela Rezende Fernandes Disciplina: Análise Estrutural 2

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1 rofª Gabriea Rezende Fernandes Discipina: náise Estrutura

2 INCÓGNIS ROÇÕES E DESLOCMENOS LINERES INDEENDENES DOS NÓS Nº OL DE INCÓGNIS d n º de desocabiidades grau de hipergeometria da estrutura d d e + d i d e nº de desocabiidades externas n 0 de desocamentos ineares independentes dos nós n º de apoios do 1º gênero (móve) que torna todos os nós indesocáveis d i nº de desocabiidades internas nº de rotações incógnitas ara pórticos panos: d i nº de nós rígidos nó rígido: é o ponto onde chegam duas ou mais barras, que não seja rotuado

3 Exempos de cácuo do nº de desocabiidades da estrutura: a) C D d i θ C e d e? θ Nó Os nós C e são indesocáveis, pois: Nó C poio móve em C δv c 0 Engaste em D δh c 0 Engaste em δv 0 Engaste em D δh 0 Obs: se o nó está igado a nós indesocáveis ( e C) é indesocáve δv 0 δh 0 Se todos os nós são indesocáveis de 0 d d e + d i 0 +

4 b) D Nó G Nó F E F C G Engaste em C δh G 0 δv E δv G 0 d i 0 todos os nós internos são rotuados d e? δv G 0 δv F 0 Nó D Engaste em δv D 0 Nó E δh F f(δh E, δh G ) f(δh D, δh G ) δh D 0 Engaste em δh E 0 δvv E 0 Os nós E e D são igados por barra horizonta δh E δh D δh F 0 ortanto: d e δh D e δh G F d e Nº de apoios adicionais que torna a estrutura indesocáve D E G d d e + d i + 0 C

5 Se todos os nós são indesocáveis de 0 a estrutura é dita indesocáve Exempos: C a) b) c) C C Em a), b) e c): δh 0 d i 1 de 0 θ d d e + d i Estrutura desocáve de 0 Exempo: Exempo: C δh 0 de 1 d i 1 θ d d e + d i 1 + 1

6 INCÓGNIS ROÇÕES E DESLOCMENOS LINERES INDEENDENES DOS NÓS Deformações em uma barra, quando nenhum dos nós ( ou ) é rotuado posição deformada δ θ θ e : nós rígidos a barra se comporta como uma viga biengastada ρ δ transação da barra (não causa deformação) ρ desocamento ortogona recíproco de em reação à (desocamento perpendicuar à barra) θ θ rotação do nó rotação do nó

7 ρ Deformações em uma barra, quando nenhum dos nós ( ou ) é rotuado θ δ θ θ ρ δ Deformações da barra: - devido à carga - devido aθ - devido aθ - devido a ρ : Desocamento de corpo rígido, não causa deformação a barra se comporta como uma viga bi-engastada c/ recaque anguar em a barra se comporta como uma viga bi-engastada c/ recaque vertica em Se considerar que a barra trabaha no regime eástico e inear: vae o princípio da superposição dos efeitos. ortanto: arra sujeita à deformação tota barra sujeita apenas a + barra sujeita apenas a θ + barra sujeita apenas a ρ + deformações das cargas θ

8 Deformações em uma barra (quando nenhum dos nós é rotuado) e respectivos diagramas de momentos: eo princípio da superposição dos efeitos: δ θ θ ρ Os DMF correspondentes a cada deformação ( θ, θ e ρ ) podem ser obtidos peo método das forças deformação δ θ ρ DMF M 0 M(ρ ) M(θ ) Ex: DMF devido a θ : DMF de uma barra bi-engastada com recaque anguar em. DMF devido a ρ : DMF de uma barra bi-engastada com recaque vertica em carga + θ M(θ ) M CRG

9 Deformações em uma barra (quando um dos nós é rotuado) e respectivos diagramas de momentos: Se o ponto é rotuado: o giro em é ivre (não causa deformação) DMF são obtidos peo método das forças deformação δ DMF M 0 θ ρ δ θ θ θ ρ ρ deformação tota deformações das cargas a barra se deforma como uma viga apoiada e engastada c/ recaque anguar em a barra se deforma como uma viga apoiada e engastada c/ recaque vertica em ρ M(ρ ) M(θ ) θ carga M CRG

