Análise não linear geométrica de sistemas aporticados planos com elementos de rigidez variável aplicações em estruturas de aço e de concreto armado

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1 Universidade Federa de Ouro Preto Escoa de Minas Departamento de Engenharia Civi Programa de Pós Graduação em Engenharia Civi Anáise não inear geométrica de sistemas aporticados panos com eementos de rigidez variáve apicações em estruturas de aço e de concreto armado Iara Souza Ribeiro Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civi da Escoa de Minas da Universidade Federa de Ouro Preto, como parte dos requisitos necessários para obtenção do títuo de Mestre em Engenharia Civi. Orientadores: Prof. Dr. Ing Francisco Céio de Araújo Prof.ª D. Sc. Kátia Inácio da Siva Campus Morro do Cruzeiro Ouro Preto, MG Brasi Setembro, 206

2 R484a Ribeiro, Iara Souza. Anáise não inear geométrica de sistemas aporticados panos com eementos de rigidez variáve [manuscrito]: apicações em estruturas de aço e de concreto armado / Iara Souza Ribeiro f.: i.: coor; grafs; tabs. Orientador: Prof. Dr. Francisco Céio de Araújo. Coorientador: Prof. Dr. Kátia Inácio da Siva. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federa de Ouro Preto. Escoa de Minas. Departamento de Engenharia Civi. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civi. Área de Concentração: Construção Metáica.. Pórticos estruturais. 2. Construções geometricas. 3. Concreto armado. 4. Aço - Estruturas. 5. ABNT - NBR 68. I. Araújo, Francisco Céio de. II. Siva, Kátia Inácio da. III. Universidade Federa de Ouro Preto. IV. Tituo. Cataogação: CDU: 624.0

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4 À minha famíia e aos meus orientadores.

5 Agradecimentos A Deus por sempre guiar meus passos e conceder o equiíbrio entre o amor e o propósito. À minha famíia, meu eterno porto seguro, peo amor, apoio, incentivo e compreensão devido as minhas frequentes ausências. Aos que durante minha jornada estudanti despertaram em mim a sede do conhecimento, em especia aos professores Rosângea de Paiva, Hisashi Inoue, Pauo A. S. Rocha e Kátia Inácio da Siva. Aos professores do PROPEC, por todo ensinamento e dedicação. Aos meus orientadores, Francisco Céio e Kátia, pea amizade, paciência, dedicação, compreensão e companheirismo em todo o período do mestrado. Agradeço também por todo o conhecimento que me foi transmitido para reaização deste trabaho. Ao Rharã peo amor, carinho, dedicação, companheirismo e paciência. Aos meus amigos Jéssica, Rafae, Everton, Marcea, Marko e Ígor, por tornarem mais eve e divertido o dia a dia de estudos. À Tatiane por sempre estar disposta a me ajudar. À Capes peo auxíio financeiro para reaização desta pesquisa.

6 Resumo da Dissertação apresentada como requisito parcia para obtenção do títuo de Mestre em Engenharia Civi. ANÁLISE NÃO LINEAR GEOMÉTRICA DE SISTEMAS APORTICADOS PLANOS COM ELEMENTOS DE RIGIDEZ VARIÁVEL APLICAÇÕES EM ESTRUTURAS DE AÇO E DE CONCRETO ARMADO Iara Souza Ribeiro Setembro/206 Orientadores: Francisco Céio de Araújo Kátia Inácio da Siva O presente trabaho consiste no estudo do comportamento não inear geométrico de sistemas estruturais aporticados panos. Busca se escarecer aspectos pertinentes aos procedimentos normativos à uz de anáises numéricas não ineares com consideração de grandes desocamentos, utiizando se, para tanto, o esquema incrementa iterativo de Newton Raphson com controe de carga, com atuaização da matriz de rigidez a cada iteração e a abordagem corrotaciona. Neste contexto, foi desenvovida uma formuação capaz de modear eementos com seções transversais de formas geométricas arbitrárias e variando genericamente ao ongo do eemento. A vaidação da base computaciona impementada foi feita através da comparação de anáises estruturais reaizadas peo software SAP2000 (203) e, quando pertinente, peo TQS (206). As apicações focam em questões reacionadas ao projeto de estruturas em concreto armado e aço, e na avaiação da estabiidade goba da estrutura. Paavras chave: não inearidade geométrica, pórticos panos, concreto armado, aço, ABNT NBR 68. iii

7 Abstract of Dissertation presented as partia fufiment of the requirements for the degree of Master of Science in Civi Engineering NONLINEAR GEOMETRIC ANALYSIS OF FRAMEWORKS WITH ELEMENTS OF VARIABLE RIGIDITY APPLICATIONS TO STEEL AND REINFORCED CONCRETE STRUCTURES Iara Souza Ribeiro Setembro/206 Advisors: Francisco Céio de Araújo Kátia Inácio da Siva This work consists on the study of geometricay noninear panar frame structures. Among others, one aims at exporing reevant aspects of code-based specifications reated to the noninear behavior of reinforced structures under arge dispacements. For that purpose, a co rotationa approach is incorporated into the Newton Raphson process. Besides, a formuation capabe of modeing eements with non-prismatic cross-sections and rigidity varying aong their axis has aso been deveoped. The vaidation of the computationa code constructed has been carried out by means of comparisons to resuts obtained empoying the SAP2000 (203) and the TQS (206) software. The appications focus on reinforced concrete and stee structures. Keywords: geometricay noninear anaysis, panar frames, reinforced concrete, stee, ABNT NBR 68. iv

8 Sumário. Introdução Contexto e Motivação Objetivos Estrutura da Dissertação Método da Rigidez Direta Formuação Matricia Matriz de rigidez eástica de eemento do pórtico pano (K e ) Matriz de rigidez geométrica de eemento do pórtico pano (K g ) Eementos com rigidez variáve ao ongo do comprimento Determinação das grandezas geométricas Carga Crítica Apicações Parciais Piar de seção retanguar não prismática Viga não prismática submetida à fexo-compressão Anáise Não Linear Geométrica Método de Newton Raphson Descrição Corrotaciona Apicações Parciais Piar com carga excêntrica Pórtico de Lee Considerações Normativas para Anáise Não Linear Geométrica Parâmetro de Instabiidade (α) Coeficiente γ z Apicações Gapão Industria Edifício de Mútipos Andares Concusões v

9 Capítuo Introdução. Contexto e Motivação O estudo e a utiização de novas tecnoogias ou de agumas aternativas tecnoógicas já existentes, mas pouco empregadas, têm sido reaizados com o intuito de proporcionar mehoramentos em questões ambientais e econômicas. Segundo Gonçaves (2003), tornar as estruturas mais econômicas através da redução de seu peso e do consumo de materiais, sem, contudo, diminuir a sua segurança e durabiidade, tem sido o principa objetivo da engenharia estrutura. Com o intuito de atingir essa meta, há um crescimento significativo no emprego de materiais de ata resistência, concomitantemente ao emprego de eementos mais esbetos e com seção variáve (Figura.). Figura. Ponte de concreto armado com piar em seção variáve Fonte: A tecnoogia envovida na produção do concreto sofreu avanços significativos nas útimas décadas proporcionando um expressivo aumento em sua resistência. Era usua o emprego do concreto de resistência entre 5 MPa a 20 MPa, contudo, atuamente, utiiza se 6

10 também concreto de resistências superiores a 50 MPa (Moncayo, 20). Em reação ao aço, cita se o uso de perfis formados através do dobramento a frio de chapas metáicas de aços dúcteis, conhecidos como perfis de chapas dobradas ou perfis formados a frio. Devido ao emprego de tecnoogias desse tipo, observa se a maior incidência de sistemas estruturais mais eves e eementos mais esbetos. O aumento da esbetez dos eementos estruturais é um fator determinante na sua forma de coapso, portanto deve ser considerado no dimensionamento estrutura. Eementos esbetos perdem sua estabiidade através do processo denominado fambagem e podem ruir em virtude da presença de grandes defexões aterais. Sendo assim, no projeto desse tipo de estrutura, devem se utiizar processos que considerem aspectos da instabiidade estrutura do sistema. A perda de estabiidade está intimamente reacionada aos efeitos de segunda ordem, podendo estes ser gobais (P-)ou ocais (P-). No caso de pórticos de edificações, os efeitos P-são aquees decorrentes dos desocamentos horizontais dos nós da estrutura, também denominados efeitos gobais de segunda ordem (Fig..2 b). Ees ocorrem devido às forças verticais apicadas no pórtico associadas aos desocamentos reativos nas extremidades do piar, sendo assim os desocamentos que ocorrem no meio dos vãos dos eementos não são consideradas. Os momentos fetores adicionais associados ao efeito P- são obtidos a partir de equações de equiíbrio, estabeecidas na configuração parciamente deformada do pórtico. Já os efeitos P-δ (Fig..2 c) são referentes a cada eemento individuaizado. Sendo assim os momentos fetores adicionais associados a estes efeitos de segunda ordem são obtidos por equações de equiíbrio escritas nas configurações deformadas dos vários eementos, considerando as forças de compressão axia correspondente a cada um (Sivestre e Camotim, 2007). NBC d NBC H P B C C' B' P D P B' D P C' d NAB d NCD A D A D (a) Configuração deformada (b) Efeito P-D Figura.2: Efeito de segunda ordem em pórtico Adaptada de Sivestre e Camotim (2007) (c) Efeito P-d 7

11 Os procedimentos gerais de anáise e dimensionamento de estruturas em aço e concreto no Brasi são reguamentados peas normas ABNT NBR 8800 (2008) e ABNT NBR 68 (204), respectivamente. As prescrições normativas são baseadas na avaiação de estados imites tais como: estado imite útimo e estado imite de serviço. Particuarmente no caso de estruturas com eementos esbetos, verifica se que os aspectos de não inearidade do sistema são essenciais. Neste contexto, a não inearidade geométrica torna se extremamente importante, dando origem a fenômenos geramente não encontrados em sistemas ineares, como a existência de mútipas configurações de equiíbrio (estáveis e instáveis) e de pontos críticos (imite e bifurcação) ao ongo do caminho não inear de equiíbrio (Pereira, 2002). Outro tipo de não inearidade que também deve ser considerada no dimensionamento estrutura é a não inearidade física, que está associada a fatores como: o comportamento ineástico do materia, caracterizado por uma reação constitutiva não inear; a perda de resistência e rigidez do materia durante o carregamento e as deformações permanentes nos eementos estruturais, também conhecidas como pastificação. Neste caso, ressata se que eementos em concreto armado tipicamente possuem rigidez variáve, essenciamente descrita peo processo de fissuração ao ongo do eemento estrutura (Ghai e Favre, 986; Khuntia e Ghosh, 2004). Nesta dissertação a não inearidade física é considerada de forma aproximada, apenas na anáise de sistemas estruturais em concreto armado, utiizando-se para ta as prescrições da ABN NBR 68 (204). A anáise não inear geométrica é cacuada com base na configuração deformada da estrutura. Ao se considerar também a não inearidade do materia, tem se como consequência a possibiidade de se reaizar o estudo de um sistema estrutura ideaizado que se aproxime mais do probema rea. Aém disso, quando houver a necessidade de se modear eementos não prismáticos, torna se extremamente reevante o desenvovimento e apicação de uma formuação que considere de maneira precisa os efeitos causados pea variação de rigidez. A anáise e o dimensionamento de estruturas reticuadas com eementos de seção variáve vêm sendo estudados desde a década de 50. Beich (952) estudou a fambagem eástica de counas birrotuadas com variação inear e parabóica de atura ao ongo do comprimento. A partir de então, devido à reevância e ao interesse prático na engenharia, esta inha de pesquisa passou a ser o objeto de estudo de diversos pesquisadores. Citam se O Rourke e Zebrowski (977), que forneceram uma soução aproximada para determinação da carga crítica de fambagem de counas birrotuadas ou engastada e ivre com seções não uniformes; Li et a. (2003) que reaizaram uma modeagem ineástica de segunda ordem de 8

