10. CARGAS ACIDENTAIS E MÓVEIS; LINHAS DE INFLUÊNCIA

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1 10. CARGA ACIDENTAI E MÓVEI; LINHA DE INFLUÊNCIA Introdução Diversas estruturas são soicitadas por cargas móveis. Exempos são pontes rodoviárias e ferroviárias ou pórticos industriais que suportam pontes roantes para transporte de cargas. Os esforços internos nestes tipos de estrutura não variam apenas com a magnitude das cargas apicadas, mas também com a posição de atuação das cargas. Portanto, o projeto de um eemento estrutura, como uma viga de ponte, envove a determinação das posições das cargas móveis que produzem vaores extremos dos esforços nas seções do eemento. No projeto de estruturas submetidas a cargas fixas, a posição de atuação de cargas acidentais de ocupação também infuencia na determinação dos esforços dimensionantes. Por exempo, o momento fetor máximo em uma determinada seção de uma viga contínua com vários vãos não é determinado peo posicionamento da carga acidenta de ocupação em todos os vãos. Posições seecionadas de atuação da carga acidenta vão determinar os vaores imites de momento fetor na seção. Assim, o projetista terá que determinar, para cada seção a ser dimensionada e para cada esforço dimensionante, as posições de atuação das cargas acidentais que provocam os vaores extremos (máximos e mínimos de um determinado esforço). Uma aternativa para este probema seria anaisar a estrutura para várias posições das cargas móveis ou acidentais e seecionar os vaores extremos. Este procedimento não é prático nem eficiente de uma maneira gera, exceto para estruturas e carregamentos simpes. O procedimento gera e objetivo para determinar as posições de cargas móveis e acidentais que provocam vaores extremos de um determinado esforço em uma seção de uma estrutura é feito com auxíio de Linhas de Infuência. Linhas de Infuência (LI) descrevem a variação de um determinado efeito (por exempo, uma reação de apoio, um esforço cortante ou um momento fetor em uma seção) em função da posição de uma carga unitária que passeia sobre a estrutura. Assim, a LI de momento fetor em uma seção é a representação gráfica ou anaítica do momento fetor, na seção de estudo, produzida por uma carga concentrada unitária, geramente de cima para baixo, que percorre a estrutura. Isso é exempificado na figura 10.1, que mostra a LI de momento fetor em uma seção indicada. Nesta figura, a posição da carga unitária P = 1 é dada peo parâmetro x, e uma ordenada genérica da LI representa o vaor do momento fetor em em função de x, isto é, LIM = M (x). Em gera, os vaores positivos dos esforços nas inhas de infuência são desenhados para baixo e os vaores negativos para cima. x P = 1 M (x) Figura 10.1 Linha de Infuência de momento fetor em uma seção de uma viga contínua. Com base no traçado de LI s, é possíve obter as chamadas envotórias imites de esforços que são necessárias para o dimensionamento de estruturas submetidas a cargas móveis ou acidentais. As envotórias imites de momento fetor em uma estrutura descrevem, para um conjunto de cargas móveis ou acidentais, os vaores máximos e mínimos de momento fetor em cada uma

2 294 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha das seções da estrutura, de forma anáoga ao que descreve o diagrama de momentos fetores para um carregamento fixo. Assim, o objetivo da Anáise Estrutura para o caso de cargas móveis ou acidentais é a determinação de envotórias de máximos e mínimos de momentos fetores, esforços cortantes etc., o que possibiitará o dimensionamento da estrutura submetida a este tipo de soicitação. As envotórias são, em gera, obtidas por interpoação de vaores máximos e mínimos, respectivamente, de esforços cacuados em um determinado número de seções transversais ao ongo da estrutura. A determinação de vaores máximos e mínimos de um esforço interno em uma seção de estudo é exempificada para o caso do momento fetor na seção da figura anterior. O carregamento permanente, constituído do peso próprio da estrutura, é representado por uma carga uniformemente distribuída g, ta como indica a figura g LIM Figura 10.2 Carga permanente uniformemente distribuída atuando em uma viga contínua. Considerando que a ordenada de LIM (= M (x)) é função de uma carga concentrada unitária, o vaor do momento fetor em devido ao carregamento permanente pode ser obtido por integração do produto da carga infinitesima gdx por M (x) ao ongo da estrutura: M g = M ( x) gdx = LIM gdx 0 Considere que existe um carregamento acidenta de ocupação que é representado por uma carga uniformamente distribuída q. Por ser acidenta, a carga q pode atuar parciamente ao ongo da estrutura. O que se busca são as posições de atuação da carga q que maximizam ou minimizam o momento fetor em. O vaor máximo de M é obtido quando a carga q está posicionada sobre ordenadas positivas da LIM, e o vaor mínimo é obtido quando a carga q está posicionada sobre ordenadas negativas da LIM. Isso é mostrado nas figuras 10.3 e q q LIM Figura 10.3 Posicionamento de carga acidenta uniformemente distribuída para provocar máximo momento fetor em uma seção. q LIM Figura 10.4 Posicionamento de carga acidenta uniformemente distribuída para provocar mínimo momento fetor em uma seção. Os vaores máximos e mínimos de M devidos somente ao carregamento acidenta podem ser obtidos por integração do produto LIM qdx nos trechos positivos e negativos, respectivamente, da inha de infuência: 4 12 q ( M ) = LIM qdx + máx 9 q ( M ) = LIM mín 0 4 qdx 9 LIM qdx

