RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS 01

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1 Engenaria da Computação 1 4º / 5 Semestre RESISTÊNCI DOS MTERIIS ULS 01 Prof Daniel Hasse Características Geométricas de Figuras Planas SÃO JOSÉ DOS CMPOS, SP

2 ula 01 Figuras Planas I 1- FIGURS PLNS Nesta aula iremos estudar as principais características geométricas das figuras, como por exemplo, área, momento estático e centróide. 1.1 Área O conceito de área já é conecido de disciplinas anteriores, podemos generalizar o cálculo da área como sendo a integral definida de um elemento de área d em um domínio. = d Propriedades da área s unidades de área possuem a forma L, como por exemplo, m, km, mm e pol ; São sempre positivas; São aditivas, podem-se somar áreas diferentes desde que possuam a mesma unidade, como se pode observar na figura a seguir: T = Momento Estático com relação a um eixo o contrário da área, o momento estático é sempre relacionado a um eixo. Tomamos o elemento de área infinitesimal d e multiplicamos pela distância a este eixo e fazemos a integral em todo domínio. De modo geral estamos mais interessados com relação aos momentos estáticos com relação aos eixos de coordenadas, como visto abaixo. Momento estático com relação ao eixo X M Sx = yd Momento estático com relação ao eixo Y M Sy = xd 1

3 1..1 Propriedades do Momento Estático ula 01 Figuras Planas I s unidades de momento estático possuem a forma L 3, como por exemplo, m 3, km 3, mm 3 e pol 3 ; Pode ser positivo, negativo ou nulo, dependendo das coordenadas envolvidas (coordenadas positivas momento estático positivo, coordenadas negativas momento estático negativo, coordenadas simétricas momento estático nulo); É aditivo, podem-se somar momentos estáticos diferentes desde que possuam o mesmo eixo de referência, como se pode observar na figura a seguir: M Sx = M Sx 1 + M Sx + M Sx3 1.3 Centróide ou Centro de Gravidade Defini-se como Centróide ou Centro de Gravidade o ponto onde se pode concentrar toda a área de uma figura, sendo possível assim definir o momento estático como sendo o produto da área pela distância deste ponto ao eixo a que se refere o momento estático. M Sx = yd = y G M Sy = xd = x G Deste modo as coordenadas do centro de gravidade podem ser calculadas por: x G = M Sy = xd y G = M Sx = yd Utilizando estas expressões podemos calcular a posição do centro de gravidade de figuras elementares. Estes valores normalmente são encontrados em tabelas, como a que se encontra ao final desta aula no pêndice. Nota: O momento estático tomado com relação a qualquer eixo que passa pelo centro de gravidade da figura é nulo e se o momento estático for nulo, o eixo passa pelo centro de gravidade da figura.

4 ula 01 Figuras Planas I Exemplo Resolvido: Cálculo das propriedades geométricas de um retângulo Cálculo da Área y d = bdy b Cálculo do Centróide ou Centro de Gravidade dy x = d = = by 0 = b bdy 0 Cálculo do Momento Estático M Sx = yd M Sy = xd = ybdy 0 b = xdx 0 = by = b 0 = x b = b 0 x G = M b Sy = b = b y G = M b Sx = b = 1.4 Método Prático para a determinação das propriedades geométricas Na maioria das vezes quando lidamos com figuras com formas complicadas torna-se difícil definir uma função matemática que descreva esta figura, como é o exemplo da figura a seguir: Nesses casos utilizamos um método prático, baseado nas propriedades aditivas da área e momentos estáticos, este método consiste em dividir a figura em figuras menores com propriedades conecidas, nesse exemplo iremos dividir a figura em três outras figuras menores, um retângulo, um semicírculo e um triângulo. 3

5 ula 01 Figuras Planas I O método prático consiste em montar uma tabela contendo todas as informações de cada uma das figuras resultantes da subdivisão, apenas neste caso utilizaremos valores negativos para área, porém, temos que ter em mente que isto é um artifício para se descontar da figura original uma área sem material, esta tabela encontra-se a seguir e para todos os casos a serem estudados possuirá as mesmas colunas alterando-se apenas as linas de acordo com a figura original. Figura i x Gi y Gi x Gi y Gi 1 1, , ,53,5 0,64-8,83 -,6 11, ,17 18,74 Para se determinar o centróide ou centro de massa basta dividir o somatório do produto x Gi e y Gi pelo somatório de área, assim temos: x G = x Gi = 9,17 11,47 =,54 y G = y Gi = 18,74 11,47 = 1,63 4

