RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

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1 FORMAÇÃO CONTINUADA EM MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ/ Consórcio CEDERJ Matemática 1º ano º Bimestre/ 01 Pano de Trabaho RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Acesso em /05/01 educador.brasiescoa.com Tarefa : Cursista: Regina Céia Ferreira dos Anjos Grupo: 4 Tutora: Lígia Vitoria de Azevedo Tees

2 SUMÁRIO INTRODUÇÃO...0 DESENVOLVIMENTO...04 AVALIAÇÃO... FONTES DE PESQUISA...4

3 INTRODUÇÃO A trigonometria é um dos mais antigos ramos da Matemática, surgiu na antiguidade para medir ânguos e distâncias com o objetivo de ocaizar pontos sobre a superfície terrestre a fim de resover probemas oriundos das necessidades humanas reativas por exempo, à comunicação e ao transporte, apresentando atuamente um grande número de apicações em setores da ciência e tecnoogia. E utiizada em várias situações práticas e teóricas envovendo não somente probemas específicos da matemática como também de outras discipinas científicas e tecnoógicas. Este pano de trabaho tem por objetivo favorecer a construção dos conceitos de seno, cosseno e tangente, destacando a importância de trabahar, no contexto escoar, com uma abordagem de ensino que mehor se adeque a reaidade vivenciada peos aunos. Considerando que tais conceitos já foram apresentados na útima série do Ensino Fundamenta, serão revisados aguns conceitos básicos reativos ao triânguo retânguo e a seguir serão apresentadas as razões trigonométricas. Também objetiva estender os conceitos de seno, cosseno e tangente, até então restritos aos triânguos retânguos, a um triânguo quaquer, através da ei dos senos e ei dos cossenos. Os conteúdos serão apresentados de forma contextuaizada, de forma a demonstrar ao auno sua apicabiidade no cotidiano, através de situações aonde sejam necessárias a obtenção de distâncias inacessíveis ou a obtenção de medidas de ânguos sem o uso do transferidor, por exempo. Serão utiizados sete tempos de cinquenta minutos para apicação dos conteúdos e mais dois tempos para avaiação forma da aprendizagem.

4 DESENVOLVIMENTO ATIVIDADE 1 Habiidade reacionada: Utiizar o Teorema de Pitágoras para obtenção da medida da hipotenusa ou dos catetos. H -11- C1; Desenvover o conceito de razões trigonométricas; Reaizar cácuos de distâncias utiizando as reações trigonométricas. Pré-requisitos: Conceitos básicos de geometria sobre os eementos do triânguo retânguo e Teorema de Pitágoras Tempo de duração: 100 minutos Recursos educacionais utiizados: Materia didático Organização da turma: Individua Objetivos: Conceituar, reconhecer e apicar os conceitos de seno, cosseno e tangente de um ânguo agudo de um triânguo retânguo. Apicar o Teorema de Pitágoras para cacuar eementos do triânguo retânguo. Metodoogia adotada: Aua expositiva. Vocês embram que no 9º ano do Ensino Fundamenta nós estudamos os triânguos retânguos? Vamos revisar seus eementos! Triânguo Retânguo

5 Sabemos que, sendo o triânguo retânguo, podemos obter a medida dos catetos ou da hipotenusa utiizando para ta o Teorema de Pitágoras. 4 Razões trigonométricas no Triânguo Retânguo Razões trigonométricas são as reações entre os ados do triânguo e que têm a propriedade de determinar a medida dos ânguos do triânguo, uma vez que seus ados sejam conhecidos. codefasb.bogspot.com Seno, cosseno e tangente são conhecidos há muito tempo, e os antigos egípcios e babiônios tabearam, para todos os ânguos de 1º a 90º, os vaores dessas reações. Podemos encontrar as tabeas trigonométrica nos ivros didáticos e na internet mais geramente são utiizadas cacuadoras científicas, que oferecem os vaores de senos, cossenos e tangentes com mais precisão e maior faciidade de cácuo. Exempos de apicações: 5