3 Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Infuência 295 Assim, os vaores máximos e mínimos finais de M provocados peo carregamento permanente e peo carregamento acidenta são: g q ( M ) máx = M + ( M ) máx g q ( M ) mín = M + ( M ) mín Observe que, no caso gera, o vaor máximo fina de um determinado esforço em uma seção não é necessariamente positivo, nem o vaor mínimo fina é necessariamente negativo. Isto vai depender da magnitude dos vaores provocados peos carregamentos permanente e acidenta. Quando máximos e mínimos tiverem o mesmo sina, o esforço dimensionante será o que tiver a maior magnitude. Quando máximos e mínimos tiverem sentidos opostos, principamente no caso de momento fetor, ambos podem ser dimensionantes Linhas de infuência para uma viga biapoiada A determinação das expressões anaíticas de inhas de infuência é reativamente simpes para o caso de estruturas isostáticas. Neste caso, um enfoque baseado no equiíbrio expícito da estrutura submetida a uma carga concentrada unitária pode ser utiizado para determinar as inhas de infuência. Tome por exempo a viga biapoiada mostrada na figura O equiíbrio de forcas verticais e de momentos em reação ao ponto A, por exempo, determina os vaores das reações de apoio V A = ( x) / e V B = x /. Estas equações nada mais são do que as próprias expressões anaíticas das inhas de infuência das reações de apoio, pois expressam a variação de V A e V B em função da posição x da carga concentrada unitária. A x P = 1 B V A V B LIV A 1 V A (x) = ( x) / LIV B V B (x) = x / 1 Figura 10.5 Linhas de Infuência de reações de apoio em uma viga biapoiada. A imposição direta do equiíbrio também pode ser utiizada para determinar as inhas de infuência do esforço cortante e do momento fetor em uma seção genérica da viga biapoiada, ta como mostrado na figura Para isso, duas situações são consideradas, uma quando a carga concentrada unitária está à esquerda da seção e outra quando a carga está à direita: Esforço cortante P = 1 à esquerda de (x < a) Q = V B LIQ = LIV B = x /. P = 1 à direita de (x > a) Q = +V A LIQ = +LIV A = ( x) /. Momento fetor P = 1 à esquerda de (x a) M = +b V B LIM = +b LIV B = b x /. P = 1 à direita de (x a) M = +a V A LIM = +a LIV A = a ( x) /.

4 296 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha A x a P = 1 b B M M V A Q V B Q (x) = x / +1 1 Q (x) = ( x) / LIQ M (x) = b x / a a b/ M (x) = a ( x) / b LIM Figura 10.6 Linhas de Infuência de esforço cortante e momento fetor em uma seção da viga biapoiada Método cinemático para o traçado de LI O Princípio dos Desocamentos Virtuais (PDV) oferece um método aternativo para o traçado de inhas de infuência. Considere que a viga biapoiada da seção anterior sofreu um campo de desocamentos virtuais v(x), conforme indicado na figura 10.7, onde o apoio da esquerda é desocado virtuamente para baixo de uma unidade de distância. Como a viga biapoiada é isostática, o movimento do apoio vai impor um desocamento de corpo rígido para a viga. Isto é, a viga permanece reta e não existem deformações internas. Deve-se observar que, por uma questão de consistência com a convenção adotada para o traçado de LI s, está sendo considerado como positivo um desocamento transversa v(x) para baixo, e negativo para cima. A x P = 1 B 1 v(x) = ( x) / V B V A Figura 10.7 Campo de desocamentos virtuais para determinar LI de reação de apoio de uma viga biapoiada. O PDV diz que o trabaho virtua produzido peas forças externas (reais) da estrutura peos correspondentes desocamentos externos virtuais é igua à energia de deformação interna virtua, que no caso é nua (não existem deformações internas virtuais). Portanto, o trabaho virtua das forças externas é nuo, isto é: V A 1 + P v(x) + V B 0 = 0 V A(x) = ( x) /.