10 Convenção de sinais: M > 0 e θ>0 sentido anti-horário + 1. MOMENO DEVIDO À ROÇÃO θ K N rigidez do barra no nó N vaor do momento que se apicado no nó N (suposto ivre para girar) provoca θ N 1 a) arra bi-engastada qua o vaor de K? K θ 1 viga bi-engastada com recaque anguar θ 1 θ 1 eo Método das Forças ou peo processo de Mohr cácuo dos momentos na viga bi-engastada devido ao recaque θ 1 : M DMF M Se I cte, na barra M K 4EI EI M

11 I momento de inércia da barra E móduo de easticidade do materia 1 M M t coeficiente de transmissão de para EI K M θ θ 4 Se θ 1 EI K M 4 M EI EI K M θ θ 4 EI M M t M θ ara θ 1

12 1. MOMENO DEVIDO À ROÇÃO θ b) arra engastada e rotuada: K : rigidez da barra no nó vaor do momento que se apicado no nó (suposto ivre para girar) provoca θ 1 qua o vaor de K? K θ 1 viga engastada - apoiada com recaque anguar θ 1 θ 1 eo Método das Forças ou peo processo de Mohr cácuo dos momentos na viga engastada-apoiada devido ao recaque θ: 1 M Se DMF θ 1 ara I cte e θ 1 M K' ϕ 3EI θ M K' 3EI

13 . MOMENOS DEVIDO O DESLOCMENO OROGONL RECÍROCOρ Convenção de sinais: ρ >0 se desoca em reação à no sentido horário a) arra bi-engastada viga bi-engastada com recaque vertica ρ em ρ eo Método das Forças ou peo processo de Mohr cácuo dos momentos na viga bi-engastada devido ao recaque ρ ρ em M DMF M ara barra com I cte M M 6EI ρ

14 . MOMENOS DEVIDO O DESLOCMENO OROGONL RECÍROCO ρ (cont.) b) arra rotuada e engastada viga engastada-apoiada com recaque vertica ρ em ρ eo Método das Forças ou peo processo de Mohr cácuo dos momentos na viga engastada-apoiada devido ao recaque ρ ρ em M DMF ara barra com I cte M 3EJ ρ ara viga engastadaapoiada com recaque vertica ρ em ρ M 3EJ ρ

15 Se ρ fosse em : EL III: Momentos de engastamento perfeito devido a recaques anguares ou recaques verticais (para barras com inércia constante) ρ M 3EJ ρ para estruturas simétricas

16 ql M 1 ql ql ql M M M pl M 0 pl M 30 pl M 8 pl M 8 pl M 15 3pL M 16 ab M ab L M ( L + b) L ba M L Mb 3b M L L M 3b M 1 L Ma 3a M L L M M 7 pl 10 3pL 16 ab M + L M ( L a) M 3a 1 L EL I: Momentos de engastamento perfeito devido à carga externa (para vigas com inércia constante)

17 Exempo: 1. Cácuo do nº de incógnitas d (d de+di) C δh 0 de 1 d i 1. Obtenção do Sistema rincipa d d e + d i Incógnitas θ 1 θ δh C Sistema rincipa (S) estrutura origina com as rotações impedidas por chapas rígidas e os desocamentos ineares impedidos por apoios móveis Sistema rincipa 1 C

18 θ Incógnitas: 1 e δh C. Obtenção do Sistema rincipa Impede as rotações com chapas rígidas e os desocamentos ineares com apoios móveis dotando Sistema rincipa M 1 momento exercido pea chapa 1 para que θ 0 F H força horizonta exercida peo apoio para que δh C 0 β ij β i0 esforço em i causado por j esforço em i causado pea soicitação externa (carga, recaque ou ) 1 C β 11 β 1 β 1 β β 10 β 0 esforço M 1 (ponto ) devido à apicação de 1 θ esforço M 1 (ponto ) devido à apicação de esforço F H (ponto C) devido à apicação de 1 θ esforço F H (ponto C) devido à apicação de δh C esforço M 1 (ponto ) devido à soicitação externa esforço F H (ponto C) devido à soicitação externa δh C

19 3. Cácuo, no sistema principa, dos momentos (M i ) nas chapas e reações (F i ) nos apoios móveis introduzidos Resoução do S sujeito, separadamente, à soicitação externa e cada uma das desocabiidades β 11 M C β 1 F H picação de 1 β 10 1 C β 0 β 1 β 1 + picação da Carga externa picação de Esforços otais esforços da soicitação externa + + esforços das rotações + + esforços dos desocamentos ineares M 1 β 10 + β β F β + β + β Obs: ode adotar quaisquer vaores para 1 e

