ϕ ( + ) para rotações com o Flechas e deflexões

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1 Fechas e defeões Seja uma barra reta, em euiíbrio, apoiada em suas etremidades, submetida a uma feão norma. Esta barra fetida, deia de ser reta assumindo uma forma, como a mostrada na figura. figura barra fetida Note-se ue as seções da barra sofreram desocamentos na direção perpendicuar ao eio. Estes desocamentos são conhecidos como fechas e indicados por v. as defeões de duas seções justapostas na barra. ϕ d ϕdϕ figura fechas e defeões em duas seções justapostas. Estas seções possuem fechas e defeões diferentes. Note-se ue as seções, ue antes eram paraeas agora, são incinadas por um ânguo -dϕ. Isto pode ser observado na figura. Note-se, também, ue as seções, antes paraeas, agora ocupam uma posição incinada em reação à posição inicia. À incinação eistente entre a posição fina e a posição inicia da seção dá-se o nome de defeão e indica-se por ϕ. ϕ -dϕ ϕ-dϕ omo convenção de sinais, tem-se: ( ) υ para desocamentos acima do eio da barra υ ( ) para desocamentos abaio do eio da barra ϕ ( ) para rotações com o sentido horário ϕ ( ) para rotações com o sentido anti-horário figura incinação entre duas seções justapostas. Quando se superpõe a posição inicia e a posição fina destas seções verifica-se ue o retânguo formado peas seções se transforma em um trapézio, como pode ser observado na figura. A fecha e o ânguo de defeão de uma seção dependem da posição ue esta seção ocupa na barra. A figura mostra as fechas e rof. José aros oria Fechas e Defeões

2 z σ -dϕ σ -dϕ/ figura posições reativas das seções. Em uma feão norma, para os pontos ue estão a uma cota z do eio y (eio em torno do ua a seção gira ), a tensão norma fica: σ z () Ι y Associada a esta tensão norma está uma variação de distância entre os pontos correspondentes das duas seções justapostas ( ). Assim, a deformação pode ser escrita: ε () Dentro do regime eástico é possíve escrever: σ E ε () Substituindo as epressões e na epressão, tem-se: z E Ι y () ea figura é possíve observar ue: dϕ tg z (5) omo se trata de deformações dentro do regime eástico, a deformação é muito peuena, ou seja: dϕ dϕ tg Assim, é possíve escrever: dϕ z d z z dϕ (6) om a epressão 6, a epressão pode ser escrita como: z dϕ z E Ι y E Ι y dϕ dϕ E Ι y (7) A epressão 7 pode ser escrita na forma integra ue fica: (8) E Ι y A figura 5 mostra a reação entre a diferença de fechas nas seções justapostas e o ânguo de defeão. rof. José aros oria Fechas e Defeões

3 ϕ d figura 5 diferenças de fechas entre as seções justapostas. ea figura 5 é possíve escrever: dυ tg ( ϕ) ϕ (9) A epressão 9 pode ser escrita na forma integra ue fica: ϕ (0) om as epressões 7 e 9 se obtém a Euação da Linha Eástica: d υ dϕ E Ι y () Observa-se aui ue as fechas e as defeões podem ser obtidas a partir da integração da função momento fetor ue atua nas seções da barra. A seguir, serão apresentados aguns eempos de determinação destas deformações e destes desocamentos. Eempo Determinar a fecha e o ânguo de defeão na etremidade ivre da barra uando se sabe ue E e I são constantes. soução A função momento em uma seção uauer da barra fica: Apicando-se a epressão 8 vem: () Usando-se a epressão 0 se encontra: E Ι () As constantes de integração ue aparecem nas epressões e são determinadas peas condições de contorno, isto é, peas restrições de movimento impostas peos apoios. rof. José aros oria Fechas e Defeões

4 No presente eempo, nota-se ue na posição de engastamento a fecha e o ânguo de defeão devem ser nuos; ou seja: para 0 para 0 Apicando-se estas condições na epressão tem-se: 0 ( ) (7) As epressões 6 e 7 fornecem o ânguo de defeão e a fecha em uauer seção da barra. Na etremidade ivre da barra, 0. Assim, o ânguo de defeão e a fecha nesta seção ficam: () ( 0 ) (8) Apicando-se estas condições na epressão tem-se: ( 0 0 ) (9) om estes resutados se observa ue o desocamento da seção é para baio e ue esta seção gira no sentido anti-horário a partir de sua posição inicia. (5) ϕ om os resutados encontrados nas epressões e 5, as epressões ue fornecem o ânguo de defeão () e a fecha () ficam: ( ) (6) Eempo Determinar a fecha e o ânguo de defeão na seção ue se encontra na metade do comprimento da barra uando se sabe ue E e I são constantes. rof. José aros oria Fechas e Defeões