5 Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Infuência 297 Vê-se que a apicação do PDV resutou na expressão anaítica encontrada anteriormente para a LIV A. Não podia deixar de ser desta maneira, pois o PDV nada mais é do que uma forma aternativa para se impor condições de equiíbrio. As inhas de infuência do esforço cortante e do momento fetor em uma seção da viga biapoiada também podem ser determinadas peo PDV. O campo de desocamentos virtuais para a obtenção de LIQ está mostrado na figura x P = 1 M Q V A a/ b/ Q M 1 v(x) = ( x) / V B a b x P = 1 v(x) = x / 1 M Q a/ b/ V A Q M V B Figura 10.8 Campo de desocamentos virtuais para determinar LI de esforço cortante em uma seção de uma viga biapoiada. O campo de desocamentos virtuais da figura 10.8 é ta que a viga é cortada na seção e é imposto um desocamento transversa reativo nesta seção igua a uma unidade de distância. Com a seção cortada, por ser a viga isostática, ea se transforma em um mecanismo (em uma cadeia cinemática) que não oferece resistência ao movimento imposto. Portanto, os movimentos virtuais dos dois segmentos de viga após o corte são de corpo rígido (sem deformação virtua interna). Aém disso, as incinações dos dois segmentos de viga à esquerda e à direita de devem permanecer iguais para que não haja rotação reativa nesta seção, desta forma evitando que o momento fetor M produza trabaho virtua. Nota-se também na figura 10.8 que o desocamento transversa reativo na seção é contrário às direções positivas do esforço cortante Q, isto é, o segmento à esquerda de sobe de a /, enquanto o segmento à direita desce de b /. A apicação do PDV à estrutura da figura 10.8 resuta em: P = 1 à esquerda de (x < a): Q a / Q b / + M 1 / M 1 / P x / + V A 0 + V B 0 = 0 Q (x) = x /. P = 1 à direita de (x > a): Q a / Q b / + M 1 / M 1 / + P ( x) / + V A 0 + V B 0 = 0 Q (x) = ( x) /. Como pode-se notar, estas expressões são as mesmas obtidas anteriormente para a LIQ por apicação de condições de equiíbrio diretamente. O campo de desocamentos virtuais para determinar a inha de infuência de momento fetor em uma seção da viga biapoiada é mostrado na figura Este campo de desocamentos é ta que a continuidade de rotação da viga é iberada na seção e é imposta uma rotação reativa unitária ( rad) nesta seção (consideram-se pequenos desocamentos, isto é, um arco de cír-