12 pórticos de aço com eementos não prismáticos de ama esbeta; Vaipour e Bradford (20), que utiizaram o princípio dos trabahos virtuais e o conceito de interpoação de forças com o objetivo de derivar funções de forma para eementos não prismáticos de pórtico espacia com igações semirrígidas. Para todos os efeitos, na resoução de sistemas, ineares ou não, faz se necessária a utiização de ferramentas computacionais que permitam o emprego de técnicas numéricas mais compexas. No caso de estruturas não ineares, o método iterativo de Newton Raphson (Bathe, 996; Yang e Kuo, 994) é frequentemente utiizado em sua anáise. Quando associado a outras técnicas numéricas, como o controe do comprimento de arco, o método de Newton Raphson possibiita a obtenção da trajetória de equiíbrio competa da estrutura. Essa trajetória descreve a variação do comportamento goba do sistema estrutura à medida que se variam os parâmetros de controe, como a força apicada externa e o desocamento. Através dea pode se, portanto, identificar os possíveis pontos críticos. Esse assunto foi tratado em diversos trabahos como Saffari et a. (203), Pires (202) e Siva (2009). A anáise não inear com base em teorias geometricamente exatas exige o emprego de ferramentas matemáticas mais sofisticadas, que geramente demandam maior tempo computaciona, principamente quando o sistema estrutura é de grande porte. Neste contexto, os processos simpificados de avaiação da estabiidade goba sugeridos peas normas podem, portanto, consideravemente, reduzir o custo computaciona da anáise..2 Objetivos Nesta pesquisa, visa se incuir no programa computaciona NAESY Numerica Anaysis of Engineering Systems uma formuação para a anáise não inear geométrica de pórticos panos capaz de modear eementos com seções transversais de formas geométricas arbitrárias, variando genericamente ao ongo do eemento. Menciona se, sucintamente, que o NAESY, cuja base foi desenvovida por de Araújo (994), compõe se de uma série de móduos computacionais que possibiitam a anáise de probemas de engenharia (estáticos, dinâmicos, ineares e não ineares) via formuações baseadas no Método dos Eementos Finitos (MEF), no Método dos Eementos de Contorno (MEC) e via métodos acopados EF EC e EC EC. Também ressata se que, na pesquisa, serão estudados os procedimentos normativos para a anáise de segunda ordem de estruturas em concreto armado. Para tanto, será feita a comparação entre os resutados obtidos através da formuação não inear geométrica 9

13 corrotaciona com aquees obtidos a partir das diretrizes de cácuos estabeecidas peas normas técnicas..3 Estrutura da Dissertação O presente trabaho é constituído por cinco capítuos. No Capítuo 2 é apresentada a formuação do Método da Rigidez Direta (MRD), a dedução das matrizes de rigidez eástica e geométrica do eemento de pórtico pano e a estratégia utiizada para modear eementos com seções transversais de formas geométricas arbitrárias, variando genericamente ao ongo do eemento. Com objetivo de verificar as matrizes de rigidez, é introduzido o estudo da estabiidade de sistemas estruturais a partir de apicações parciais referentes à obtenção da carga crítica de piares e vigas couna. No Capítuo 3 tem se a formuação utiizada para a anáise não inear geométrica com consideração de grandes desocamentos. Apresentam se duas apicações parciais que consistem em sistemas estruturais frequentemente utiizados na vaidação de formuações não ineares, a saber: o pórtico de Lee e um piar com carga excêntrica. Ainda neste capítuo é apresentada a anáise não inear aproximada de estruturas de concreto armado, segundo as prescrições normativas. No Capítuo 4 são reaizadas apicações que focam em questões reacionadas ao projeto de estruturas em concreto armado e aço, sendo a vaidação da base computaciona impementada feita através de comparações com anáises estruturais reaizadas peos softwares SAP2000 (203) e TQS (206). Por fim, no Capítuo 5, são estabeecidas as concusões e considerações sobre as possíveis futuras pesquisas. 0

14 Capítuo 2 Método da Rigidez Direta Os métodos básicos de anáise estrutura são fundamentados na representação discreta do modeo contínuo (com infinitos graus de iberdade) de um probema rea em termos de um número finito de parâmetros. O probema estrutura estático inear é um probema de vaor de contorno, no qua um conjunto de equações diferenciais deve ser satisfeito em todos os pontos do domínio, respeitando as condições de contorno naturais e essenciais. No caso das estruturas reticuadas, o meio sóido contínuo 3D é reduzido, pea consideração de hipóteses simpificadoras, aos eixos centroidais dos eementos (Martha, 200). Um modeo estrutura, mesmo constituído por eementos reticuados, pode estar sujeito a diferentes níveis de simpificação. No âmbito deste trabaho, serão objeto de estudo os pórticos panos (Figura 2.), que são modeos reticuados formados pea associação de eementos copanares interigados de forma rígida, rotuada ou, mais reaisticamente, com rigidez intermediária (igações semirrígidas). Neste tipo de probema, as forças atuantes e desocamentos encontram se no pano da estrutura, enquanto os momentos e desocamentos anguares (rotações) encontram se em direção norma a este pano. Os esforços internos resutantes em quaquer seção desta estrutura consistem em um momento fetor, uma força cortante e uma força axia. Figura 2. Pórtico pano

15 Neste trabaho, a anáise de sistemas estruturais desse tipo será efetuada via Método da Rigidez Direta (MRD), que consiste em uma formuação matricia de sistemas estruturais baseada em desocamentos, apresentado a seguir. 2. Formuação Matricia No MRD as incógnitas do probema são os desocamentos dos nós do modeo estrutura, os quais, em uma anáise estática, se reacionam com as ações nodais a partir da equação: K u f t (2.) em que K t é a matriz de rigidez tangente da estrutura, f é o vetor de cargas nodais equivaentes, no qua se representa o conjunto de todas as ações externas atuantes no sistema estrutura, e u é o vetor de desocamentos nodais, que envove os desocamentos desconhecidos e prescritos. Para o caso de anáise não inear geométrica, os coeficientes da matriz de rigidez tangente são constituídos por termos ineares (efeitos de ª ordem) e de ordem superior, estes útimos dependentes do processo de deformação da estrutura. Nesta pesquisa, a matriz constitui se de duas partes apenas, que são a matriz de rigidez eástica, K t K e, e a matriz de rigidez geométrica, K g, que essenciamente incui os efeitos, na rigidez, dos esforços internos no eemento estrutura, em certa configuração, em presença do campo de desocamentos correspondente. Sendo assim, pode se reescrever a Equação (2.) na forma: e g K K u = f (2.2) em que é um parâmetro adimensiona associado ao incremento das cargas apicadas na estrutura e, consequentemente, aos esforços axiais em cada eemento. As matrizes de rigidez K e e K g são obtidas através da soma das contribuições de coeficientes de rigidez dos diversos eementos estruturais. Sendo assim, para a obtenção das expressões genéricas dos coeficientes das matrizes de rigidez eástica e geométrica do eemento de pórtico, será utiizada uma formuação baseada no Princípio dos Trabahos Virtuais (PTV). Nos casos em que haja variação das características geométricas e físicas ao ongo do eemento, esses coeficientes serão numericamente cacuados. Essa estratégia 2

16 totamente gera se fundamenta na interpoação direta das características físico geométricas das seções dos eementos e é mostrada a seguir. 2.. Matriz de rigidez eástica de eemento do pórtico pano (K e ) Na formuação em questão, também utiizada por Pereira (205), considera se o eemento reticuado de pórtico pano da Figura 2.2. F20 x' 2 F30 q(x) F0 u 2, f 2 u 5, f 5 u, f u 4, f 4 u 3, f 3 u 6, f 6 x' 3 x 2 x x' x 3 Figura 2.2 Eemento de pórtico pano As equações de equiíbrio para esse eemento são dadas por: Fx f f4 F0 0 Fx 2 f2 f5 F20 0 Fx f 3 3 f6 f2 F30 0 (2.3) em que f i são as ações de engastamento (i =, 6), é o comprimento do eemento, F 0, F 20 F as resutantes devido à ação externa e 30 q x. Apicando se o PTV estabeece se a seguinte equação de compatibiidade de desocamentos: f u = M d + N d Q d i i i i i em que (2.4) u i são os desocamentos incógnitos; d é a rotação fexiona; d corresponde ao desocamento axia e d ao desocamento transversa; M i, N i, e Q i são, respectivamente, o 3

17 momento fetor, a força norma e a força cortante devidos ao estado de carregamento (Figura 2.3) em que fi, ou seja,,, M M f N N f Q Q f (2.5) i i i i i i i i i f 2 f f 5 f 4 f 3 Figura 2.3 Estado de carregamento de um eemento de pórtico pano f 6 A partir das Equações (2.3) e (2.4) é possíve encontrar as expressões dos coeficientes de rigidez nos casos mais gerais de características geométricas de eemento e carregamento. Para tanto, dois casos são considerados: o caso I e o caso II. Caso I: f 2i q(x) f 5i f i f 6i f 4i f 3i Figura 2.4 Eemento de pórtico pano considerado no caso I Neste caso considera se o nó fina (nó direito) como restringido, isto é u4 u5 u6 0 (Figura 2.4). Sendo assim, reescrevendo se as Equações (2.3) e (2.4) na forma matricia obtém se: EII E A 0 IF fii F0 f u u II Fi Ii I 0 (2.6) em que fi f4i ui i EII 0 0, IF 0 0, Ii f 2i, Fi f 5i, Ii u E f f u 2i 2i (2.7) f f u 3i 6i 3i 3i sendo k i o deta de Kronecker, M M N N Q Q u ds ds ds i EI ES GS, (2.8) i 0 i 0 i 0 I 0,, 2,3 4

18 em que E é o móduo de easticidade ongitudina; G o móduo de easticidade transversa; S a área da seção transversa; I o momento de inércia à fexão em reação ao eixo principa oca eχ é o fator de forma da seção para o cisahamento em reação à direção x 2. De forma que:,, M M q N N q Q Q q. (2.9) Os coeficientes da matriz A II resutam da equação: M i M j Ni N j Qi Q j ds ds ds aij fij, i, j, 2, 3 EI ES GS (2.0) para tanto, as expressões de M i, N i, e eemento, f i j, embutida nas funções de esforços internos ( M j, Por fim, a matriz A II é definida a partir de: Q são obtidas considerando se f e a ação no i N j, e i j Q j ), é isoada. dx 0 0 ES 2 x x A II 0 dx dx (2.) EI GS EI x 0 dx dx EI EI Caso II: f 2f ( ) q x f 5f f f f 6f f 4f f 3f Figura 2.5 Eemento de pórtico pano considerado no caso II No caso II, mostrado na Figura 2.5, o nó restringido é o inicia (nó esquerdo), portanto u u2 u3 0. Nessas condições, organizando se matriciamente as Equações (2.3) e (2.4) obtêm se equações semehantes às do caso I, como segue: EII EIF fif F0 f u u 0 A FF Ff Ff F 0 (2.2) sendo: 5