5 E Ι () Usando-se a epressão 0 se encontra: soução ara determinar a função momento em uma seção uauer da barra, é necessário determinar as reações de apoio. As reações de apoio são: E Ι E Ι 6 () / / ara determinar as constantes de integração, nota-se ue na posição dos apoios a fecha é igua a zero; ou seja: om estas reações, a função momento para uma seção uauer da barra fica: para 0 0 para 0 Apicando-se estas condições na epressão se encontra: / / 0 ( 0 0) 0 0 () ( ) (0) Apicando-se a epressão 8 vem: E Ι ( ) ( ) E Ι 0 E 6 Ι 0 () om os resutados encontrados nas epressões e, as epressões rof. José aros oria 5 Fechas e Defeões

6 ue fornecem o ânguo de defeão () e a fecha () ficam: E Ι E Ι 6 6 (5) (6) ara determinar o ânguo de defeão e a fecha na metade do comprimento da barra, basta substituir por / nas epressões 5 e 6 respectivamente. DΙ 8 0 (7) (8) Eempo Determinar a fecha e o ânguo de defeão na etremidade ivre da barra uando se sabe ue E e I são constantes. soução A função momento em uma seção uauer da barra fica: Apicando-se a epressão 8 vem: (9) Usando-se a epressão 0 se encontra: 6E Ι (0) Neste eempo, assim como no primeiro, nota-se ue na posição de engastamento a fecha e o ânguo de defeão devem ser nuos; ou seja: rof. José aros oria 6 Fechas e Defeões

7 para 0 para 0 Apicando-se estas condições nas epressões 9 e 0 tem-se: 0 () 0 0 () om os resutados encontrados nas epressões e, as epressões ue fornecem o ânguo de defeão (9) e a fecha (0) ficam: ( ) () ( ) () As epressões e fornecem o ânguo de defeão e a fecha em uauer seção da barra. Na etremidade ivre da barra, 0. Assim, o ânguo de defeão e a fecha nesta seção ficam: 0 (5) 0 0 (6) Eempo Determinar a fecha e o ânguo de defeão na seção ue se encontra na metade do comprimento da barra uando se sabe ue E e I são constantes. / soução ara determinar a função momento em uma seção uauer da barra, é necessário determinar as reações de apoio. As reações de apoio são: / rof. José aros oria 7 Fechas e Defeões

8 / / / / om estas reações, a função momento para uma seção uauer da primeira metade da barra fica: (7) E Ι (8) ara o segundo trecho se encontra: ( ) E Ι / / / / (9) (para 0 ) ara a segunda metade da barra a função momento fica: ( ) (para ) Note-se, então ue se tem uma função para a primeira metade diferente da função da segunda metade. ara a determinação do ânguo de defeão e da fecha é necessário fazer a integração das funções dos dois trechos e de terminar as constantes de integração para eas. ara o primeiro trecho se encontra: E E Ι Ι (0) ara determinar as uatro constantes de integração são necessárias uatro condições de contorno. Nota-se ue na posição dos apoios a fecha é igua a zero e ue na posição de apicação da carga a fecha e o ânguo de defeão são os mesmos para os dois trechos da barra; ou seja: para 0 0 para 0 para ϕ para υ Assim, se obtém: (primeiro trecho) (primeiro trecho) ϕ υ (segundo trecho) (segundo trecho) rof. José aros oria 8 Fechas e Defeões

9 Da epressão 8 vem: () Da epressão 0 se obtém: 0 0 () Iguaando-se a epressão 7 e 9, se encontra: 8 8 () Iguaando-se a epressão 8 e 0, se encontra: Substituindo-se o encontrado na epressão, tem-se: E Ι 8E Ι 8 () Votando na epressão e substituindo o encontrado em : (5) om encontrado na epressão 5 é possíve obter por meio da epressão. Assim: (6) om o vaor de, encontrado na epressão 6 e de, encontrado na epressão, as funções para o ânguo de defeão e a fecha para o trecho 0 ficam: (7) (8) No ponto de apicação da força, ue é a metade do comprimento da barra, isto é, o ânguo de defeão e a fecha ficam: ( ) rof. José aros oria 9 Fechas e Defeões

10 0 ( ) 9 8 5L ϑ 8 L/ L/ ocorre na etremidade ivre I I Eercícios Usando as integrações, determinar para as barras prismáticas abaio, ue possuem EI constante ao ongo de seu comprimento, a fecha máima e o ponto onde ea ocorre. 5L ϑ L/ L/ ocorre na etremidade ivre a a a ϑ a E Ι L a ( L a ) a ϑ ocorre na etremidade ivre ocorre no meio do vão ϑ 5L 8 L ocorre no meio do vão rof. José aros oria 0 Fechas e Defeões