6 298 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha cuo é aproximado por sua corda). Nota-se na figura 10.9 que o segmento de viga à esquerda da seção sofre um giro com um ânguo igua a b/ no sentido horário, que é contrário à direção positiva de M na extremidade do segmento. Observa-se também que o segmento à direita de gira de a/ no sentido anti-horário, que é contrário à direção positiva de M na porção da direita. M x M P = 1 V A Q V B a b v(x) = b x / v(x) = a ( x) / a a b/ b Figura 10.9 Campo de desocamentos virtuais para determinar LI de momento fetor em uma seção de uma viga biapoiada. Apicando o PDV à estrutura da figura 10.9, obtem-se: P = 1 à esquerda de (x a): +Q a b / Q a b / M b / M a / + P b x / + V A 0 + V B 0 = 0 M (x) = b x /. P = 1 à direita de (x a): +Q a b / Q a b / M b / M a / + P a ( x) / + V A 0 + V B 0 = 0 M (x) = a ( x)/. Isso resuta nas mesmas expressões para LIM obtidas anteriormente. Pode-se resumir a a obtenção de inhas de infuência de um efeito (reação de apoio, esforço cortante ou momento fetor) na viga biapoiada por apicação do PDV da seguinte maneira (üssekind, J.C., Curso de Anáise Estrutura, Editora Gobo, 1977): Para se traçar a inha de infuência de um efeito E (esforço ou reação), procede-se da seguinte forma: rompe-se o víncuo capaz de transmitir o efeito E cuja inha de infuência se deseja determinar; na seção onde atua o efeito E, atribui-se à estrutura, no sentido oposto ao de E positivo, um desocamento generaizado unitário, que será tratado como sendo muito pequeno; a configuração deformada (eástica) obtida é a inha de infuência. O desocamento generaizado que se faz referência depende do efeito em consideração, ta como indicado na figura No caso de uma reação de apoio, o desocamento generaizado é um desocamento absouto da seção do apoio. Para um esforço cortante, o desocamento generaizado é um desocamento transversa reativo na seção do esforço cortante. E para um momento fetor, o desocamento generaizado é uma rotação reativa entre as tangentes à eástica adjacentes à seção do momento fetor. Esta maneira de se determinar inhas de infuência, embora só tenha sido mostrada para uma viga biapoiada, se apica para quaquer tipo de estrutura, incusive estrutura hiperestática. Este método foi formuado por Müer-Bresau no fina do sécuo 19 e por isso é chamado de Princípio de Müer-Bresau (White, R.N., Gergey, P. e exsmith, R.G., tructura Enginnering, John

7 Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Infuência 299 Wiey, New York, 1976; üssekind, J.C., Curso de Anáise Estrutura, Editora Gobo, 1977), também conhecido como método cinemático para o traçado de LI. Efeito Reação de apoio V Desocamento generaizado Esforço cortante Q Q Momento fetor M M Figura Desocamentos generaizados utiizados no método cinemático para traçado de LI. A demonstração do Princípio de Müer-Bresau para estruturas hiperestáticas vai ser feita utiizando-se o Teorema de Betti, que é uma conseqüência do PDV. Considere as duas vigas contínuas hiperestáticas com mesmo comprimento mostradas na figura A viga (1) tem uma carga concentrada unitária P 1 = 1, apicada a uma distância x do início da viga. A viga (2) difere da primeira pea inexistência do primeiro apoio, sendo que nesta posição é apicada uma carga concentrada P 2 que provoca, no seu ponto de apicação, um desocamento para baixo de uma unidade de distância. (1) x P 1 = 1 V A v 1(x) (2) P 2 1 v 2(x) Figura Apicação do Teorema de Betti a duas vigas contínuas. O PDV é apicado para as vigas (1) e (2) da figura 10.11, sendo que os campos de desocamentos virtuais utiizados são os desocamentos da outra viga, isto é, o campo de desocamentos virtuais imposto à viga (1) é a eástica v 2(x) da viga (2) e para a viga (2) é imposta a eástica v 1(x) como campo de desocamentos virtuais. Considerando um comportamento eástico-inear, as expressões do PDV para as duas vigas são: M1M2 F v dx EI Q1Q2 = dx GA M2M1 F v dx EI Q2Q1 = dx GA c c

