SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS PARA BARRAS EM MÍSULA PELA ANALOGIA DA VIGA CONJUGADA

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1 Departamento de Engenharia ivi SOLUÇÕES FUNDENTIS PR RRS E ÍSUL PEL NLOGI D VIG ONJUGD 1 Introdução una: Paua de astro Sonnenfed Viea Orientador: Luiz Fernando artha metodoogia de anáise de estruturas reticuadas (estruturas compostas por barras peo étodo dos Desocamentos faz uma superposição de souções cinematicamente determinadas [1,,3]. Essas souções são configurações deformadas eementares da estrutura sendo anaisada. Dentro dessa metodoogia, uma configuração deformada eementar isoa um determinado efeito ou parâmetro ue representa o comportamento cinemático (deformado da estrutura. ada configuração deformada eementar é uma soução fundamenta no conteto do étodo dos Desocamentos. Nesse conteto, uma soução fundamenta de uma estrutura reticuada é composta de configurações deformadas eementares das suas barras isoadas. s souções fundamentais para uma barra isoada correspondem a reações de engastamento perfeito para a barra submetida à soicitação eterna (cargas atuando, variação de temperatura, etc. e a coeficientes de rigidez oca, ue são as forças e momentos ue devem atuar nas etremidades da barra para impor desocamentos ou rotações, isoadamente, nas etremidades da barra. Todas essas souções podem ser obtidas a partir de parâmetros fundamentais ue são momentos de engastamento perfeito de barra isoada submetida a carregamentos eternos e coeficientes de rigidez à rotação (momentos ue devem atuar nas etremidades da barra para impor rotações nas etremidades da barra. Os parâmetros fundamentais para barras com seção transversa constante são conhecidas e encontradas em uauer ivro teto de anáise de estruturas [1,]. Entretanto, não eistem souções anaíticas fechadas para momentos de engastamento perfeito e coeficientes de rigidez à rotação para barras com seção transversa variáve (vigas em mísua. Este projeto de Iniciação ientífica apresenta uma metodoogia para determinação dessas souções fundamentais para barras ue têm seção transversa variáve (mísua reta para o comportamento transversa de feão em regime eástico-inear. Nesse conteto, se considera ue os desocamentos são peuenos e ue o materia tem um comportamento eástico-inear, isto é, o materia segue a Lei de Hooke. O método apresentado neste artigo é baseado na anaogia da viga conjugada, também conhecida como Processo de ohr [4]. Essa metodoogia resuta em integrais cujos integrandos correspondem a uma divisão de poinômios, ue no caso gera não tem soução anaítica fechada. Neste trabaho essas integrais são resovidas numericamente através de uma integração de Gauss impementada adaptativamente para obter uma precisão numérica adeuada. O artigo está organizado da seguinte maneira. inda na Introdução, a próima sub-seção define todos os parâmetros envovidos no comportamento estrutura de uma barra à feão e estabeece a convenção de sinais adotada. Na seção, são definidos os coeficientes de rigidez à feão para barras isoadas. O objetivo é mostrar ue todos os coeficientes de rigidez oca, no caso mais gera de barras com seção transversa variáve, podem ser deduzidos em função de poucos parâmetros de rigidez. Estes são os chamados parâmetros fundamentais ue serão resovidos pea anaogia da viga conjugada. seção 3 define as reações momento de engastamento, ue servem como base para determinação de todas as outras reações para o compor- 1

2 Departamento de Engenharia ivi tamento à feão de uma forma gera. seção 4 faz um resumo da Teoria de Vigas de Navier, ue corresponde ao modeo estrutura adotado para a ideaização do comportamento de barras à feão. Esse assunto é básico para a anáise de estruturas e pode ser encontrado em uauer ivro teto de Resistência dos ateriais. Esse resumo está sendo apresentado neste artigo apenas para mostrar as epressões diferencias ue são utiizadas para estabeecer a anaogia da viga conjugada, o ue é feito na seção. seção 6 mostra a determinação dos parâmetros fundamentais de rigidez à feão pea anaogia da viga conjugada. seção 7 mostra a determinação de reações momento de engastamento para barras isoadas submetidas a um carregamento transversa inearmente distribuído. seção 8 descreve as funções computacionais ue foram impementadas como resutado do desenvovimento deste trabaho. Finamente, na seção são feitas concusões sobre o trabaho e sugestões para continuação em trabahos futuros. 1.1 Parâmetros envovidos e convenção de sinais Para definir os parâmetros envovidos no comportamento estrutura de uma barra à feão, é adotado um sistema de coordenadas ocais para a barra, ta como indicado na Figura 1, sendo: comprimento da barra. y, v Seção transversa y d z G Figura 1 Sistema de eios ocais de uma barra. Na Figura 1, o eio aia da barra,, passa peos centros de gravidade (G das seções transversais e os outros eios são transversais à barra. Portanto, está sendo considerado ue eiste uma inha reta (o eio ue passa peos G s de todas as seções transversais ao ongo da barra. om base nesse sistema de coordenadas, são definidos os desocamentos e rotações ue os pontos do eio de uma barra de um pórtico pano podem ter: v( desocamento transversa (positivo na direção de y; θ( rotação da seção transversa por feão (positivo no sentido anti-horário em torno do eio z. Os desocamentos transversais v( de uma barra definem uma curva chamada eástica. Os sentidos positivos do desocamento transversa v( (positivo na direção do eio oca y e da rotação por feão θ( (positiva no sentido anti-horário estão indicados na Figura, onde a eástica está indicada pea inha tracejada desenhada em uma escaa ampiada eageradamente. v θ Figura Eástica de uma viga em baanço com desocamento transversa e rotação indicados com seus sentidos positivos.

3 Departamento de Engenharia ivi Se por um ado o desocamento transversa v( e a rotação θ( são os parâmetros cinemáticos ue definem a configuração deformada de uma barra na feão, por outro ado os parâmetros ue definem os esforços na barra são (veja Figura 3: ( taa de carregamento distribuído transversa ao eio da barra; Q( ( V V esforço cortante (esforço interno transversa, positivo uando entrando pea esuerda for na direção de y, ou uando entrando pea direita for contrário a y; momento fetor (esforço interno de feão, positivo uando traciona as fibras inferiores da seção transversa; força transversa eterna ue atua na etremidade inicia de uma barra (positiva na direção de y; momento de eterno ue atua na etremidade inicia de uma barra (positivo no sentido anti-horário; força transversa eterna ue atua na etremidade fina de uma barra (positiva na direção de y; momento de eterno ue atua na etremidade fina de uma barra (positivo no sentido anti-horário. y ( Q + d V d V Q + dq Figura 3 Direções positivas adotadas para carga distribuída transversa, esforços internos e esforços eternos nas etremidades de uma barra para o comportamento à feão. ompementando os parâmetros ue definem o comportamento de uma barra à feão, tem-se: E móduo de easticidade do materia; área da seção transversa da barra; = I y d momento de inércia da seção transversa em reação ao eio z. d oeficientes de rigidez oca à feão s mais importantes souções fundamentais de barra isoada são os chamados coeficientes de rigidez oca ou de barra. No presente conteto, coeficientes de rigidez de barra são forças e momentos ue devem atuar nas etremidades da barra isoada, paraeamente aos seus eios ocais, para euiibrá-a uando uma desocabiidade (desocamento ou rotação é imposta, isoadamente, em uma das suas etremidades. seguinte notação é utiizada, conforme mostrado na Figura 4: d desocabiidade de barra no sistema oca: desocamento, na direção de um dos eios ocais ou y, ou rotação em uma etremidade de uma barra isoada. 3

