Aula 8 Segmentos Proporcionais

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Aula 8 Segmentos Proporcionais"

Transcrição

1 MODULO 1 - UL 8 ula 8 Segmentos Proporcionais Nas aulas anteriores, aprendemos uma formação geométrica básica, através da Geometria Plana de Posição. prendemos que: 1. soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo são 180 ō. 2. Em um triângulo, a medida de cada lado é menor que a soma das medidas dos outros dois. 3. Incentro de um triângulo é o ponto de encontro das três bissetrizes internas. No entanto, apesar de sabermos o que é uma altura, bissetriz ou mediana, essa geometria de posição não nos dá condições para o cálculo do comprimento dessa altura, bissetriz ou mediana. parte da geometria que estuda as relações métricas entre medidas de segmentos de uma figura é denominada Geometria Métrica que vamos estudar a partir deste momento. Razão de dois segmentos razão entre dois segmentos é igual à razão dos números que eprimem as medidas com a mesma unidade. Supor que e D sejam comensuráveis, isto é, admitem uma medida comum u, que está m vezes em e n vezes em D. Temos: = mu D = nu u mu D u nu 141 EDER J

2 ou seja, razão entre os segmentos e D é igual a razão entre suas medidas, D = = mu nu = m n. Obs.: Se os segmentos e D são incomensuráveis, ou seja, não admitem uma medida comum, podemos provar que: D = D. Segmentos proporcionais Definição: Dois segmentos são proporcionais a dois outros segmentos se à razão dos dois primeiros é igual à razão dos outros dois. Eemplo D = D. igualdade dessas duas razões formam uma proporção. Feie de retas paralelas Na figura a seguir, as retas a, b e c constituem um feie de retas paralelas. Definição: 1) Feie de retas paralelas é um conjunto de retas coplanares entre si. Eemplo a b c 2) Transversal do feie de retas paralelas é uma reta do plano do feie que concorre com todas as retas do feie de retas paralelas. EDER J 142

3 MODULO 1 - UL 8 Eemplo b e c. Na figura a seguir, a reta d é uma reta transversal às retas paralelas a, d a b c 3) Pontos correspondentes de duas transversais são pontos destas transversais que estão numa mesma reta do feie de retas paralelas e, e, e, D e D, E e E são pontos correspondentes. Eemplo Na figura a seguir, a, b, c, d e e é o feie de retas parlelas. 4) Segmentos correspondentes de duas transversais são segmentos cujas etremidades são os respectivos pontos correspondentes. Eemplo e, e, D e D são segmentos correspondentes. Teorema 1 Se um feie de retas paralelas tem duas transversais, então os segmentos congruentes de uma tem como correspondentes segmentos congruentes na outra. 143 EDER J

4 Demonstração: Seja um feie de retas paralelas com duas transversais, temos que a//b//c//d e D (hipótese). Tracemos pelos pontos e os segmentos E e F, tal que E//t e F//t. Temos que E e F D (1), já que são lados opostos dos paralelogramos E e FD. Então, E DF pois D E ÂE DF DĈF (caso L) o que implica, E F, de (1) D. Teorema de Tales Se duas retas são transversais de um feie de retas paralelas, então à razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra. Demonstração: onsidere e D dois segmentos de uma transversal e e D são os respectivos segmentos correspondentes da outra transversal. Vamos provar que D = D. EDER J 144

5 MODULO 1 - UL 8 1 ō caso: e D são comensuráveis. p u uu u p q D u uu D D D q Eiste um segmento u que é submúltiplo de e D. D = pu qu D = p q (1) onduzindo retas do feie pelos pontos de divisão de e D e aplicando o Teorema 1 vem: = p De (1) e (2) vem que: D = q D = D. 2 ō caso: e D são incomensuráveis. D = p q Daí, não eiste segmento submúltiplo comum de e D. Tomemos um segmento u submúltiplo de D, isto é, D = nu (1). Por serem e D incomensuráveis, marcando necessariamente u em, temos que para um certo número inteiro m de vezes acontece mu < < (m + 1)u (2). n u D uu u m u uu u m m + 1 m + 1 u u u u D n De (1) e (2) mu < < (m + 1)u nu = D m n < D < m + 1 n (3) 145 EDER J

6 onduzindo retas do feie pelos pontos de divisão de e D e aplicando o Teorema 1 vem: D = nu mu < < (m + 1)u Temos: mu < < (m + 1)u m nu < D n < < m + 1 D n (4) Pelas relações (3) e (4) as razões D e D estão compreendidos entre m n e m + 1 n + 1, cuja diferença é 1 n. Em outras palavras, as razões D e D têm valores aproimados a menos de 1 n Logo temos, D = D. Eercícios Resolvidos 1. Nas figuras a seguir, as retas r, s e t são paralelas. Determine os valores de e y. a) r s t b) r 8 s t Solução: Usando o Teorema de Tales vem: a) 4 10 = = 24 = = 6 5 EDER J 146

7 MODULO 1 - UL 8 b) = = = = 29 = Na figura, MN//. alcule o valor de. 10 M 30 N 12 Solução: Usando o Teorema de Tales vem: 10 = = = 25. Logo, = + 10 = = 35. issetriz de um triângulo Teorema da bissetriz interna (TI) Em qualquer triângulo, uma bissetriz interna divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Demonstração: Seja um triângulo de lados a, b e c, S uma bissetriz interna, S = e S = y. Vamos provar que c = y b. De fato, tracemos pelo vértice do, a paralela D à bissetriz interna S, conforme a figura. 147 EDER J

8 Temos que: α β α = β (hipótese) = (alternos internos) = γ (correspondentes) γ = Daí, o D é isósceles, de base D, logo D = = b. Usando o teorema de Tales no D vem: S S = D. omo S =, S = y, = c e D = = b vem y = c b. Obs: recíproca desse teorema é verdadeira. Tente provar! issetriz de um triângulo Teorema da bissetriz eterna (TE) Em um triângulo qualquer, a bissetriz eterna de um ângulo eterno divide o lado, eternamente, em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Demonstração: Seja um triângulo, tal que = a, = b e = c. Seja S bissetriz eterna e α = β, como na figura. EDER J 148

9 MODULO 1 - UL 8 Pelo vértice tracemos E//S, conforme a figura. Temos que: α = β (hipótese) α = γ (alternos internos) β = (correspondentes) Daí, γ = Logo, o triângulo E é isósceles de base E. Então, E = = b. Usando o teorema de Tales vem: S = S E. omo S =, S = y, = c e E = = b temos que y = c b. Obs.: 1. recíproca desse teorema é verdadeira. Tente provar! 2. Em um triângulo isósceles, de base, a bissetriz eterna de vértice é paralela à base. De fato, no da figura, o ângulo ÂE mede 2y; como é eterno, temos 2y = + = 2 y =. Logo, e y são ângulos alternos internos. Daí, a bissetriz D é paralela à base. Note que neste caso não se aplica o Teorema da bissetriz eterna. 149 EDER J

