Gabarito Caderno do Aluno Matemática 5 a série/6 o ano Volume 3

Transcrição

1 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 DEFINIR E CLASSIFICAR EXPERIMENTANDO Páginas Seguem abaixo cinco características que podem ser listadas, com a respectiva correspondência nas figuras. Note que explicitamos as características em linguagem informal, como provavelmente aparecerá no texto dos alunos. Pelo menos um lado reto : de 1 a 23, de 26 a 29, de 31 a 36, de 38 a 40, de 43 a 50. Possui lados curvos : de 24 a 26, 29, 30, de 37 a 50. Possui apenas lados retos e buracos : 11, de 14 a 18, 21, 22. Possui bicos : de 1 a 29, de 31 a 40 (exceto 37), de 42 a 46, de 48 a 50. Figura com lados retos e pelo menos um par de lados paralelos: de 1 a 11, 14, 15, 16, 18, 20, 28, 33, Escolhemos uma figura para descrever, em linguagem informal, algumas de suas características: Figura 4: cinco lados; todos os lados são retos ; cinco bicos ; um par de lados paralelos; quando dobrada de forma conveniente, ocorre sobreposição perfeita entre as partes dobradas (referência à simetria); possui lados em cruz (referência aos ângulos retos); não possui buracos (referência ao fato de o polígono ser convexo); possui dois pares de lados com as mesmas medidas entre si. 1

2 Página 7 1. Vale lembrar que neste exercício podemos incluir ou excluir algumas figuras de certa classificação, dependendo sempre da interpretação dada aos termos usados. Característica Figuras com apenas 3 lados (retos ou curvos) Número das figuras 23, 29, 31, 32, 34, 36, 43, 44, 45, 46, 48 Figuras com apenas 3 lados retos 23, 31, 32, 34, 36 Figuras com apenas 3 bicos 23, 29, 31, 32, 34, 36, 43, 44, 45, 46, 48 Figuras com pelo menos 4 lados retos De 1 a 22, 27, 28, 33, 35 Figuras com pelo menos 1 par de lados paralelos De 1 a 11, 14, 16, 18, 20, 28, 33, 35, 38, 40 Observação: 47 também pode ser considerado, se admitirmos que a figura tem 4 lados. Figuras com todos os lados de mesma medida 1, 2, 7, 9, 12, 23, 42 Figuras com alguns lados que formam uma quina perfeita (lados em cruz ) 3, 4, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 18, 19, 32, 35, 36, 43, 45, 48 2

3 Páginas Nomenclatura oficial na Matemática Característica correspondente e um exemplo Figura geométrica plana cujo contorno é fechado e Polígono formado por segmentos de retas. Ex: Figuras com 4 lados retos (ou polígono de quatro Quadrilátero lados). Ex: Triângulo Polígono de 3 lados. Ex: Figuras com pelo menos 1 lado curvo. Ex: Não polígono 3

4 Figuras com lados retos e buracos (ou polígono que tem pelo menos um ângulo interno maior que 180º). Polígono não convexo Ex: Polígono convexo Dados dois pontos quaisquer em seu interior, o segmento que os liga está contido na região interior do polígono (ou polígono com todos os ângulos internos menores que 180º). Ex: Bicos de uma figura com lados retos. Ex: Vértices Lados em cruz, ou que formam uma quina perfeita. Ex: Ângulo reto 4

5 Quadrilátero com dois pares de lados paralelos. Ex: Paralelogramo Triângulo com um ângulo em cruz ( em quina Triângulo retângulo perfeita ). Ex: Triângulo que tem pelo menos 2 lados iguais. Ex: Triângulo isósceles Triângulo com três lados diferentes. Ex: Triângulo escaleno 2. Nesta atividade, você poderá redefinir com maior rigor algum termo ou palavra usada durante a aula. Neste momento é mais importante que o aluno consiga expressar seu 5