4 Departamento de Engenharia ivi k ij coeficiente de rigidez de barra no sistema oca: força ou momento ue deve atuar em uma etremidade de uma barra isoada, na direção da desocabiidade d i, para euiibráa uando a desocabiidade unitária d j = 1 é imposta, isoadamente, em uma das suas etremidades. O significado físico dos coeficientes de rigidez de barra de pórtico pano no sistema oca é mostrado na Figura 4. Essa figura indica, no seu topo, a configuração deformada de uma barra isoada e o conjunto de forças e momentos ue atuam nas etremidades da barra, paraeamente a seus eios ocais, para euiibrá-a nessa configuração. Essas forças e momentos são definidos como: f i força generaizada de barra no sistema oca: força ou momento ue atua na direção da desocabiidade d i de uma barra para euiibrá-a uando isoada. omo indica a Figura 4, a configuração deformada de uma barra pode ser decomposta em configurações deformadas eementares. partir dessa superposição, as forças generaizadas da barra são obtidas pea soma das forças e momentos ue euiibram a barra para cada uma das configurações deformadas eementares. f 1 f d 1 f 3 d 3 d k 41 d 1 14 d 4 44 d 4 k 11 d 1 y k f 6 f 5 d 4 f 4 d 6 d 5 k d 1 k d k 55d 5 d 4 d k 3 d k 6 d k 35 d 5 k 65 d 5 d 5 k 3 d 3 k 33 d 3 k 5 d k 63 d 3 d 3 k 53 d 3 k 5 d 5 k 66d 6 k 6 d 6 k 36 d 6 d 6 k 56 d 6 Figura 4 Superposição de configurações deformadas eementares para compor a eástica fina de uma barra de pórtico pano isoada. Observa-se na Figura 4 o desacopamento entre os efeitos aiais e transversais de feão de uma barra. s deformadas eementares aiais provocadas por d 1 e d 4 não mobiizam os coeficientes de rigidez de feão (forças na direção transversa ou momentos. Da mesma forma, as deformadas eementares transversais de feão provocadas por d, d 3, d 5 e d 6 não mobiizam coeficientes de rigidez aiais. Devido a esse desacopamento, aguns coeficientes de rigidez ocais são nuos. Neste artigo, apenas os efeitos transversais de feão estão sendo considerados. superposição de configurações deformadas eementares mostrada na Figura 4 resuta em uma reação entre cada força noda generaizada f i e as desocabiidades da barra. Por eem- 4

5 Departamento de Engenharia ivi po, a força tota f 1 é obtida pea soma das forças aiais na etremidade inicia da barra, resutando em: f 1 = k11 d1 + 14d 4. naogamente, a força tota f é obtida pea soma das forças transversais na etremidade inicia da barra, resutando em: f = d + 3d 3 + 5d 5 + 6d6. Generaizando para todas as forças e momentos ue atuam nas etremidades da barra, pode-se escrever a seguinte reação matricia: f1 f f 3 = f 4 f 5 f d1 k 6 d k36 d3 d 4 56 d5 66 d6 Euação (1 também pode ser escrita de uma forma condensada: (1 { f } = [ ] { d }. ( Sendo: { f } vetor das forças generaizadas de barra no sistema oca: conjunto de forças e momentos ue atuam nas etremidades de uma barra (nas direções dos eios ocais para euiibrá-a uando isoada. [ ] matriz de rigidez de uma barra no sistema oca: matriz dos coeficientes de rigidez oca nas direções dos eios ocais. ij { d } vetor das desocabiidades de barra no sistema oca: conjunto de desocabiidades de uma barra nas direções dos eios ocais. Duas observações podem ser feitas uanto à matriz de rigidez da barra isoada. primeira é ue peo Teorema de awe [1,5] a matriz é simétrica, isto é: k ji = k ij. (3 segunda observação vem da superposição de configurações deformadas eementares mostrada na Figura 4. Observa-se ue os coeficientes de rigidez ue correspondem a uma dada configuração deformada eementar têm o mesmo índice j. Pode-se dizer então: j-ésima couna da matriz de rigidez [ ] de uma barra no seu sistema oca corresponde ao conjunto de forças generaizadas ue atuam nas etremidades da barra, paraeamente a seus eios ocais, para euiibrá-a uando é imposta uma configuração deformada ta ue d j = 1 (desocabiidade d j com vaor unitário e as demais desocabiidades com vaor nuo. O Princípio dos Desocamentos Virtuais pode ser utiizado para deduzir os vaores dos coeficientes de rigidez de uma barra prismática, isto é, uma barra com uma seção transversa uniforme ao ongo de seu comprimento [3]. Na seção 5 é apresentada a anaogia da viga conjugada como uma metodoogia para determinação de coeficientes de rigidez para barras não prismáticas. Eistem parâmetros de rigidez à rotação (Figura 5 ue são considerados fundamentais, na medida em ue todos os coeficientes de rigidez oca à feão podem ser deduzidos a partir dees. Esses parâmetros são definidos como []: 5

