OFICINA: APROXIMAÇÕES NO CÁLCULO DE ÁREAS AUTORES: ANA PAULA PEREIRA E JULIANA DE MELO PEREIRA
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1 OFICINA: APROXIMAÇÕES NO CÁLCULO DE ÁREAS AUTORES: ANA PAULA PEREIRA E JULIANA DE MELO PEREIRA Resumo: O Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática tem em seu currículo o componente Fundamentos de Cálculo e Análise da Matemática e um dos objetivos da disciplina é propiciar uma visão do Cálculo mais ampla e significativa tanto para o docente, como para o discente, a fim de que sejam capazes de introduzir elementos do cálculo nas séries finais do Ensino Fundamental e durante o Ensino Médio. Pensando nesse objetivo, dentro do conteúdo programático de Noção Intuitiva de Limite, Derivada e Integral, elaboramos a oficina pedagógica intitulada de Aproximações no Cálculo de Áreas, aonde o participante chega à ideia intuitiva da integral através do cálculo de áreas. Palavras-chave: Oficina pedagógica; Ideia intuitiva da integral. DADOS DA OFICINA PEDAGÓGICA Título: Aproximações no Cálculo de Áreas Público Alvo: Alunos da 3ª série do Ensino Médio, Matemática básica ou Cálculo I. Carga Horária: 60 minutos Objetivos gerais: Reconhecer as figuras formadas (triângulo, retângulo e trapézio) e calcular suas respectivas áreas; Investigar o cálculo de áreas de qualquer região plana sob as curvas de um gráfico dado; Escolher figuras planas para calcular as áreas; Reconstruir conhecimentos matemáticos vistos em anos anteriores do ensino básico na busca de soluções por meio da observação. Objetivos específicos: Conteúdos conceituais: Construir gráficos de função polinomial constante e de primeiro grau; perceber as partições do intervalo dado na reta; determinar o valor
2 da imagem da função dado um elemento do domínio; calcular áreas de polígonos regulares (triângulo, retângulo e trapézio). Conteúdos Procedimentais: Ler e interpretar as atividades propostas; localizar as subdivisões feitas na reta numérica; manipular corretamente as informações contidas nas questões com os conhecimentos adquiridos anteriormente, tanto em funções como em áreas de figuras planas. Conteúdos Atitudinais: Participar da atividade proposta, em grupo. Conteúdos matemáticos abordados: Gráficos de funções polinomiais do 1º e 2º graus; Área de figuras planas; Determinação da imagem da função a partir de pontos do domínio identificados graficamente. Metodologia Inicialmente separaremos os alunos em grupo e pedir para que eles resolvam as atividades propostas pela apostila, de modo que eles possam trocar idéias e construírem seus próprios conhecimentos. Em seguida, num segundo momento da oficina será dialogado com os alunos sobre a atividade indicada e a construção do conhecimento por meio dos exemplos dados, pois como afirma Ribeiro e Ferreira (2001, p.10) a Oficina Pedagógica cria um contexto em que as situações de aprendizagens são claras, precisas e diversificadas, de forma que os alunos aprendam a partir de seus itinerários de apropriação dos saberes e desenvolvimento de suas capacidades. Após essa etapa, continuaremos uma exposição dialogada, utilizando o software GeoGebra, como recurso metodológico. Com o software GeoGebra foi possível criar todas as imagens que serão exploradas durante a oficina e dar continuidade a essas construções. Ao término da oficina, pretendese que os alunos tenham percebido que quanto maior a quantidade de retângulos que inserimos abaixo da curva, mais próximos estaremos da região limitada pelos gráficos, mostraremos no software que essa quantidade de retângulos é tão grande quanto se queira. A atividade tem o intuito de fazer com que o aluno responda que a quantidade é infinita, mas como a idéia de infinito nem sempre parece tão clara e convincente diante de um intervalo limitado, achamos necessário o uso do software para enfatizar essa questão. Tal