10 Eercícios Resolvidos 3. Na figura, S é bissetriz interna do triângulo, calcule o valor de S 9 Solução: Usando TI vem: 6 9 = = = 54 = = Na figura, D é bissetriz eterna do ângulo Â. alcule. Solução: Usando TE vem: + 4 = = = Os lados de um triângulo medem 12 cm, 15 cm e 18 cm. Do vértice oposto ao lado de maior medida tracem-se as bissetrizes interna e eterna. alcule a distância entre os pés dessas bissetrizes. Solução: Seja o triângulo onde = 18, = 15 e = 12, D e E são as bissetrizes interna e eterna, como na figura. EDER J 150

11 MODULO 1 - UL D y E alculemos D = e E = y. Pelo TI vem: 18 = Pelo TE vem: 15 = = 216 = y y = y = y 3y = 216 y = 72. Logo, a distância entre as duas bissetrizes são + y = = 80 cm. 6. O perímetro de um triângulo é 100 metros. bissetriz do ângulo interno divide o lado oposto em dois segmentos de 16 metros e 24 metros. Determine os lados desse triângulo. Solução: onsidere o triângulo de perímetro 100 e = 40, como na figura. De = c e = b vem: Daí, b + c = = 60 b + c = 60 c b = a + b + c = 100 a = = c b (TI) (2) Substituindo (1) em (2) vemos:. c = 60 b c b = b b = b = 36. (3) 151 EDER J

12 Substituindo (3) em (1) vem: c = = 24. Os lados do triângulo são 36, 24 e 40. Eercícios Propostos 1. Na figura, calcule o valor de Um feie de quatro paralelas determina sobre uma transversal três segmentos que medem 5 cm, 6 cm e 9 cm, respectivamente. Determine os comprimentos dos segmentos que este mesmo feie determina sobre uma outra transversal, sabendo que o segmento compreendido entre a primeira e quarta paralelas mede 60 cm. 3. Na figura, r//s//t. Determine as medidas de e y sabendo que são proporcionais a 3 e 4, respectivamente. O segmento mede 70 cm e as retas a e b são paralelas. a y t b s r EDER J 152

13 MODULO 1 - UL 8 4. Na figura, calcule os valores de e y, respectivamente, sendo S a bissetriz interna do ângulo. 5. Na figura, sendo D bissetriz eterna do ângulo, calcule D. 6. Os lados de um triângulo medem 10 cm, 12 cm e 18 cm. Do vértice oposto ao lado de maior medida traçam-se as bissetrizes internas e eternas dos ângulos correspondentes. alcule a distância entre os pés das bissetrizes. Gabarito 1. = Os comprimentos são 15 cm, 18 cm e 27 cm, respectivamente. { = y = = 13 5 e y = D = cm. 153 EDER J

Unidade 11 Geometria Plana I. Congruência e semelhança de figuras planas Relações métricas do triângulo retângulo Triângulo qualquer

Unidade 11 Geometria Plana I. Congruência e semelhança de figuras planas Relações métricas do triângulo retângulo Triângulo qualquer Unidade 11 Geometria Plana I Congruência e semelhança de figuras planas Relações métricas do triângulo retângulo Triângulo qualquer Congruência e Semelhança de Figuras Planas TRIÂNGULOS SEMELHANTES Dois

Leia mais

Aula 6 Pontos Notáveis de um Triângulo

Aula 6 Pontos Notáveis de um Triângulo MODULO 1 - AULA 6 Aula 6 Pontos Notáveis de um Triângulo Definição: Lugar Geométrico é um conjunto de pontos que gozam de uma mesma propriedade. Uma linha ou figura é um lugar geométrico se: a) todos os

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. Teorema de Tales - Parte II. Nono Ano do Ensino Fundamental

Material Teórico - Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. Teorema de Tales - Parte II. Nono Ano do Ensino Fundamental Material Teórico - Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales Teorema de Tales - Parte II Nono no do Ensino Fundamental Prof. Marcelo Mendes de Oliveira Prof. ntonio aminha Muniz Neto 1 O Teorema

Leia mais

10 FGV. Na figura, a medida x do ângulo associado é

10 FGV. Na figura, a medida x do ângulo associado é urso de linguagem matemática Professor Renato Tião 6. Sabendo que ângulos geométricos têm medidas entre 0º e 180º, ângulos adjacentes têm um lado em comum, ângulos complementares têm a soma de suas medidas

Leia mais

Relações métricas nos triângulos retângulos 1) Usando o teorema de Pitágoras, determine os elementos indicados por x ou y nas figuras seguintes:

Relações métricas nos triângulos retângulos 1) Usando o teorema de Pitágoras, determine os elementos indicados por x ou y nas figuras seguintes: AS RESPOSTAS ESTÃO NO FINAL DOS EXERCÍCIOS. Relações métricas nos triângulos retângulos ) Usando o teorema de Pitágoras, determine os elementos indicados por ou nas figuras seguintes: d) e) f) g) h) 0

Leia mais

Geometria I Aula 3.3

Geometria I Aula 3.3 Curso Turno Disciplina Carga Horária Licenciatura Plena em Noturno Geometria I 90h Matemática Aula Período Data Planejamento 3.1 2. 0 28/11/2006 3ª. feira Andréa Tempo Estratégia Descrição (Produção) 18:10

Leia mais

1 PONTOS NOTÁVEIS. 1.1 Baricentro. 1.3 Circuncentro. 1.2 Incentro. Matemática 2 Pedro Paulo

1 PONTOS NOTÁVEIS. 1.1 Baricentro. 1.3 Circuncentro. 1.2 Incentro. Matemática 2 Pedro Paulo Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA VIII 1 PONTOS NOTÁVEIS 1.1 Baricentro O baricentro é o encontro das medianas de um triângulo. Na figura abaixo, é o ponto médio do lado, é o ponto médio do lado

Leia mais

TRIGONOMETRIA. AULA 1 _ Os triângulos Professor Luciano Nóbrega. Maria Auxiliadora

TRIGONOMETRIA. AULA 1 _ Os triângulos Professor Luciano Nóbrega. Maria Auxiliadora 1 TRIGONOMETRIA AULA 1 _ Os triângulos Professor Luciano Nóbrega Maria Auxiliadora 2 CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS Vamos relembrar como classificam-se os triângulos: Quanto aos lados: 3 lados iguais Triângulo