6 Departamento de Engenharia ivi K t K t K t K t θ = 1 K Figura 5 Parâmetros fundamentais de rigidez à rotação de uma barra. coeficiente de rigidez à rotação na etremidade inicia: momento ue deve atuar na etremidade inicia de uma barra isoada para impor uma rotação unitária θ = 1 na etremidade inicia enuanto todas as outras desocabiidades são mantidas nuas. coeficiente de transmissão de momento da etremidade inicia para a etremidade fina: parâmetro ue estabeece a reação entre o a coeficiente de rigidez K e o momento ue é necessário atuar na etremidade fina para impor uma rotação θ = 1 na etremidade inicia enuanto todas as outras desocabiidades são mantidas nuas. O momento na etremidade fina sempre tem o mesmo sentido do momento K. coeficiente de rigidez à rotação na etremidade fina: momento ue deve atuar na etremidade fina de uma barra isoada para impor uma rotação unitária θ = 1 na etremidade fina enuanto todas as outras desocabiidades são mantidas nuas. coeficiente de transmissão de momento da etremidade fina para a etremidade inicia: parâmetro ue estabeece a reação entre o a coeficiente de rigidez K e o momento ue é necessário atuar na etremidade inicia para impor uma rotação θ = 1 na etremidade fina enuanto todas as outras desocabiidades são mantidas nuas. O momento na etremidade inicia sempre tem o mesmo sentido do momento K. Embora uatro parâmetros fundamentais sejam apresentados, na verdade apenas três seriam necessários, pois pea Euação (3 deduz-se ue K t = K t, e portanto []: K K t =. (4 K t Optou-se por trabahar com uatro parâmetros, ao invés de três reduzidos pea Euação (4, para manter uma simetria entre as epressões ue reacionam os coeficientes de rigidez oca à feão com os parâmetros fundamentais de rigidez à rotação. s epressões para todos os coeficientes da matriz de rigidez da barra, com ou sem articuação, podem ser deduzidas diretamente com base nos parâmetros fundamentais de rigidez à rotação [3]. onforme mencionado, os vaores do parâmetros fundamentais de rigidez à rotação para uma barra com uma seção transversa uniforme ao ongo de seu comprimento têm epressão anaítica fechada. Ees podem ser deduzidos, por eempo, peo Princípio dos Desocamentos Virtuais [3]: K 4EI = K = ; (5 1 t = t =. (6 Entretanto, não eistem souções anaíticas fechadas para esses parâmetros para barras com seção transversa variáve. Na seção 6 é apresentada a anaogia da viga conjugada como uma metodoogia para determinação dos parâmetros fundamentais de rigidez para barras não prismáticas. θ = 1 6

7 Departamento de Engenharia ivi 3 Reações de engastamento de barra isoada Esta seção define as souções fundamentais de engastamento perfeito de barras isoadas para cargas transversais inearmente distribuídas apicadas. Procedimentos anáogos podem ser feitos para outros tipos de soicitações. Figura 6 mostra a notação e os sentidos positivos das reações de engastamento perfeito para um carregamento transversa inearmente distribuído, em ue: f i reação de engastamento perfeito de barra no sistema oca: reação força ou momento ue atua na direção da desocabiidade oca d i de uma barra com as etremidades fias para euiibrá-a uando atua uma soicitação eterna. y ( = 1 + ( f 6 f 3 f Figura 6 Notação e sentidos positivos de reações de engastamento perfeito à feão para uma barra isoada com carga transversa inearmente distribuída. Para cada tipo de soicitação eterna, é possíve definir dois parâmetros fundamentais dos uais todas as reações de engastamento perfeito de uma barra isoada: momento de engastamento na etremidade inicia: reação momento ue atua na etremidade inicia de uma barra com as etremidades fias para euiibrá-a uando atua uma soicitação eterna momento de engastamento na etremidade fina: reação momento ue atua na etremidade fina de uma barra com as etremidades fias para euiibrá-a uando atua uma soicitação eterna Figura 7 mostra a superposição de efeitos ue é utiizada para determinar as reações de engastamento da barra biengastada em função dos parâmetros fundamentais para uma carga transversa inearmente distribuída. ada parcea dessa superposição isoa o efeito das reações momentos fundamentais e o efeito do carregamento distribuído, ambos atuando na viga com apoios simpes (biapoiada. seguinte notação vai ser adotada: V V reação força transversa na etremidade inicia da barra biapoiada para a soicitação eterna. reação força transversa na etremidade fina da barra biapoiada para a soicitação eterna. f 5 7

8 Departamento de Engenharia ivi f3 = f6 = f f V = V = Figura 7 Superposição de efeitos para determinar reações de engastamento de uma barra com carga transversa inearmente distribuída em função dos parâmetros fundamentais. s reações de engastamento f 3 e f 6 saem diretamente das reações momentos fundamentais. s reações f e f 5 (forças transversais podem ser determinadas pea superposição das reações forças devidas às reações momentos fundamentais com as reações forças devidas ao carregamento atuando na barra biapoiada. Isso resuta em: ; (7 f3 = ; (8 f6 = + f = + V ; (9 + f 5 = + V. (1 Sendo, para o caso da carga transversa inearmente distribuída: V V = ; ( =. (1 6 3 ssim como eistem souções anaíticas fechadas para os parâmetros fundamentais de rigidez à rotação, é possíve obter epressões fechadas para os parâmetros fundamentais de reação de engastamento para uma barra com uma seção transversa constante [3]: = ; (13 3 = + +. (14 3 De mesma forma, não eistem souções anaíticas fechadas para esses parâmetros para barras com seção transversa variáve. Uma possíve metodoogia para resover esse probema vai ser apresentada na seção 7. 8

9 Departamento de Engenharia ivi 4 Ideaização do comportamento de barras à feão anáise estrutura de estruturas reticuadas (cujos eementos estruturais podem ser considerados como barras, isto é, peças estruturais ue têm uma dimensão bem maior do ue as outras duas está fundamentada na concepção de um modeo matemático, aui chamado de modeo estrutura, ue adota hipóteses sobre o comportamento das barras. O comportamento de vigas à feão foi formaizado no início do sécuo 19 por Navier ( Ee estabeeceu um conjunto de reações diferenciais de euiíbrio e compatibiidade ue fazem parte dessa formaização, a chamada Teoria de Vigas de Navier. Esta seção faz um resumo das principais reações dessa teoria. Essas reações são básicas para a anáise de estruturas reticuadas e podem ser encontradas em vários ivros-teto sobre o assunto. O resumo aui mostrado está baseado nos trabahos dos seguintes autores: Féodosiev [6], eer & Johnston [7], Timoshenko & Gere [8], White et a. [1] e West [9]. Figura 8 faz um resumo de todas as epressões associadas a essa teoria, mostrando o seu reacionamento. Teoria de Vigas de Navier está fundamentada em uatro hipóteses básicas. primeira considera ue os desocamentos são peuenos em reação à atura da seção transversa da barra. segunda hipótese despreza deformações provocadas por efeitos de cisahamento (esforços cortantes. terceira é a hipótese de manutenção das seções transversais panas uando a viga se deforma, proposta originamente por Jacob ernoui ( De acordo com as segunda e terceira hipóteses, as seções transversais de uma viga ue se deforma à feão permanecem panas e normais ao eio deformado da viga. omo útima hipótese, é considerado ue o materia tem um comportamento eástico-inear, isto é, o materia segue a Lei de Hooke. O modeo estrutura tem como premissa uma condição de continuidade dos campos de desocamentos e deformações no interior das barras. Essa condição de continuidade é forçada uase ue automaticamente uando só se admitem deformações contínuas para as barras. ém disso, os campos desocamentos e deformações têm ue ser compatíveis entre si, isto é, os desocamentos e deformações de uma barra devem estar associados. onsiderando ue os desocamentos são peuenos, pode-se aproimar a rotação da seção transversa pea tangente da eástica. Dessa forma, pode-se associar o desocamento transversa à rotação da seção transversa em uma euação ue também é considerada uma euação de compatibiidade: dv θ =. (15 d hipótese de manutenção das seções transversais panas garante uma continuidade de desocamentos no interior de uma barra ue sofre feão, pois cada seção transversa permanece encaiada com as suas adjacentes. Esta condição de compatibiidade pode ser resumida na Euação (16 ue reaciona o momento fetor em uma seção transversa da barra com a curvatura da barra, ue pode ser aproimada por d v/d no caso de peuenos desocamentos [8,1]: d v ( =. (16 d EI( Euação (16 é considerada uma reação diferencia de compatibiidade, mas também engoba, no níve de um eemento infinitesima de barra, a ei constitutiva do materia (reação tensão-deformação e o euiíbrio entre tensões normais e momento fetor (veja Figura 8. Essa euação considera o caso gera de momento de inércia I variáve ao ongo da barra. 9

