di x = y 2.da di y = x 2.da I x = (A) y 2.da I y = (A) x 2.da

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1 Momento De Inércia De Uma Figura Plana da, e somando-os temos: Definição: (Murat, S.D.) Seja uma figura plana qualquer, posicionada em relação a um par de eixos de referência. Definese: di x = y 2.da di y = x 2.da Considerado momento de 2ª ordem, momento de 1ª ordem é o estático. Aplicando-se as definições acima para todos os I x = (A) y 2.da I y = (A) x 2.da Pela análise dimensional dessas definições, teremos como unidades para o MOMENTO DE INÉRCIA: m 4, cm 4, pol 4, etc. Será adotada a unidade de m 4 (metro a quarta). Exercício Aplicativo para Cálculo do Momento Inércia: Aplicar as definições acima para o Retângulo, posicionado em relação aos eixos, nas seguintes situações: Situação 1: Situação 2: Cálculo: I x = (A) y 2.da sendo da=b.dy I x = (A) y 2.B.dy Cálculo: I x = B.(y 3 /3) 0 H I x = (B.H 3 )/3 Logo: I y = (H.B 3 )/3 Página nº 1

2 Considerações: Apesar de ser usado um par de eixos de referência (X e Y), o cálculo do Momento de Inércia (I eixo ) é feito em relação a cada um deles separadamente, Podendo os eixos serem quaisquer ou baricêntricos. De acordo com a distribuição da área da figura plana ao redor do eixo de referência, o Momento de Inércia sempre resultará um número positivo. Se, o eixo de referência for um eixo de simetria, o eixo será baricêntrico. O inverso não é verdadeiro. À medida que o eixo de referência se afasta do baricentro da figura plana, o resultado do momento de inércia, em relação ao eixo de referência, aumenta. Nomenclatura Utilizada: Baricentro = G Coordenadas de baricentro = xg e yg Eixos de Referência = X e Y Eixos baricêntricos = XG e YG Momentos de Inércia para os eixos de referência = IX e IY Momentos de Inércia para os eixos baricêntricos = IXG e IYG Área da figura plana = A Área infinitesimal = da Página nº 2

3 MOMENTOS DE INÉRCIA DAS FIGURAS BÁSICAS Retângulo Figuras Áreas Mom. de Inércia Ix = B.H 3 /3 A = B.H Iy = H.B 3 /3 Ixg = B.H 3 /12 Iyg = H.B 3 /12 Triângulo Retângulo Ix = B.H 3 /12 A = (B.H)/2 Iy = H.B 3 /12 Ixg = B.H 3 /36 Iyg = H.B 3 /36 Quarto de Círculo Ix =.R 4 /16 A = (.R 2 )/4 Iy =.R 4 /16 Iyg = Ixg = Ix - A.(yg) 2 Iyg = Ixg = 0,055.R 4 Semi Círculo Ix =.R 4 /8 A = (.R 2 )/2 Iyg = Iy =.R 4 /8 Ixg = Ix - A.(yg) 2 Ixg = 0,1098.R 4 Círculo A =.R 2 Iyg = Ixg = Ix = Iy Ixg =.R 4 /4 (Miranda, 2000) Página nº 3

4 TEOREMA DE STEINER Teorema da Translação de Eixos Definição:(Murat, S.D.) O momento de Inércia de uma Figura plana, em relação a um eixo qualquer, é igual à soma do momento de inércia da figura, em relação ao seu eixo baricêntrico paralelo ao eixo qualquer, com o produto da distância ao quadrado entre os eixos, pela área da figura. Demonstração: I = I + d 2.A fig Utilizaremos os resultados obtidos no cálculo do momento de inércia do retângulo para demonstrarmos este teorema: Solução: Desta Forma: Ou seja: I X - I XG =? Ix = B.H 3 /3 Ixg = B.H 3 /12 Logo: [B.H 3 /3] - [B.H 3 /12] = [(4B.H 3 ) - (B.H 3 )]/12 I X - I XG = B.H 3 /4 Reparar que, o valor encontrado pode ser decomposto em: B.H 3 /4 = (H 2 /4).( B.H) Analogamente: B.H 3 /4 = (yg) 2.( A) I X = I XG + (yg) 2.( A) I Y = I YG + (xg) 2.( A) Página nº 4

5 Determinar os Momentos de Inércia das seguintes Figuras Compostas: (P1-1º semestre, 1998) Exemplo 15: Resposta: I X ; I Y ; I XG ; I YG 2 cm 7 cm 3 cm Exemplo 16: Resposta: I X ; I Y ; I XG ; I YG 3 cm 9 cm Página nº 5

6 Determinar os Momentos de Inércia das seguintes Figuras Compostas: Exemplo 17: Da aula anterior temos: Área da Figura 1 (4º círculo) = 28,27 cm 2 Área da Figura 2 (triângulo) = 13,5 cm 2. Coordenada yg 2 = 4 cm Área da Figura 3 (triângulo) = 13,5 cm 2. Coordenada yg 3 = 2 cm Coordenadas do Baricentro: G = (xg ; yg) G = (0,16 ; 2,77) cm. Área da Figura Total (A T )= 55,27 cm 2. Resposta: Cálculo de IX: IX = IX 1 + [IXG 2 + A 2.(yg 2 ) 2 ] + [IXG 3 + A 3.(yg 3 ) 2 ] = IX =.(6) 4 /16 + [9.(3) 3 / ,5.(4) 2 ] + [9.(3) 3 / ,5.(2) 2 ] = 537,97 cm 4. Cálculo de IXG (aplicando Steiner), temos: IXG = IX - A T.(yg) 2 = IXG = 537,97-55,27.(2,77) 2 = 113,89 cm 4. Cálculo de IY: (as figuras tocam o eixo Y) IY = IY 1 + IY 2 + IY 3 = IY =.(6) 4 / (9) 3 / (9) 3 /12 = IY = 618, 96 cm4. Cálculo de IYG (aplicando Steiner), temos: IYG = IY - A T.(xg) 2 = IYG = 618, 96-55,27.(0,16) 2 = IYG = 617, 54 cm 4. Exemplo 18 Resposta: Página nº 6

7 Exercício 18: Calcular, para a figura plana abaixo, o Baricentro e os Momentos de Inércia para os eixos de referência (X ey), bem como, para os eixos baricêntricos. Posicionar o Ponto de Baricentro (G) na figura, indicando suas coordenadas no desenho e a posição dos eixos baricêntricos. Utilizar as unidades no Sistema Internacional. Y 5 x 10-2 m Solução: 3 x 10-2 m X Página nº 7