Leia mais

Aula 9 Triângulos Semelhantes

Aula 9 Triângulos Semelhantes MUL 1 - UL 9 ula 9 Triângulos Semelhantes efinição: ois triângulos são semelhantes se os três ângulos são ordenadamente congruentes e se os lados homólogos são proporcionais. figura mostra dois triângulos

Leia mais

Módulo Elementos Básicos de Geometria - Parte 3. Circunferência. Professores: Cleber Assis e Tiago Miranda

Módulo Elementos Básicos de Geometria - Parte 3. Circunferência. Professores: Cleber Assis e Tiago Miranda Módulo Elementos Básicos de Geometria - Parte Circunferência. 8 ano/e.f. Professores: Cleber Assis e Tiago Miranda Elementos Básicos de Geometria - Parte. Circunferência. 1 Exercícios Introdutórios Exercício

Leia mais

Propriedade: Num trapézio isósceles os ângulos de uma mesma base são iguais e as diagonais são também iguais.

Propriedade: Num trapézio isósceles os ângulos de uma mesma base são iguais e as diagonais são também iguais. 125 19 QUADRILÁTEROS Propriedades 1) Num quadrilátero qualquer ABCD a soma dos ângulos internos é 1800. 2) Um quadrilátero ABCD é inscritível quando seus vértices pertence a uma mesma circunferência. 3)

Leia mais

SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU

SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU Os sistemas a seguir envolverão equações do 2º grau, lembrando de que suas soluções constituem na determinação do par ordenado { (x, y )(x, y ) }. Resolver um sistema envolvendo

Leia mais

1 SOMA DOS ÂNGULOS 2 QUADRILÀTEROS NOTÀVEIS. 2.2 Paralelogramo. 2.1 Trapézio. Matemática 2 Pedro Paulo

1 SOMA DOS ÂNGULOS 2 QUADRILÀTEROS NOTÀVEIS. 2.2 Paralelogramo. 2.1 Trapézio. Matemática 2 Pedro Paulo Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA IX 1 SOMA DOS ÂNGULOS A primeira (e talvez mais importante) relação válida para todo quadrilátero é a seguinte: A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero

Leia mais

Frente 3 Aula 20 GEOMETRIA ANALÍTICA Coordenadas Cartesianas Ortogonais

Frente 3 Aula 20 GEOMETRIA ANALÍTICA Coordenadas Cartesianas Ortogonais Frente ula 0 GEOETRI NLÍTI oordenadas artesianas Ortogonais Sistema cartesiano ortogonal Sabemos que um sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eios perpendiculares entre si com uma origem comum.

Leia mais

Consideremos um triângulo de lados a,b e c. Temos duas possibilidades: ou o triângulo é acutângulo ou é obtusângulo. Vejamos:

Consideremos um triângulo de lados a,b e c. Temos duas possibilidades: ou o triângulo é acutângulo ou é obtusângulo. Vejamos: Lei dos Cossenos Consideremos um triângulo de lados a,b e c. Temos duas possibilidades: ou o triângulo é acutângulo ou é obtusângulo. Vejamos: Triângulo Obtusângulo Tomemos um triângulo Obtusângulo qualquer,

Leia mais

Geometria Plana Triângulos Questões Resolvidas (nem todas)

Geometria Plana Triângulos Questões Resolvidas (nem todas) Questão 1 A bissetriz interna do ângulo  de um triângulo ABC divide o lado oposto em dois segmentos que medem 9 cm e 16 cm. Sabendo que medida de. 9 16 = AC = 3 18 AC Questão mede 18 cm, determine a O

Leia mais

30's Volume 8 Matemática

30's Volume 8 Matemática 30's Volume 8 Matemática www.cursomentor.com 18 de dezembro de 2013 Q1. Simplique a expressão: Q2. Resolva a expressão: Q3. Calcule o inverso da expressão: ( 3 2 ) 3 16 10 4 8 10 5 10 3 64 10 5 10 6 0,

Leia mais

Terceira lista de exercícios.

Terceira lista de exercícios. MA092 Geometria plana e analítica Segundo semestre de 2016 Terceira lista de exercícios. Polígonos. Quadriláteros notáveis. Pontos notáveis do triângulo. 1. (Dolce/Pompeo) Determine o valor de xx nas figuras

Leia mais

A lei dos senos. Na Aula 42 vimos que a Lei dos co-senos é. a 2 = b 2 + c 2-2bc cos Â

A lei dos senos. Na Aula 42 vimos que a Lei dos co-senos é. a 2 = b 2 + c 2-2bc cos  A UA UL LA A lei dos senos Introdução Na Aula 4 vimos que a Lei dos co-senos é uma importante ferramenta matemática para o cálculo de medidas de lados e ângulos de triângulos quaisquer, isto é, de triângulos

Leia mais

II - Teorema da bissetriz

II - Teorema da bissetriz I - Teorema linear de Tales Se três ou mais paralelas são cortadas por duas transversais, então os segmentos determinados numa transversal têm medidas que são diretamente proporcionais às dos segmentos

Leia mais

TC DE GEOMETRIA 8 a SÉRIE OLÍMPICA ENSINO FUNDAMENTAL

TC DE GEOMETRIA 8 a SÉRIE OLÍMPICA ENSINO FUNDAMENTAL TC DE GEOMETRIA 8 a SÉRIE OLÍMPICA ENSINO FUNDAMENTAL Professores: Júnior ALUNO(A): Nº TURMA: TURNO: DATA: / / COLÉGIO: 1. A medida de um dos ângulos externos de um triângulo é 125º. Sabendo-se que os

Leia mais

= 1 1 1 1 1 1. Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até três pontos, e o B vale até sete pontos.

= 1 1 1 1 1 1. Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até três pontos, e o B vale até sete pontos. VTB 008 ª ETAPA Solução Comentada da Prova de Matemática 0 Em uma turma de alunos que estudam Geometria, há 00 alunos Dentre estes, 30% foram aprovados por média e os demais ficaram em recuperação Dentre

Leia mais

Figuras geométricas planas. Joyce Danielle. e espaciais

Figuras geométricas planas. Joyce Danielle. e espaciais Figuras geométricas planas Joyce Danielle e espaciais Figuras geométricas planas Joyce Danielle UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2 Apresentação Na geometria plana vamos então nos atentar ao método de cálculo

Leia mais

Capítulo 6. Geometria Plana

Capítulo 6. Geometria Plana Capítulo 6 Geometria Plana 9. (UEM - 2013 - Dezembro) Com base nos conhecimentos de geometria plana,assinale o que for correto. 01) O maior ângulo interno de um triângulo qualquer nunca possui medida inferior

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA PLANA

LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA PLANA LIST E EXERÍIOS E GEOMETRI PLN 01) FUVEST - medida do ângulo inscrito na circunferência de centro O é: a) 125 o b) 110 o c) 120 o 35 d) 100 o O e) 135 o 02) Num triângulo de lados = 12, = 8 e = 10, a medida

Leia mais

Lista de exercícios para a P8 Conteúdo: Pontos notáveis do triângulo, quadriláteros e polígonos. Prof. Rafa, Prof. Bill, Prof. Marcelo C. e Marcelo L.

