CAPÍTULO I GEOMETRIA DAS MASSAS

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1 CPÍTULO I GEOMETRI DS MSSS I. SPECTOS GERIS pesar de não estar incluida dentro dos nossos objetivos principais, vamos estudar algumas grandezas características da geometria das massas com a finalidade de conhecermos alguns valores necessários ao estudo das solicitações que provoquem a rotação, como o Momento Fletor e o Momento Torsor. Vamos nos ater ao cálculo das propriedades das seções planas. II. MOMENTOS ESTÁTICOS E BRICENTROS DE SUPERFÍCIES PLNS. CONCEITO dmitimos uma superfície plana qualquer de área "", referida à um sistema de eios ortogonais,y. Sejam: d - elemento de área componente da superfície e y - coordenadas deste elemento em relação ao sistema de eios Define-se: Momento estático de um elemento de área d em relação a um eio é o produto da área do elemento por sua orddenada em relação ao eio considerado. Notação : s Epressão analítica : s = y. d s y =. d

2 Define-se: Momento estático de uma superfície é a soma dos momentos estáticos em relação a um mesmo eio dos elementos que a constituem. Notação : S Epressão analítica: S = y. d Sy =. d OBSERVÇÕES: 1. unidade: cm3, m3, sinal : O momento estático pode admitir sinais positivos ou negativos, dependendo do sinal da ordenada envolvida. 3. O momento estático de uma superfície é nulo em relação à qualquer eio que passe pelo centro de gravidade desta superfície. B. DETERMINÇÃO DO BRICENTRO DE SUPERFÍCIE utilização dos conceitos de momento estático se dá no cálculo da posição do centro de gravidade de figuras planas. Seja: G - baricentro da superfície com coordenadas à determinar ( G ; y G ) por definição: S = y. d se o baricentro da superfície fosse conhecido poderíamos calcular o momento estático desta superfície pela definição: S = y G. y G = S ou como (área total) pode ser calculado pela soma dos elementos de área que a constituem: = d então :

3 yg = y. d d análogamente: G =. d d Estas epressões nos permitem determinar as coordenadas do centro de gravidade de qualquer seção desde que se conheça um elemento d representativo da superfície toda. São chamadas genéricamente de "teorema dos momentos estáticos". Nos casos mais comuns, quando a superfície em estudo for a seção transversal de um elemento estrutural, normalmente seções constituidas por elementos de área conhecidos (perfilados), podemos substituir nas equações a integral por seu similar que é o somatório, e as epressões ficam: y G = n i. y 1 n 1 i i ou G = n i. i 1 n OBS: Quando a figura em estudo apresentar eio de simetria, o seu centro de gravidade estará obrigatóriamente neste eio. III. MOMENTOS E PRODUTOS DE INÉRCI Podemos definir momentos e produtos de inércia de uma superfície, usando como referencia a mesma superfície de área referida à um sistema de eios,y: 1 i. MOMENTO DE INÉRCI XIL

4 Define-se: "Momento de inércia de um elemento de área em relação a um eio é o produto da área deste elemento pelo quadrado de sua distância ao eio considerado." Notação : j (índice com o nome do eio) Epressão analítica: j = y2. d j y = 2. d Unidade : cm4, m4,... Sinal : sempre positivo Define-se : "Momento de inércia de uma superfície em relação a um eio é a soma dos momentos de inércia em relação ao mesmo eio dos elementos de área que a constituem." 2 J = d 2 y. ou Jy = d. OBS: Sendo o momento de inércia aial de uma superfície o somatório de valores sempre positivos, ele só admite valores positivos também. B. MOMENTO DE INÉRCI POLR Define-se: "Momento de inércia de um elemento de área em relação a um ponto é o produto da área deste elemento pelo quadrado de sua distância ao ponto considerado." Notação: j (índice com o nome do ponto) Epressão analítica: jo= r 2. d Unidade : cm 4, m 4,... Sinal: sempre positivo Define-se: "Momento de inércia de uma superfície em relação a um ponto é a soma dos momentos de inércia, em relação ao mesmo ponto dos elementos qua a constituem." 2 Jo = r. d

5 OBS: Se levarmos em conta o teorema de Pitágoras: r2 = 2 + y 2 então: J o 2 = ( + y 2 ). d = Jo = J + Jy 2.d + 2 y. d Conclusão: O momento de inércia de uma superfície em relação a um ponto é a soma dos momentos de inércia em relação a dois eios ortogonais que passem pelo ponto considerado. C. PRODUTO DE INÉRCI Define-se: "O produto de inércia de um elemento de área em relação a um par de eios é o produto da área deste elemento por suas coordenadas em relação aos eios considerados." Notação : j (índice o par de eios) Epressão analítica : j,y =.y.d Sinal: admite sinais positivos e negativos, de acôrdo com o sinal do produto das coordenadas. Unidade : cm 4,m 4,... Define-se: "O produto de inércia de uma superfície é a soma dos produtos de inércia, em relação ao mesmo par de eios, dos elementos que a constituem.", =. y.d J y OBS : O produto de inércia de uma superfície por ser o somatório do produto dos elementos que a constituem pode resultar em um valor negativo,positivo ou nulo. Eemplo: Determine o momento de inércia de um retangulo b h, em relação ao eio horizontal coincidente com a base.

