Técnicas de Parametrizações na Solução de Sistemas de Equações Não Lineares do Fluxo de Carga Continuado

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1 Técnicas de Parametrizações na Soução de Sistemas de Equações ão Lineares do Fuxo de Carga Continuado Afredo onini eto Departamento de Engenharia Eétrica, FEIS, UESP 585-, Iha Soteira, SP E-mai: Ênio Garbeini Departamento de Engenharia Eétrica, FEIS, UESP 585-, Iha Soteira, SP E-mai: Dison Amâncio Aes Departamento de Engenharia Eétrica, FEIS, UESP 585-, Iha Soteira, SP E-mai: Resumo: Este trabaho apresenta uma técnica de parametrização para encontrar souções de sistemas de equações não ineares do fuxo de carga continuado (FCC. Esta técnica possibiita o traçado competo da trajetória de souções (TS das equações não ineares, bem como eimina o mau-condicionamento da matriz Jacobiana (J no ponto crítico da TS. É neste ponto que a matriz J torna-se singuar, ou seja, o determinante é nuo. A técnica apresentada é de fáci impementação, onde é utiizado o método de ewton-raphson (R com pequenas modificações. -Introdução O cácuo de fuxo de carga em uma rede de energia eétrica consiste essenciamente na determinação do estado da rede. Esta rede é composta de uma barra de referência (barra que fornece a referência anguar, barras de geração (barras P que geram energia eétrica, como uma usina hidroeétrica, barras de carga (barras P que consome energia, como uma cidade, inhas de transmissão (LT, que igam uma barra a outra e transformadores que eeam e diminuem a tensão. O probema do fuxo de carga pode ser formuado por um sistema de equações e inequações agébricas não ineares que corrondem, rectiamente, às eis de Kirchhiff e a um conjunto de restrições operacionais da rede eétrica e de seus componentes []. a formuação mais simpes do probema (formuação básica, a cada barra da rede são associadas quatro ariáeis, sendo que duas deas entram no probema como dados e duas como incógnitas. _ magnitude da tensão noda _ ânguo da tensão noda P _ geração íquida de potência atia _ injeção íquida de potência reatia Dependendo de quais ariáeis nodais entram como dados e quais são consideradas como incógnitas, definem-se três tipos de barras: P _ são dados P e, e cacuados e P _ são dados P e, e cacuados e _ são dados e, e cacuados P e O conjunto de equações do probema do fuxo de carga é formado por duas equações para cada barra, embora este trabaho tem por objetio cacuar apenas o subsistema, ou seja, cacuar e para todas as barras, cada uma deas representando o fato de as potências atias e reatias injetadas em uma barra serem iguais à soma dos fuxos corrondentes que deixam a barra atraés de inhas de transmissão, transformadores, etc. Isso corronde à imposição das Leis de Kirchhoff e pode ser expressa matematicamente como se segue: P (, G (, Ω Ω (g + b (g b ( 8

2 onde Ω é o conjunto de todas as barras diretamente conectadas à barra. Lembrando que quanto maior forem os números de barras (usinas, cidades maior é o sistema de equações não ineares e maiores são as equações. Em [] pode-se er com maiores detahes as deduções das equações. -Método de R para Soução das Equações ão Lineares do Fuxo de Carga Subsistema (dimensão: P+P este subprobema são dados P e nas barras P e P e nas barras P; pretende-se cacuar e nas barras P, e nas barras P. Ou seja, trata-se de um sistema de P + P equações agébricas não ineares com o mesmo número de incógnitas ou: Seja G(, ( P P P(, ( (, onde G(, são as equações básicas do FC, é o etor das magnitudes das tensões nodais e é o etor do ânguo das tensões nodais, P P g - P c é a diferença entre as potências atias geradas e consumidas para as barras de carga (P e de geração (P e g - c é a diferença entre as potências reatias geradas e consumidas para as barras P. P(, e (, é o sistema de equação (. Este sistema de equações agébricas não ineares pode ser resoido por um número muito grande de métodos [], sendo que o mais eficiente é o método de R, onde será apicado na resoução do subsistema a seguir: i Fazer e escoher os aores iniciais do ânguo das tensões das barras P e P (, e as magnitudes das tensões das barras P (. ii Cacuar P (, para as barras P e P e (, para as barras P, e determinar os mismatches ΔP e Δ. iii Testar conergência: se Max{ ΔP } ε p e Max{ Δ } ε, o processo iteratio conergiu para a soução (, ; caso contrário passar para (i. i Cacuar a matriz J (, J, M (, ( L (, (, (4 onde as componentes das submatrizes Jacobianas,, M e L são dadas por: M M L L P / P / P / M / P / G / / ( G + ( G K ( G G ( G K ( G + + ( G K L / ( G ( +, + ( G K (5 (6 (7 (8 Determinar a noa soução (9 sendo Δ e Δ determinados resoendo-se o sistema inear P(, (, (, M (, i o passo (ii. (, L(,. ( Fazer + e otar para Supondo que na segunda iteração o método de R anteriormente isto conergisse, ou seja, se Max Max { P } ε e { } ε, então os aores de e seria, er figura. P 8