8 300 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Nestas expressões, o somatório do ado esquerdo do sina de iguadade representa o trabaho virtua das forças externas, isto é, ΣF 1v 2 é o trabaho das forças da viga (1) com os correspondentes desocamentos externos da viga (2), e ΣF 2v 1 é o inverso. As integrais do ado direito do sina de iguadade representam a energia de deformação virtua interna. A primeira integra é a e- nergia de deformação por fexão e a segunda é a energia de deformação por cisahamento. M 1 e Q 1 são os diagramas de momento fetor e esforço cortante da viga (1), e M 2 e Q 2 são os diagramas da viga (2). O parâmetro E é o móduo de easticidade do materia, o parâmetro G é o móduo de cisahamento, I é momento de inércia da seção transversa e A c é a área efetiva para cisahamento da seção transversa. Observa-se que as energia de deformação virtua interna das duas expressões são iguais. Portanto: 1v2 = F2 v1 F. Esta é a expressão do Teorema de Betti, que só é váido para estruturas eásticas-ineares: o trabaho da forças externas de uma estrutura com os correspondentes desocamentos externos de outra estrutura é igua ao trabaho das forças externas da outra estrutura com os correspondentes desocamentos da primeira. Apicando o Teorema de Betti para as duas vigas da figura 10.11, tem-se: V A 1 + P 1 v 2(x) = P 2 0 V A(x) = v 2(x) LIV A = v 2(x). Como a eástica v 2(x) da viga (2) corresponde justamente à imposição de um desocamento unitário na direção oposta à reação de apoio V A (com a iberação do víncuo associado), fica demonstrado que o Princípio de Müer-Bresau também é váido para vigas hiperestáticas. Demonstrações anáogas poderiam ser feitas para inhas de infuência de esforço cortante e momento fetor, ou mesmo para outros tipos de estruturas, como pórticos hiperestáticos. Um fato importante a ser destacado, e que transparece da figura 10.11, é que as inhas de infuência para estruturas hiperestáticas são formadas por trecho curvos, enquanto que para estruturas isostáticas eas são formadas por trechos retos, conforme mencionado anteriormente. O método cinemático fornece uma expicação intuitiva para isso. No caso de estruturas isostáticas, a iberação do víncuo associado ao efeito que se quer determinar a LI resuta em um estrutura hipostática, que se comporta como uma cadeia cinemática quando o desocamento generaizado é imposto. Como a cadeia cinemática não oferece resistência aguma ao desocamento imposto, as barras da estrutura sofrem movimentos de corpo rígido, isto é, permanecem retas. Assim, as LI para estruturas isostáticas são formadas por trechos retos. Entretanto, a iberação do víncuo no caso de uma estrutura hiperestática resuta em uma estrutura que ainda oferece resistência ao desocamento generaizado imposto. Isto significa que a estrutura sofre deformações internas para se ajustar ao desocamento imposto, isto é, as barras se fexionam. e forem desprezadas deformações por cisahamento e considerando barras prismáticas (seções transversais constantes), a equação diferencia que governa o comportamento de barras à fexão é a Equação de Navier: 4 d v( x) q( x) =, 4 dx EI onde v(x) é o desocamento transversa da barra, q(x) é a taxa de carregamento transversa distribuído, E é o móduo de easticidade do materia e I é o momento de inércia da seção transversa. Como no caso do método cinemático para o traçado de LI a taxa de carregamento distribuído é nua, a eástica resutante (que é a própria LI) é regida pea seguinte equação diferencia: 4 d v( x) d LI = = 0. 4 dx 4 dx 4 Portanto, no caso gera, as LI s para estruturas hiperestáticas são formadas por trechos curvos que são descritos matematicamente por poinômios do 3º grau.

9 Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Infuência 301 O método cinemático é bastante úti para a determinação do aspecto de uma LI, isto é, quando se deseja obter apenas a forma da LI. Isto é freqüente utiizado no projeto de estruturas submetidas a cargas acidentais uniformemente distribuídas, conforme foi exempificado na seção No exempo mostrado, a forma da LI de momento fetor na seção de estudo é suficiente para determinar os posicionamentos da carga acidenta que maximizam ou minimizam o momento fetor na seção. Os vaores máximos e mínimos do momento fetor na seção não precisam ser cacuados necessariamente com base na LI; quaquer outro método poderia ser utiizado. Assim, somente os aspectos da LI s possibiitam a determinação de vaores máximos e mínimos de esforços ao ongo da estrutura. Para exempificar formas típicas de LI s, as figuras a mostram LI s para uma viga Gerber isostática e para uma viga contínua hiperestática. As figuras e mostram LI s de reações de apoio. A B V A V B LIV A LIV B Figura Linhas de infuência de reações de apoio para uma viga Gerber isostática. A B V A V B LIV A LIV B Figura Linhas de infuência de reações de apoio para uma viga contínua hiperestática. As figuras e mostram LI s de esforços cortantes. No caso de seções de apoio, como existe uma descontinuidade da LI nestes pontos, sempre são consideradas seções imediatamente à esquerda e à direita dos pontos dos apoios. Observa-se nestas figuras que as inhas de infuência de esforços cortantes para seções de um determinado vão entre apoios têm um comportamento típico. Assim, a seção A dir do primeiro vão após o baanço tem LI de esforço cortante com descontinuidade ocaizada próxima ao apoio A, sendo que fora do vão a LI é igua às LI s das seções 1 e B esq, ou de quaquer outra seção do mesmo vão. Em outras paavras, duas seções