10 Departamento de Engenharia ivi Hipóteses básicas: (a Desocamentos são peuenos em reação às dimensões da seção transversa. (b Despreza-se deformações por cisahamento (barras ongas, isto é, comprimento é bem maior do ue a atura da seção. (c Seções transversais permanecem panas e normais ao eio da barra uando esta se deforma (Hipótese de ernoui. (d ateria tem comportamento eástico-inear (Lei de Hooke. y, v d ( dv Peuenos desocamentos: θ tan(θ = θ( d Deformação do eemento infinitesima: dθ δ dθ y TEORI DE VIGS DE NVIER v θ Parâmetros envovidos: E móduo de easticidade do materia área da seção transversa d área infinitesima de uma fibra da seção transversa I = y d momento de inércia da seção transversa em reação ao eio z taa de carregamento distribuído transversa ao eio da barra (positiva na direção de y Q esforço cortante (positivo uando entrando pea esuerda for na direção de y, ou uando entrando pea direita for contrário a y momento fetor (positivo uando traciona as fibras inferiores da seção transversa v desocamento transversa (positivo na direção de y θ rotação da seção transversa por feão (positiva no sentido anti-horário d θ rotação reativa interna por feão de um eemento infinitesima de barra δ variação de comprimento de uma fibra genérica dada por y f ε deformação norma na direção ongitudina de uma fibra devida ao efeito de feão f σ tensão norma na direção ongitudina da barra devida ao efeito de feão ε f d y Reação tensão vs. deformação: f δ = d σ = Eε f ε f dθ = y d σ f d dθ f = ε dθ = E y d d v y d Euiíbrio do eemento infinitesima: Seção transversa y G z -y d f σ (y Q Euiíbrio entre momento fetor e tensões normais: = ( y σ d f O d + d Q + dq dq F y = = ( d = = E dθ ( y E y d d dθ y d d dθ = EI d d θ = EI d d v ( = d EI( Euação de Navier: d d d v EI( = ( d d = ( d d O = = Q( d 4 d v ( = 4 d EI (momento de inércia constante Figura 8 Resumo da Teoria de Vigas de Navier. 1

11 Departamento de Engenharia ivi O modeo matemático adotado para a representação do comportamento de estruturas reticuadas considera ue as condições de euiíbrio devem ser satisfeitas para a estrutura como um todo, para cada barra ou nó isoado, ou para uauer porção isoada na estrutura. Isto incui o euiíbrio de um eemento infinitesima de barra. O euiíbrio de forças no eemento infinitesima na direção vertica, considerando as direções positivas mostradas na Figura 3, resuta em: dq F y = = (. (17 d O euiíbrio de momentos em reação ao ponto O no canto inferior esuerdo do eemento infinitesima (Figura 8, desprezando os termos de ordem superior, fornece a seguinte reação: d O = = Q(. (18 d s Euações (17 e (18 podem ser combinadas, resutando em uma reação de euiíbrio entre o momento fetor em uma seção e a taa de carregamento transversa distribuído: d = (. (19 d Teoria de Vigas de Navier estabeece uma euação diferencia ue reaciona os desocamentos transversais v( de uma viga com a taa de carregamento distribuído transversamente (, desprezando deformações devidas ao efeito cortante. dedução dessa euação está indicada na Figura 8. onsiderando o caso gera de momento de inércia I variáve ao ongo da barra, tem-se: d d d v EI( = (. ( d No caso em ue a barra é prismática (momento de inércia I da seção transversa constante ao ongo da barra, tem-se: 4 d v ( =. 4 (1 d EI Euação (, ou a sua outra versão (1 para inércia constante, é chamada de Euação de Navier. Essa euação engoba, no níve de um eemento infinitesima de barra, todas as condições ue o modeo estrutura tem ue atender: condições de compatibiidade entre desocamentos, rotações e deformações, ei constitutiva do materia, condições de euiíbrio entre carregamento transversa distribuído, esforço cortante e momento fetor, e condições de euiíbrio entre tensões normais e momento fetor. Pode-se ainda considerar a reação ue eiste entre o desocamento transversa e o esforço cortante em uma barra, ue é obtida peas Euações (18 e (16, considerando EI constante: 3 d v Q( =. 3 ( d EI 11

12 Departamento de Engenharia ivi 5 naogia da viga conjugada Esta seção apresenta a naogia da Viga onjugada como uma metodoogia para deduzir souções fundamentais de vigas. Essa metodoogia para anáise de vigas está baseada em uma comparação entre as euações diferenciais de euiíbrio e de compatibiidade ue regem o comportamento de barras à feão. Essas euações foram mostradas seção anterior e estão reproduzidas na Tabea 1 de forma comparativa. anaogia entre as euações diferenciais foi observada iniciamente por ohr ( , e por isso esse método é conhecido como Processo de ohr [4]. Tabea 1 omparação entre euações diferenciais de euiíbrio e compatibiidade para feão de vigas. Euações de Euiíbrio Euações de ompatibiidade d = Q( E. (18 dv = θ ( E. (15 d d d = ( E. (19 d d v ( = E. (16 d EI( Nota-se na Tabea 1 ue o pape ue ( faz nas euações de euiíbrio é o mesmo ue o pape ue v( eerce nas euações de compatibiidade, isto é, ( é anáogo a v(. Observa-se também ue Q( é anáogo a θ ( e ( a (/EI(. idéia origina de ohr em eporar essa anaogia está em utiizar as euações de compatibiidade da viga rea como se fossem euações de euiíbrio de uma viga fictícia, chamada de viga conjugada, com carregamento ( = (/EI(, esforço cortante Q ( = θ ( e momento fetor ( = v(, ta como indica a Tabea. om base nessa anaogia, a resoução do probema do euiíbrio da viga conjugada é euivaente à resoução do probema da compatibiidade da viga rea. omo a imposição de condições de euiíbrio é, em gera, mais simpes e intuitiva do ue a imposição de condições de compatibiidade, a anaogia da viga conjugada se apresenta como uma aternativa para a imposição de condições de compatibiidade em vigas. Tabea naogia da viga conjugada. VIG REL VIG ONJUGD arregamento ( ( = (/EI( Esforço cortante Q( Q ( = θ ( omento fetor ( ( = v( Rotação θ ( Desocamento transversa v( anaogia da viga conjugada tem diversas apicações na anáise de vigas. s principais são: ácuo de desocamentos em vigas. 1