3 singuaridade da matriz J do método de R, figura (c. -.4 Figura : Curas TS de uma rede de duas barras ( e P: (a em função de P, (b em função de P, (obter os e os de todas as equações não ineares, subsistema peo método de R. - Sucessias Souções do Método de R para Obtenção da TS das Equações ão Lineares A TS das equações não ineares pode ser obtida por meio de sucessias souções do método de R, a partir de um caso base até próximo ao ponto crítico, para incrementos graduais da carga. Em gera a equação do fuxo de carga (FC, equação ( e ( pode ser reescrita como: ou ainda: + Potência atia Potência atia G(,, ( P P P(, (, ( estas equações diferem das equações ( e ( deido à incusão da ariáe, onde é o fator de carregamento. O traçado da trajetória de soução é efetuado atraés de sucessios incrementos dessa noa ariáe, er figura, (a e (b. Mas esta técnica não é muito iáe para efeitos de precisão, pois o método dierge próximo ao ponto crítico, deido à (a (b (p.u. (graus Determinante de J Caso base Caso base Figura : Curas TS utiizando sucessias souções do método R: (a ( em função de, (b em função de, (c determinante da matriz J. 4-Técnicas de Parametrizações Propostas A técnica é iniciaizada utiizando as equações (, más como agora é ecificado um parâmetro. Utiiza-se então o método de ewton-rapson igeiramente modificado (RM, como o sistema de equações ( possui uma incógnita a mais que o número de equações, será introduzido ao sistema à equação e * Δ, onde o etor e conterá apenas na couna corrondente ao noo parâmetro y, ou, ou seja, na couna G, G ou G [] e [4]. (a (b (c 84

4 P G G G ( Jm e onde G [ P/ Τ / Τ ] T, G [ P/ T / T ] T e G [P ] T são as deriadas parciais de G em reação a, e, rectiamente. G e G compõem a matriz J do método de R conenciona. Acresce-se a J uma couna ( G corrondente a noa ariáe Cacuado um aor para o caso base, obtém-se o aor de y (, ou inicia basta dar o aor para o passo de y (y + y passo e obter a cura TS desejada para o parâmetro escohido, então para cada passo a equação ( fornecerá o noo aor de y obtendo a cura TS. A escoha do parâmetro é de muita importância. Para estas equações se fosse escohido o parâmetro haeria singuaridade da matriz J da mesma forma que o método de R conenciona. Supondo que agora o fosse utiizado como parâmetro, a figura mostra a TS de para cada, a equação ( passaria a ser: (graus P G G G (4 Jm Figura : Curas TS: em função de peo método de RM. O mesmo procedimento é utiizado quando utiiza o ou como parâmetro, a diferença é no etor e, ou seja, onde é coocado o número. 5-Apicações Exempo do método de R para uma rede de duas barras arra Tipo P P * * Tabea : Dados da barra L.T. r x. Tabea : Dados da inha O sistema de equações não ineares é: P G + ( G + ( G A matriz Jacobiana é: J ( M P L P Os aores obtidos na segunda iteração da resoução do subsistema peo método de R são: * ( ( rad. ou graus Agora com graduais aumentos (passo de.5 na potência atia, obsere a tabea. Tabea : TS do sistema de equações não ineares do FCC obtidos peo R P (graus O programa não conergiu Ao apicar o método RM com como parâmetro para a rede de duas barras do exempo anterior, pode-se notar que não haerá mais probema com a singuaridade deido à inha e a couna acrescida a matriz J. 85

