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1 Assunto: Características Geométricas das Figuras Planas Prof. Ederaldo Azevedo Aula 6 ederaldoazevedo@yahoo.com.br

2 O dimensionamento e a verificação da capacidade resistente de barras, como de qualquer elemento estrutural dependem de grandezas chamadas tensões, as quais se distribuem ao longo das seções transversais de um corpo. Daí vem a necessidade de se conhecer claramente as características ou propriedades das figuras geométricas que formam essas seções transversais. 7.1 Àrea: A área de uma figura plana é a superfície limitada pelo seu contorno. Para contornos complexos, a área pode ser obtida aproximando-se a forma real pela justaposição de formas geométricas de área conhecida (retângulos, triângulos, etc).

3 7.1 Área: A unidade de área é [L]² (unidade de comprimento ao quadrado). A área é utilizada para a determinação das tensões normais (tração e compressão) e das tensões de cisalhamento ou de corte. 7.2 Momento Estático: Semelhante à definição de Momento de uma força em relação a um eixo qualquer, defini-se Momento Estático (M) de um elemento de superfície como o produto da área do elemento pela distância que o separa de um eixo de referência.

4 7.2 Momento Estático: Assim temos: Momento estático em relação ao eixo X: Mx= y.ds; Momento estático em relação ao eixo Y: My= x.ds.

5 7.2 Momento Estático: Momento Estático de uma superfície plana é definido como a somatória de todos os momentos estáticos dos elementos de superfície que formam a superfície total. Mespx = Mx Mespy = My A unidade do Momento Estático é área x distancia e é: [L] [L]² = [L]³(m³, cm³, mm³ etc); O Momento Estático é utilizado para a determinação das tensões de cisalhamento que ocorrem em uma peça submetida à flexão.

6 7.2 Momento Estático: O Momento Estático de uma superfície composta por várias figuras conhecidas é a somatória dos Momentos Estáticos de cada figura. Exemplo 1: determinar o Momento Estático da figura abaixo: M 1,x = y cg1. A 1 M 2,x = y cg2. A 2 M 3,x = y cg3. A 3 M x = M 1,x + M 2,x + M 3,x

7 Exercícios: Aplicação de exercícios sobre momento estático. Determine Momentos estático X e Y das fig. Abaixo. (3 questões): 1 retângulo, 1 T e 1 elemento vazado. Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 7.2 Momento Estático: Exemplo 2: determinar o Momento Estático da figura de elemento vazado abaixo: Elemento Vazado: Mx = M1,x - M2,x

8 7.3 Centro de Gravidade de Superfície Plana: Se um corpo for dividido em partículas mínimas, estas ficam sujeitas à ação da gravidade, isto é, em todas estas partículas está aplicada uma força vertical atuando de cima para baixo. A resultante de todas estas forças verticais e paralelas entre si, constitui o peso do corpo. Mesmo mudando a posição do corpo aplicando-lhe uma rotação, ele permanecerá sempre sujeito à ação da gravidade. Isto significa que as forças verticais girarão em relação ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais. O ponto onde se cruzam as resultantes dessas forças paralelas, qualquer que seja a posição do corpo, chama-se Centro de Gravidade (CG).

9 7.3 Centro de Gravidade de Superfície Plana: Portanto, atração exercida pela Terra sobre um corpo rígido pode ser representada por uma única força P. Esta força, chamada peso do corpo, é aplicada no seu baricentro, ou cento de gravidade (CG). XCG C YCG

10 7.3 Centro de Gravidade de Superfície Plana: O centro de gravidade pode localizar-se dentro ou fora da superfície; O centro de gravidade de uma superfície plana é, coincidente com o ponto de coordenadas; Podemos calcular o CG por qualquer dos eixos (x ou y) o valor dará o mesmo: Onde: Xcg = distância do CG da figura até o eixo y escolhido arbitrariamente; Ycg = distância do CG da figura até o eixo x escolhido arbitrariamente; Mx = momento estático da figura em relação ao eixo x; My = momento estático da figura em relação ao eixo y; A = área da Figura.

11 7.3 Centro de Gravidade de Superfície Plana: Centro de gravidade de áreas compostas por várias figuras: Onde: Mx = momento estático da figura em relação ao eixo x; My = momento estático da figura em relação ao eixo y; Ai = áreas das Figuras.

12 7.3.2 Centro de Gravidade de Algumas figuras planas:

13 7.3 Centro de Gravidade de Superfície Plana: Exercícios: 1) De acordo com as figuras abaixo determine os seus CG s (centro de gravidade),medidas em centímetros

14 7.3 Centro de Gravidade de Superfície Plana: Exercícios: 1) Determine o CG da figura hachurada (medidas em centímetro) 1 2 3

15 ycg= Mx = 618 = 7,36cm A 84 3= Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 7.3 Centro de Gravidade de Superfície Plana: Exercícios: 1) Determine o CG da figura hachurada (medidas em centímetro) A= A1 A2 A3 A= (8x15) ( 6x4) (4x3) A= 84 cm² 1 2 M1,x=yCG1.A1= 7,5.(8x15)= 900 cm³ M2,x=yCG2.A2= 10.(6x4)= 240 cm³ M1,x=yCG3.A3= 3,5.(4x3)= 42 cm³ Mx=M1,x M2,x M3,x = = 618cm³ 3

16 7.3 Centro de Gravidade de Superfície Plana: Exercícios: 2) Determine o CG da figura hachurada (medidas em centímetro) A= A1 A2 1 2 A= (12x8) ( 3x3) A= 87cm² M1,x=yCG1.A1= 6.(8x12)= 576 cm³ M2,x=yCG2.A2= 9.(3x3)= 81 cm³ Mx=M1,x M2,x = = 495 cm³ ycg= Mx = 495 = 5,69cm A 87

17 7.3 Centro de Gravidade de Superfície Plana: Exercícios: 3) Determine o CG da figura hachurada, medidas em metros. 1 2

18 Quanto maior for o momento de inércia da seção transversal de uma peça, maior a sua resistência. Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 7.4 Momento de Inercia: O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de referência é definido como sendo a integral de área dos produtos dos elementos de área que compõem a superfície pelas suas respectivas distâncias ao eixo de referência, elevadas ao quadrado. O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores numéricos, a resistência da peça.

19 7.4 Momento de Inércia Propriedade: O momento de inércia total de uma superfície é a somatória dos momentos de inércia das figuras que a compõe. I x = I 1,x + I 2,x + I 3,x

20 7.4 Momento de Inércia Alguns momentos de inercia de algumas figuras planas.

21 7.4 Momento de Inércia Exemplo: Determinar o momento de inércia da superfície hachurada em relação ao eixo x que passa pelo CG. (medidas em centímetros) I xcg = b.h³/12 Ixcg = 1/12(8X12³-3X8³) Ixcg= 1.024cm4

22 7.3 Centro de Gravidade de Superfície Plana: Exercícios: 1) De acordo com as figuras abaixo determine os seus Momentos de Inercia,medidas em metros 1 2 3

23 7.5 Raio de Giração: Define-se raio de giração como sendo a raiz quadrada da relação entre o momento de inércia e a área da superfície. A unidade do raio de giração é o comprimento. O raio de giração é utilizado para o estudo da flambagem.