13 Departamento de Engenharia ivi náise de vigas hiperestáticas. Dedução de coeficientes de rigidez de barras isoadas. Determinação de reações de engastamento de vigas para carregamentos arbitrários. Todas essas apicações podem ser anaisadas utiizando o Princípio dos Trabahos Virtuais (PTV [3]. Entretanto, a anaogia da viga conjugada é uma aternativa mais simpes de ser utiizada em muitos casos, e também muito úti uando a viga tem uma rigidez à feão variáve, isto é, uando EI não é constante. s seções seguintes deste artigo mostram a determinação dos parâmetros fundamentais de rigidez à feão e de reações de engastamento para barras isoadas. apicação da anaogia da viga conjugada reuer a conversão das restrições de apoio da viga rea para a viga conjugada. s restrições de apoio, ue são condições de compatibiidade da viga rea, são epressas em termos de desocamentos transversais v e de rotações θ. Na viga conjugada, as restrições reativas a desocamentos transversais devem ser convertidas para restrições com respeito a momentos fetores, assim como as restrições ue se referem a rotações são traduzidas para restrições impostas a esforços cortantes Q. Tabea 3 mostra a conversão das possíveis restrições de apoio em vigas (reais para as correspondentes restrições de apoio na viga conjugada em termos de momentos fetores e esforços cortantes. Na Tabea 3, os recaues de apoio impostos na viga rea têm o sentido positivo, de acordo com a convenção de sinais adotada: desocamento transversa v é positivo de baio para cima e rotação θ é positiva no sentido anti-horário. Os correspondentes momentos fetores e esforços cortantes Q também são positivos na viga conjugada. Dessa forma, uando um recaue vertica positivo é imposto na viga rea, o momento ue é apicado na viga conjugada faz com ue as fibras inferiores fiuem tracionadas na seção de apicação (isso corresponde a um momento fetor positivo. naogamente, uando uma rotação positiva é imposta como recaue de apoio na viga rea, a força apicada na viga conjugada provoca um esforço cortante positivo na seção de apicação. Para se anaisar uma viga pea anaogia da viga conjugada, deve-se adotar a seguinte seüência de procedimentos: 1 onversão de restrições de apoio da viga rea para a viga conjugada conforme indicado na Tabea 3. Determinação do diagrama de momentos fetores da viga rea parametrizado peos vaores dos momentos fetores nas etremidades das barras. 3 Determinação do carregamento na viga conjugada, ( = (/EI(. consideração de barras com rigidez à feão EI variáve (inércia variáve ao ongo do comprimento da viga é considerada no carregamento da viga conjugada. 4 Imposição de condições de euiíbrio da viga conjugada. Isso euivae a impor condições de compatibiidade da viga rea. 13

14 Departamento de Engenharia ivi Tabea 3 onversão de restrições da apoio para a viga conjugada. apoio simpes v = θ engaste v = θ = VIG REL VIG ONJUGD apoio simpes = Q etremidade ivre = Q = etremidade ivre v θ engaste Q engaste desizante v θ = v = ρ apoio simpes com recaue vertica engaste com recaue vertica θ = ρ engaste com recaue rotação apoio simpes interno rótua interna v = ρ apoio simpes interno com recaue vertica descontinuidade de desocamento transversa θ es = θ dir v = θ es θ dir v θ es = θ dir v = ρ v = ρ θ = ρ v = ρ v = ρ = ρ = ρ Q = ρ Q es = Q dir = Q es Q dir Q es = Q dir = ρ = ρ ρ engaste desizante Q = apoio simpes com momento apicado = ρ etremidade ivre com momento apicado = ρ etremidade ivre com força apicada Q = ρ rótua interna apoio simpes interno rótua interna com momento apicado = ρ momento apicado descontinuidade de rotação θ = ρ Q = ρ ρ força apicada 6 Determinação dos parâmetros fundamentais de rigidez à feão Uma apicação importante da anaogia da viga conjugada é a determinação de coeficientes de rigidez à feão de barras. onforme visto na seção, todos os coeficientes de rigidez à feão de uma barra podem ser deduzidos com base nos parâmetros fundamentais de rigidez à rotação K, t, K e t. Figura 9 mostra a determinação de K e t. Essa figura mostra uma viga biengastada com uma rotação θ = ρ imposta no sentido anti-horário na etremidade inicia da viga. O ue se deseja determinar são os momentos = K ρ e = K t ρ de devem atuar nas etremidades inicia e fina, respectivamente, para impor essa configuração deformada. 14

15 Departamento de Engenharia ivi θ = ρ VIG REL VIG ONJUGD /EI( ( = (/EI( ρ /EI( v = θ = +ρ v = θ = = Q = +ρ = Q = Diagrama de momentos fetores: + + ( F = ( d + ρ = y = ( d = Figura 9 ácuo de parâmetros de rigidez à rotação da etremidade inicia de viga biengastada. soução de uma viga hiperestática pea anaogia da viga conjugada fica faciitada se o aspecto do diagrama de momentos fetores da viga rea for determinado a priori. Figura 9 indica os sinais dos momentos fetores nas etremidades com base nos momentos e, admitindo por hipótese ue ees são positivos, isto é, ue ees têm o sentido anti-horário (convenção para momentos eternos. Na etremidade inicia o momento fetor é negativo pois a fibras de cima estão tracionadas e na etremidade fina o momento fetor é positivo pois as fibras de baio estão tracionadas. O resutado disso é o diagrama de momentos fetores com uma variação inear ue está indicado na viga rea da Figura 9. Na viga conjugada, isso resuta em um carregamento distribuído ( = (/EI( (vide Tabea, ue no caso gera de momento de inércia variáve não tem uma variação inear. criação da viga conjugada reuer a conversão das condições de contorno em termos de desocamentos e rotação da viga rea para condições de contorno em termos de momentos fetores e esforços cortantes na viga conjugada. tradução dessas condições de contorno está mostrada na Figura 9 e segue o ue está indicado na Tabea 3. s duas etremidades da viga conjugada estão ivres (sem apoio e aparece uma força apicada com vaor ρ para cima na etremidade inicia pois o esforço cortante na etremidade inicia tem ue ser Q = + ρ. Uma observação importante é ue a viga conjugada é hipostática. É sempre assim: uma viga rea hiperestática acarreta em uma viga conjugada hipostática. Isso indica ue a viga rea hiperestática tem infinitas souções ue satisfazem as condições de compatibiidade isoadamente, assim como tem infinitas souções ue satisfazem as condições de euiíbrio isoadamente (eistem infinitos possíveis vaores de e ue satisfazem as euações de euiíbrio da viga rea. soução correta é auea ue satisfaz simutaneamente as condições de euiíbrio e de compatibiidade. om base na anaogia da viga conjugada, a soução correta é auea ue satisfaz as condições de euiíbrio na viga conjugada pois estas substituem as condições de compatibiidade na viga rea. omo a viga conjugada é hipostática, o carregamento da viga conjugada tem ue ser auto-euiibrado pois não eistem víncuos eternos suficientes para garantir o euiíbrio em uma estrutura hipostática. Eistem duas condições de euiíbrio na viga conjugada para garantir ue o seu carregamento seja auto-euiibrado: 15