5 A tabea mostra os aores das incógnitas e obtidas peo método de RM com passo de.5. J ( Com isso a matriz J passa a ser: M P L P P Tabea : TS do sistema de equações não ineares do FCC obtidos peo RM (graus ** ** ponto crítico Desempenho para um sistema de três barras. arra Tipo P P * * P * O sistema de equações não ineares para resoução do subsistema ( P+P é: P G ( G ( G P G ( G + ( G + ( G + ( G A matriz J do método de R agora passa a ser: P P P ( ( ( J( P P P M M L 5.-Resoução peo método de R A figura 4(a mostra o aores da incógnita e a figura 4(b mostra os aores das incógnitas e do sistema de equações não ineares resoido peo método de R com passo de.5 para o incremento da potência atia. (graus da arra da arra da arra Figura 4: Curas TS de uma rede de três barras (, P e P: (a em função de, (b e em função de, (obter os e os de todas as equações não ineares, subsistema peo método de R. (a (b 86

6 5.-Resoução peo método de RM A matriz J do método de RM é: M P P ( ( ( J ( M P P L P P P P A figura 5(a mostra o aores da incógnita obtidas com o uso do parâmetro e a figura 5(b mostra os aores das incógnitas e obtidos também com o parâmetro resoido peo método de RM com passo de.5 para o incremento do parâmetro. Desempenho para uma rede de 4 barras (IEEE É composto por 5 geradores (barras P, 9 cargas (barras P, inhas de transmissão. A figura 6(a apresenta o traçado das TS para todas as incógnitas do sistema de equações não ineares obtidas com o uso do parâmetro 4, bem como o número de iterações gastas para cada ponto obtido, podese obserar o número baixo de iterações, tanto para o método de R quanto para o método de RM, er figura 6(b. a rede de 4 barras o sistema passa a ter ( P+P equações não ineares, ou seja, contém equações não ineares. E a matriz J é uma matriz de ordem 4 x (a.9.8 da arra (graus da arra da arra Figura 5: Curas TS de uma rede de três barras (, P e P: (a em função de, (b e em função de, (obter os e os de todas as equações não ineares, subsistema peo método de RM. (a (b úmero de iterações 5 4 O RM x R 5 5 Pontos da cura Figura 6: Curas TS: em função de peo método de RM com 4 como parâmetro, (b número de iterações gastas para cada ponto da cura TS. 6-Concusão Este trabaho apresentou uma técnica de parametrização geométrica para a resoução de sistemas de equações não ineares do fuxo de carga. O método de R é considerado inadequado para a soução destas equações não ineares em torno do ponto crítico, pois o determinante é nuo. Este trabaho também mostrou que o método de RM obtee toda a cura TS sem probemas de mau condicionamento da matriz J, ou seja, com a incusão de uma inha e uma couna na (b 87

7 matriz J o determinante da matriz jacobiana modificada (Jm não se anua em tordo do ponto crítico, com isso toda a TS foi obtida sem nenhuma dificudade. Obsera-se em termos de atuação do método de RM comparado com o de R, que não houe grandes mudanças na estrutura do método, em termos de número de iterações os métodos são praticamente iguais. Com isso pretende-se modear o método para sistemas agébricos de grande porte e com isso erificar a TS para cada incógnita. O método se torna robusto pois pode-se utiizar quaquer uma das incógnitas como parâmetro. Agradecimentos Agradecemos ao CPq peo apoio financeiro. Referências [] A. Monticei, Fuxo de Carga em Redes de Energia Eétrica, Edgard ücher, São Pauo, 64p., 98 [] M. A. G. Ruggiero,. L. R. Lopes, Cácuo umérico: Aspectos Teóricos e Computacionais, ª ed. Rio de Janeiro. Maron oos, 996. []. Ajjarapu, e C. Christy, The Continuation Power Fow: a Too for Steady State otage Stabiity Anaysis, IEEE Trans. on Power Systems, o. 7, n., February, pp. 46-4, (99. [4] A. onini eto, Proposição de uma Técnica de Parametrização Geométrica para o Fuxo de Carga Continuado aseado nas ariáeis Tensão e Fator de Carregamento. Dissertação de mestrado. UESP / DEE. Uniersidade Estadua Pauista, 6. 88