Lista de exercícios para a P8 Conteúdo: Pontos notáveis do triângulo, quadriláteros e polígonos. Prof. Rafa, Prof. Bill, Prof. Marcelo C. e Marcelo L. Lista de exercícios para a P8 Conteúdo: Pontos notáveis do triângulo, quadriláteros e polígonos. Prof. Rafa, Prof. Bill, Prof. Marcelo C. e Marcelo L. Mas antes de começar, atente para as seguintes dicas:

Leia mais

2.1 - Triângulo Equilátero: é todo triângulo que apresenta os três lados com a mesma medida. Nesse caso dizemos que os três lados são congruentes.

2.1 - Triângulo Equilátero: é todo triângulo que apresenta os três lados com a mesma medida. Nesse caso dizemos que os três lados são congruentes. Matemática Básica 09 Trigonometria 1. Introdução A palavra Trigonometria tem por significado do grego trigonon- triângulo e metron medida, associada diretamente ao estudo dos ângulos e lados dos triângulos,

Leia mais

Lista de Exercícios Geometria Plana - Pontos notáveis do triângulo 3ª Série do Ensino Médio Prof. Lucas Factor

Lista de Exercícios Geometria Plana - Pontos notáveis do triângulo 3ª Série do Ensino Médio Prof. Lucas Factor Lista de Exercícios Geometria Plana - Pontos notáveis do triângulo 3ª Série do Ensino Médio Prof. Lucas Factor 1. Considere os pontos notáveis de um triângulo, sendo: B Baricentro C Circuncentro I Incentro

Leia mais

Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. 8 ano/9 a série E.F.

Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. 8 ano/9 a série E.F. Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales Relações Métricas no Triângulo Retângulo. 8 ano/9 a série E.F. Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales Relações Métricas no Triângulo Retângulo.

Leia mais

Centro Educacional Juscelino Kubitschek

Centro Educacional Juscelino Kubitschek Prezado (a) aluno(a): Centro Educacional Juscelino Kubitschek ALUNO: N.º: DATA: / / ENSINO: ( x ) Fundamental ( ) Médio SÉRIE: 8ª TURMA: TURNO: DISCIPLINA: MATEMEMÁTICA PROFESSOR: EQUIPE DE MATEMÁTICA

Leia mais

Cevianas: Baricentro, Circuncentro, Incentro e Mediana.

Cevianas: Baricentro, Circuncentro, Incentro e Mediana. Cevianas: Baricentro, Circuncentro, Incentro e Mediana. 1. (Ita 014) Em um triângulo isósceles ABC, cuja área mede 48cm, a razão entre as medidas da altura AP e da base BC é igual a. Das afirmações abaixo:

Leia mais

Aula de Matemática. Turma 1 28/03/13 e 05/04/13 Prof. Silvânia Alves de Carvalho Cursinho TRIU Barão Geraldo Campinas /SP

Aula de Matemática. Turma 1 28/03/13 e 05/04/13 Prof. Silvânia Alves de Carvalho Cursinho TRIU Barão Geraldo Campinas /SP Aula de Matemática Turma 1 28/03/13 e 05/04/13 Prof. Silvânia Alves de Carvalho Cursinho TRIU Barão Geraldo Campinas /SP Cursinho TRIU -Matemática Ementa do curso CURSINHO TRIU Conteúdo de Matemática (

Leia mais

Eixo Temático ITema 1: Conjuntos Numéricos. Números e Operações

Eixo Temático ITema 1: Conjuntos Numéricos. Números e Operações Eixo Temático ITema 1: Conjuntos Numéricos Números e Operações 1. Conjunto dos números naturais 2. Conjunto dos números inteiros 1.0. Conceitos 3 1.1. Operar com os números naturais: adicionar, multiplicar,

Leia mais

TERCEIRA SÉRIE ENSINO MÉDIO INTEGRADO. CIRCUNFERÊNCIA E DISCO Prof. Rogério Rodrigues NOME :... NÚMERO :... TURMA :...

TERCEIRA SÉRIE ENSINO MÉDIO INTEGRADO. CIRCUNFERÊNCIA E DISCO Prof. Rogério Rodrigues NOME :... NÚMERO :... TURMA :... 1 TERCEIRA SÉRIE ENSINO MÉDIO INTEGRADO CIRCUNFERÊNCIA E DISCO Prof. Rogério Rodrigues NOME :... NÚMERO :... TURMA :... 2 V - CIRCUNFERÊNCIA E DISCO V.1) Circunferência e Disco Elementos : a) Circunferência

Leia mais

a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70

a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70 Geometria Plana I Exercícios TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: O revestimento do piso de um ambiente, com a utilização de tacos de madeira, pode ser feito formando desenhos que constituam um elemento decorativo

Leia mais

Projeto Rumo ao ITA Exercícios estilo IME

Projeto Rumo ao ITA Exercícios estilo IME EXERÍIOS DE GEOMETRI PLN REVISÃO 1991 PROF PULO ROERTO 01 (IME-64) Uma corda corta o diâmetro de um círculo segundo um ângulo de 45º Demonstrar que a soma do quadrado dos segmentos aditivos m e n, com

Leia mais

Aula de Matemática. Semana do período zero Turma 2 28/03/13 Prof. Silvânia Alves de Carvalho Cursinho TRIU Barão Geraldo Campinas /SP

Aula de Matemática. Semana do período zero Turma 2 28/03/13 Prof. Silvânia Alves de Carvalho Cursinho TRIU Barão Geraldo Campinas /SP Aula de Matemática Semana do período zero Turma 2 28/03/13 Prof. Silvânia Alves de Carvalho Cursinho TRIU Barão Geraldo Campinas /SP Cursinho TRIU -Matemática Ementa Geometria plana Congruência de figuras