3 dificuldade com relação à imagem conceitual para infinito é enfatizada por Marilaine de Fraga Sant Ana e Priscila Tedesco no artigo Discussão das Noções de Limite e Infinito: [...] É comum o aluno não aceitar a ideia de um intervalo limitado como infinito[...]. Com o uso desta Oficina, pretendemos verificar a importância do se uso em sala de aula e observar como o aluno se sobressai quando é provocado por uma determinada situação com a [...] interação ao novo, à revisão do conhecimento já absorvido [...] Martin (apud RIBEIRO, FERREIRA, 2001). Esta Oficina trará ao aluno um momento em que ele estará fazendo uso de um conhecimento prévio e essa experiência será utilizada para compor um novo conhecimento que é o cálculo de áreas e o levará a ideia de integral. Recursos Metodológicos Apostila com atividades; Datashow; Software GeoGebra. RELATOS DA APLICAÇÃO A oficina pedagógica foi aplicada na turma da disciplina Fundamentos de Cálculo e Análise do Programa de Pós- Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática e contou com a participação de oito alunos. Inicialmente, os alunos receberam a atividade impressa e enquanto a resolviam, observamos aspectos como: leitura e interpretação das atividades propostas, manipulação e uso das informações fornecidas e dos conhecimentos prévios exigidos. Todas as observações feitas tinham como objetivo corrigir ou melhorar os enunciados, caso não estivessem sendo compreendidos como deveriam e também analisar a dificuldade e o tempo exigido para a realização levando em consideração que a proposta da oficina tem como público alvo alunos do Ensino Médio, Matemática Básica e Cálculo I. Após a aplicação da oficina foi feita uma breve discussão a respeito da proposta, onde concluímos que a atividade atingiu o objetivo desejado, que era através da
4 aproximação no cálculo de áreas chegar à noção intuitiva da integral, mas algumas sugestões e observações foram feitas: O tempo proposto, que era 60 minutos, não seria suficiente; Os enunciados estavam claros e foram compreendidos como deveriam, mas as equações das retas poderiam ser escritas de forma diferente: no lugar de y = 0 e y = 4, deveria ser f(x) = 0 e g(x) = 4; Os gráficos, quando copiados do Geogebra e colados no Word foram ampliados e ficaram com a escala distorcida, mas no momento da aplicação isso foi percebido e não causou problemas na compreensão; O uso da calculadora seria importante, pois são necessários muitos cálculos envolvendo frações e números decimais, o que poderia levar muito tempo e tirar o foco do que realmente estava sendo proposto. Tais observações são de grande importância nesse momento do trabalho, pois como a oficina não foi aplicada em turmas para as quais foi planejada podemos acatar as sugestões dadas pelos colegas e assim obtermos um resultado mais significativo, fazendo as correções necessárias, usando a calculadora e administrando melhor o tempo da atividade. REFERÊNCIAS ÁVILA, Geraldo. Análise Matemática para Licenciatura. São Paulo: Edgar Blucher, SANT ANA, Marilaine de Fraga, TEDESCO, Priscila. Discussão das Noções de Limite e Infinito. Educação Matemática em Revista. Ano 11-nº17, Dezembro de RIBEIRO, Márcia Maria Gurgel, FERREIRA, Maria Salonilde, Oficina Pedagógica: uma estratégia de ensino aprendizagem. Natal: EDUFRN, 2001.
5 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CCET/PPGECNM FUNDAMENTOS DE CÁLCULO E ANÁLISE Oficina Pedagógica Tema: Aproximações no cálculo de áreas 1. Considere as retas dadas pelas equações: y = 0, x = 0, y = 4 e x = 5. a) Esboce os gráficos dessas retas em um mesmo sistema de eixos. b) Determine a área da região limitada pelas pelos gráficos das retas. 2. Considere as retas dadas pelas equações: y = 0, x = 2, x = 0 e y = x + 2 a) Esboce os gráficos dessas retas em um mesmo sistema de eixos. b) Determine a área da região limitada pelos gráficos das retas. 3. Observe a figura formada pela região limitada pelos seguintes gráficos: x = 0, x = 2, y = 0 e y = x² + 1.
6 Descreva o procedimento que você utilizaria para encontrar a área dessa região? 4. Observe a imagem abaixo e faça o que se pede: a) Qual a soma das áreas dos retângulos inseridos abaixo da curva? b) A área encontrada corresponde a área da região limitada pelos gráficos? 5. Encontre a altura de cada retângulo usando a expressão f(x) = x²+1. Em seguida determine a soma das áreas dos 4 retângulos.
7 6. O intervalo [0,1] agora será dividido em 4 partes, sendo essas partes as bases dos retângulos que serão formados. Qual a soma das áreas dos retângulos? 7. O que você observa relacionando a soma das áreas dos retângulos em cada uma das situações apresentadas acima? 8. Aumentando o número de retângulos abaixo da curva, o que podemos concluir com relação a área da região limitada pelos gráficos? 9. Observe as imagens a seguir com 10 e 15 retângulos, respectivamente, abaixo da curva : É possível calcular exatamente a área da região limitada pelos gráficos? Qual o número de retângulos que devem ser desenhados para obter essa área?
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