6 IV. TRNSLÇÃO DE EIXOS (TEOREM DE STEINER) Este teorema nos permite relacionar momentos e produtos de inércia em relação a eios quaisquer com momentos e produtos de inércia relativos a eios baricêntricos, desde que eles sejam paralelos. FORMULÁRIO: J = JG +.dy2 Jy = JyG +.d2 Jo = JG +. r2 J,y = JG,yG +.d.dy OBS: PR UTILIZÇÃO DO TEOREM DE STEINER, OS EIXOS BRICENTRICOS DEVEM NECESSÁRIMENTE ESTR ENVOLVIDOS N TRNSLÇÃO. V. ROTÇÃO DE EIXOS

7 . SEGUNDO UM INCLINÇÃO QULQUER (α) O teorema à seguir nos permite calcular momentos e produtos de inércia em relação a eios deslocados da referência de um angulo α, conforme mostra a figura : FORMULÁRIO: J' = J. cos2 α + Jy. sen2α - J,y. sen 2α Jy' = Jy. cos2 α + J.sen2α + J,y. sen 2α J',y' = J,y. cos 2α (J - Jy).sen 2α OBS: convenção adotada para se medir o angulo α segue a convenção adotada no círculo trigonométrico mede-se o angulo α de à ' no sentido anti horário. B. EIXOS E MOMENTOS PRINCIPIS DE INÉRCI

8 Podemos notar que ao efetuarmos a rotação dos eios que passam por um ponto 'o', os momentos e produtos variam em função do angulo de rotação α. Em problemas práticos, normalmente nos interessa a inclinação 'α', em relação à qual os valores do momento de inércia é máimo, para então aproveitarmos integralmente as características geométricas da seção transversal que deve ser adotada. Para a determinação do máimo de uma função, por eemplo J', podemos utilizar os conceitos de cálculo diferencial, onde sabemos que uma função é máima ou mínima no ponto em que sua primeira derivada for nula. dj' Então: dα = 0 Efetuando as derivações e com algumas simplificações algébricas chegamos à epressão: tg 2 α = 2. Jy J y - J Esta epressão nos permite calcular dois valores para o angulo α, que caracterizam a posição dos eios em relação aos quais o momento de inércia assume valores etremos (máimo e mínimo). Vamos observar que estes eios são: 1. Ortogonais entre si. 2. O produto de inércia em relação a este par de eios é nulo. 3. Na rotação dos eios a soma dos momentos de inércia é constante. J + J y = J ' + J y' Os dois eios determinados chamam-se de eios principais de inércia e os momentos correspondentes momentos principais de inércia. Observações: 1. Se o ponto "o" em tôrno do qual se fez a rotação coincidir com o centro de gravidade da seção, os eios passarão a ser chamados de principais centrais de inércia e a eles corresponderão os momentos principais centrais de inércia. 2. Se a seção tiver eio de simetria, este será, necessáriamente, um eio principal central de inércia.

9 EXERCÍCIOS: 1. Determinar a altura do centro de gravidade do semi-círculo de raio R da figura R yg = 4. 3.π R : 2. Determinar a posição do centro de gravidade das figuras achuriadas abaio (medidas em cm): a. b. R: X G = 5,00 R: X G = 6,00 YG = 9,66 YG = 9,17 c. d.

10 R: Y G = 2,60 R: Y G = 27 X G = 6,57 X G = Determinar o momento de inércia das figuras em relação aos eios baricentricos horizontail e vertical. (medidas em cm) a. b. R: J = 3.541,33 cm 4 R: J = 553 cm 4 Jy= 1.691,33 cm 4 Jy = 279,08 cm 4 c. d.

11 R: J = 687,65 cm 4 R: J = 1.372,29 cm 4 J y = 207,33 cm4 J y = 1.050,27 cm4 4. Para as figuras abaio, determine os seus eios principais centrais de inércia, bem como os momentos correspondentes (momentos principais centrais de inércia) ( medidas em cm). a. b. R: Jmá = cm 4 R: Jmá = cm 4 Jmín = 325,5 cm 4 Jmín = 105 cm 4 5. Para a figura abaio determine: a. Momentos principais centrais de inércia b. Momentos principais de inércia em relação ao ponto O.

12 R: a. Jmá = 105,33 cm 4 Jmín = 87,05 cm4 b. Jmá = 142,33 cm 4 Jmín = 91,70 cm 4 TBELS: b h h b J =. J =. y b h h b J G =. J =. yg b h h b J =. J =. y b h h b J =. =. G J yg

13 b h J = b h h b J =. =. G J yg J R = J y = π. 4 4