6 ula 01 Figuras Planas I PÊNDICE FORMULÁRIO DE PROPRIEDDES GEOMÉTRICS DS FIGURS MIS COMUNS 5

7 ula 01 Figuras Planas I 6

8 ula 0 Figuras Planas II 1- FIGURS PLNS Nesta aula iremos continuar a estudar as principais características geométricas das figuras, como por exemplo, momento de inércia, momento polar de inércia e raio de giração. 1.1 Momento de Inércia com relação a um eixo ssim como o momento estático já estudado na aula anterior, o momento de inércia também é sempre relacionado a um eixo de referência. Tomamos o elemento de área infinitesimal d e multiplicamos pelo quadrado da distância a este eixo e fazemos a integral em todo domínio. Para os eixos cartesianos, os momentos de inércia podem ser definidos pelas seguintes integrais: Momento de inércia com relação ao eixo X I x = y d Momento de inércia com relação ao eixo Y I y = x d Propriedades do Momento de Inércia Normalmente a notação utilizada para representar o momento de inércia é a letra I, porém, em algumas bibliografias a letra J também é utilizada, mas esta última normalmente refere-se ao momento de inércia de massa, propriedade esta utilizada em disciplinas como DSF. s unidades de Momento de Inércia possuem a forma L 4, como por exemplo, m 4, km 4, mm 4 e pol 4 ; São sempre positivos; São aditivos, podem-se somar momentos de inércia diferentes desde que possuam o mesmo eixo de referência, como se pode observar na figura a seguir: I x = I x 1 + I x + I x3 1

9 ula 0 Figuras Planas II Exemplo Resolvido 1: Cálculo do momento de inércia com relação ao eixo x de um retângulo com sistema de eixos localizados no centróide: y dy x I x = y d = y bdy = by3 3 = b3 1 Exemplo Resolvido : Cálculo do momento de inércia com relação ao eixo x de um retângulo com sistema de eixos localizados na base: y b dy I x = y d = y bdy 0 = by3 3 = b3 3 0 b x Obs.: O momento de inércia com relação ao eixo y ou y, possui cálculo semelante ao apresentado acima, portanto, não será demonstrado. 1. Translação de eixos: Teorema de Steiner ou dos Eixos Paralelos para o Momento de Inércia Em muitas situações possuímos os momentos de inércia I x e I y fornecido com relação aos eixos x e y que passam pelo centróide, porém, necessitamos do momento de inércia com relação a outros eixos quaisquer x e y paralelos a x e y, para tal faz-se necessário reescrever as coordenadas fornecidas no sistema referencial x y no referencial xy, como pode ser observado a seguir: x = x + b y = y + a

10 ula 0 Figuras Planas II Recalculando o momento de inércia com relação ao eixo x, temos: I x = y d = Sabe-se que: (y + a) d = (y + ay + a )d = y d + a y d + a d I x = y d M Sx = y d = d Na aula anterior, quando estudamos as propriedades do momento estático verificamos que quando o eixo de referência passa pelo centróide, o momento estático é nulo, portanto podemos reescrever o momento de inércia sob a seguinte forma: I x = I x + a De forma similar para o momento de inércia com relação ao eixo y, é dado por: I y = I y + b Exemplo Resolvido 3: Cálculo do momento de inércia com relação ao eixo x de um retângulo com sistema de eixos localizados na base, calculado utilizando o Teorema de Steiner: I x = I x + a = b3 1 + b = b3 1 + b3 4 = b3 + 3b 3 = b Raio de Giração com relação a um eixo O raio de giração refere-se sempre a um eixo. Por definição o raio de giração com relação a este eixo é raiz quadrada do momento de inércia dividido pela área. Se fosse possível concentrar toda a área da figura plana em um ponto cuja distância ao centro de gravidade seja o raio de giração, o momento de inércia com relação a um eixo que passe pelo CG seria a área multiplicada pelo quadrado do raio de giração correspondente. Raio de giração com relação ao eixo x: Raio de giração com relação ao eixo y: i x = I x I x = i x i y = I y I y = i y 3

11 ula 0 Figuras Planas II Propriedades do Raio de Giração Normalmente a notação utilizada para representar o momento de inércia é a letra i, porém, em algumas bibliografias a letra r também é utilizada. s unidades do raio de giração possuem a forma L, como por exemplo, m, km, mm e pol; 1.4 Módulo de resistência com relação a um eixo central O módulo de resistência é uma característica geométrica da seção que será utilizada no estudo da flexão. pesar de podermos definir o módulo de resistência com relação a qualquer eixo que passe pelo centro de gravidade da figura plana, neste tópico o módulo de resistência será definido sempre com relação a um dos eixos centrais da figura. Os módulos de resistência com relação ao eixo central u são dados pelas expressões: W xs = I u c s W xi = I u c i onde: I u é o momento de inércia com relação ao eixo u; c s é a distância entre o eixo u e o eixo paralelo a ele que tangencia a figura plana no lado superior (caso aja mais de uma tangente, adota-se a que dá a maior distância); c i é a distância entre o eixo u e o eixo paralelo a ele que tangencia a figura plana no lado inferior (caso aja mais de uma tangente, adota-se a que dá a maior distância) Propriedades do Módulo de Resistência s unidades do módulo de resistência possuem a forma L 3, como por exemplo, m 3, km 3, mm 3 e pol 3 ; Os módulos de resistência não são aditivos, isto é, ao contrário do cálculo feito para o momento de inércia, o módulo de resistência de uma seção tubular não é o módulo da parte de fora menos o módulo da parte de dentro. 4