Leia mais

Aula 01 Introdução à Geometria Espacial Geometria Espacial

Aula 01 Introdução à Geometria Espacial Geometria Espacial Aula 01 Introdução à 1) Introdução à Geometria Plana Axioma São verdades matemáticas aceitas sem a necessidade de demonstração. 1 1.1) Axioma da Existência Existem infinitos pontos em uma reta (e fora

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ BIBLIOTECA DE OBJETOS MATEMÁTICOS COORDENADOR: Dr. MARCIO LIMA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ BIBLIOTECA DE OBJETOS MATEMÁTICOS COORDENADOR: Dr. MARCIO LIMA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ BIBLIOTECA DE OBJETOS MATEMÁTICOS COORDENADOR: Dr. MARCIO LIMA TEXTO: CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO AUTORES: Mayara Brito (estagiária da BOM) André Brito (estagiário da BOM) ORIENTADOR:

Leia mais

Construções Geométricas

Construções Geométricas Desenho Técnico e CAD Técnico Prof. Luiz Antonio do Nascimento Engenharia Ambiental 2º Semestre Ângulo - é a região plana limitada por duas semirretas de mesma origem. Classificação dos ângulos: Tipos

Leia mais

ABCDE é um pentágono regular e ABF é um triângulo equilátero interior ao pentágono. Calcule os ângulos internos

ABCDE é um pentágono regular e ABF é um triângulo equilátero interior ao pentágono. Calcule os ângulos internos GABARITO MA13 - Avaliação 1 - o semestre - 013 Questão 1. (pontuação: ) ABCDE é um pentágono regular e ABF é um triângulo equilátero interior ao pentágono. Calcule os ângulos internos do triângulo AF C.

Leia mais

Exercícios de Revisão Áreas de figuras Planas 3 o Ano Ensino Médio - Manhã

Exercícios de Revisão Áreas de figuras Planas 3 o Ano Ensino Médio - Manhã Exercícios de Revisão Áreas de figuras Planas 3 o Ano Ensino Médio - Manhã ======================================================== 1) Num retângulo, a base tem cm a mais do que o dobro da altura e a diagonal

Leia mais

. B(x 2, y 2 ). A(x 1, y 1 )

. B(x 2, y 2 ). A(x 1, y 1 ) Estudo da Reta no R 2 Condição de alinhamento de três pontos: Sabemos que por dois pontos distintos passa uma única reta, ou seja, dados A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ), eles estão sempre alinhados. y. B(x

Leia mais

Programa Olímpico de Treinamento. Aula 3. Curso de Geometria - Nível 2. Teorema de Tales e Aplicações. Prof. Rodrigo Pinheiro

Programa Olímpico de Treinamento. Aula 3. Curso de Geometria - Nível 2. Teorema de Tales e Aplicações. Prof. Rodrigo Pinheiro Programa Olímpio de Treinamento Curso de Geometria - ível 2 Prof. Rodrigo Pinheiro ula 3 Teorema de Tales e pliações. Divisão Harmônia Dizemos que os pontos e dividem harmoniamente o segmento quando =

Leia mais

QUESTÃO 16 Dois garotos, tentando pular um muro, encostaram um banco de 50 cm de altura no muro e colocaram uma escada sobre ele, conforme a figura.

QUESTÃO 16 Dois garotos, tentando pular um muro, encostaram um banco de 50 cm de altura no muro e colocaram uma escada sobre ele, conforme a figura. Nome: N.º: endereço: data: Telefone: E-mail: Colégio PARA QUEM CURSA O 9 Ọ ANO EM 0 Disciplina: MaTeMÁTiCa Prova: desafio nota: QUESTÃO 6 Dois garotos, tentando pular um muro, encostaram um banco de 50

Leia mais

Circunferência e círculo

Circunferência e círculo 54 Circunferência e círculo Ângulos na circunferência Ângulo central Ângulo central é o ângulo que tem o vértice no centro da circunferência. A medida de um ângulo central é igual à medida do arco correspondente

Leia mais

1.Determine o raio do círculo de centro O. Dados: AB=3x-3 e AO=x-3 R. 12

1.Determine o raio do círculo de centro O. Dados: AB=3x-3 e AO=x-3 R. 12 Eercício de Círculo e Circunferência (Relações Métricas) 1.Determine o raio do círculo de centro O. Dados: =3-3 e O=-3 R. 12 o 2. Determine o valor de nos casos: a. s é perpendicular a. =3-5 = +7 R. 6

Leia mais

Como fazer para deixar firme uma estante de hastes com prateleiras que está balançando para os lados?

Como fazer para deixar firme uma estante de hastes com prateleiras que está balançando para os lados? o triângulo é uma das figuras mais importantes da Geometria, e também uma das mais interessantes. Na nossa vida diária, existem bons exemplos de aplicação de triângulos e de suas propriedades. Quer ver

Leia mais

ESTUDO DOS TRIÂNGULOS Uma Breve Revisão

ESTUDO DOS TRIÂNGULOS Uma Breve Revisão ESTUDO DOS TRIÂNGULOS Uma Breve Revisão s Definição: São polígonos com três lados. Os triângulos podem ser classificados quanto aos seus lados ou quanto aos seus ângulos. Observe os quadros a seguir: Classificação

Leia mais

Em um terreiro, há galinhas e carneiros, num total de 21 animais e 50 pés. Quantos animais de cada espécie há nesse terreiro? 5, sendo U = R.

Em um terreiro, há galinhas e carneiros, num total de 21 animais e 50 pés. Quantos animais de cada espécie há nesse terreiro? 5, sendo U = R. EXERÍIO OMPLEMENTRES - MTEMÁTI - 8º NO - ENSINO FUNMENTL - ª ETP 0- ssunto: Equação Nominal Resolva a equação literal a - a. 0- ssunto: Sistema de Equação Em um terreiro, há galinhas e carneiros, num total

Leia mais

a) 8 b) 12 c) 16 d) 20 e) 24

a) 8 b) 12 c) 16 d) 20 e) 24 0) (UFRGS) Na figura abaixo, A, B e C são vértices de hexágonos regulares justapostos, cada um com área 8. Segue-se que a área do triângulo cujos vértices são os pontos A, B e C é: a) 8 b) 1 c) 16 d) 0

Leia mais

Teste de Avaliação Escrita

Teste de Avaliação Escrita Teste de Avaliação Escrita Duração: 90 minutos 19 de fevereiro de 014 Escola E.B.,3 Eng. Nuno Mergulhão Portimão Ano Letivo 013/014 Matemática 9.º B Nome: N.º Classificação: Fraco (0% 19%) Insuficiente

Leia mais

Geometria Plana - Lista 1. 1. (utfpr 2015) Calcule o valor de x, em graus, na figura: a) 16 b) 10 c) 20 d) 58 e) 32

