CAPÍTULO 7 INÉRCIA DE SUPERFÍCIES

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Cássio Carreira Nobre
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1 CPÍTULO 7 NÉRC DE SUPERFÍCES MOMENTO DE NÉRC DE SUPERFÍCES Considere uma viga simpesmente apoiada e soicitada por dois momentos iguais e opostos apicados em suas etremidades, está em um estado de soicitação camado feão pura. O efeito dessa acção pode ser facimente visuaizado feionado as duas etremidades de uma régua, ou seja, a régua será feionada e, sua face inferior será traccionada e a superior comprimida. Na figura aaio, a região superior é comprimida, a inferior é traccionada e, a ina que separa as duas regiões é camada de Lina Neutra ou eio neutro da secção. Secção Compressão k k Tracção Em função da acção eterna apicada têm-se soicitações internas nas secções da viga e, consequentemente, os esforços internos resistentes. ssim, as forças acima do eio neutro são forças de compressão e aaio deste são forças de tracção, enquanto no eio as forças são nuas. Esses esforços internos resistentes são distriuídos e seus móduos variam inearmente com a distância contada a partir da ina neutra. 1/9 DBP@9

2 Uma força eementar actuando em uma área eementar é dada por: F k e o móduo da resutante R das forças eementares F sore a secção inteira é dada por: R k d k d O útimo integra na epressão da resutante é conecida como momento de primeira ordem da secção, em reação ao eio ; e é nua, pois o aricentro da secção está ocaizado sore o eio, e, portanto Y., pois Y. O sistema de forças F reduz-se, portanto, a um conjugado e, o móduo M deste conjugado (momento fector) deve ser igua à soma dos momentos M F k das forças eementares. ntegrando sore a secção inteira, otemos: M k i i M k i i Quando o número de eementos em que a secção foi dividida tende para infinito, M k d M k /9 DBP@9

3 O útimo integra na equação acima é conecida como o momento de segunda ordem ou momento de inércia da secção da viga em reação ao eio e é designada por. O momento de segunda ordem é otido pea mutipicação de cada eemento de área d peo quadrado de sua distância ao eio, e integrando sore a secção da viga. Oserve que poderá ser positivo ou negativo, mas esse integra será sempre positivo e diferente de zero. Para a secção rectanguar de argura e atura, teríamos: d d d ( d) ( d) d d d /9 DBP@9

4 /9 Mudando os eios de forma que passem peo centróide: 1 8 d 1 8 d d d / /

5 5/9 Para a secção trianguar de argura e atura, teríamos: d d d d Das reações entre triânguos semeantes otém-se. d d ntegrando d vem: d d ( ) d 1 1 d d - d

6 MOMENTO POLR DE NÉRC DE UM SUPERFÍCE O momento poar de inércia de uma superfície é definido por, r d d r r r + r d ( + ) d d + d peo que se concui que, + RO DE GRÇÃO DE UM SUPERFÍCE Considera-se que uma superfície de área tem um momento de inércia em reação ao eio. Se concentramos esta área numa faia estreita paraea ao eio e se a área assim concentrada tem o mesmo momento de inércia, a faia deve estar coocada a uma distância k do eio. k é denominado o raio de giração ou o raio de inércia. 6/9 DBP@9

7 k O k k k O k k k O k O k Como +, ogo k k + k. títuo de eempo, para um rectânguo podemos escrever, k 1 k 7/9 DBP@9

TEOREM DOS EXOS PRLELOS Na seguinte figura, consideremos conecido o Momento de nércia da secção em reação ao eio 1 ( 1 ) e queremos determinar o Momento de nércia, em reação ao eio, paraeo ao eio 1.

8 TEOREM DOS EXOS PRLELOS Na seguinte figura, consideremos conecido o Momento de nércia da secção em reação ao eio 1 ( 1 ) e queremos determinar o Momento de nércia, em reação ao eio, paraeo ao eio 1. d c ( + d ) d c d + d d + d d c Nesta útima equação o 1º integra representa o momento de inércia em reação ao eio 1, o º integra representa o momento de 1ª ordem em reação a 1 e o º integra representa a área da superfície. Como o eio 1 passa peo centro geométrico da superfície, o momento de 1º ordem é nuo, ogo podemos escrever, 1 + d em que 1 representa o momento de inércia em reação ao eio 1. 8/9 DBP@9

9 MUTO MPORTNTE: O teorema dos eios paraeos só pode ser apicado se um dos eios passar peo aricentro da superfície. MOMENTO DE NÉRC DE SUPERFÍCES PLNS COMPOSTS O momento de inércia de uma superfície pana composta pode ser otido pea soma dos momentos de inércia das diferentes áreas que compõem a superfície, cacuadas em reação ao mesmo eio. BBLOGRF [1] Beer, Ferdinand P.; onston r., E. Russe; "Mecânica Vectoria para Engeneiros - Estática"; Seta Edição; McGraw Hi. 9/9 DBP@9

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