20 Quando tem-se a imposição de um desocamento inear em um dos nós da estrutura (no exempo anterior, seria quando apica: δh C ), procede-se da seguinte maneira para cacuar os momentos de engastamento perfeito em cada barra: 1. ara cada barra deve-se cacuar o desocamento ortogona recíproco ρ causado peo desocamento inear imposto. Com o vaor de ρ na barra, cacuam os momentos de engastamento perfeito devido à imposição de ρ no nó. arra rotuada e engastada ρ M 3EI ρ arra bi-engastada ρ M M 6 EI ρ Convenção de sinais: F H > 0 e δ H > 0 no sentido: +

21 4. Sistema de Equações Sistema de equações do sistema principa: M 1 β + β + β F H β0 + β1 1 + β ara que o sistema principa reproduza o comportamento eástico e estático da estrutura origina M 1 F H 0 Sistema de equações da estrutura origina: β β + β β β1 1 + β 0 0 Resove o sistema Obtém 1 e

22 Sistema de equações na forma matricia: β β β 1 β β β β 0 1 β β β 1 β β β β 0 { } [ ] β 1 { β } 0 [β] matriz de rigidez matriz simétrica: β ij β ji { } vetor soução {β 0 } vetor dos termos de carga

23 5. Obtenção dos esforços e reações de apoio finais (E) eo rincípio da superposição de efeitos: O vaor fina do esforço ou reação de apoio em um ponto quaquer da estrutura é dado por: E d E 0 + E i i i 1 E 0 para carregamento externo: E 0 vaor do esforço obtido no ponto considerando somente a carga externa para variação de temperatura: E 0 vaor do esforço obtido no ponto considerando somente para recaque: E 0 vaor do esforço obtido no ponto considerando somente o recaque de apoio E i é o vaor do esforço obtido no ponto considerando somente i

24 1. Cácuo do nº de incógnitas d (d de+di). Obtenção do Sistema rincipa estrutura origina com as rotações impedidas por chapas rígidas e os desocamentos ineares impedidos por apoios móveis 3. Cácuo, no sistema principa, dos momentos (M) nas chapas e reações (F) nos apoios móveis introduzidos Resoução do S sujeito, separadamente, à soicitação externa e cada uma das desocabiidades: Cácuo de β ij e β i0 (ou β ir ou β it ) M β + β + β F β + β + β Impõe M0 nas chapas e F0 nos apoios móveis: obtém os sistema de equações: β 1 β { } [ ] { } 5. Obtêm os esforços e reações de apoio finais: 0 d E E 0 + E i i i 1

25 Soicitação externa Recaque de apoio ara se cacuar os momentos de engastamento perfeito numa determinada barra devido a um recaque, procede-se de maneira anáoga de quando tem-se a imposição de um desocamento inear em um dos nós da estrutura: 1. ara cada barra deve-se cacuar o desocamento ortogona recíproco ρ causado peo recaque imposto. Com o vaor de ρ na barra, cacuam os momentos de engastamento perfeito devido à imposição de ρ no nó. arra rotuada e engastada M 3EI ρ arra bi-engastada M M 6EI ρ ρ é obtido através do traçado de um Wiiot

26 Hipótese: as deformações são pequenas, portanto, pode-se considerar que a extremidade da barra se desoca na direção perpendicuar à direção inicia da barra Exempo: C encurtamento de C encurtamento de C 3 aongamento de, e C: posições iniciais dos nós. a, b e c: posições dos nós após deformação Obs: a, o ponto não se desoca, pois é um ponto fixo; vai se desocar apenas na horizonta devido ao apoio móve em ; reta C se desoca na direção perpendicuar à C, por hipótese; reta C se desoca na direção perpendicuar à C, por hipótese; O ponto C na posição deformada (ponto c) é dado pea interseção das retas que indicam a direção dos desocamentos de C e C.