Geometria Plana - Lista 1. 1. (utfpr 2015) Calcule o valor de x, em graus, na figura: a) 16 b) 10 c) 20 d) 58 e) 32 1. (utfpr 2015) Calcule o valor de x, em graus, na figura: a) 16 b) 10 c) 20 d) 58 e) 32 2. (Uece 2015) Considere um segmento de reta XY cuja medida do comprimento é 10 cm e P um ponto móvel no interior

Leia mais

Lista de exercícios do teorema de Tales

Lista de exercícios do teorema de Tales Componente Curricular: Professor(a): PAULO CEZAR Turno: Data: Matemática Matutino / /2014 Aluno(a): Nº do Aluno: Série: Turma: 8ª (81) (82) Sucesso! Lista de Exercícios Lista de exercícios do teorema de

Leia mais

Capítulo 7. 1. Bissetrizes de duas retas concorrentes. Proposição 1

Capítulo 7. 1. Bissetrizes de duas retas concorrentes. Proposição 1 Capítulo 7 Na aula anterior definimos o produto interno entre dois vetores e vimos como determinar a equação de uma reta no plano de diversas formas. Nesta aula, vamos determinar as bissetrizes de duas

Leia mais

Quadriláteros Inscritíveis. Um quadrilátero é dito inscritível se, e somente se, existe uma circunferência que passa pelos seus quatro vértices.

Quadriláteros Inscritíveis. Um quadrilátero é dito inscritível se, e somente se, existe uma circunferência que passa pelos seus quatro vértices. Programa Olímpico de Treinamento urso de Geometria - Nível 3 Prof. Rodrigo ula 1 Quadriláteros Inscritíveis Um quadrilátero é dito inscritível se, e somente se, existe uma circunferência que passa pelos

Leia mais

GABARITO PROVA AMARELA

GABARITO PROVA AMARELA GABARITO PROVA AMARELA 1 MATEMÁTICA 01 A 11 A 0 E 1 C 03 Anulada 13 Anulada 04 A 14 B 05 B 15 C 06 D 16 A 07 D 17 E 08 A 18 C 09 E 19 C 10 C 0 C GABARITO COMENTADO PROVA AMARELA 01. Utilizando que (-1)

Leia mais

PROFESSOR: EQUIPE DE MATEMÁTICA

PROFESSOR: EQUIPE DE MATEMÁTICA PROFESSOR: EQUIPE DE MATEMÁTICA BANCO DE QUESTÕES - GEOMETRIA - 9º ANO - ENSINO FUNDAMENTAL ============================================================================================= 01- Um reservatório

Leia mais

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 7. Curso de Geometria - Nível 2. Ângulos na circunferência. Prof. Cícero Thiago

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 7. Curso de Geometria - Nível 2. Ângulos na circunferência. Prof. Cícero Thiago Polos límpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 2 Prof. ícero Thiago ula 7 Ângulos na circunferência efinição 1: ânguloinscrito relativo aumacircunferência éumânguloquetem ovértice na circunferência

Leia mais

Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal formando dois ângulos

Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal formando dois ângulos EXERCÍCIO COMPLEMENTRES - MTEMÁTIC 8º NO - ENSINO FUNDMENTL - 1ª ETP 01- ssunto: Dízima Periódica Obtenha as geratrizes das seguintes dízimas periódicas: a) 8,715715715... b) 4,722... 02- ssunto: Conjunto

Leia mais

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS REAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS As relações trigonométricas, são estudadas no triângulo retângulo que você já viu é um triângulo que tem um ângulo reto e seus lados indicados por hipotenusa e dois catetos. No

Leia mais

Geometria plana. Resumo teórico e exercícios.

Geometria plana. Resumo teórico e exercícios. Geometria plana. Resumo teórico e eercícios. 3º olegial / urso tensivo. utor - Lucas ctavio de Souza (Jeca) Relação das aulas. Página ula 01 - onceitos iniciais... 0 ula 0 - Pontos notáveis de um triângulo...

Leia mais

Lista 3 Figuras planas

Lista 3 Figuras planas Profa. Debora Cristiane arbosa Kirnev Disciplina: Geometria Descritiva I Curso: rquitetura e urbanismo 2º Semestre Nome: 1. Construa o que se pede: Lista 3 Figuras planas a) Semi-reta de origem e que passa

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA CONCURSO DE ADMISSÃO 2013/2014 1º ANO DO ENSINO MÉDIO

PROVA DE MATEMÁTICA CONCURSO DE ADMISSÃO 2013/2014 1º ANO DO ENSINO MÉDIO CONCURSO DE ADMISSÃO 2013/2014 PROVA DE MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO CONFERÊNCIA: Membro da CEOCP (Mat / 1º EM) Presidente da CEI Dir Ens CPOR / CMBH PÁGINA 1 RESPONDA AS QUESTÕES DE 1 A 20 E TRANSCREVA

Leia mais

Lista de Geometria 1 - Professor Habib

Lista de Geometria 1 - Professor Habib Lista de Geometria 1 - Professor Habib b) Para que valores de x e de y a área ocupada pela casa será máxima? 1. Na figura a seguir, as medidas são dadas em cm. Sabendo que m//n//t, determine o valor de

Leia mais

Questão 1. Questão 3. Questão 2. Resposta. Resposta. Resposta

Questão 1. Questão 3. Questão 2. Resposta. Resposta. Resposta Questão São conhecidos os valores calóricos dos seguintes alimentos: uma fatia de pão integral, 55 kcal; um litro de leite, 550 kcal; 00 g de manteiga,.00 kcal; kg de queijo,.00 kcal; uma banana, 80 kcal.