19 f f f4 f u4 f 4 f fif f2 f, Ff f5 f, Ff u f u 5 f 5 f, f 4,5, 6 f 3 f f 6 f u 6i 6 f (2.3) Mi M 0 Ni N 0 Qi Q 0 uf 0 ds ds ds EI ES GS (2.4) de forma que,, M M q N N q Q Q q (2.5) Os coeficientes da submatriz i, j 4, 5, 6 resutando em: A FF são obtidos a partir da Equação (2.0), para dx 0 0 ES 2 x x A FF 0 dx dx (2.6) EI GS EI x 0 dx dx EI EI Impondo se nas Equações (2.6) e (2.2) a condição de u 0 u 0 F 0 0 e considerando os desocamentos nodais prescritos u Ii e u Ff, têm se: I F Ii II Ii Fi II Ii i f A u, f E f,, 2,3 (2.7) Ff FF Ff If II Ff f f A u, f E f, 4, 5, 6 (2.8) Finamente, a matriz de rigidez eástica para o eemento de pórtico pano é dada por: K e f f Ii Fi f f If Ff (2.9) com i, 2,3 e f 4, 5, 6. Nos casos em que o eemento possui rigidez constante, sua matriz de rigidez eástica pode ser escrita como: 6

20 ES ES EI 6EI 2EI 6EI y y y y 6EI 4y EI 6EI 2y EI y y y y Ke ES ES EI 6EI 2EI 6EI y y y y 6EI 2y EI 6EI 4y EI y y y y com 2EI y 2 GS (2.20) 2..2 Matriz de rigidez geométrica de eemento do pórtico pano (K g ) Neste trabaho, a matriz de rigidez geométrica resuta da consideração do momento fetor, do esforço cortante e do norma gerados por cargas axiais e transversais em presença de desocamento atera do eemento. As expressões genéricas de seus coeficientes podem ser derivadas peo mesmo procedimento apresentado anteriormente para determinar os coeficientes da matriz de rigidez eástica, sendo assim, tem se: Caso I: função de desocamento transversa, w(x) f i u 3 u 2 f 4i u f 2i Figura 2.6 Eemento de pórtico pano deformado considerado no caso I i Baseado na Figura 2.6, vê se que o momento fetor adiciona gerado pea carga axia ( f ) pode ser expresso por i i 2 M M ( f ) f w( x) u. (2.2) 7

21 n t Q fi u3 N N2 Q2 f2i Figura 2.7 Decomposição das forças fi e f 2i no eixo deformado Aém disso, pea decomposição das forças f i e f 2i segundo as direções tangente, t, e norma, n, ao eixo deformado (Figura 2.7), há o surgimento de um esforço cortante ( Q ) e de um esforço norma ( N 2 ) adicionais. Sabendo se que a rotação u 3 em um ponto é dada pea derivada primeira da função desocamento, pode se então escrever a equação do referido esforço na forma: i i Q Q f f w x (2.22) ' N N f f u x (2.23) 2 2i i ' em que ( I ) i a e ux é a função que descreve os desocamentos axiais. Incuindo se a contribuição destes esforços em (2.0), as expressões dos coeficientes a, que são os termos da matriz A II reacionados à força axia e cortante, serão, ( I ) i2 então, dadas por ( I ) Mi Qi ai [ u2 w( x )] ds [ w( x )] ds, i, 2,3. EI G S (2.24) ( I ) Ni N2 ai 2 dx, i, 2,3. (2.25) ES De acordo com as Equações (2.24) e (2.25), as expressões de ( I ) 2 a, ( I ) 2 a e ( I ) 3 a são: ( I ) u a2 dx ES (2.26) ( I ) x a2 [ u2 w( x)] dx w( x ) dx EI G S (2.27) 8

22 a w( x ) u. (2.28) EI Aproximando se os desocamentos transversais e axiais dos eementos por funções de ( I ) 2 3 dx interpoação cúbica, w( x ) e u( x ), determinadas de modo a satisfazer as condições de extremidade no caso I, w(0) u2, w(0) u3, w( ) w( ) 0 (2.29) u (0) u, u( ) 0 (2.30) segue: w( x ) 2( x ) u2 3( x ) u3 (2.3) u( x ) ( x ) u (2.32) com x, ( ) x Tem se, portanto, 3 2 x x 2 x 3 2 ( ) 2 3 e 3 2 x x 3( x ) 2 x 2. (2.33) ( I ) ( I ) ( I ) ( I ) ( I ) ( I ) ( I ) ( I ) 2, , a v u a v u v u a v u v u (2.34) sendo ( I ) ( x) v dx ES (2.35) ( I ) x v22 [ 2( x )] dx 2 ( x ) dx EI GS (2.36 a) ( I ) x v23 3( x ) dx 3 ( x ) dx EI GS (2.36 b) ( I ) v32 [ 2 ( x ) ] dx EI (2.37 a) ( I ) 3( x ) v33 dx EI (2.37 b) O sistema de equações para cácuo dos coeficientes da matriz de rigidez geométrica é, portanto, dado por: E E f F II IF Ii fi A II 0 f Fi v II (2.38) sendo 9

23 ( I ) v ( I ) ( I ) v22 v 23 vii 0, F (2.39) ( I ) ( I ) 0 v v 33 Os demais termos serão idênticos àquees definidos na Equação (2.6). Caso II: f 4f f f w(x) u 6 f5f u 5 Figura 2.8 Eemento de pórtico pano deformado considerado no caso II Seguindo o mesmo procedimento descrito acima para o caso I, podem se derivar as expressões correspondentes para avaiação dos coeficientes de rigidez geométrica no caso II (Figura 2.8). O momento fetor adiciona gerado pea carga axia ( f4 f ) é expresso por: 4 4 f 4 f 5 M M ( f ) f u w( x) (2.40) u 4 n f5i t Q5 N5 N4 u6 f4i Q4 Figura 2.9 Decomposição das forças f4 f e f 5 f no eixo deformado ( 5 Assim como na determinação dos esforços Q e N 2, os esforços cortante ( Q 4 ) e norma N ) adicionais referentes ao caso II são obtidos pea decomposição da carga axia ( f 4 f ) e transversa ( f 5 f ) no eixo deformado (Figura 2.9), segundo as equações: Q Q( f ) f w( x) (2.4) 4 4 f 4 f 20

24 N N ( f ) f u( x) (2.42) 5 5 f 5 f Incuindo se a contribuição destas forças na Equação (2.0), as expressões dos coeficientes ( F) f 4 ( F ) a e a, que são componentes da matriz A FF reacionados à força axia e f 5 cortante, são obtidas por: M ( ) f Q F f a f 4 w( x ) u5ds w'( x ) ds, EI GS f 4,5,6 (2.43) N ( ) f N F 5 a f 5 dx, ES f 4,5,6 (2.44) De acordo com as Equações (2.43) e (2.44), as expressões de ( F ) 45 a, ( F ) 54 a e ( F ) 64 a são a u ES ( F ) 45 dx x a w x u dx w x dx EI GS ( F ) 54 ( ) 5 ( ) (2.45) (2.46) a w( x ) u. (2.47) EI ( F ) 5 64 dx Aproximando se os desocamentos transversais e axiais dos eementos por funções de interpoação cúbica, w( x ) e u( x ), determinadas de modo a satisfazer as condições de extremidade no caso II, ou seja, w( ) u, w( ) u, w(0) w(0) 0, u u, u(0) 0 (2.48) resutam as funções de desocamentos, w e u, dada por w( x ) 5( x ) u5 6( x ) u6, (2.49) u ( x ) ( x ) u (2.50) em que 4 4 x 4( x), 2 3 x x 5( x ) e 3 2 x x 6( x ) 2 (2.5) Reescrevendo os coeficientes desocamentos, chega se às equações: ( F) f 5 a e ( F) f 4 a de maneira a tornar expícitos os 2

25 a v u, a v u v u, a v u v u (2.52) ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) com: ( F ) 4 ( x) v44 dx (2.53) ES ( F ) x v55 5( x ) ] dx 5 ( x) dx (2.54 a) EI GS ( F ) x v56 6( x ) dx 6 ( x ) dx (2.54 b) EI GS ( F ) 5( x ) v65 dx (2.55 a) EI ( F ) 6( x) v65 dx (2.55 b) EI O sistema de equações para cácuo dos coeficientes da matriz de rigidez geométrica é dado por: E E f F II IF If 0 f4i 0 AFF fff v FF (2.56) em que ( F ) v ( F ) ( F ) v FF 0 v55 v56 (2.57) ( F ) ( F ) 0 v65 v66 Os demais termos serão idênticos àquees definidos na Equação (2.2). A matriz de rigidez geométrica de eemento, K g, compõe se, portanto, dos termos f Ii, f If, f Fi, f Ff, cacuados a partir de (2.38) e (2.56) e organizados em forma matricia conforme se indica na Equação (2.9). Para o caso particuar em que o eemento possui rigidez constante, K g é dada por: 22

26 K g f f f 5 y 6 f f 5 4 y 6 f y y y y f 5 8 f y f4 f4 y y y y y f f f y f f 4 y f y y y y f f y f f4 y y 2 0 y 60 y y (2.58) 2EI com y 2 GS É importante ressatar que f e f 4 são, respectivamente, as forças normais resutantes nos nós inicia e fina de cada eemento, não sendo necessariamente iguais (vide Figura 2.0). f f4 Figura 2.0 Forças axiais no eemento 2..3 Eementos com rigidez variáve ao ongo do comprimento Um dos objetivos da formuação proposta neste trabaho é criar opções de modeagem de eementos com rigidez variáve. Logo, com esse fim, apresenta se abaixo a generaização dessa estratégia para os casos em que a rigidez dos eementos estruturais reticuados varie segundo eis quaisquer. Particuarmente, consideram se os seguintes tipos de eis de variação de rigidez (aém da constante): inear, parabóica, cúbica e quártica. matrizes Como no caso gera de variação de rigidez, as integrais que compõem as expressões das A II, A FF, v II e v FF não podem ser avaiadas anaiticamente, torna se imprescindíve a consideração de um esquema de integração numérica. No âmbito deste trabaho foi utiizado o processo de integração Gauss Legendre (Bathe, 996), no qua a integra é substituída por um somatório do vaor da função avaiada em certos pontos amostrais do intervao de integração e ponderada peos respectivos pesos. Apicando se esse processo às expressões dos coeficientes a ij e v ij, escreve se: 23