10 302 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha de um mesmo vão têm LI s de esforço cortante diferindo apenas pea ocaização da descontinuidade, que fica sobre a seção. A esq A dir 1 B esq B dir LIQ Aesq LIQ Adir LIQ 1 LIQ Besq LIQ Bdir Figura Linhas de infuência de esforços cortantes para uma viga Gerber isostática. A esq A dir 1 B esq B dir 2 LIQ Aesq LIQ Adir LIQ 1 LIQ Besq LIQ Bdir LIQ 2 Figura Linhas de infuência de esforços cortantes para uma viga contínua hiperestática.

11 Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Infuência 303 E, finamente, as figuras e mostram LI s de momentos fetores. A 1 B LIM A LIM 1 LIM B Figura Linhas de infuência de momentos fetores para uma viga Gerber isostática. A 1 B 2 C LIM A LIM 1 LIM B LIM 2 LIM C Figura Linhas de infuência de momentos fetores para uma viga contínua hiperestática.

12 304 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Metodoogia para cácuo de LI s peo método cinemático A seção anterior mostrou que o Princípio de Müer-Bresau é úti para a determinação quaitativa dos aspectos de inhas de infuência. Entretanto, este método cinemático também pode ser utiizado para determinar equações e vaores de LI s de uma maneira gera. A metodoogia descrita a seguir foi apresentada peo Prof. B. Ernani Diaz (Revista RBE, 1984), que demonstrou que o método cinemático pode ser impementado computacionamente, com poucas modificações, em quaquer programa genérico para anáise de estruturas reticuadas. A determinação de uma LI baseada no método cinemático é feita pea superposição de duas configurações deformadas (eásticas) para uma mesma estrutura. Isto é exempificado para o caso da LI de esforço cortante em uma seção genérica de uma viga contínua, que é indicada na figura M 1 M 2 V 1 V 2 (I) M 1 M 2 V 1 V 2 (II) V 1 V 2 M 1 M 2 (I)+(II) Figura Determinação de LI de esforço cortante de uma seção de uma viga contínua por superposição de efeitos. Nesta figura, a viga contínua é submetida a dois tipos de soicitações, mostradas nos casos (I) e (II). O caso (I) corresponde a um desocamento generaizado (para o traçado da LI) imposto ocaizadamente à barra que contém a seção de estudo. No exempo da figura, considerou-se deiberadamente que a barra em questão não abrange todo o vão centra entre apoios. Dessa forma, está se considerando uma situação mais gera. O campo de desocamentos imposto no caso (I) fica restrito à barra da seção de estudo pois ee corresponde a uma situação de engastamento perfeito da barra, isto é, como se ea fosse biengastada. Pode-se notar que esta situação corresponde ao caso (0) da metodoogia de cácuo do Método dos Desocamentos (capítuo 5). Assim, as reações de apoio (V 1, M 1, V 2 e M 2) da barra biengastada submetida ao desocamento generaizado imposto são os chamados termos de carga (β i0) do Método dos Desocamentos. O caso (II) da superposição considera o efeito goba do desocamento generaizado imposto. Este efeito goba é determinado peo cácuo da eástica goba da estrutura devida a uma soicitação onde as reações de engastamento do caso (I) são apicadas aos nós extremos da barra em questão com seus sentidos opostos, ta como indica a figura Estas forças e momentos, com os sentidos opostos, são chamados de cargas equivaentes nodais para a soicitação do caso