Leia mais

18/06/2013. Professora: Sandra Tieppo UNIOESTE Cascavel

18/06/2013. Professora: Sandra Tieppo UNIOESTE Cascavel 18/06/01 Professora: Sandra Tieppo UNIOESTE Cascavel 1 Superfícies geradas por uma geratriz (g) que passa por um ponto dado V (vértice) e percorre os pontos de uma linha dada d (diretriz), V d. Se a diretriz

Leia mais

Pontos notáveis de um triãngulo

Pontos notáveis de um triãngulo Pontos notáveis de um triãngulo Sadao Massago Maio de 2010 a evereiro de 2014 Sumário 1 Incentro 1 2 ircuncentro 2 3 aricentro 3 4 Hortocentro 4 5 xincentro 4 6 bservação adicional 5 Referências ibliográcas

Leia mais

INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA 2ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ

INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA 2ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ INSTITUTO E PLIÇÃO FERNNO RORIGUES SILVEIR 2ª SÉRIE O ENSINO MÉIO PROF. ILYIO PEREIR E SÁ Geometria Espacial: Elementos iniciais de Geometria Espacial Introdução: Geometria espacial (euclidiana) funciona

Leia mais

CONCURSO DE ADMISSÃO AO COLÉGIO MILITAR DO RECIFE - 96 / 97 MÚLTIPLA ESCOLHA

CONCURSO DE ADMISSÃO AO COLÉGIO MILITAR DO RECIFE - 96 / 97 MÚLTIPLA ESCOLHA 18 1 a QUESTÃO. (VALOR: 0 ESCORES) - ESCORES OBTIDOS MÚLTIPLA ESCOLHA ESCOLHA A ÚNICA RESPOSTA CERTA, ASSINALANDO-A COM X NOS PARÊNTESES ABAIXO. Item 01. A representação gráfica de M ( M N) P é a. ( )

Leia mais

UNICAMP - 2005. 2ª Fase MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR

UNICAMP - 2005. 2ª Fase MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR UNICAMP - 2005 2ª Fase MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR Matemática Questão 01 São conhecidos os valores calóricos dos seguintes alimentos: uma fatia de pão integral, 55 kcal; um litro de leite,

Leia mais

Unidade 10 Trigonometria: Conceitos Básicos. Arcos e ângulos Circunferência trigonométrica

Unidade 10 Trigonometria: Conceitos Básicos. Arcos e ângulos Circunferência trigonométrica Unidade 10 Trigonometria: Conceitos Básicos Arcos e ângulos Circunferência trigonométrica Arcos e Ângulos Quando em uma corrida de motocicleta um piloto faz uma curva, geralmente, o traçado descrito pela

Leia mais

REVISITANDO A GEOMETRIA PLANA

REVISITANDO A GEOMETRIA PLANA REVISITANDO A GEOMETRIA PLANA Polígonos são figuras planas fechadas com lados retos. Todo polígono possui os seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados. De acordo com o número de lados a

Leia mais

Colégio Santa Dorotéia

Colégio Santa Dorotéia Colégio Santa Dorotéia Área de Matemática Disciplina: Matemática Série: ª Ensino Médio Professor: Elias Bittar Matemática Atividades para Estudos Autônomos Data: 9 / 0 / 016 1) (UFMG) Observe a figura.

Leia mais

UNIVERSITÁRIO DE SINOP CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

UNIVERSITÁRIO DE SINOP CURSO DE ENGENHARIA CIVIL Exercícios propostos: aulas 01 e 02 GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO GA - LISTA DE EXERCÍCIOS 001 1. Calcular o perímetro do triângulo ABC, sendo dado A = (2, 1), B = (-1, 3) e C = (4, -2). 2. Provar que

Leia mais

Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo 2003/04 Geometria 2 - Revisões 11.º Ano

Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo 2003/04 Geometria 2 - Revisões 11.º Ano Escola Secundária/ da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática no Lectivo 00/0 Geometria - Revisões º no Nome: Nº: Turma: região do espaço definida, num referencial ortonormado, por + + = é: [] a circunferência

Leia mais

NOTAÇÕES. : distância do ponto P à reta r : segmento de extremidades nos pontos A e B

NOTAÇÕES. : distância do ponto P à reta r : segmento de extremidades nos pontos A e B R C i z Rez) Imz) det A tr A : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos : unidade imaginária: i = 1 : módulo do número z C : parte real do número z C : parte imaginária do número z C

Leia mais

Polígonos semelhantes

Polígonos semelhantes Escola Secundária de Lousada Matemática do 8º ano FT nº8 Data: / / 011 Assunto: Semelhança de figuras Lição nº e Figuras semelhantes têm a mesma forma. Duas figuras são semelhantes se são geometricamente

Leia mais

é necessário percorrer pelas seguintes etapas: , sendo ACV e BCA ângulos suplementares; , por ser um ângulo inscrito e portanto ser igual a

é necessário percorrer pelas seguintes etapas: , sendo ACV e BCA ângulos suplementares; , por ser um ângulo inscrito e portanto ser igual a Escola Secundária com º CEB de Lousada PM Assunto: Soluções da Mega-ficha de Preparação para o Eame Nacional I _ No cálculo de AV B é necessário percorrer pelas seguintes etapas: AB A- Determinar A C B

Leia mais

1.10 Sistemas de coordenadas cartesianas

1.10 Sistemas de coordenadas cartesianas 7 0 Sistemas de coordenadas cartesianas Definição : Um sistema de coordenadas cartesianas no espaço é um v v conjunto formado por um ponto e uma base { } v3 Indicamos um sistema de coordenadas cartesianas

Leia mais

Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser: (D) 225.

Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser: (D) 225. 1. (ENEM 2000) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura:

Leia mais

maior é de 12π cm, pode-se afirmar que o valor da área da parte hachurada é, em cm 2 : a) 6 π b) 8 π c) 9 π d) 18 π e) 36 π Exercícios

maior é de 12π cm, pode-se afirmar que o valor da área da parte hachurada é, em cm 2 : a) 6 π b) 8 π c) 9 π d) 18 π e) 36 π Exercícios Geometria Plana II Exercícios 1. A figura abaixo é plana e composta por dois trapézios isósceles e um losango. O comprimento da base maior do trapézio ABCD é igual ao da base menor do trapézio EFGH, que

Leia mais

MATEMÁTICA - 3o ciclo Teorema de Pitágoras (8 o ano)

MATEMÁTICA - 3o ciclo Teorema de Pitágoras (8 o ano) MTMÁTI - 3o ciclo Teorema de Pitágoras (8 o ano) xercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. Na figura seguinte, estão representadas duas circunferências com centro no ponto, uma de raio e outra

Leia mais

AULAS 4 a 6. Ângulos (em polígonos e na circunferência)

AULAS 4 a 6. Ângulos (em polígonos e na circunferência) www.cursoanglo.com.br Treinamento para Olimpíadas de Matemática N Í V L 3 ULS 4 a 6 Ângulos (em polígonos e na circunferência) onceitos Relacionados Proposição 1 Se duas retas são paralelas, cada par de

Leia mais

Matemática Fascículo 07 Manoel Benedito Rodrigues

Matemática Fascículo 07 Manoel Benedito Rodrigues Matemática Fascículo 07 Manoel Benedito Rodrigues Índice Geometria Resumo Teórico...1 Exercícios...4 Dicas...5 Resoluções...7 Geometria Resumo Teórico 1. O volume de um prisma eodeumcilindro (retos ou

Leia mais

Exemplos: sen(36º)=0.58, cos(36º)=0.80 e tg(36º)=0.72, Calcular o valor de x em cada figura:

Exemplos: sen(36º)=0.58, cos(36º)=0.80 e tg(36º)=0.72, Calcular o valor de x em cada figura: REVISÃO RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE DO CICLO TRIGONOMÉTRICO TURMA: ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO PROF. LUCAS FACTOR Trigonometria no Triangulo Retângulo Considere o triangulo retângulo

Leia mais

Aula 7 Complementos. Exercício 1: Em um plano, por um ponto, existe e é única a reta perpendicular

Aula 7 Complementos. Exercício 1: Em um plano, por um ponto, existe e é única a reta perpendicular MODULO 1 - AULA 7 Aula 7 Complementos Apresentamos esta aula em forma de Exercícios Resolvidos, mas são resultados importantes que foram omitidos na primeira aula que tratou de Conceitos Básicos. Exercício

Leia mais

Lista de Estudo P2 Matemática 2 ano

Lista de Estudo P2 Matemática 2 ano Lista de Estudo P2 Matemática 2 ano 24) Dada a figura a seguir e sabendo-se que os dois quadrados possuem lados iguais a 4cm, sendo O o centro de um deles, quanto vale a área da parte preenchida? a) 100.

Leia mais

a, em que a e b são inteiros tais que a é divisor de 3

a, em que a e b são inteiros tais que a é divisor de 3 Matemática 0. Considere a expressão x x 3 5x x 6. Pede-se: A) encontrar o valor numérico da expressão para x. B) obter todas as raízes complexas do polinômio p(x) x x 3 5x x 6. Questão 0 Comentários: A

Leia mais

Calculando distâncias sem medir

Calculando distâncias sem medir cesse: http://fuvestibular.com.br/ alculando distâncias sem medir UUL L No campo ocorrem freqüentemente problemas com medidas que não podemos resolver diretamente com ajuda da trena. Por exemplo: em uma

Leia mais

Razões e proporções. Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf

Razões e proporções. Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf Razões e proporções Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf Sumário Página Razão... 1 Razões inversas... Algumas razões especiais... 5 As razões escritas na forma percentual... 6 Calculando a porcentagem...

Leia mais

Técnico de Nível Médio Subsequente em Geologia. Aula 2. Trigonometria no Triângulo Retângulo Professor Luciano Nóbrega

Técnico de Nível Médio Subsequente em Geologia. Aula 2. Trigonometria no Triângulo Retângulo Professor Luciano Nóbrega Técnico de Nível Médio Subsequente em Geologia 1 ula 2 Trigonometria no Triângulo Retângulo Professor Luciano Nóbrega 2 ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO a b ß c Lembre-se: soma das medidas dos ângulos

Leia mais

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA Aula 01 Introdução a Geometria Plana Ângulos Potenciação Radiciação Introdução a Geometria Plana Introdução: No estudo da Geometria Plana, consideraremos três conceitos primitivos:

Leia mais

ESCOLA ESTADUAL DR. JOSÉ MARQUES DE OLIVEIRA - ANO 2013 RECUPERAÇÃO ESTUDOS INDENPENDENTES

ESCOLA ESTADUAL DR. JOSÉ MARQUES DE OLIVEIRA - ANO 2013 RECUPERAÇÃO ESTUDOS INDENPENDENTES ESCOLA ESTADUAL DR. JOSÉ MARQUES DE OLIVEIRA - ANO 2013 RECUPERAÇÃO ESTUDOS INDENPENDENTES Nome Nº Turma 3 EJAS Data / / Nota Disciplina Matemática Prof. Elaine e Naísa Valor 30 Instruções: TRABALHO DE

Leia mais

Geometria. Polígonos. Polígonos Regulares. Nome: N.ª: Ano: Turma: POLÍGONOS = POLI (muitos) + GONOS (ângulos)

Geometria. Polígonos. Polígonos Regulares. Nome: N.ª: Ano: Turma: POLÍGONOS = POLI (muitos) + GONOS (ângulos) MATEMÁTICA 3º CICLO FICHA 11 Geometria Polígonos. Polígonos Regulares. Nome: N.ª: Ano: Turma: Data: / / 20 POLÍGONOS = POLI (muitos) + GONOS (ângulos) Polígono é uma figura plana limitada por segmentos

Leia mais

5-(UFMA MA-98) Num triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 4cm e 1cm respectivamente. A área desse triângulo mede:

5-(UFMA MA-98) Num triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 4cm e 1cm respectivamente. A área desse triângulo mede: Relações Métricas nos Triângulos Retângulos Professor lístenes unha 1-(Mack SP-97) Num triângulo, retângulo, um cateto é o dobro do outro. Então a razão entre o maior e o menor dos segmentos determinados

Leia mais

PLANEJAMENTO ANUAL 2014

PLANEJAMENTO ANUAL 2014 PLANEJAMENTO ANUAL 2014 Disciplina: GEOMETRIA Período: Anual Professor: JOÃO MARTINS Série e segmento: 9º ANO 1º TRIMESTRE 2º TRIMESTRE 3º TRIMESTRE vários campos da matemática**r - Reconhecer que razão

Leia mais

MÓDULO XVI MEDIDAS DE ÂNGULOS. Um ângulo é classificado como agudo quando sua medida é maior que 0º e menor que 90º. 1. Definição de ângulo

MÓDULO XVI MEDIDAS DE ÂNGULOS. Um ângulo é classificado como agudo quando sua medida é maior que 0º e menor que 90º. 1. Definição de ângulo MÓDUL XVI 1. Definição de ângulo MEDIDS DE ÂNGULS Um ângulo é classificado como agudo quando sua medida é maior que 0º e menor que 90º. Ângulo é a união de duas semi-retas e de mesma origem e não colineares.

Leia mais

AMEI Escolar Matemática 9º Ano Trigonometria do triângulo rectângulo

AMEI Escolar Matemática 9º Ano Trigonometria do triângulo rectângulo AMEI Escolar Matemática 9º Ano Trigonometria do triângulo rectângulo Conteúdos desta unidade: Razões trigonométricas de um ângulo agudo. Resolução de triângulos rectângulos; Relações entre as razões trigonométricas

Leia mais

Desenho Técnico e Geometria Descritiva Construções Geométricas. Construções Geométricas

Desenho Técnico e Geometria Descritiva Construções Geométricas. Construções Geométricas Desenho Técnico e Geometria Descritiva Prof. Luiz Antonio do Nascimento Engenharia Ambiental 2º Semestre Bissetriz - é a reta que divide um ângulo qualquer em dois ângulos iguais, partindo do vértice deste

Leia mais