27 npg ij ij ( ) ( ) [ ( )] ij ij k k 2 (2.59a) k= npg a = g x dx g x J d g x v = h ( x) dx h x J ( ) d h [ x( )] (2.59 b) ij ij ij ij k k 2 k= em que os integrandos, gij ( x ) e hij ( x ), reacionam se, respectivamente, com os coeficientes a ij e v ij ; k é a abscissa do k ésimo ponto de integração; k é o fator de pesagem correspondente e npg é o número de pontos de integração. Na Figura 2., apresentam se as funções de interpoação (inear, parabóica, cúbica e quártica) adotadas neste trabaho para aproximação da variação de rigidez dos eementos. Note se que essas funções são convenientemente mapeadas no intervao das coordenadas naturais,, já que assim podem ser prontamente consideradas na quadratura de Gauss Legendre (Equações 2.59). 0.8 H H H H2 H3 H () H () H H (a) º grau H H 2 H3 2 2 (b) 2º grau H () H H2 H3 H4 H() H H2 H3 H4 H H 2 H H2 H (c) 3º grau Figura 2. Funções de interpoação H H H5 6 4 (d) 4º grau H H 24

28 2..4 Determinação das grandezas geométricas Para o cácuo das rigidezes, é necessário o conhecimento de agumas grandezas geométricas da seção transversa como a área (S), fator de forma () e inércia (I). No referido programa, considera se a bibioteca de seções apresentada na Tabea 2.. Seção Tabea 2. Bibioteca de seções disponíveis no programa Descrição Fator de forma ao cisahamento h Seção retanguar Força cisahante paraea às bordas 6 S 5 bd b b f t w d Seção I Força cisahante paraea ao fange 3 S t b 5 f f t f t f d b f Seção I Força cisahante paraea à ama S t d w t w D e r t Seção tubuar de parede fina Força cisahante S r t D Seção circuar Força cisahante 0 9 t d b Seção retanguar tubuar de parede fina Força cisahante paraea à direção d 2 S t d yt yb y y b(y) cg dn n x Seção genérica Força cisahante paraea à direção y yt yb I 2 x Q²( y) dy b( y) 25

29 Ressata se que as propriedades das seções usuais incorporadas ao programa computaciona (retanguar, I, H, circuar, tubuar circuar, tubuar retanguar) são cacuadas anaiticamente. No caso, porém, da modeagem de seções arbitrárias, as suas propriedades geométricas são cacuadas por uma formuação baseada em integrais de contorno. As expressões básicas utiizadas para esse cácuo são dadas peas reações abaixo, em termos das grandezas mostradas na Figura 2.2. y c z O y z c C t(x) x n(x) x ( x, y) xc xz t(x) dy yz dx n(x) n x d n y Figura 2.2 Seção transversa genérica e o detahe do contorno Fonte: Pereira, 205 ( x) S d d x x d x n (2.60 a) 2 2 ( x y ) 2 Ix y d d x y nxd x ( x y) x c x d d x y x S d S x S n (2.60 b) (2.60 c) ( x y) y c y d d x y x S d S x S n (2.60 d) em que x e y são a abscissa e a ordenada do ponto noda, respectivamente. É importante ressatar que as expressões 2.60 são facimente obtidas apicando o Teorema de Green. Maiores detahes podem ser encontrados em Hiessheim (203). 2.2 Carga Crítica Ao ongo do caminho não inear de equiíbrio, as configurações de equiíbrio podem sofrer mudanças de caráter quaitativo no que se refere a sua estabiidade. Essas mudanças estão associadas aos pontos críticos que podem ser pontos de bifurcação ou pontos imites. Nesses 26

30 pontos, a tangente ao caminho não inear de equiíbrio é nua, como mostra a Figura 2.3 (Gonçaves, 2003). p Pcr det (Kt) = 0 Figura 2.3 Ponto crítico na trajetória de equiíbrio u Neste contexto, a obtenção da carga crítica não necessita de uma anáise estrutura competa, mas apenas da determinação dos vaores de carga para os quais o determinante da matriz de rigidez se anua. O procedimento utiizado para o cácuo é a redução do probema descrito pea Equação (2.2) em um probema de autovaor, mostrado a seguir: e g K K u = 0 (2.6) Para a resoução da Equação (2.6) foram utiizadas as rotinas computacionais do pacote LAPACK (Linear Agebra Package) disponíveis ivremente na internet através do site Apicações Parciais Nesta seção apresentam se agumas apicações parciais referentes ao cácuo de cargas críticas de counas e vigas couna com eementos não prismáticos. Essas apicações visam vaidar a formuação para obtenção das matrizes de rigidez impementada no programa NAESY. Neste contexto, para fins de comparação, utiizou se o software SAP2000 (203) e, quando pertinente, a modeagem dos probemas com a estratégia de variação discreta, denominada como variação em sato, na qua a mudança da seção é simuada utiizando se vários eementos de seção constante. 27

31 2.3. Piar de seção retanguar não prismática Nesta apicação determina se a carga crítica do piar de concreto de seção retanguar, com atura variando inearmente ao ongo do comprimento, apresentado na Figura 2.4. As propriedades físicas e geométricas do piar são: = 6 m, h i = 0,40 m, h f = 0,20 m, b = 0,5 m, E = 2 GPa e ν = 0,2. hf h b Figura 2.4 Piar não prismático e propriedades hi Diferentes condições de apoio e discretizações do piar foram consideradas na anáise, como mostram as Figuras 2.5 e 2.6, respectivamente. (a) (b) (c) (d) 3 e. 6 e. 9 e. 2 e. Figura 2.5 Condições de contorno essenciais Figura 2.6 Discretizações utiizadas Utiizaram se, iniciamente, as opções de variação inear de atura e variação cúbica de inércia. Visando a vaidação dos resutados, este exempo foi também anaisado via SAP2000 (203), considerando variação cúbica de inércia e a discretização da couna em 5 eementos. Como vê se nas Tabeas 2.2 e 2.3, os resutados obtidos peo programa NAESY e peo SAP2000 (203) apresentam boa concordância, vaidando, portanto, a matriz de rigidez geométrica impementada. Verifica se também que as cargas críticas determinadas considerando variação cúbica de inércia foram coincidentes com as obtidas considerando variação inear da atura. 28

32 Condições de contorno Tabea 2.2 Carga crítica obtida com variação inear da atura NAESY (kn) SAP2000 (kn) 3 e. 6 e. 9 e. 2 e. Erro (%) (2 e. resp. SAP2000) (a) 576, , , ,99 622,203 6,06 (b).508,50.649,64.670,02.675,68.683,5 0,445 (c) 2.940, , , , ,29 0,476 (d) , , , , ,435 0,65 Condições de contorno Tabea 2.3 Carga crítica obtida com variação cúbica da inércia NAESY (kn) SAP2000 (kn) 3 e. 6 e. 9 e. 2 e. Erro (%) (2 e. resp. SAP2000) (a) 576, ,57 653, ,92 622,203 6,062 (b).508, ,63.670,00.675,65.683,5 0,446 (c) 2.940, , , ,0 3.39,29 0,475 (d) 7.337, , , ,435 0,647 Por fim, com o objetivo de testar as diferentes possibiidades de modeagem de variação de rigidez disponíveis no NAESY, avaiou se a carga crítica do piar, com a condição de contorno engastado ivre e a discretização em 2 eementos, considerando se variação inear, parabóica e cúbica de inércia. A partir dos resutados mostrados na Tabea 2.4, observa se uma grande sensibiidade na modeagem de eementos não prismáticos. Consequentemente, vê se o quão reevante é a etapa de determinação do tipo de variação para que o modeo simpificado se aproxime do modeo rea da estrutura e proporcione a obtenção de resutados mais precisos. Tabea 2.4 Carga crítica obtida para diferentes variações da inércia Modeagem NAESY Carga Crítica (kn) SAP2000 Erro (%) Variação inear 794,22 770,764 3,043 Variação parabóica 626,899 66,537 5,236 Variação cúbica 659,92 622,283 6,062 29

33 2.3.2 Viga não prismática submetida à fexo-compressão A segunda apicação consiste na determinação do fator de carga crítica, da viga couna bi apoiada com comprimento = 2 m, submetida à carga axia P x = 00 kn e ao momento fetor M y = 2000 kn.m, mostrada na Figura 2.7. My My Px My My Px (a) Carregamento Figura 2.7 Viga couna (b) Carregamento crítico As propriedades físicas da viga são: móduo de easticidade E = 205 GPa e coeficiente de Poisson ν = 0,3. Foram considerados diferentes tipos de peças não prismáticas (Figura 2.8) cujas propriedades geométricas constam na Tabea 2.5. Ressata se que a peça da Figura 2.8.f consiste de uma seção incomum, considerada especiamente de modo a testar o móduo do programa NAESY que cacua propriedades de seções por meio de integrais de contorno. Comenta se, neste útimo exempo, em particuar, que o processo de geração do modeo de anáise com o SAP2000 (203) foi especiamente compicado, já que para uma aproximação mais conveniente da geometria desse eemento, 3 seções especiais tiveram que ser criadas. Nas anáises via NAESY e SAP2000 (203) adotou se na modeagem da seção não prismática a opção de variação cúbica de inércia e também a variação da seção em sato, com 20 eementos constantes. A comparação dos resutados obtidos para o fator de carga, λ, são mostrados na Tabea 2.4. Menciona se que os vaores entre parênteses, abaixo dos resutados referentes ao NAESY e ao SAP2000 (203), correspondem aos erros reativos à resposta da modeagem em sato, a qua foi coincidente para os dois programas computacionais. Novamente verifica se que os resutados obtidos através das diferentes modeagens apresentam boa correação. 30

34 (a ) (b ) (c) (d ) (e) Figura 2.8 Tipos de eementos (f) Tabea 2.5 Propriedades geométricas das peças da Figura 2.8 Tipo Seção Propriedades geométricas da seção (m) Seção inicia Seção fina (a) b h h i = 0,00 b i = 0,050 h f = 0,050 b f = 0,00 (b) D D i = 0,60 D f = 0,080 (c) tw b tf d b i = 0,30 d i = 0,5 t f = 0,02 t w = 0,05 b f = 0,5 d f = 0,30 t f = 0,02 t w = 0,05 De D ext i = 0,60 D ext f = 0,80 (d) t t = 0,00 t = 0,00 t h i = 0,00 h f = 0,050 (e) d b b i = 0,050 t = 0,00 b f = 0,00 t = 0,00 b h i = 0,00 h f = 0,050 (f) n h b i = 0,050 n i = 0,00 b f = 0,00 n f = 0,050 3

35 Seção N de eementos (a) 3 (b) 6 (c) 3 (d) 6 (e) 3 (f) 3 NAESY (λ),32 (7,44%) 38,99 (3,35%) 387,7 (3,63%) 2,68 (2,25%) 8,42 (2,43%) 8,86 (0,48%) Tabea 2.4 Fator de carga (λ) SAP2000 (λ) 0,72 (2,35%) 43,29 (7,3%) 376,64 (6,38%) 22,25 (0,32%) 8,05 (6,72%) 8,74 (0,6%) SALTO (NAESY, 20 e.) Erro NAESY SAP2000 (%) 2,23 5,30 40,34 9,93 402,30 2,86 22,8 2,56 8,63 4,39 8,77 0,64 32