16 Departamento de Engenharia ivi Fy = ( d + ρ = ; (3 = ( d =. (4 Euação (3 impõe ue o somatório das forças verticais na viga conjugada seja nuo e a Euação (4 impõe ue o somatório dos momentos em reação ao ponto na viga conjugada seja nuo. Essas duas condições formam um sistema de duas euações a duas incógnitas ue é suficiente para determinar os momentos e. Para determinar este sistema de euações, de forma a epicitar os vaores de e, é conveniente decompor o diagrama de momentos fetores da Figura 9 em duas parceas ineares, uma dependente só de e outra dependente só de, ta como mostrado na Figura 1: ( = 1 ( = Figura 1 Parceas do diagrama de momentos fetores ue isoam os efeitos dos momentos apicados nas etremidades. ( = 1 ; (5 ( =. (6 O diagrama de momentos fetores finais na viga biengastada é obtido pea soma das Euações (5 e (6. Substituindo essas duas epressões nas Euações (3 e (4, resuta em: ( / 1 d EI( + / d EI( ( / / + d d = EI( EI( + ρ = ; (7. (8 soução do sistema de euações formado peas Euações (7 e (8 eva aos vaores de e. Dessa forma, chega-se aos vaores dos parâmetros de rigidez à rotação K e t : K = ; ρ (9 t =. (3 determinação dos parâmetros fundamentais de rigidez à rotação K e t é feita de maneira anáoga, ta como indicado na Figura 11. s duas euações de euiíbrio na viga conjugada são: 16

17 Departamento de Engenharia ivi Fy = ( d ρ = ; (31 = ( d ρ =. (3 Utiizando a mesma decomposição do diagrama de momentos na viga rea mostrada na Figura 1, chega-se no sistema de euações de euiíbrio ue permitem a determinação nos momentos nas etremidades da barra isoada: ( / 1 d EI( + / d EI( ( / / + d d = EI( EI( ρ = ; (33 ρ. (34 VIG REL θ = ρ v = v = θ = θ = +ρ VIG ONJUGD /EI( ρ ( = (/EI( /EI( = = Q = Q = +ρ Diagrama de momentos fetores: + + ( F = ( d ρ = y = ( d ρ = Figura 11 ácuo de parâmetros de rigidez à rotação da etremidade fina de viga biengastada. soução do sistema de euações formado peas Euações (33 e (34 eva aos vaores de e. Isso permite determinar os parâmetros de rigidez à rotação K e t : K = ; ρ (35 t =. (36 Observa-se ue a metodoogia apresentada resuta em integrais cujos integrandos correspondem a uma divisão de poinômios, ue no caso gera não tem soução anaítica fechada. Neste trabaho, essas integrais são resovidas numericamente através de uma integração de Gauss impementada adaptativamente para obter uma precisão numérica adeuada. Utiiza-se uma função de interpoação Lagrangeana cúbica para descrever a variação do momento de inércia da seção transversa em. omo o momento de inércia varia cubicamente com a atura da seção transversa, isso corresponde ao caso de mísua reta. Figura 1 indica os vaores de amostragem ue foram adotados na interpoação Lagrangeana do momento de inércia ao on- 17

18 Departamento de Engenharia ivi go da barra. Quatro vaores são amostrados (I =I, I 1, I e I 3=I : no início da barra, a um terço do vão, a dois terços do vão e no fina da barra. Os vaores intermediários (I 1 e I são cacuados com base nos vaores das aturas intermediárias (h 1 e h da seção transversa, ue por sua vez são obtidas por interpoação inear (mísua reta dos vaores das aturas da seção nas etremidades (h =h e h 3=h. h =h h 1 h h 3=h I =I I 1 I I 3=I 1 1 = /3 = /3 Figura 1 ísua reta com variação cúbica do momento de inércia ao ongo de uma barra com mísua reta (atura da seção transversa variando inearmente. om base na metodoogia descrita nesta seção para cacuar os parâmetros fundamentais de rigidez à feão, foi impementada uma função em (RotStiffoef ue está descrita na seção 8. impementação considera uma barra com variação cúbica do momento de inércia da seção transversa. guns resutados obtidos por esta impementação são comparados com tabeas atribuídas a Gudan apresentadas por Süssekind []. Essas tabeas contém vaores para os parâmetros fundamentais de vigas em mísua com seção transversa retanguar. s Tabeas 4 e 5 comparam os vaores cacuados pea presente metodoogia [vc] com os mostrados por Süssekind [] para vigas em mísua reta com vaores da reação I /I variando de 1, a,5. Os vaores dos coeficientes de rigidez à rotação (K e K são mostrados de forma adimensiona mutipicados por /(E I. Os vaores do coeficiente de transmissão de momentos (t também são mostrados de forma adimensiona mutipicados por K /(E I. Vaores para o outro coeficiente de transmissão de momentos (t podem ser obtidos com base na reação K t = K t vide euação (4. Tabea 4 Parâmetros fundamentais de rigidez à rotação para vigas em mísua reta com seção transversa retanguar (I /I variando de 1, a,15. I /I 1,,9,8,7,6,5,4,3,,15 K /(E I [vc] 4, 4,33 4,73 5,3 5,87 6,74 7,99 9,94 13,55 16,9 K /(E I [] 4, 4,3 4,74 5,3 5,88 6,74 7,99 9,94 13,55 16,9 K /(E I [vc] 4, 4,11 4,3 4,38 4,55 4,77 5,5 5,44 6,5 6,54 K /(E I [] 4, 4,8 4,4 4,38 4,55 4,77 5,5 5,44 6,5 6,54 t K /(E I [vc],,11,4,39,58,83 3,17 3,67 4,5 5, t K /(E I [],,8,5,39,58,83 3,17 3,67 4,51 5, 18