13 Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Infuência 305 (I). Nota-se que, na superposição dos dois casos, as forças e momentos apicados aos nós da barra se canceam, resutando somente no desocamento generaizado imposto à viga como um todo. Dessa forma, pode-se observar que a metodoogia adotada para o cácuo da LI peo método cinemático segue o formaismo do Método da Rigidez Direta: no caso (I) e considerado o efeito da soicitação externa e no caso (II) a estrutura é resovida gobamente soicitada por cargas equivaentes nodais. A única novidade é que a soicitação externa neste caso é um desocamento generaizado imposto à barra que contém a seção de estudo com as extremidades engastadas. Por esse motivo, quaquer programa de computador que impemente o Método da Rigidez Direta (procedimento padrão) e determine vaores da eástica pode ser facimente modificado para cacuar LI s peo método cinemático. Portanto, para impementar computacionamente este método, é necessário fornecer souções de engastamento perfeito para inhas de infuência típicas em uma barra. Estas souções devem conter as reações de engastamento perfeito e a equação da eástica devida a um desocamento generaizado imposto. Isso é feito a seguir para LI s de esforço cortante e momento fetor em uma seção genérica de uma viga biengastada Linha de infuência de esforço cortante em viga biengastada A figura mostra a soução de uma viga biengastada à qua é imposto um desocamento generaizado para o traçado de LI de esforço cortante em uma seção genérica. A barra é considerada prismática, com móduo de easticidade E e momento de inércia da seção transversa I. A convenção de sinais adotada para reações de apoio é ta que reações forças verticais são positivas quando orientadas para cima e negativas para baixo. Reações momentos são positivas quando no sentido anti-horário e negativas quando no sentido horário. A convenção de sinais para a eástica é ta que desocamentos tranversais v(x) são positivos quando para baixo e negativos para cima. Como dito anteriormente, a inversão da convenção para desocamentos transversais se deve a um costume de se indicar ordenadas positivas de inhas de infuência para baixo. M 1 v esq(x) M 2 v dir(x) V 1 V 2 a Figura oução de uma viga biengastada para determinação de LI de esforço cortante em uma seção. A soução para a eástica da viga da figura foi obtida considerando a seguinte equação diferencia (equação de Navier com taxa nua de carregamento transversa distribuído) e as seguintes condições de contorno e de continuidade: Equação diferencia 4 d v( x) = 0 4 dx b

14 306 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Condições de contorno v ( 0) = 0 v ( ) = 0 dv(0) dv( ) = 0 = 0 dx dx Condições de continuidade (à esquerda e à direita da seção considerada) v dir ( a) v ( a) = 1 esq dv dv a dir ( a) esq ( ) = dx dx Isso resuta na seguinte soução para a eástica da viga, isto é, para a inha de infuência do esforço cortante em uma seção genérica: 2 3 x x LIQ = vesq( x) = para 0 x < a 2 3 x x LIQ = vdir ( x) = para a < x Na figura 10.19, as reações de apoio são mostradas com o sentido físico correspondente à LI indicada. Considerando a convenção de sinais adotada, as reações de engastamento têm os seguintes vaores: EI V1 = 12 3 EI V2 = 12 3 EI M1 = 6 2 EI M2 = Linha de infuência de momento fetor em viga biengastada A determinação da LI de momento fetor em uma seção quaquer da viga biengastada é anáoga ao que foi feito para a LI de esforço cortante. Isto é mostrado na figura M 1 v esq(x) v dir(x) M 2 V 1 V 2 a b Figura oução de uma viga biengastada para determinação de LI de momento fetor em uma seção. A equação diferencia e as condições de contorno são as mesmas da LI de esforço cortante. A- penas as condições de continuidade são diferentes: Condições de continuidade (à esquerda e à direita da seção considerada) v ( a) v ( a) esq = dir dvesq ( a) dvdir ( a) = 1 dx dx

15 Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Infuência 307 A soução para a inha infuência de momento fetor é mostrada abaixo: 2 3a x 2a x LIM = vesq ( x) = x 2 1 para 0 x a 2 3a x 2a x LIM = vdir ( x) = x a para a x E, finamente, as reações de engastamento perfeito têm os seguintes vaores (consistentes com a convenção de sinais adotada): V 1 12a EI = 6 2 V 2 12a EI = a EI 6a EI M1 = 4 M2 = 2 Na figura 10.20, as reações estão indicadas com o sentido físico correspondente à LI exempificada Exempo de determinação de envotórias de esforços internos Viga biapoiada com baanços, carga permanente e carga móve Carga Móve Carga Permanente A B C D E F G Besq Bdir Fesq Fdir Estrutura e seções transversais para envotórias Esforços internos da carga permanente A Besq Bdir C D E Fesq G Fdir Carga Permanente: Esforços Cortantes [kn] A B C D E F G Carga Permanente: Momentos Fetores [knm]

