P 3 ) Por dois pontos distintos passa uma única reta. P 4 ) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas.

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1 Geometria Espacial Conceitos primitivos São conceitos primitivos ( e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação: pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto retas: letras minúsculas do nosso alfabeto P 3 ) Por dois pontos distintos passa uma única reta. planos: letras minúsculas do alfabeto grego Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos. Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever: P 4 ) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas. Postulados sobre o plano e o espaço P 5 ) Por três pontos não-colineares passa um único plano. Axiomas Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. Temos como axioma fundamental: existem infinitos pontos, retas e planos. Postulados sobre pontos e retas P 1 )A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos. P 6 ) O plano é infinito, isto é, ilimitado. P 7 ) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos. P 2 )Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas. P 8 ) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semiplanos. P 9 ) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi-espaços. 1

2 Posições relativas de duas retas No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas: Postulado de Euclides ou das retas paralelas P 10 ) Dados uma reta r e um ponto P r, existe uma única reta s, traçada por P, tal que r // s: Determinação de um plano Lembrando que, pelo postulado 5, um único plano passa por três pontos não-colineares, um plano também pode ser determinado por: uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta: Temos que considerar dois casos particulares: retas perpendiculares: duas retas distintas concorrentes: duas retas paralelas distintas: retas ortogonais: Posições relativas de reta e plano Vamos considerar as seguintes situações: a) reta contida no plano Se uma reta r tem dois pontos distintos num 2

3 plano, então r está contida nesse plano: Uma reta r é perpendicular a um plano somente se, r é perpendicular a todas as retas de passam pelo ponto de intersecção de r e. se, e que b) reta concorrente ou incidente ao plano Dizemos que a reta r "fura" o plano ou que r e são concorrentes em P quando. Note que: se uma reta r é perpendicular a um plano, então ela é perpendicular ou ortogonal a toda reta de : Observação: A reta r é reversa a todas as retas do plano que não passam pelo ponto P. c) reta paralela ao plano Se uma reta r e um plano não têm ponto em comum, então a reta r é paralela a uma reta t contida no plano ; portanto, r // Em existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r. para que uma reta r seja perpendicular a um plano, basta ser perpendicular a duas retas concorrentes, contidas em : P 11 ) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção é dada por uma única reta que passa por esse ponto. Observe, na figura abaixo, por que não basta que r seja perpendicular a uma única reta t de para que seja perpendicular ao plano: Perpendicularismo entre reta e plano Posições relativas de dois planos Consideramos as seguintes situações: a) planos coincidentes ou iguais 3

4 b) planos concorrentes ou secantes Dois planos,, são concorrentes quando sua intersecção é uma única reta: A projeção ortogonal de uma figura geométrica F ( qualquer conjunto de pontos) sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre : c) planos paralelo Dois planos, intersecção é vazia:, são paralelos quando sua Distâncias A distância entre um ponto e um plano é a medida do segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano: Perpendicularismo entre planos Dois planos,, são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta de um deles que é perpendicular ao outro: A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano: Observação: Existem infinitos planos perpendiculares a um plano dado; esses planos podem ser paralelos entre si ou secantes. Projeção ortogonal A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano é a intersecção do plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P: A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano: 4

5 Observações: Diedros, triedos, poliedros Diedros Dois semiplanos não-coplanares, com origem numa mesma reta, determinam uma figura geométrica chamada ângulo diédrico, ou simplesmente diedro: A distância entre duas retas reversas, r e s, é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta: Triedos Três semi-retas não-coplanares, com origem num mesmo ponto, determinam três ângulos que formam uma figura geométrica chamada ângulo triédrico, ou simplesmente triedro: O ângulo entre duas retas reversas é o ângulo agudo que uma delas forma com uma reta paralela à outra: O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo que a reta forma com sua projeção ortogonal sobre o plano: Ângulo poliédrico Sejam n semi-retas de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semiretas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-espaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico. 5

6 Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo. Classificação Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo: tetraedro: quatro faces pentaedro: cinco faces hexaedro: seis faces heptaedro: sete faces octaedro: oito faces icosaedro: vinte faces Poliedros Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos: Poliedros regulares Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas. Existem cinco poliedros regulares: Poliedro Planificação Elementos Tetraedro 4 faces triangulares 4 vértices 6 arestas Hexaedro 6 faces quadrangular es 8 vértices 12 arestas Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro. Poliedros convexos e côncavos Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semiespaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos. Octaedro 8 faces triangulares 6 vértices 12 arestas 6

7 Dodecaedro 12 faces pentagonais 20 vértices 30 arestas distintos, Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e, um polígono convexo R contido em e uma reta r que intercepta, mas não R: Icosaedro 20 faces triangulares 12 vértices 30 arestas Relação de Euler Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte: V - A + F = 2 em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces. Observe os exemplos: Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento, paralelo à reta r : V=8 A=12 F= = 2 V = 12 A = 18 F = = 2 Poliedros platônicos Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se: a) for convexo; b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas; c) toda face tiver o mesmo número de arestas; d) for válida a relação de Euler. Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico. Assim, temos: Prismas 7

8 Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes paralelos a r. Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes. Elementos do prisma Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos: prisma regular triangular bases:as regiões poligonais R e S altura:a distância h entre os planos arestas das bases:os lados ( dos polígonos) arestas laterais: os segmentos faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A Classificação Um prisma pode ser: reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. prisma regular hexagonal Secção Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma. Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2). prisma reto prisma oblíquo Áreas Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície:as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas: 8