27 Exempo: C encurtamento de C encurtamento de C 3 aongamento de, e C: posições iniciais dos nós. a, b e c: posições dos nós após deformação rocesso: 1. dota a origem (O), que deve ser um nó fixo (no ex: O a). partir de O, marcam os aongamentos ou encurtamentos das barras com extremidade em O: - 1(// à C), acha o ponto (// à ), acha o ponto 3 b. 3. partir de b, marca encurtamento da barra : marca (// à C), acha o ponto. 4. Em 1 passa uma reta perpendicuar à C (representando a direção do desocamento de C) e em passa uma reta perpendicuar à C (representando a direção do desocamento de C). O ponto c é dado peo encontro dessas retas. O,a 3 3, b 1 δc 1 ρ C c ρ C Oa Ob Oc ρc Oc O1 1c ρc Oc O c São os desocamentos absoutos de, e C

28 Soicitação externa Variação inear de temperatura Seja a estrutura, cujas fibras externas sofrem uma variação de temperatura diferente daquea que ocorre nas fibras internas: h t e t i te ti ti te h Gradiente térmico do interior em reação ao exterior te: variação de temperatura na fibras externas ti: variação de temperatura nas fibras internas t g : variação de temperatura no CG é inear ao ongo de h h: atura da seção transversa: h dδ e No CG ocorrem duas deformações: h ds CG dδ i dφ dδ CG dφ No CG rotação dδ CG α t g ds aongamento ( dδ dδ ) α( t t ) i e i e α t dϕ tg( dϕ) ds ds h h h

29 dδ e dδ CG -dδ e a) b) dδ CG -dδ e h ds CG dδ i dφ dδ CG dφ h ds CG dδ CG + h ds dφ CG dφ dδ i - dδ CG dδ i - dδ CG aongamento rotação a) Efeito de variação uniforme de temperatura : tg e 0 0 Efeito na seção: causa o aongamento dδ CG uniforme ao ongo de h b) Efeito de variação inear de temperatura : ti te e tg 0 Efeito na seção: causa a rotação dφ SOLUÇÃO DO S SUJEIO S SUJEIO À SOLICIÇÃO a) + S SUJEIO À SOLICIÇÃO b)

30 a) Efeito de variação uniforme de temperatura: tg 0 e 0 dδ CG Efeito na seção: causa o aongamento uniforme ao ongo de h barra de comprimento L i terá a variação de comprimento igua a: L i α t g L i Conhecidos os L i para todas as barras, traça um Wiiot para conhecer os desocamentos ortogonais recíprocos e, então, cacuar os momentos de engastamento perfeito em cada barra. b) Efeito de variação inear de temperatura: ti - te, com tg 0 Efeito na seção: causa a rotação dφ Como não há variação de temperatura no CG, não há variação de comprimento das barras. ortanto, os efeitos no S são dados peos momentos de engastamento perfeito das vigas sujeitas ao ti te: eo Método das forças, resove a viga hiperestática sujeita a ti te: M ( ti te) 3EIα M h M M M M 6EIα h ( ti te)

31 SIMLIFICÇÕES NO CÁLCULO DE ESRUURS SIMÉRICS Se a estrutura é pana, eástica e geometricamente simétrica 1ª SIMLIFICÇÃO: corta a estrutura na seção S de simetria e resove apenas metade da estrutura (possíve apenas para estruturas abertas) Dependendo do carregamento e da posição da seção de simetria S, pode-se concuir que 1 ou mais desocamentos em S são nuos ª SIMLIFICÇÃO: há diminuição do d (nº de desocabiidades)

32 VNGENS DE CONSIDERR SIMERI: 1. Há redução do nº de grau de desocabiidade (d). Estrutura a ser resovida é apenas a metade da origina OENÇÃO DOS DIGRMS SOLICINES D OUR MEDE: 1. ara soicitação simétrica: Os diagramas soicitantes da outra metade da estrutura são simétricos (mesmos vaores e mesmos sinais) para momento e esforço norma e anti-simétrico (mesmos vaores, mas sinais contrários) para esforço cortante. ara soicitação anti-simétrica: Os diagramas soicitantes da outra metade da estrutura são antisimétricos para momento e esforço norma e simétrico para esforço cortante

33 ara estruturas panas, eásticas e geometricamente simétricas com soicitações simétricas: 1. Se o eixo de simetria intercepta ortogonamente a barra na seção S de simetria: Em S, o desocamento horizonta e rotação são nuos (δh e θ provocados peo ado da esquerda são anuados peos δh e θ provocados peo ado da direita): δ H 0 θ 0 N S 0 M S 0 Exempo: S b c c b a Na seção S de simetria há apenas desocamentos verticais. δ 0 V Q 0 S