6 pensamento de alguma forma, mesmo que ainda sem o rigor necessário do vocabulário matemático. Páginas Nomenclatura oficial na Matemática Definição Figuras Triângulo Polígono de 3 lados 20 a 34 Quadrilátero Polígono de 4 lados De 1 a 19, 35, 36 Triângulo equilátero Retângulo Losango Triângulo com os 3 lados iguais Quadrilátero com 4 ângulos retos Polígono com 4 lados iguais 20, 22 1, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 4, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 19 Polígono não convexo Ao menos um segmento de extremos com pontos na região interior do polígono não está contido na região interior do polígono (ou polígono em que pelo menos um ângulo interno é maior que 180º) 36 6

7 Páginas Nesta atividade você pode discutir com os alunos uma definição mais consistente sobre o que entendemos por tamanho da figura. A ideia é que eles possam perceber intuitivamente a área associada ao que usualmente compreenderiam como o tamanho da figura. Vale destacar que o percurso didático de um programa de geometria deve levar em consideração que, para as faixas etárias menores, o significado se constrói muito mais por meio de situações concretas e aproximações experimentais do que com formalismo e definições. Outras atividades específicas propõem o uso do tangram para explorar a ideia de perímetro e área de uma figura com base em sua decomposição. 2. Esta atividade explora a ideia de perímetro e, como a anterior, trabalha com duas importantes habilidades, a de ordenar e a de estimar. É muito importante que os alunos de 5 a série consigam estabelecer a ordem de grandeza entre comprimentos e entre áreas de figuras que possibilitem uma distinção clara de medidas. A habilidade e a destreza com o uso e a leitura das medidas indicadas na régua também devem ser um dos motes desta atividade. A figura de menor comprimento é a 10 e a de maior comprimento, a e 12; 6,7,10 e Todos os quadrados são semelhantes entre si; 15 e 14 são semelhantes e congruentes. 5. Os triângulos que têm ângulos internos dois a dois de mesma medida são semelhantes. Em relação aos quadriláteros, além dos ângulos internos dois a dois de mesma medida, tem de haver proporcionalidade entre os lados em correspondência para que eles sejam semelhantes. Essa discussão deve ser feita de maneira informal, apelando mais para a intuição do que para a formalização, porque os alunos ainda não conhecem a definição de ângulo e não foram suficientemente apresentados à 7

8 ideia de proporcionalidade. O tema de semelhança de figuras geométricas será retomado em outra série do Ensino Fundamental. Páginas Note, inicialmente, que o enunciado desta atividade exige compreensão do uso das palavras área e perímetro, que devem ter sido trabalhadas nas atividades anteriores. Espera-se que os alunos percebam e concluam, pela experimentação, que se aumentarmos o perímetro de um triângulo sua área também vai aumentar. De forma geral, se o perímetro for multiplicado por k, a área será multiplicada por k². Essa conclusão não precisa ser formalizada, mas pode ser explorada parcialmente pela ideia de que se aumenta o perímetro, a área também aumenta e vice-versa. 2. 8

9 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 PLANIFICANDO O ESPAÇO Páginas Atividade de construção. 2. As três planificações formam cubos. 3. Um cubo tem seis faces e, portanto, sua planificação deve ser formada por seis quadrados. As figuras (a) e (c) não têm seis quadrados e, portanto, não formarão um cubo. A figura (b) não forma um cubo porque, apesar de ter 6 quadrados, não há como associar as bases às faces laterais. 4. Apenas (b) e (c) formam cubos. Note que nesta atividade foi sugerida a resolução sem a construção concreta do cubo. Nem todos os alunos conseguem resolver esta questão apenas com o pensamento abstrato; porém, deve ser uma meta sua, professor, fazer com que gradativamente todos possam resolver um problema semelhante a este sem a construção física do cubo. Página Não é possível, porque cinco quadrados alinhados conseguem fechar apenas quatro das seis faces do cubo. O sexto quadrado da planificação fechará a quinta face do cubo, e uma face ficará aberta. Exemplos de planificação assim são: 9