19 Departamento de Engenharia ivi Tabea 5 Parâmetros fundamentais de rigidez à rotação para vigas em mísua reta com seção transversa retanguar (I /I variando de,1 a,5. I /I,1,1,8,6,5,4,3,,1,5 K /(E I [vc],7 3,11 7,48 34,37 39,63 47,19 59,17 81,51 141,57 47,6 K /(E I [],7 3,11 7,43 34,37 39,63 47, 59,17 81,51 141,57 47,6 K /(E I [vc] 6,94 7,9 7,74 8,38 8,81 9,37 1,15 11,37 13,85 16,93 K /(E I [] 6,94 7,9 7,68 8,38 8,81 9,37 1,15 11,37 13,85 16,93 t K /(E I [vc] 5,85 6,4 7, 8,35 9,17 1,9 11,95 14,76 1, 3,59 t K /(E I [] 5,85 6,4 7,14 8,35 9,17 1,9 11,95 14,76 1, 3,59 Observa-se nessa comparação ue as diferenças entre os resutados atuais e os apresentados por Süssekind são mínimas, demonstrando ue a presente metodoogia está correta. vantagem da presente metodoogia é ue ea cacua numericamente os parâmetros fundamentais de rigidez para uauer vaor da reação I /I e para uauer forma de seção transversa (não só a retanguar. 7 Determinação de reações momento de engastamento para carregamento transversa inearmente distribuído Outra apicação importante da anaogia da viga conjugada é a determinação dos momentos e de engastamento perfeito nas etremidades de barras submetidas a cargas arbitrárias. Figura 13 mostra o diagrama de momentos fetores de uma viga (rea biengastada submetida a um carregamento inearmente distribuído, sendo a taa de carregamento distribuído no início da barra igua a e a taa no fina igua a. ssim como foi feito na seção anterior, é conveniente decompor o diagrama de momentos fetores na viga de forma a epicitar os vaores de e. ém disso, o efeito da carga distribuída também é separado no diagrama. onforme indica a Figura 13, o digrama de momentos fetores é dividido em duas parceas ineares, uma dependente só de e outra dependente só de, e em uma parcea cúbica (, ue corresponde ao poinômio do terceiro grau resutante da carga inearmente distribuída atuando na viga biapoiada (apoios articuados: ( 1 = + + ( ; (37 ( = (38 19

20 Departamento de Engenharia ivi ( = 1 ( = ( + + = 6 6 ( 3 ( 1 ( + + = Figura 13 Diagrama de momentos fetores de viga (rea biengastada para uma carga inearmente distribuída. Para determinar os vaores de e pea anaogia da viga conjugada, é necessário converter as condições de contorno em termos de desocamentos e rotação da viga rea para condições de contorno em termos de momentos fetores e esforços cortantes na viga conjugada. tradução dessas condições de contorno está mostrada na Figura 14 e segue o ue está indicado na Tabea 3. s duas etremidades da viga conjugada estão ivres (sem apoio. Essa figura também mostra o carregamento na viga conjugada, ue corresponde a ( = (/EI(, sendo ue ( é dado peas euações (37 e (38. determinação dos momentos de engastamento e é feita de maneira anáoga ao ue foi feito na seção anterior, isto é, impõe-se ue o carregamento da viga conjugada seja autoeuiibrado. Disso resuta duas euações de euiíbrio na viga conjugada. primeira impõe ue o somatório das forças verticais na viga conjugada seja nuo e a segunda euação impõe ue o somatório dos momentos em reação ao ponto na viga conjugada seja nuo: ( ( ( ( / ( 1 / = + + d EI d EI d EI ; (39 ( ( ( ( / ( / = + + d EI d EI d EI. (4

21 Departamento de Engenharia ivi / I( c(= (/I( / I( Figura 14 Viga conjugada e seu carregamento para determinação dos momentos de engastamento para uma carga inearmente distribuída. Foi impementada uma função em (FiEnd_ ue está descrita na seção 8 para cacuar os momentos de engastamento perfeito de uma barra com variação cúbica do momento de inércia da seção transversa para uma soicitação de carga transversa inearmente distribuída. Para testar esta impementação, é feita uma comparação com tabeas de Gudan apresentadas por Süssekind []. Essa tabeas contém vaores para os momentos de engastamento perfeito de vigas com seção transversa retanguar e somente consideram o caso de uma carga transversa uniformemente distribuída ( = =. s Tabeas 6 e 7 mostram a comparação dos vaores cacuados pea presente metodoogia [vc] com os mostrados por Süssekind [] para vigas em mísua reta com vaores da reação I /I variando de 1, a,5. Os vaores dos momentos de engastamento perfeito ( e são mostrados de forma adimensiona mutipicados por 1/. Observa-se peas euações (13 e (14 ue /1 é o vaor dos momentos de engastamento perfeito para uma barra com momento de inércia constante e soicitada por uma carga uniformemente distribuída. Tabea 6 omentos de engastamento perfeito para vigas em mísua reta com seção transversa retanguar para carga transversa uniformemente distribuída (I /I variando de 1, a,15. I /I 1,,9,8,7,6,5,4,3,,15 1 / [vc] 1 / [] 1, 1,1 1,45 1,73 1,15 1,144 1,19 1,56 1,349 1,416 1, 1,18 1,43 1,71 1,11 1,146 1,193 1,55 1,348 1,416 1 / [vc] 1 / [] 1,,979,956,93,91,867,86,776,78,663 1,,978,955,931,897,866,86,777,79,663 1

22 Departamento de Engenharia ivi Tabea 7 omentos de engastamento perfeito para vigas em mísua reta com seção transversa retanguar para carga transversa uniformemente distribuída (I /I variando de,1 a,5. I /I,1,1,8,6,5,4,3,,1,5 1 / [vc] 1 / [] 1,469 1,513 1,567 1,638 1,683 1,739 1,81 1,916,95,74 1,469 1,513 1,571 1,638 1,683 1,739 1,81 1,916,95,74 1 / [vc] 1 / [],69,6,57,531,57,479,445,4,331,7,69,6,566,531,57,479,445,4,331,7 s Tabeas 6 e 7 mostram ue são mínimas as diferenças entre os resutados atuais e os apresentados por Süssekind, demonstrando ue a presente impementação está correta. vantagem da presente impementação é ue ea cacua numericamente os momentos de engastamento perfeito para uauer vaor da reação I /I, para uauer forma de seção transversa (não só a retanguar e para cargas transversais inearmente distribuídas (não somente cargas uniformes. 8 Impementação computaciona om base no eposto nas seções 6 e 7 foram impementadas funções utiizando a inguagem computaciona para fazer o cácuo dos parâmetros fundamentais de uma barra com variação cúbica do momento de inércia da seção transversa ao ongo do seu vão (mísua reta. Dessa forma, foi impementada uma função (RotStiffoef para cacuar os coeficientes de rigidez à rotação K e K e os coeficientes de transmissão de momentos t e t, e outra função (FiEnd_ para cacuar as reações momentos de engastamento perfeito provocados por uma carga transversa inearmente distribuída. função RotStiffoef resove dois sistemas de duas euações com duas incógnitas: o sistema formado peas euações (7 e (8; e o sistema formado peas euações (33 e (34. função FiEnd_ resove o sistema formado peas euações (39 e (4. Os coeficientes dessas euações correspondem a integrais de divisões de poinômios. Portanto, as funções RotStiffoef e FiEnd fazem uso de uma função auiiar (IntegraDivPoi ue faz o cácuo da integra da divisão de dois poinômios uaisuer. Essas três funções são descritas a seguir.