16 308 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Determinação dos esforços cortantes mínimos e máximos da carga móve para Q Besq mínimo Besq (carga móve não atuando) LIQ Besq para Q Besq máximo ( Q ) c. m. Besq = [ 20 ( 1.00) + 10 ( 1.00) ( 1.00) ] = kN mín. c. m. ( Q ) 0 Besq = máx. para Q Bdir mínimo Bdir LIQ Bdir para Q Bdir máximo ( Q ) c. m. Bdir mín. = [ 20 ( 0.25) ( 0.25) ] = 8. 75kN ( Q ) c. m. = [ 20 (1.00) + 10 (0.75) 3 (0.25) (1.00) ] = 91. kn Bdir máx para Q C mínimo C LIQ C para Q C máximo ( Q ) c. m. C mín. = [ 20 ( 0.25) 3 ( 0.25) 3 ( 0.25) ] = kN. ( Q ) m. = [ 20 (0.75) + 10 (0.50) 3 (0.25) (0.75) ] = 57. kn c máx. + C 50

17 Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Infuência 309 para Q D mínimo D LIQ D para Q D máximo ( Q ) c. m. D mín. = [ 20 ( 0.50) + 10 ( 0.25) 6 ( 0.50) 3 ( 0.25) ] = kN. ( Q ) m. = [ 20 (0.50) + 10 (0.25) 6 (0.50) 3 (0.25) ] = 31. kn c máx. + D 25 para Q E mínimo E LIQ E para Q E máximo ( Q ) c. m. E mín. = [ 20 ( 0.75) + 10 ( 0.50) 9 ( 0.75) 3 ( 0.25) ] = kN. ( Q ) m. = [ 20 (0.25) 3 (0.25) (0.25) ] = 12. kn c máx. + E 50 para Q Fesq mínimo Fesq LIQ Fesq para Q Fesq máximo ( Q ) c. m. Fesq = [ 20 ( 1.00) + 10 ( 0.75) 12 ( 1.00) ( 0.25) ] = kN mín. ( Q ) c. m. = [ 20 (0.25) 3 (0.25) ] = + 8. kn Fesq 75 máx. (carga móve não atuando) para Q Fdir mínimo Fdir LIQ Fdir para Q Fdir máximo c. m. ( Q Fdir ) mín. = 0 ( Q ) c. m. = [ 20 (1.00) + 10 (1.00) (1.00) ] = 60. kn Fdir máx. + 00

18 310 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Envotórias de Esforços Cortantes Envotórias de Esforços Cortantes [kn] eção Carga Carga Móve Envotórias Permanente mínimo máximo mínimo máximo A * Besq Bdir C D E Fesq Fdir G * * O esforço cortante devido à carga móve na extremidade ivre do baanço corresponde à carga de 20 kn posicionada sobre esta seção máximos carga permanente mínimos faixa de trabaho Envotórias: Esforços Cortantes [kn] Determinação dos momentos fetores mínimos e máximos da carga móve para M B mínimo B LIM B (carga móve não atuando) para M B máximo ( M ) c. m. B mín. = [ 20 ( 3.00) ( 3.00) ] = kNm c. m. ( M ) 0 B máx. =

19 Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Infuência 311 para M C mínimo C LIM C para M C máximo ( M ) c. m. C mín. = [ 20 ( 2.25) ( 2.25) 3 ( 0.75) ] = kNm. ( M ) m. = [ 20 (2.25) + 10 (1.50) 12 (2.25) ] = 195. knm c máx. + C 00 para M D mínimo D LIM D para M D máximo ( M ) c. m. D mín. = [ 20 ( 1.50) 3 ( 1.50) 3 ( 1.50) ] = kNm. ( M ) m. = [ 20 (3.00) + 10 (1.50) (3.00) ] = 255. knm c máx. + D 00 para M E mínimo E LIM E para M E máximo ( M ) c. m. E mín. = [ 20 ( 2.25) 3 ( 0.75) 3 ( 2.25) ] = kNm. ( M ) m. = [ 20 (2.25) + 10 (1.50) 12 (2.25) ] = 195. knm c máx. + E 00

20 312 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha para M F mínimo (carga móve não atuando) F LIM F para M F máximo ( M ) c. m. F mín. = [ 20 ( 3.00) ( 3.00) ] = kNm c. m. ( M ) 0 F máx. = Envotórias de Momentos Fetores Envotórias de Momento Fetor [knm] eção Carga Carga Móve Envotórias Permanente mínimo máximo mínimo máximo A B C D E F G carga permanente mínimos máximos Envotórias: Momentos Fetores [knm] faixa de trabaho 525