36 Capítuo 3 Anáise Não Linear Geométrica A anáise competa de um sistema estrutura consiste na determinação dos seus desocamentos, esforços e reações de apoio quando submetido a ações externas soicitantes. Sendo assim, para se proceder a essa anáise a partir da formuação apresentada, a Equação 2. ou 2.2, reescritas a seguir, deve ser resovida para os desocamentos nodais u. K u f, ou (3.) t K K u = f. e g (3.2) A partir dos desocamentos podem se determinar os esforços internos nos eementos, bem como as reações de apoio da estrutura. Contudo, os eementos da matriz de rigidez tangente, K t, não podem ser cacuados antes que os esforços axiais em cada eemento sejam conhecidos, pois são funções das incógnitas do probema (u). Sendo assim, torna se necessário o uso de um processo de soução incrementa iterativo. No presente trabaho o método iterativo utiizado para resover o sistema não inear de equações é o procedimento de Newton Raphson. Esse método é um dos processos iterativos mais ampamente utiizados na resoução de sistemas de equações não ineares. Nee as ações externas, sob as quais o sistema estrutura é submetido, são mantidas constantes ao ongo de cada passo do processo incrementa, por isso ee também é conhecido como método do controe de cargas (Yang e Kuo, 994). Deve se, no entanto, mencionar que apesar de sua eficiência, o método de Newton Raphson com controe de carga não é capaz de descrever competamente a trajetória de equiíbrio nos casos em que nesta surgem pontos imites, ou seja, quando a matriz de rigidez é singuar. Para contornar essa imitação, outras técnicas iterativas, como o controe do comprimento de arco, podem ser associadas ao referido método para obtenção da trajetória de equiíbrio competa da estrutura. Esse assunto foi tratado em diversos trabahos como Saffari et a. (203), Pires (202) e Siva (2009). 33

37 Apesar da reevância do estudo do comportamento pós-crítico, neste trabaho foi considerado apenas o Método de Newton Raphson padrão (fu Newton Raphson), com matriz atuaizada em cada iteração, cuja formuação é apresentada a seguir. 3. Método de Newton Raphson Para impementação do método de Newton Raphson no programa NAESY, foi utiizada a formuação apresentada por Yang e Kuo (994). Em reação à notação utiizada, cita se que o processo de deformação do sistema estrutura é descrito em três configurações: a configuração inicia indeformada (C 0 ), a útima configuração cacuada (C ) e a configuração corrente desconhecida (C 2 ). As grandezas determinadas no processo incrementa e no iterativo serão distinguidas por serem precedidas por e, respectivamente. Cabe ressatar, também, que os contadores, superescritos (i) à direita das variáveis, se referem ao passo de carga, enquanto os subscritos à direita (j) indicam o número da iteração. O sistema de equações não ineares no i ésimo passo de carga e na j ésima iteração pode ser descrito na forma: i i i i j j j j K u p f, (3.3) em que i u j representa o desocamento, p ij é o vetor de ações externas sob o qua a estrutura i está submetida na j ésima iteração e f j, as forças internas da iteração anterior. As condições iniciais que regem o sistema (3.3) são: i i i i i i 0, 0, 0 K K f f u u, (3.4) nas quais o subscrito denota a útima iteração. i O vetor de cargas externas da j ésima iteração, p j, pode ser determinado pea soma do i i vetor de cargas externas da iteração anterior, p j, com o vetor incremento de cargas, jp ˆ, resutante da mutipicação do vetor de cargas de referência, ˆp, peo fator de cargas, seja: i j, ou i i i j j j ˆ p p p (3.5) Resovendo a Equação (3.3) para o incremento de desocamento, o desocamento tota, i u j, pode ser obtido, como segue: 34

38 i i i j j j u u u (3.6) i O vetor dos resíduos de forças, r j, também referido como gradiente de forças, resuta i i da diferença entre as forças externas, p j, e as forças internas, f j. A partir desse preceito, a Equação (3.3) pode ser escrita na forma: K u pˆ r (3.7) i i i i j j j j ou ainda, segundo Batoz e Dhatt (979) i j ˆ j ˆ K u p (3.8) i K u i r (3.9) j j j Por associação, pode se escrever: i i u uˆ u. (3.0) j j j j Até então, a formuação incrementa iterativa foi descrita de forma gera. No entanto, a fim de se particuarizar o processo acima no procedimento de Newton Raphson, faz se a seguinte observação, já reatada anteriormente, que no referido método, o vetor de ações externas é incrementado a cada passo de carga (apenas na primeira iteração). Sendo assim, i para as demais iterações dentro do passo de carga, o fator j é nuo. Para mehor entendimento do processo impementado, pode se observar o fuxograma apresentado na Figura 3.. Através deste é possíve verificar que a rotina de soução não inear começa com o conhecimento prévio de agumas grandezas, a saber: a matriz de rigidez inicia, K 0, cacuada na configuração indeformada da estrutura; o vetor de forças externas de referência, ˆp ; o fator de carga, ; a toerância para se determinar a convergência do processo iterativo, to, e o número de passos de carga, numpc. A rotina então procede para a montagem do primeiro vetor de forças externas, dando início ao primeiro passo do oop incrementa ( i ). Em seguida, o fuxo do agoritmo entra no oop iterativo, o qua busca encontrar a configuração deformada de equiíbrio do sistema estrutura, em que as forças internas se iguaem às externas segundo a toerância definida. Até que se atinja este objetivo, a rotina impementada passa, a cada iteração, peos seguintes cácuos intermediários: p, 35

39 . Determinação da correção de desocamentos, u, pea soução de K i u ˆ p ˆ, e posterior mutipicação peo fator de carga,, se j, ou pea soução direta de K i j u r se j ; 2. Decomposição de u em suas parceas u n (desocamentos naturais) e (desocamentos de corpo rígido) utiizando a abordagem corrotaciona, apicada ocamente em cada eemento; 3. Cácuo da correção de esforços internos associados a u n para cada eemento; 4. Atuaização das coordenadas; 5. Atuaização da matriz de rigidez tangente K i i j K ; j i i i 6. Cácuo do vetor de forças internas f j f j f j ; i i i 7. Determinação do gradiente de forças através da equação r p f ; j j j j u r 8. Cácuo da norma reativa e verificação da toerância r p i j to. Parâmetros iniciais K ˆ 0 p to numpc Sim Processo Incrementa i, numpc r p f i i i j j j r p i j to p p p i i i ˆ j j j i i i u u u j Não f f f i i i j j j K i j K i j Processo Iterativo j Níve de eemento (oca) j? Não 0 K u r i j Sim const. i ˆ j ˆ K u p Atuaização coordenadas Cácuo dos esforços u u u Figura 3. Fuxograma do Método de Newton Raphson padrão n r u ˆ u Para mehor entendimento do processo, a Figura 3.2 mostra de forma gráfica a formuação descrita no fuxograma anterior. 36

40 Força externa u 2 u 2 p Trajetória de equiíbrio ˆp p Ponto de equiíbrio Força interna f i j ˆp Gradiente de forças r i j Força externa do incremento p i Rigidez tangente K i j 2 u 2 u 2 2 u 3 Desocamento u 3 u 2 u Figura 3.2 Método de Newton Raphson padrão Aguns pontos dessa estratégia merecem especia atenção. Primeiramente, cita se que a atuaização das coordenadas é feita, a cada iteração, a partir da correção dos desocamentos u, e posteriormente, com as coordenadas atuaizadas, procede se à atuaização da matriz de rigidez tangente. Ressata se, também, que para a avaiação do vetor de forças internas, utiizaram se somente os incrementos de desocamentos naturais, u n. A decomposição dos desocamentos, como mencionado acima, consiste na denominada abordagem corrotaciona, a qua é descrita a seguir. 3.2 Descrição Corrotaciona Na anáise não inear incrementa iterativa impementada é necessário se conhecer as forças nos eementos em cada iteração do processo, tanto para a determinação da matriz de rigidez geométrica, K g, como para a obtenção do vetor de forças internas, f, e cácuo do vetor de forças desequiibradas, r. Com esta finaidade, o vetor correção de forças internas, i f j, de cada iteração é obtido utiizando se a correção dos desocamentos naturais, u n. 37

41 As componentes do vetor de desocamentos naturais, u n, responsáveis pea deformação do eemento, são obtidas excuindo se os desocamentos de corpo rígido, u r, do vetor desocamentos, u, e constam em duas rotações naturais nos nós do eemento, a e b, e uma deformação natura, u b, isto é: T n 0 0 a ub 0 b u. (3.) Menciona se que para ta dedução, considera se que os desocamentos de corpo rígido ocorrem previamente aos naturais. Um esquema da configuração deformada C 2 em reação à configuração C é mostrado na Figura 3.3. Y L u b C 2 2y a b B y 2x x u, y v b b b b A xa ua, ya va r x y A x, a y a L C B xb, yb x A C0 B X Figura 3.3 Desocamentos naturais Como dito anteriormente, podem ser escritas como: θ θ a a r a e b denotam as rotações naturais dos nós do eemento e r θ, (3.2) r θ, (3.3) b b r em que r a e r b representam os incrementos de rotação gerados em cada passo do processo incrementa. Como pode ser observado na Figura 3.3, a rotação de corpo rígido θ r é facimente determinada por trigonometria, como segue: 38

42 , (3.4) θr arctan y x sendo x e y as projeções do comprimento do eemento em C 2 ao ongo dos eixos x e y, respectivamente, isto é, x L ub ua (3.5) y v v (3.6) b a em que L corresponde ao comprimento da viga em C, u a e u b são os desocamentos horizontais dos nós inicia (A) e fina (B) do eemento, e verticais em A e B, respectivamente. A deformação natura, v a e v b são os desocamentos u b, pode ser cacuada como sugerido por Beytschko e Hsieh (973). Primeiramente, define se a equação que descreve o comprimento do eemento na configuração C 2 como 2 2 b a b a 2 2 L L u u v v (3.7) que pode ser reorganizada na forma L L 2 L ub ua ub ua vb va. (3.8) Tomando como base a definição de deformação natura, sabe se que diferença entre os comprimentos do eemento nas configurações C 2 e C, em que: u b resuta da U L u u u u v v L L 2 2 b 2 2 b a b a b a (3.9) Para o caso em que o incremento de deformação entre as configurações é pequeno, o comprimento do eemento em C 2 pode ser considerado igua ao em C, ou seja, 2 L L. Sendo assim, pode se aproximar a Equação (3.9) por 2 2 U 2 b L u 2 b u a u b u a v b v L a (3.20) Aternativamente, e de forma mais simpes, pode se determinar também os desocamentos de corpo rígido como: 39