9 a) área de uma face (A F ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces; b) área lateral ( A L ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma. No prisma regular, temos: A L = n. A F (n = número de lados do polígono da base) c) área da base (A B ): área de um dos polígonos das bases; d) área total ( A T ): soma da área lateral com a área das bases A T = A L + 2A B Vejamos um exemplo. Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos: Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas. Diagonais da base e do paralelepípedo Considere a figura a seguir:, Paralelepípedo Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.assim, podemos ter: a)paralelepípedo oblíquo b) paralelepípedo reto d b = diagonal da base d p = diagonal do paralelepípedo Na base ABFE, temos: No triângulo AFD, temos: Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo. Paralelepípedo retângulo Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura: 9

10 Área lateral Sendo A L a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos: do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base A B pela medida da altura h: Cubo Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados. A L = ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =A L = 2(ac + bc) Área total Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas: Diagonais da base e do cubo Considere a figura a seguir: A T = 2( ab + ac + bc) Volume Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em cubos de aresta 1: Na base ABCD, temos: d c =diagonal do cubo d b = diagonal da base No triângulo ACE, temos: Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por: V = abc Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume 10

11 Área lateral A área lateral A L é dada pela área dos quadrados de lado a: A L =4a 2 V prisma = A B h Cilindro Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos,, um círculo R contido em e uma reta r que intercepta, mas não R: Área total A área total A T é dada pela área dos seis quadrados de lado a: A T =6a 2 Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento, paralelo à reta r : Volume De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por: V= a. a. a = a 3 Generalização do volume de um prisma Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de Cavalieri ( matemático italiano, ), que generaliza o conceito de volume para sólidos diversos. Dados dois sólidos com mesma altura e um plano, se todo plano, paralelo a, intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais: Assim, temos: Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V 2 = A B h. Assim, o volume de todo prisma e de todo paralelepípedo é o produto da área da base pela medida da altura: Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos congruentes e paralelos a r. Elementos do cilindro 11

12 Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos: A reta do cilindro. contém os centros das bases e é o eixo bases: os círculos de centro O e O'e raios r altura: a distância h entre os planos geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por exemplo, paralelo à reta r ) e Classificação do Cilindro Um cilindro pode ser: circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases; circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases. Veja: Secção Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes. Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo. O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do retângulo ABCD pelo lado cilindro a seguir: gera o Áreas Num cilindro, consideramos as seguintes áreas: a) área lateral (A L ) Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação: 12

13 Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de dimensões : No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de raio r ; portanto seu volume é: b) área da base ( A B ):área do círculo de raio r c) área total ( A T ): soma da área lateral com as áreas das bases Volume Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri. Dados dois sólidos com mesma altura e um plano, se todo plano, paralelo ao plano, intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais: Cilindro eqüilátero Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro eqüilátero. Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V 2 = A B h. : Cone circular Dado um círculo C, contido num plano, e um ponto V ( vértice) fora de, chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos. Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura: V cilindro = A B h Elementos do cone circular Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos: 13

14 altura: distância h do vértice V ao plano geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência raio da base: raio R do círculo eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone Cone reto Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero: Áreas Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento : Assim, temos de considerar as seguintes áreas: a) área lateral (A L ): área do setor circular Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação: g 2 = h 2 + R 2 Secção meridiana A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana. b) área da base (A B ):área do circulo do raio R c) área total (A T ):soma da área lateral com a área da base Volume Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de sólidos de revolução. Observe a figura: 14

15 Elementos da pirâmide Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos: d = distância do centro de gravidade (CG) da sua superfície ao eixo e S=área da superfície Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que: Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto h: base: o polígono convexo R arestas da base: os lados polígono arestas laterais: os segmentos faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA altura: distância h do ponto V ao plano do O CG do triângulo está a uma distância eixo de rotação. Logo: do Classificação Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base. Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc. Veja: Pirâmides Dados um polígono convexo R, contido em um plano, e um ponto V ( vértice) fora de, chamamos de pirâmide o conjunto de todos os segmentos. 15

16 Observações: 1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes). 2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro é regular. Relações entre os elementos de uma pirâmide regular Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a: Secção paralela à base de uma pirâmide Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo que: as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão; a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes; as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice. Assim, temos: A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R. A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles. 16

17 Os triângulos VOB e VOM são retângulos. Troncos Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e um tronco de cone. Vamos estudar os troncos. Tronco da pirâmide Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos: Áreas Numa pirâmide, temos as seguintes áreas: a) área lateral ( A L ): reunião das áreas das faces laterais b) área da base ( A B ): área do polígono convexo ( base da pirâmide) c) área total (A T ): união da área lateral com a área da base A T = A L +A B Para uma pirâmide regular, temos: as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes; as faces laterais são trapézios isósceles congruentes. Áreas Temos as seguintes áreas: a) área lateral (A L ): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais b) área total (A T ): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (A b ) e maior (A B ) em que: A T =A L +A B +A b Volume O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais: Volume O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por: 17

18 Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção é válida a relação: essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior. Tronco do cone Sendo o tronco do cone circular regular a seguir, temos: Volume O volume da esfera de raio R é dado por: as bases maior e menor são paralelas; a altura do tronco é dada pela distância entre os planos que contém as bases. Áreas Temos: a) área lateral Partes da esfera Superfície esférica A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R. Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação. b) área total A área da superfície esférica é dada por: Volume Sendo V o volume do cone e V' o volume do cone obtido pela secção são válidas as relações: Zona esférica É a parte da esfera gerada do seguinte modo: Esfera Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R. Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por 18

19 A área da zona esférica é dada por: Calota esférica É a parte da esfera gerada do seguinte modo: O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples: Ä área da calota esférica é dada por: Fuso esférico O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo em torno de seu eixo: A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples: Cunha esférica Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo : 19