34 Soução para estruturas abertas: Rompe a estrutura na seção de simetria S, cooca um víncuo que impeça δ H e θ e permita δv. Exempos: SC a) D C a S b D b E c b c c b de 1 δh D 0 d i Ɵ Ɵ D d de + di 1+ 3 Estrutura a ser resovida de 1 δv C 0 d i 1 Ɵ Sistema rincipa: S C Reações: M e R H (impede δh e θ) d

35 Outros exempos de estruturas simétricas com soicitações simétricas b) Estrutura simétrica com Diminuição uniforme de emperatura δ H 0 Em S: e S θ 0 Estrutura a ser resovida S a b b a c) Estrutura fechada: S Estrutura a ser resovida (Corta em S) S a a θ Em S: δ 0 H e 0

36 ara estruturas panas, eásticas e geometricamente simétricas com soicitações simétricas:. Se o eixo de simetria atravessa toda a barra na seção S de simetria: Na seção de simetria S há apenas desocamentos verticais: δ 0 δ V θ 0 H 0 H Se δv estiver impedido por um apoio na extremidade da barra δ V 0 rompe a estrutura em S e cooca um engaste, pois em S terá: δv δh θ 0. Exempo: S D b c c b a Estrutura a ser resovida d di 1 d di + de δv é impedido peo engaste em D Em S: δv δh θ 0 S

37 Exempo: S D b c c b d di + de a Estrutura a ser resovida S d di 1 Há redução de 3 desocabiidades, aém da estrutura a ser resovida ser bem menor! ara a outra metade: DMF e DEN são simétricos e DEQ é antisimétrico Na barra SD há apenas esforço norma constante igua a: N Rv s, onde Rv s é a reação vertica cacuada no engaste em S.

38 ara estruturas panas, eásticas e geometricamente simétricas com soicitações simétricas: 3. Resoução através da rigidez de simetria (Ks) Se o eixo de simetria intercepta ortogonamente a barra em uma única seção S de simetria é vantagem cacuar com k s,pois o nº de graus de desocabiidades (d) reduz ainda mais. Exempo: b S c c b c a c a b de 1 δh C 0 d i Ɵ S Ɵ C C C D D a b Sistema rincipa (considerando simetria) d de + di 1+ 3 d i 1 1 Ɵ picando 1 : 1 Se considerar simetria: δh C 0 Ɵ Ɵ C 1 1 devido a simetria 1 incógnita d 1 de 0 d i 1 Ɵ Ɵ C

39 Cácuo da rigidez de simetria (K S ) K S rigidez de simetria da barra bi-engastada vaor dos momentos simétricos que se apicados nas extremidades da barra (supostas ivres para girar) provocam rotações unitárias simétricas nas extremidades qua o vaor de K S? viga bi-engastada com recaque anguar simétrico Ɵ 1 θ 1 θ 1 θ 1 θ 1 θ 1 + θ 1 eo Método das Forças ou peo processo de Mohr cácuo dos momentos na viga bi-engastada devido a cada recaque Ɵ 1

40 Cácuo da rigidez de simetria (K S ) θ 1 θ 1 θ 1 + θ 1 M K M -t K M K S M t K + M -K M -K S Momentos resutantes M M K s K + ( 1 t) M K t K M K + t Como a barra é easticamente simétrica K K K e t t t Se Icte ( 1 0,5) 4EI EI K s K

41 Continuação do exempo: D C Sistema rincipa (considerando simetria) 1 1 ode-se trabahar apenas com metade da estrutura, pois os efeitos do outro ado são simétricos. ortanto, o S resuta em: Sistema rincipa d i 1 1 Ɵ 1 1 K S picando 1 1: K t K

42 para estruturas simétricas, com carregamento simétrico para estruturas simétricas, com carregamento antisimétrico

43 ara estruturas panas, eásticas e geometricamente simétricas com soicitações anti-simétricas: 1. Se o eixo de simetria intercepta ortogonamente a barra na seção S de simetria: Em S o desocamento vertica é nuo (δv provocado peo ado da esquerda é anuado peos δv provocado peo ado da direita): δ V 0 Q S 0 Na seção S de simetria há desocamento horizonta e rotação θ 0 Exempos: M S 0 δ H 0 N S 0 a) S a b c c b

44 Soução: rompe a estrutura na seção de simetria S, cooca um víncuo que impeça δv e permita δh e θ. a) a S S c c b c c b C D a Estrutura a ser resovida de 1 δh 0 de 1 δh C 0 d i 1 Ɵ d i Ɵ Ɵ C d de +di 1+ 3 Sistema rincipa: S Reação: Rv d