43 u T r ua va r ua va r L r. (3.2) 3.3 Apicações Parciais A fim de se verificar a formuação apresentada neste capítuo, foram reaizadas duas apicações frequentemente usadas para vaidar formuações de eementos finitos e estratégias de soução não inear, a saber: uma couna engastada ivre submetida à carga excêntrica e o pórtico de Lee. Aém de ser reproduzido com as características físicas e geométricas originais, o pórtico de Lee foi modificado de forma a incuir em seu piar o eemento de seção variáve, importante objeto de estudo do presente trabaho. Nesse caso, para fins de comparação, o exempo também foi anaisado via SAP2000 (203) Piar com carga excêntrica Nesta apicação tem se a anáise não inear do piar engastado ivre com carga excêntrica apresentado na Figura 3.4. As propriedades físicas e geométricas do piar são: comprimento 2 2 L= m, área S 0 m, inércia I = 0 5 m 4, fator de forma χ =, móduo de easticidade E = 0 7 kn/m 2 e coeficiente de Poisson υ = 0,3. ux P,uy 0,00PL L Figura 3.4 Piar com carga excêntrica Figura 3.5 Piar discretizado Para a anáise não inear nos programas NAESY e SAP2000 (203) o piar foi discretizado em 0 eementos (Figura 3.5) e considerou se uma carga P = 5000 kn, dividida em 0000 passos de carga, e to = 0 8. Adotou se um número tão grande de passos de cargas 40

44 para que o NAESY conseguisse reproduzir a trajetória mesmo em pontos em que a matriz de rigidez geométrica se aproximasse de uma matriz singuar. As respostas obtidas também foram comparadas com as obtidas por Southwe (94). No gráfico da Figura 3.6 mostram se os resutados para o desocamento horizonta do nó do piar e pode se observar que os mesmos foram bastante próximos. Menciona se ainda, que os resutados de Southwe (94) ficaram entre a soução do NAESY (inha vermeha) e do SAP2000 (203) (inha azu) NAESY SAP2000 Southwe (94) P (kn) u x u (m) x Figura 3.6 Trajetória de equiíbrio desocamento horizonta do nó Pórtico de Lee O probema anaisado nesta seção, conhecido como Pórtico de Lee (Figura 3.7) foi primeiramente estudado e resovido anaiticamente por Lee et a. (968). Posteriormente, essa estrutura foi anaisada numericamente por vários autores como Schweizerhof e Wriggers (986), Pacoste e Eriksson (997), Gavão (2004) e Siva (2009). 4

45 0,24 m P = kn,20 m,20 m Figura 3.7 Pórtico de Lee O pórtico é composto por um piar e uma viga de comprimento L =,20 m e seção transversa com área S = 6 cm 2, inércia I = 2 cm 4 e fator de forma χ =,2. As propriedades físicas do materia são: móduo de easticidade E = 720 kn/cm 2 e coeficiente de Poisson υ = 0,3. O sistema estrutura está submetido ao carregamento de P = kn apicado à 24 cm do nó da extremidade esquerda da viga. Para as anáises, o modeo estrutura foi discretizado em 20 eementos (0 eementos pertencentes ao piar e 0 à viga), o carregamento foi dividido em 00 passos de carga (numpc = 00) e utiizou se to = 0 6 para verificação da convergência. Para fins de comparação, o exempo também foi resovido via programa SAP2000 (203). Os resutados obtidos por ambos os programas foram comparados com os apresentados por Schweizerhof e Wriggers (986). Nas Figuras 3.8, 3.9 e 3.0 mostram se a trajetória de equiíbrio dos desocamentos horizonta e vertica do nó 3 e da rotação do nó 6. Pode se observar que a formuação impementada no NAESY mostrou bons resutados quando comparada com as respostas do SAP2000 (203) e da referência (Schweizerhof e Wriggers, 986). 42

46 NAESY SAP2000 Schweizerhof e Wriggers (986) P (N) u x u (m) x Figura 3.8 Trajetória de equiíbrio desocamento horizonta do nó NAESY SAP2000 Schweizerhof e Wriggers (986) P (N) u y u y (m) Figura 3.9 Trajetória de equiíbrio desocamento vertica do nó NAESY SAP P (N) 400 r z r z (rad) Figura 3.0 Trajetória de equiíbrio rotação do nó 6 43

47 Em uma segunda anáise aterou se a geometria das seções transversais do pórtico. Neste modeo, a viga tem seção transversa retanguar com atura h = 2 cm e base b = 3 cm, enquanto o piar possui seção transversa com geometria arbitrária, cujos parâmetros variam inearmente ao ongo do comprimento (Figura 3.). As dimensões da seção inicia e fina são mostradas na Figura 3.2 e na Tabea 3.. As propriedades físicas, as condições de contorno e o carregamento do probema origina foram mantidos. hint h ht bint b Figura 3. Piar de seção arbitrária variáve Figura 3.2 Seção transversa do piar Tabea 3. Variação nas dimensões da seção h (cm) ht (cm) b (cm) hint (cm) bint (cm) seção inicia 3,0,0 4,0 3,0 2,5 seção fina,0 0,5,0,0 0,5 O eemento de seção variáve foi modeado considerando se variação cúbica da inércia e adotaram se a mesma discretização (20 eementos, sendo 0 dees pertencentes à viga e 0 ao piar) e os mesmos parâmetros para reaização da anáise não inear (numpc = 00, to = 0 6 ). Para fins de comparação, foi reaizada também uma anáise, no NAESY, considerando o piar construído por 20 eementos variando em sato. Nos gráficos das Figuras 3.3 e 3.4 têm se a trajetória de equiíbrio do desocamento horizonta do nó 3 e da rotação do nó 9, respectivamente. Novamente, os resutados obtidos via NAESY e SAP2000 (203) foram muito próximos. Ressata-se que os resutados do NAESY considerando variação cúbica e em sato foram quase coincidentes, comprovando, portanto, a eficiência da formuação não inear e da estratégia de modeagem de eementos não prismáticos apresentada. 44

48 NAESY SAP2000 SALTO P (N) u x u x (m) Figura 3.3 Trajetória de equiíbrio desocamento horizonta do nó 3 NAESY SAP2000 SALTO 600 P (N) 400 r z r (rad) y Figura 3.4 Trajetória de equiíbrio Rotação do nó Considerações Normativas para Anáise Não Linear Geométrica A anáise não inear com base em teorias geometricamente exatas exige o emprego de ferramentas matemáticas mais sofisticadas, que geramente demandam maior tempo computaciona, principamente quando o sistema estrutura é de grande porte. Neste contexto, os processos simpificados de avaiação da estabiidade goba sugeridos peas normas podem agiizar essa anáise, reduzindo, portanto, o gasto computaciona. Sendo assim, o presente trabaho, aborda também a anáise não inear geométrica simpificada para estruturas de concreto armado, prescrita na ABNT NBR 68 (204). 45

49 Para criar condições mais simpes de cácuo, a ABNT NBR 68 (204) prescreve que a consideração dos efeitos de segunda ordem em uma anáise estrutura depende do tipo de estrutura que será anaisada, podendo esta ser cassificada como de nós fixos ou de nós móveis. No item da ABNT NBR 68 (204), as estruturas de nós fixos são definidas como aqueas nas quais os desocamentos horizontais dos nós são pequenos, consequentemente os efeitos gobais de segunda ordem são desprezíveis, o que, em termos quantitativos, expressam se, em gera, como inferiores a 0% dos respectivos esforços de primeira ordem. Em contrapartida, as estruturas de nós móveis são aqueas em que os desocamentos horizontais não são pequenos, de maneira que os efeitos gobais de segunda ordem tornam se reevantes. Nessas estruturas devem ser obrigatoriamente considerados tanto os esforços de segunda ordem gobais como os ocais. A cassificação da estrutura como de nós fixos ou de nós móveis pode ser feita com base no parâmetro de instabiidade ou no coeficiente z definidos peas normas técnicas Parâmetro de Instabiidade (α) O parâmetro de instabiidade foi ideaizado por Beck e König, em 967, ao estabeecerem um critério que determinasse se os efeitos de segunda ordem poderiam ser desprezados quando não representassem acréscimo superior a 0% em reação aos efeitos de primeira ordem. Em 978, esse critério passou a fazer parte das recomendações do Comité Euro Internationa du Béton (Código Modeo CEB FIP, 978) e em 2003 foi incorporado à ABNT NBR 68 (204) (Ewanger, 202). O parâmetro α é capaz de cassificar a estrutura quanto a sua estabiidade goba, porém não é possíve, através dee, se estimar os efeitos de segunda ordem. Ee é cacuado utiizando se a equação N k Htot, (3.22) Ecs Ic em que H tot é a atura tota da estrutura medida a partir do topo da fundação ou de um níve pouco desocáve do subsoo; do níve considerado para o cácuo de N k é o somatório de todas as cargas verticais atuantes (a partir H tot ) com seu vaor característico, e Ecs I c representa o somatório dos vaores de rigidez de todos os piares na direção considerada, que no caso de 46

50 estruturas de pórticos, treiças ou mistas, pode ser considerado o vaor da expressão um piar equivaente de seção constante. atura Ecs I c de O piar equivaente a um sistema estrutura consiste em um piar engastado e ivre, de H tot e seção constante ta que, submetido a cargas horizontais, apresente os mesmos desocamentos em seu topo que os medidos no topo da estrutura considerada quando sujeita ao mesmo carregamento (Figura 3.5), ou seja, o piar equivaente possui a mesma rigidez fexiona que a estrutura considerada. F est piar Htot Htot Figura 3.5 Pórtico pano e piar com rigidez equivaente Para fins de simpificação, a rigidez, EcsI c, de um piar equivaente pode ser determinada com base na consideração de uma carga horizonta, F, no topo do edifício. Neste caso, a rigidez do piar equivaente pode ser cacuada a partir da expressão básica 3 tot F H Ecs Ic, (3.23) piar 3 est em que δ est corresponde ao desocamento no topo da estrutura em estudo. Ressata se que o vaor de I c deve ser cacuado considerando se as seções brutas dos piares e deve se utiizar nos cácuos o móduo de easticidade secante ( E cs ), cacuado da seguinte forma (item ABNT NBR 68, 204): E E, (3.24) cs i ci sendo fck i 0,8 0, 2, 0, (3.25) 80 47

51 com E ci sendo o móduo de easticidade do concreto e f ck a resistência do concreto à compressão. Para concretos cuja resistência à compressão varie entre 20 MPa e 50 MPa, o móduo de easticidade, E E ci, pode ser cacuado por 5600 f, (3.26) ci E ck sendo e E um parâmetro que depende do tipo de agregado utiizado na fabricação do concreto E ci e f ck são dados em megapasca (MPa). O parâmetro de instabiidade é comparado com um vaor imite,, reacionado com o número de andares do sistema estrutura, n, como segue: 0, 2 0, n ; se n 3 (3.27 a) 0,6 ; se n 4 (3.27 b) O vaor de estipuado na Equação (3.27b) normamente é adotado no caso das estruturas usuais de edifícios. Pode ser considerado também, e é até mais indicado, em casos de associações de piares parede e para pórticos associados a piares parede. No caso de contraventamento constituído excusivamente por piares parede, o vaor admitido para deve ser 0,7, e na situação em que só existirem pórticos, deve ser reduzido para 0,5. Se for menor que a estrutura é considerada como de nós fixos, e os efeitos de segunda ordem podem ser desconsiderados nos cácuos (ABNT NBR 68 (204): item 5.5.2). É importante ressatar que o parâmetro de instabiidade deve ser apicado, ideamente, a estruturas simétricas. No âmbito do programa NAESY, a obtenção do parâmetro é feita como mostrado no fuxograma da Figura 3.6. O processo de cassificação da estrutura a partir do parâmetro de instabiidade se inicia com o cácuo de, que depende do número de pavimentos do edifício (num). Prossegue se, então, com a determinação do somatório de forças verticais, N k, e do vaor da rigidez do piar de referência, EcsI c. Para tanto, determina se y max, que corresponde ao maior vaor da coordenada y, e o número do nó mais ato da estrutura, nnhc, onde será inserida a força horizonta F. O próximo passo consiste no cácuo dos desocamentos do sistema estrutura rea, quando submetido à força F. Como o desocamento horizonta no topo do piar, piar, é igua ao do topo do edifício, est, pode se reaizar o 48