12 ula 0 Figuras Planas II 1.5 Momento polar de inércia com relação a um ponto O momento polar de inércia é sempre definido com relação a um ponto ou pólo. Tomamos o elemento de área infinitesimal d e multiplicamos pelo quadrado da distância ao polo e fazemos a integral em todo domínio. Momento polar de inércia com relação ao pólo O: mas: então: I p = r d r = x + y I p = (x + y )d = x d + y d O I p = I x + I y Propriedades do Momento Polar de Inércia O momento polar de inércia é sempre constante quando referenciado a um mesmo ponto, isto ocorre devido ao fato da soma dos momentos de inércia com relação a eixos ortogonais entre si que passam pelo mesmo ponto ser constante, como pode ser demonstrado na seqüência: Definindo novamente r, temos: portanto: r = x + y = u + v I p = I x + I y = I u + I v 1.6 Produto de Inércia com relação a um par de eixos O produto de inércia é sempre calculado com relação a um par de eixos ortogonais entre si. Neste caso o elemento de área d é multiplicado pelas distâncias a cada um dos eixos e integrado em toda área. Geralmente o produto de inércia é calculado com relação aos dois eixos de coordenadas, assim o produto de inércia com relação aos eixos x e y é definido pela integral: I xy = xyd 5

13 1.6.1 Propriedades do Produto de Inércia ula 0 Figuras Planas II Normalmente a notação utilizada para representar o produto de inércia é a letra I, porém, em algumas bibliografias a letra J também é utilizada, mas esta última normalmente refere-se ao momento de inércia de massa, propriedade esta utilizada em disciplinas como DSF. Em alguns livros o produto de inércia é camado de momento centrífugo de inércia; s unidades de Produto de Inércia possuem a forma L 4, como por exemplo, m 4, km 4, mm 4 e pol 4 ; O Produto de Inércia pode ser positivo, negativo ou nulo como pode ser observado nas figuras a seguir: Para uma figura contida inteiramente no primeiro ou terceiro quadrantes o produto de inércia é positivo, pois todos os produtos xy serão positivos. Para uma figura contida inteiramente nos segundo e quarto quadrante o produto de inércia é negativo, pois todos os produtos xy serão negativos. I xy > 0 I xy < 0 Os produtos de inércia são aditivos, podem-se somar produtos de inércia diferentes desde que possuam os mesmos eixos de referências, como se pode observar na figura a seguir: y I xy = I xy1 + I xy + I xy3 x 1.7 Translação de eixos: Teorema de Steiner ou dos Eixos Paralelos para o Produto de Inércia De forma similar ao demonstrado para o momento de inércia podemos definir o produto de inércia com relação a um par de eixos qualquer com base no produto de inércia com relação ao par de eixos que passa pelo centróide, como pode ser observado a seguir: I xy = I xy + ab 6

14 ula 03 Figuras Planas III 1- FIGURS PLNS Nesta aula iremos estudar eixos e momentos principais de inércia e assim finalizar o estudo de figuras planas. 1.1 Eixos e momentos principais de inércia Existem diversos eixos que passam pelo CG de uma figura plana, porém, existe um par de eixos que possuem uma maior importância, são os eixos camados de eixos principais. Esses eixos são importantes, pois, fornecem o maior e o menor momento de inércia de uma figura plana. Para se determinar esses eixos faz-se necessário conecer os momentos e produtos de inércia com relação a um par de eixos ortogonais qualquer que passa pelo CG de uma figura plana, a determinação da posição desses eixos, bem como o valor dos momentos de inércia podem ser determinados pelas expressões a seguir: ssim como o momento estático já estudado na aula anterior, o momento de inércia também é sempre relacionado a um eixo de referência. Tomamos o elemento de área infinitesimal d e multiplicamos pelo quadrado da distância a este eixo e fazemos a integral em todo domínio. Para os eixos cartesianos, os momentos de inércia podem ser definidos pelas seguintes integrais: u = x cos(α) + y sen(α) v y α x y u d v u x v = y cos(α) x sen(α) I 1 = I max = I x + I y I = I min = I x + I y + I x I y + I xy I x I y + I xy tan(α 1 ) = I x I 1 I xy α = α = α 1 + π 1

15 ula 03 Figuras Planas III 1. Exercícios Figuras Planas Para as figuras a seguir determine todas as propriedades das figuras planas (Área, M Sx, M Sy, X G, Y G, I x, I y, I xy, I 1, I, α 1 e α ). i) y x

16 ula 03 Figuras Planas III 3