45 Outros exempos de estruturas simétricas com carregamento anti-simétrico: b) ρ Recaque de apoio anti-simétrico a Em S: δ V 0 b S b a ρ Estrutura a ser resovida S c) Estrutura S fechada: S a a Estrutura a ser resovida (Corta em S) S S Em S: δ V 0

46 ara estruturas panas, eásticas e geometricamente simétricas com soicitações anti-simétricas:. Se o eixo de simetria atravessa toda a barra na seção S de simetria: Na seção de simetria S há desocamento horizonta e rotação: δv 0 θ 0 δ H 0 Exempo: S J a D b c c b s cargas dos ados esquerdo e direito da barra contribuem iguamente para sua deformação tota metade da barra é soicitada peo carregamento da esquerda e a outra metade peo carregamento da direita parte a barra ao meio e resove metade da estrutura

47 Soução do exempo: S (C) I F b c c b D E de 1 δh D 0 d i 3 a Estrutura a ser resovida Sistema rincipa: b c C I/ d d F de 1 δh C 0 I/ Ɵ Ɵ C Ɵ D d i Ɵ Ɵ C b c ara a outra metade: DMF e DEN são anti-simétricos e DEQ é simétrico ara a barra SD o DMF é o dobro daquee obtido com essa metade

48 ara estruturas panas, eásticas e geometricamente simétricas com soicitações anti-simétricas: 3. Resoução através da rigidez de anti-simetria (K a ) Se o eixo de simetria intercepta ortogonamente a barra em uma única seção S de simetria pode-cacuar através da rigidez Ka Exempo: b c S S c b c c b C de 1 δh C 0 d i C D D a b Sistema rincipa d de + di 1+ 3 Ɵ Ɵ C d i 1 Devido a anti-simetria devido a anti-simetria d: δh C Ɵ Ɵ Ɵ C Ɵ 1 δ H O apoio é dividido em apoios para que também seja antisimétrico

49 Cácuo da rigidez de anti-simetria (K a ) K a rigidez de anti-simetria da barra bi-engastada vaor dos momentos anti-simétricos que se apicados nas extremidades da barra (supostas ivres para girar) provocam rotações unitárias anti-simétricas nas extremidades qua o vaor de K a? viga bi-engastada com recaque anguar antisimétrico Ɵ 1 θ 1 θ 1 θ 1 θ 1 θ 1 θ 1 + eo Método das Forças ou peo processo de Mohr cácuo dos momentos na viga bi-engastada devido a cada recaque Ɵ 1

50 MOMENOS DEVIDO À ROÇÃO NI-SIMÉRIC Ɵ θ 1 θ 1 θ 1 + θ 1 M K M t K + M t K M K M K a M K a Momentos resutantes + M K + t K M + K + t K Como a barra é easticamente simétrica K K K e t t t M ( 1 t) M K s K + 4EI 6EI K a Se Icte ( 1+ 0,5)

51 Soução do exempo: D C Sistema rincipa Ɵ δ H ode-se trabahar apenas com metade da estrutura, pois os efeitos do outro ado são anti-simétricos. ortanto, o S se torna: Sistema rincipa d : 1 Ɵ δ H picando 1 1: 1 1 K a K t K

52 ara estruturas panas, eásticas e geometricamente simétricas com soicitação quaquer, para faciitar o cácuo pode-se resovê-a da seguinte maneira: 1. Decompõe o carregamento em parceas simétrica e anti-simétrica. Resove metade da estrutura com o carregamento simétrico (ara a outra metade: DMF e DEN são simétricos e DEQ é anti-simétrico) 3. Resove metade da estrutura com o carregamento anti-simétrico (ara a outra metade: DMF e DEN são anti-simétricos e DEQ é simétrico) 4. Os diagramas soicitantes finais são obtidos somando os diagramas dos itens e 3. VNGEM: apesar de ter que resover a estrutura para carregamentos diferentes, a estrutura a ser resovida é a metade da origina, aém de haver redução do d.

53 a Exempos: b c d d Carregamento simétrico / / a + a / / b c c b Carregamento anti-simétrico / / / / b c c b q q 1 q 1 / q 1 q 1 / q / q / + q 1 / q 1 / q / q / c a b a c c c c q 1 d d q q 1 / d d q / q 1 / + q / q 1 / d d q / q 1 /