52 cácuo da rigidez do piar de referência, cassificação da estrutura. Ecs I c, a determinação de e, consequentemente, a H num K f tot e Início 3 Não 0,6 Sim 0, 2 0,num ng i2 Nk f i, i i 3 ymax max coor i, 2 i nnhc Ku piar est nnhc f u h f E I cs c h 3 nnhc H 3 piar tot H tot Nk E I cs c Estrutura de nós fixos Sim Não Estrutura de nós móveis Fim Figura 3.6 Fuxograma do cácuo do parâmetro Coeficiente γ z A princípio, na anáise inear de um sistema estrutura submetido a cargas horizontais, podem se determinar os momentos de primeira ordem M, em reação à base, e os desocamentos horizontais da estrutura. Devido a estes desocamentos em presença das cargas 49

53 verticais, há um acréscimo do momento fetor ( M ) na base, resutando, portanto, em um momento M 2. Uma iustração simpificada da majoração de momentos na base de uma estrutura pode ser observada na Figura 3.7. N N F F L L M M 2 M F L a ordem M 2 F L N a a ordem 2 ordem Figura 3.7 Majoração de momentos na base de um piar devido aos efeitos de segunda ordem Considerando o processo descrito acima dentro de um oop iterativo, pode se dizer que cada iteração gera acréscimos de momento que diminuem gradativamente até se tornarem praticamente nuos, obtendo se um momento fina M, se a estrutura for estáve. Este processo é iustrado no gráfico da Figura 3.8. O momento fina M é a soma do momento de primeira ordem com os acréscimos de momento de segunda ordem, e é descrito pea equação M M M M M M. (3.28) 2 3 i M M 4 M 3 M 2 M3 M 4 M3 M 2 M3 M 2 M M 2 M M Figura 3.8 Determinação do momento fina M Fonte: adaptado de Moncayo (20) número de iterações 50

54 De acordo com o CEB (978), a sequência numérica dos acréscimos de momentos consiste em uma progressão geométrica decrescente com razão, r, podendo ser escrita como: M i rm M rm r rm r M M rm r r M r M i i i M rm r r M r M. (3.29) Substituindo os vaores dos acréscimos de momento na Equação (3.28) e coocando M em evidência, obtém se: 2 3 i M M r r r r (3.30) Substituindo, na equação anterior, a expressão da soma dos termos da progressão geométrica infinita de razão, r, vê se que M r, (3.3) M em que r pode ser determinado, considerando se apenas a primeira iteração do processo, ou seja, r M M ou, em vaores de cácuo, r M M d. (3.32) d Substituindo se (3.32) em (3.3), encontra se M M d Md M (3.33) O fator que mutipica o momento M foi definida por Franco e Vasconceos (99) como coeficiente z. O coeficiente z foi difundido e é ampamente utiizado no projeto de estruturas de edifícios, já que, aém de avaiar a importância dos esforços de segunda ordem gobais, também permite estimar seus vaores a partir da majoração dos esforços de primeira ordem, como mostrado em sua dedução. Sua apicação é váida para estruturas reticuadas de no mínimo quatro andares. A equação generaizada de na ABNT NBR 68 (204) é: z, para o caso de edifícios, apresentada 5

55 z M M tot, d, tot, d (3.34) sendo M,tot,d o momento de tombamento, obtido através da soma dos momentos de todas as forças horizontais em reação à base da estrutura, e M tot,d a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura peos desocamentos horizontais de seus respectivos pontos de apicação, obtidos da anáise de primeira ordem. Uma estrutura é considerada de nós móveis se o vaor de z for superior a,. Neste caso, a avaiação dos esforços finais (soma dos esforços de primeira e segunda ordem) é obtida de maneira aproximada a partir da majoração adiciona dos esforços horizontais por 0,95 z. Deve se ressatar que esse procedimento só é vaido para vaores de z menores ou iguais a,3 (ABNT NBR 68: item 5.5.3). Segundo os princípios básicos de cácuo, item 5.3 da ABNT NBR 68 (204), a não inearidade física, presente nas estruturas de concreto armado, deve ser obrigatoriamente considerada. Para a anáise dos esforços gobais de segunda ordem, esse tipo de não inearidade pode ser considerada de maneira aproximada, tomando se como rigidez dos eementos estruturais os seguintes vaores: Lajes: ( EI ) sec 0,3E ci I c Vigas: ( EI ) 0, 4 E I para A A sec sec ci c s s ( EI) 0,5 E I para A A ci c s s Piares: ( EI) sec 0,8 E ci I c em que I c é a inércia do piar bruto. Aternativamente, quando a estrutura de contraventamento for composta excusivamente por vigas e piares e z for inferior a,3, pode se considerar tanto para as vigas quanto para os piares, a rigidez equivaente dada por ( EI) sec 0,7 E ci I c. Ressata se que esses vaores reduzidos de rigidez estabeecidos pea norma são aproximados e não podem ser usados para avaiar esforços ocais de segunda ordem, mesmo com modeos bem refinados. O coeficiente z é determinado com base na soução de uma anáise inear eástica. Os dados de entrada da rotina são: a matriz de coordenas nodais (coor), vetor de ações externas (f), vetor desocamentos, obtido na anáise inear eástica, (u) e matriz de rigidez eástica (K e ). Iniciamente, cacua se o momento devido às forças horizontais atuantes em reação à base 52

56 da estrutura, M, tot, d, seguido da determinação do momento adiciona,, M tot d, devido às forças verticais em presença dos desocamentos horizontais de ª ordem. A partir desses cacua se z e cassifica se a estrutura. Por fim, para estruturas de nós móveis, a avaiação dos esforços finais é feita de maneira aproximada (Figura 3.9). coor f u K e Início ng coor M, tot, d f i j, 2 i j i = i+ 3 j = tot, d ng i2 j M f i u j i = i+ 3 j = j + 3 z M M tot, d, tot, d Estrutura de nós móveis Não,0 z Sim Estrutura de nós fixos Ku 0,95 z f h Fim Figura 3.9 Fuxograma do cácuo do parâmetro z 53

57 Capítuo 4 Apicações O presente capítuo tem como objetivo a apicação dos métodos estudados anteriormente na anáise de sistemas estruturais em aço e concreto armado. Iniciamente, ressata se que na descrição das apicações subsequentes, três tipos de anáise estrutura são consideradas, a saber: a anáise inear (com consideração apenas de efeitos de ª ordem), não inear geométrica corrotaciona (baseada na formuação desenvovida no Cap. 3) e não inear aproximada, designada, nos termos da ABNT NBR 68 (204), àquea baseada na majoração dos esforços peo coeficiente z. Este útimo tipo de anáise foi considerado apenas na segunda apicação. A primeira apicação consiste na anáise de um pórtico em aço destinado à construção da estrutura de gapões. Em seguida é anaisado um edifício de 6 andares em concreto armado, para o qua são apresentadas as respostas das anáises inear, não inear geométrica corrotaciona e não inear aproximada. Menciona se que a vaidação das respostas obtidas segundo as formuações não ineares propostas nesta dissertação foi efetuada por meio de comparações reaizadas com o SAP2000 (203) e, quando pertinente, com o TQS (206). 4. Gapão Industria A primeira apicação trata se da anáise de segunda ordem do pórtico mostrado na Figura 4.. RB RB2 RB3 RB3 RB2 RB 0,90 EC ISC ISC EC 5,00 6@3,00 = 8,00 6@3,00 = 8,00 6@3,00 = 8,00 54,00 Figura 4. Pórtico gapão com eementos de seção variáve (dimensões em m), FONTE: Adaptado de Li e Li (2002) 54

58 O pórtico é constituído por perfis de aço A36 de seção transversa tipo I. Para fins de descrição do modeo, seus eementos são designados como segue: piares de extremidade (EC), vigas de cobertura (RB, RB2, RB3) e piares internos (ISC). A seção transversa de todos os eementos possui argura da mesa e espessuras da mesa e da ama constantes (Figura 4.2), podendo a atura da ama variar inearmente ao ongo de aguns eementos, como indica se na Tabea di-df Figura 4.2 Dimensões da seção transversa do perfi utiizado (mm) Tabea 4. Variação inear da atura da seção ao ongo do comprimento de cada eemento (mm) Tipo de seção EC ISC RB RB2 RB3 Atura da seção (di df) Para este probema, iniciamente, determinou se o carregamento crítico (P cr ) definido peo arranjo de cargas mostrado na Figura 4.3. Para tanto empregou se o modeo no qua cada um dos eementos estruturais EC, ISC, RB, RB2 e RB3 foi dividido em 4 subeementos de anáise, resutando em um modeo com 40 eementos (de 2 nós) e 4 nós ao todo. Como vê se na Tabea 4.2, os resutados obtidos peo programa NAESY e peo SAP2000 (203) apresentam boa concordância. 300 P P P P Figura 4.3 Pórtico com carregamento para anáise de carga crítica Tabea 4.2 Carga crítica de fambagem (kn) NAESY SAP2000 Erro(%) 3538, ,2 5,28 É importante mencionar que, em ambos os programas, foram utiizadas variações cúbicas de inércia ao ongo dos eementos não prismáticos. Nota se que a soução do probema de autovaor generaizado indica, novamente, que a matriz de rigidez geométrica impementada no software NAESY apresenta bom desempenho quando comparada com a utiizada peo SAP2000 (203). 55

59 Em seguida, com o intuito de se verificar o desempenho das formuações impementadas na descrição de grandes desocamentos, foi proposto o carregamento apresentado na Figura 4.4, em que se incuiu uma força horizonta no sistema, com mesma intensidade das verticais, de modo a reaçar o comportamento não inear da resposta. P P P P P Figura 4.4 Pórtico carregado para anáise não inear geométrica Para a anáise não inear corrotaciona, a carga passos iguais e adotou se a toerância to P 2000 kn foi dividida em para verificação da convergência do processo iterativo em termos do equiíbrio de forças. A Figura 4.5 mostra a deformada do pórtico, na qua os desocamentos e os eementos do modeo foram desenhados na mesma escaa, ou seja, não se empregaram fatores de ampificação para reaçar os vaores de desocamentos em reação ao comprimento dos eementos. Nessa figura, a estrutura indeformada é representada pea inha cinza, a deformada obtida pea consideração apenas dos efeitos de ª ordem, pea inha preta, enquanto as inhas vermeha e azu correspondem, respectivamente, à resposta não inear geométrica obtida via NAESY e SAP2000 (203). Observando essa figura, constata se que, devido à magnitude dos desocamentos horizontais e das forças verticais nos piares, os efeitos de 2ª ordem são de grande reevância na anáise deste sistema. Figura 4.5 Deformada do pórtico Uma verificação mais detahada do comportamento estrutura, no que se diz respeito aos desocamentos, pode ser reaizada por inspeção das Figuras 4.6 a 4.8. Os gráficos mostrados nessas figuras correspondem à trajetória de equiíbrio dos desocamentos e rotação do nó de extremidade do piar esquerdo. Observando esses gráficos percebe se que a trajetória mantém um comportamento inear até vaores da carga P próximos a 400 kn. À medida que se aumenta o carregamento, a partir deste vaor, há uma acentuada diminuição da rigidez, evidenciando o comportamento não inear. Indeformada Def. Linear Def. NL NAESY Def. NL SAP