23 Departamento de Engenharia ivi void RotStiffoef( doube en, doube I, doube I1, doube I, doube I3, doube* Ka, doube* Kb, doube* tab, doube* tba Esta função cacua os coeficientes de rigidez à rotação e os coeficientes de transmissão de momentos para uma barra com variação cúbica do momento de inércia da seção transversa. Parâmetros: en comprimento da barra (input I vaor do momento de inércia da seção transversa no início da barra (input I1 vaor do momento de inércia a 1/3 do vão da barra (input I vaor do momento de inércia a /3 do vão da barra (input I3 vaor do momento de inércia no fina da barra (input Ka coeficiente de rigidez à rotação no início da barra (output Kb coeficiente de rigidez à rotação no fina da barra (output tab coeficiente de transmissão de momentos do início para o fim da barra (output tba coeficiente de transmissão de momentos do fim para o início da barra (output void FiEnd_( doube en, doube a, doube b, doube I, doube I1, doube I, doube I3, doube* a, doube* b Esta função cacua as reações momentos de engastamento perfeito para uma barra com variação cúbica do momento de inércia da seção transversa soicitada por uma carga transversa inearmente distribuída ao ongo do seu vão. convenção de sinais para carga transversa é ta ue vaores positivos correspondem à direção para cima (na direção do eio oca y transversa à barra. convenção de sinais para as reações momentos de engastamento é ta ue vaores positivos correspondem a momentos no sentido anti-horário. Parâmetros: en comprimento da barra (input a vaor da carga transversa no início da barra (input b vaor da carga transversa no fina da barra (input I vaor do momento de inércia da seção transversa no início da barra (input I1 vaor do momento de inércia a 1/3 do vão da barra (input I vaor do momento de inércia a /3 do vão da barra (input I3 vaor do momento de inércia no fina da barra (input a reação de engastamento perfeito no início da barra (output b reação de engastamento perfeito no início da barra (output 3

24 Departamento de Engenharia ivi doube IntegraDivPoi( int graupoinumerador, doube* PoiNumerador, int graupoidenominador, doube* PoiDenominador, doube a, doube b Esta função reaiza a integração da divisão de dois poinômios no intervao [a,b]. função verifica se é necessário subdividir o intervao de integração. No caso de a diferença entre o vaor da integra cacuado em todo o trecho ser diferente, a menos de uma toerância, da soma dos vaores cacuados nas duas metades do trecho, a função cacua recursivamente a integra em cada metade do trecho. função utiiza integração numérica de Gauss com uatro pontos de integração em cada trecho. Parâmetros: graupoinumerador grau do poinômio do numerador (input PoiNumerador coeficientes do poinômio do numerador (input graupoidenominador grau do poinômio do denominador (input PoiDenominador coeficientes do poinômio do denominador (input a imite inferior de integração (input b imite superior de integração (input Retorna: Resutado da integração. 9 oncusões Este trabaho mostrou ue é possíve determinar parâmetros fundamentais para barras com variação inear da atura da seção transversa (mísua reta de uma forma numérica, simpes e eficiente. metodoogia adotada, baseada na anaogia da viga conjugada, resutou em uma impementação computaciona em. Uma função impementada cacua coeficientes de rigidez à rotação e coeficientes de transmissão de momentos para barras isoadas. Outra função cacua reações momentos de engastamento perfeito para barras submetidas a cargas transversais inearmente distribuídas. Os parâmetros cacuados por essas funções são considerados fundamentais pois podem ser utiizados como base para o cácuo de todos os outros parâmetros (souções fundamentais ue descrevem o comportamento de uma barra isoada no conteto do étodo dos Desocamentos. s funções impementadas estão prontas para serem incorporadas a uauer programa de a- náise de estruturas ue utiizem este método. Isso já está sendo reaizado no programa Ftoo [1]. omo continuação do trabaho, sugere-se a determinação de reações momentos de engastamento perfeito para outras soicitações, tais como variação de temperatura. ém disso, seria importante a consideração de mísuas parabóicas (atura da seção transversa variando em um poinômio do segundo grau ao ongo do comprimento da barra. Para tanto, é necessário considerar a variação do momento de inércia da seção transversa utiizando um poinômio do seto grau. 4

25 Departamento de Engenharia ivi 1 gradecimentos Os autores agradecem o pesuisador eandre de Oiveira Lopes do Tecgraf/PU-Rio pea ajuda na impementação da função ue cacua a integra da divisão de poinômios. auna teve uma bosa de iniciação científica (PII do NP. 11 Referências 1. - White, R.N., Gergey, P. e Sesmith, R.G. Structura Engineering ombined Edition Vo. 1: Introduction to Design oncepts and naysis Vo. : Indeterminate Structures, John Wiey & Sons, New York, Süssekind, J.. urso de náise Estrutura Vo. 3: étodo das Deformações e Processo de ross, Editora Gobo, Porto egre, artha, L.F. étodos ásicos da náise de Estruturas, ~fm, Süssekind, J.. urso de náise Estrutura Vo. : Deformações em Estruturas e étodo das Forças, Editora Gobo, Porto egre, Tauchert, T.R. Energy Principes in Structura echanics, cgraw-hi, New York, Féodosiev, V. Resistência dos ateriais, Edições Lopes da Siva, Porto, Portuga, eer F.P. e Johnston Jr, E.R. Resistência dos ateriais, Terceira Edição, KRON ooks, São Pauo, Timoshenko, S.P. e Gere, J.E. ecânica dos Sóidos, Vos. 1, Livros Técnicos e ientíficos, Rio de Janeiro, West, H.H. naysis of Structures: n Integration of assica and odern ethods, Segunda Edição, John Wiey & Sons, Nova Iorue, artha, L.F. Ftoo: Two-dimensiona frame anaysis too, ftoo,. 5