10 Desafio! Página Páginas Atividade prática de montagem. 2. Há algumas possibilidades de formação. Apresentamos, a seguir, um exemplo com 10 quadradinhos na região interior. 10

11 Página Página

12 Desafio! Página 21 Páginas

13 2. Páginas Resposta pessoal. Professor, solicite aos alunos que apresentem à classe seus objetos e desenhos das vistas para que se possa fazer uma discussão. 13

14 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 GEOMETRIA E FRAÇÕES COM O GEOPLANO OU MALHAS QUADRICULADAS Páginas Resposta pessoal

15 4. Apresentamos abaixo duas figuras, entre as muitas opções de solução, que atendem às condições do problema: Páginas

16 Páginas Dobrando o lado, a área multiplica-se por 4. Em geral, multiplicando-se por k os lados, a área da figura semelhante será multiplicada por k². 16

17 3. Páginas

18 2. Observação: Professor, note que nesse caso não estamos assumindo 0 como número natural. Caso se queira assumir 0 como natural, também será necessário marcar os pontos: ,,,,..., (V) Frações com denominadores iguais, necessariamente, estão alinhadas horizontalmente. (V) Frações impróprias estão localizadas na diagonal que passa pela origem ou à direita dela. (V) Frações equivalentes, necessariamente, estão alinhadas com a origem da malha e entre si. 18

19 Páginas

20 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 PERÍMETRO, ÁREA E ARTE USANDO MALHAS GEOMÉTRICAS Páginas Na malha da esquerda, a figura ficou mais longa que a original e na malha da direita, a figura ficou mais alta que a original. 20

21 3. (a), (b) e (c) Paralelismo e perpendicularidade entre segmentos são mantidos em 1 todas as transformações; porém, o ângulo de de volta só foi mantido no caso 8 em que ambas as dimensões da malha dobraram. Na malha em que apenas a dimensão horizontal foi dobrada, o ângulo entre a manga e a lateral da camisa aumentou (a manga se afasta da lateral da camisa) e, na malha em que apenas a dimensão vertical foi dobrada, o ângulo diminuiu (a manga se aproxima da lateral da camisa). 4. A malha deve ser ampliada horizontalmente, como no exemplo a seguir: 5. Alternativa b. O crescimento da empresa entre 2006 e 2007 foi de 10%, informação que pode ser obtida por meio de qualquer um dos três gráficos. Mas, como a empresa quer impressionar seus acionistas sobre esse crescimento, o gráfico indicado em (b) deve ser o escolhido, porque trabalha com ampliação vertical da malha, acentuando a aparência do crescimento das vendas. Exercícios desse tipo têm seu valor não só pelo trabalho realizado com a compreensão de temas da Matemática, como também pelo alcance que têm na dimensão de construção da cidadania. Um bom leitor da informação deve sempre estar atento às técnicas que muitas vezes são utilizadas para destacar um resultado positivo ou atenuar um resultado negativo. 6. Como são necessários seis triângulos equiláteros idênticos em torno do ponto, o ângulo interno de um triângulo tem 6 1 de giro de uma volta completa. 21

22 Páginas Os perímetros das figuras 1, 2, 3, 4 e 5 são, respectivamente: 4 u, 6 u, 6 u, 8 u, 6 u. As áreas das figuras 1, 2, 3, 4 e 5 são, respectivamente, 2 u², 4 u², 4 u², 6u² e 6 u². Este exercício lhe permite explorar a ideia de que podemos ter figuras de mesmo perímetro com áreas diferentes e de mesma área com perímetros diferentes. Observação: dada a importância do trabalho com malhas no estudo de perímetro e área de figuras, é recomendável que ele seja retomado na 6 a série/7º ano. 2. Resposta pessoal. Exemplo: 3. 22

23 Página Resposta pessoal. Exemplo: Página 42 Algumas sugestões em português para essa pesquisa são: 1. < Acesso em: 6 janeiro ERNST, Bruno. O espelho mágico de M. C. Escher. Taschen do Brasil, ESCHER, M. C. Gravuras e desenhos. Taschen do Brasil,