60 NAESY SAP2000 P (kn) ux Desocamento (m) Figura 4.6 Trajetória de equiíbrio desocamento horizonta no nó do piar de extremidade NAESY SAP2000 P (kn) uy Desocamento (m) Figura 4.7 Trajetória de equiíbrio desocamento vertica no nó do piar de extremidade NAESY SAP2000 P (kn) rz Rotação (rad) Figura 4.8 Trajetória de equiíbrio rotação no nó do piar de extremidade 57

61 Nos gráficos das Figuras 4.9 a 4. mostram se os diagramas de esforços nos eementos correspondentes à resposta, obtida peo NAESY, para o carregamento 00% apicado, ou seja, com P 2000 kn. Dentre os diversos efeitos da consideração da não inearidade geométrica, vae notar a acentuada variação do esforço cortante ao ongo do comprimento das duas counas centrais, efeito inexistente em uma anáise inear. Como consequência, observa se uma notáve curvatura do diagrama de momento fetor. Figura 4.9 Diagrama de esforço norma em escaa /0 (cm/kn) Figura 4.0 Diagrama de esforço cortante em escaa /0 (cm/kn) Figura 4. Diagrama de momento fetor em escaa /20 (cm/kn.m) Os dados numéricos referentes aos esforços, à esquerda e à direta dos nós mais reevantes da estrutura (Figura 4.2), podem ser verificados nas Tabeas 4.3 a 4.5. Estas contêm resutados encontrados por ambos os softwares utiizados na anáise, bem como o erro reativo entre ees. Nota se, de antemão, uma boa concordância entre os resutados. 2 RB 6 3 RB2 4 RB3 RB3 7 RB2 9 RB 0 EC ISC ISC EC 5 8 Figura 4.2 Numeração dos nós e nomeação dos eementos para identificação dos esforços 58

62 Tabea 4.3 Ações de extremidade Força norma (N) Tipo de eemento Nó SAP2000 NAESY Erro (%) EC,38E+06,24E+06,208 EC 2,32E+06,303E+06 0,664 RB 2,254E+06,254E+06 0,040 RB 3,48E+06,48E+06 0,034 RB2 3,47E+06,48E+06 0,22 RB2 4,86E+06,85E+06 0,055 ISC 5 2,76E+06 2,70E+06 0,285 ISC 4 2,390E+06 2,387E+06 0,4 RB3 4 9,556E+05 9,526E+05 0,35 RB3 (e) 6 9,536E+05 9,503E+05 0,350 RB3 (d) 6 9,603E+05 9,57E+05 0,337 RB3 7 9,64E+05 9,58E+05 0,345 ISC 8,297E+06,293E+06 0,37 ISC 7,478E+06,478E+06 0,006 RB2 7 5,559E+05 5,47E+05,58 RB2 9 5,68E+05 5,072E+05,85 RB 9 5,38E+05 5,047E+05,767 RB 0 6,079E+05 5,992E+05,432 EC 2,232E+06 2,224E+06 0,369 EC 0 2,4E+06 2,409E+06 0,099 Tabea 4.4 Ações de extremidade (Força cortante unidade N) Tipo de eemento Nó SAP2000 NAESY Erro (%) EC,266E+06,277E+06 0,883 EC 2,084E+06,090E+06 0,53 RB 2 3,632E+05 3,660E+05 0,758 RB 3 6,200E+05 6,229E+05 0,474 RB2 3 6,233E+05 6,229E+05 0,057 RB2 4 5,453E+05 5,469E+05 0,294 ISC 5,082E+06,092E+06 0,903 ISC 4 4,42E+05 4,496E+05,693 RB3 4,078E+05,03E+05 2,278 RB3 (e) 6,24E+05,272E+05 2,52 RB3 (d) 6 5,075E+04 5,569E+04 9,743 RB3 7 2,226E+04 2,533E+04 3,780 ISC 8 9,07E+05 9,28E+05,26 ISC 7 5,76E+05 5,796E+05,396 RB2 7 5,257E+05 5,275E+05 0,337 RB2 9 5,642E+05 5,656E+05 0,24 RB 9 5,670E+05 5,678E+05 0,49 RB 0 4,646E+05 4,664E+05 0,38 EC,343E+06,358E+06,44 EC 0 9,85E+05 9,875E+05 0,245 59

63 Tabea 4.5 Ações de extremidade (Momentos fetores unidade N.m) Tipo de eemento Nó SAP2000 NAESY Erro (%) EC 0,000E+00 0,000E+00 0,000 EC 2 5,877E+06 5,900E+06 0,390 RB 2 5,877E+06 5,900E+06 0,39 RB 3,905E+05 2,030E+05 6,567 RB2 3,905E+05 2,030E+05 6,567 RB2 4 3,78E+06 3,744E+06 0,703 ISC 5 0,000E+00 0,000E+00 0,000 ISC 4 4,545E+06 4,593E+06,054 RB3 4 8,272E+05 8,496E+05 2,705 RB3 (e) 6 2,369E+05 2,37E+05 0,089 RB3 (d) 6 2,369E+05 2,37E+05 0,089 RB3 7 5,553E+05 5,934E+05 6,86 ISC 8 0,000E+00 0,000E+00 0,000 ISC 7 4,309E+06 4,363E+06,250 RB2 7 3,754E+06 3,770E+06 0,43 RB2 9 4,744E+05 4,8E+05,420 RB 9 4,744E+05 4,8E+05,420 RB 0 5,809E+06 5,88E+06 0,5 EC 0,000E+00 0,000E+00 0,000 EC 0 5,809E+06 5,88E+06 0,5 De forma compementar, a Figura 4.3 mostra a variação não inear do momento fetor com o aumento gradua da carga P, enfatizando mais uma vez a concordância entre os resutados obtidos NAESY SAP2000 P (kn) Mz Momento fetor (N.m) Figura 4.3 Trajetória de equiíbrio momento fetor no nó do piar de extremidade 60

64 4.2 Edifício de Mútipos Andares Este exempo foi reaizado com o intuito de se estudar a apicabiidade dos procedimentos de anáise, discutidos no presente trabaho, em sistemas estruturais em concreto armado. Para tanto, foram reaizadas as anáises inear, não inear corrotaciona (NL) e não inear aproximada (NL Aprox.) do edifício comercia hipotético de 6 andares mostrado na Figura 4.4. Figura 4.4 Modeo tridimensiona do edifício anaisado FONTE: TQS (206) Considerações gerais de projeto As pantas dos pavimentos do edifício em estudo são mostradas nas Figuras 4.5, 4.6 e 4.7. Devido às imitações de norma para anáise aproximada, o projeto do edifício foi eaborado de forma a garantir sua simetria. V 5/40 P 20/30 80x80 P2 30/20 L h=0 V3 5/40 V2 5/40 P4 30/20 V4 5/40 P5 40/40 Figura 4.5 Panta de formas do pavimento ático 6

65 V 5/40 P 20/30 80x80 P2 30/20 P3 20/30 L h=0 L2 h=0 V2 5/40 P4 30/20 P5 40/40 P6 30/20 L3 h=0 L4 h=0 V4 5/40 V3 5/40 P7 20/30 V5 5/40 P8 30/20 V6 5/40 P9 20/30 Figura 4.6 Panta de formas do pavimento cobertura V 5/40 P 20/30 3,00 V2 5/40 V3 5/40 P4 30/20 2,40 V6 2/30 L3 h=0 L4 h=0 L h=0 P2 30/20 P5 40/40 L2 h=0 L5 h=0 P3 20/30 5,00 5,00 P6 30/20 V5 5/40 V4 5/40 P7 20/30 V7 5/40 P8 30/20 5,00 5,00 V8 5/40 P9 20/30 Figura 4.7 Panta de formas do pavimento tipo (em destaque, o pórtico da Figura 4.8) 62

66 A terminoogia adotada para os diversos pavimentos do edifício pode ser observada na Figura 4.8, que corresponde a uma vista em eevação do pórtico intermediário, composto peos piares P 4, P 5 e P 6. Ático Cobertura V2 5/40 V2 5/40 2,00 3,00 Tipo 5 V3 5/40 3,00 Tipo 4 V3 5/40 3,00 Tipo 3 V3 5/40 3,00 Tipo V3 5/40 3,00 Tipo V3 5/40 Fundação P4 30/20 P5 40/40 P6 30/20 3,00 Figura 4.8 Eevação do edifício (pórtico intermediário) Para este projeto foram considerados os carregamentos descritos a seguir. Cargas verticais:. Peso próprio (PP) 2 Em área: aje maciça de 0 cm de atura: 2,5 kn/m Linear: viga (5 40): 0,5 0, 40 25,5 kn/m 2. Carga permanente (PERM) piar (20 30): 0, 200, 30 25, 5 kn/m piar (40 40): 0, 400, , 0 kn/m 2 Em área: pavimento tipo: kn/m 5,00 5,00 2 pavimento cobertura: 2, 0 kn/m pavimento ático: 2, 6 kn/m (2 reservatórios de 2000 itros) 63

67 Linear : avenaria do pavimento tipo: 0,5 2,65 5,85 kn/m avenaria do pavimento ático: 0,5 2,55 4, 85 kn/m Nota: sobre a cobertura não há avenaria; a carga de avenaria se apica a todas as vigas do tipo e do ático. 3. Carga acidenta (ACID) ABNT NBR 620 (980) 2 Sobrecarga de ocupação pavimento tipo: 2, 0 kn/m (escritórios) Força Horizonta:. Vento 2 pavimento cobertura: 0,5 kn/m Para determinação das forças horizontais devidas à ação do vento segundo a ABNT NBR 623 (988), foram utiizados os seguintes dados: Veocidade básica do vento: 3 m/s Fator topográfico: S =,0 (terreno pano ou fracamente acidentado) Fator estatístico: S 3 =,0 (edifício comercia) Categoria: II Terrenos abertos em níve ou aproximadamente em níve, com poucos obstácuos isoados Casse: A Toda edificação na qua a maior dimensão horizonta ou vertica não exceda 20 m Como o móduo do programa NAESY, considerado neste trabaho, possibiita apenas a anáise de sistemas estruturais bidimensionais, previamente à anáise 2D, foi reaizada uma anáise tridimensiona do edifício através dos softwares SAP2000 (203) e do TQS (206), com o objetivo de compatibiizar os modeos e se escoher o pórtico que será estudado (Figura 4.9). Figura 4.9 Extração do pórtico pano intermediário FONTE: SAP2000 (203) 64