6 1. Nos triânguos retânguos abaixo, determine o seno, o cosseno e a tangente do ânguo B.. Dado o triânguo retânguo CDE, reto em C, cacue: a) sen D d) sen E b) cos D e) cos E c) tg D f) tg E. Cacue as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente dos ânguos agudos do triânguo retânguo em que um dos catetos mede e a hipotenusa. 4. Num triânguo retânguo ABC reto em A, determine as medidas dos catetos, sabendo que a hipotenusa vae 50 e sen B = No triânguo retânguo ABC abaixo, determine os vaores de b e c. (Dados: sen 40º= 0,64, cos 40º = 0,766 e tg 40º = 0,89) 6

7 . (CPCAR-MG) Um avião decoa de um ponto B sob incinação constante de 15º com a horizonta. A km de B se encontra a projeção vertica C do ponto mais ato D de uma serra de 600 m de atura, conforme figura. É correto afirmar que: a) Não haverá coisão do avião com a serra. b) Haverá coisão do avião com a serra antes de acançar 540 m de atura. c) Haverá coisão do avião com a serra em D. d) se o avião decoar 0m antes de B, mantendo a mesma incinação, não haverá coisão do avião com a serra. Atividades do ivro didático - Matemática Ciência e Apicações Geson Iezzi - sobre o assunto abordado na aua. 7

8 ATIVIDADE Habiidade reacionada: Resover probemas envovendo as razões trigonométricas no triânguo retânguo utiizando os ânguos notáveis - H-1. Pré-requisitos: Reconhecer e apicar os conceitos de seno, cosseno e tangente de um ânguo agudo de um triânguo retânguo. Tempo de duração: 100 minutos Recursos educacionais utiizados: Materia didático e vídeo Organização da turma: Individua Objetivos: Reaizar cácuos de distâncias utiizando as reações trigonométricas e as medidas dos ânguos notáveis. Metodoogia adotada: Aua expositiva, vídeo youtube e ivro didático. Dado um quadrado de ado, podemos traçar a sua diagona d. Sabemos que a diagona do quadrado também é bissetriz dos ânguos internos. Nessas condições, podemos observar o triânguo isóscees ABC, retânguo em B. Vamos cacuar o vaor do seno, do cosseno e da tangente do ânguo de 45º. Para ta, precisamos cacuar o vaor da diagona do quadrado. Vamos usar o Teorema de Pitágoras. d = + d = d = Assim teremos: hipotenusa =, cateto oposto = e cateto adjacente = sen 45º= catetooposto hipotenusa sen 45º= 1 8

9 1 Racionaizando... Sen 45º=. = cos 45º = cateto adjacente hipotenusa cos 45º = 1 Racionaizando... cos 45º= 1. = tg 45º = = 1 Agora vamos tomar como base um triânguo equiátero. Sabemos que os ânguos internos do triânguo equiátero medem 60º e a atura é bissetriz e mediana. Nessas condições, podemos observar um triânguo retânguo e assim podemos cacuar os vaores de seno, cosseno e tangente dos ânguos de 0º e 60º. Vamos precisar cacuar a atura h que corresponde a atura do triânguo equiátero. h = + h = 4 h 4 h 4 h Assim, tomando como base o ânguo de 0º, teremos: hipotenusa =, cateto oposto = sen 0º = 1 1 =. e cateto adjacente = cos 0º = 1. 9

10 tg 0º =. 1 Racionaizando... tg 0º = 1. = Também podemos cacuar o seno, o cosseno e a tangente do ânguo de 60º. Nesse caso, hipotenusa =, cateto oposto = e cateto adjacente =. sen 60º = 1. cos 60º = 1 1 =. tg 60º =. Acabamos de obter os vaores do seno, cosseno e tangente dos ânguos de 0º, 45º e 60º, também conhecidos como ânguos notáveis. A partir de agora, os vaores de seno, cosseno e tangente desses ânguos não será fornecido nos enunciados dos exercícios, portanto, podemos eaborar a seguinte tabea: 10

11 Existem muitas formas de memorizarmos essa tabea, vamos ver como os aunos desse vídeo resoveram essa questão! Vídeo: Praticando 1. Determine o comprimento da sombra projetada por uma torre com 40 m de atura, sob ânguo de eevação do so de 60º.. Um avião evanta vôo sob um ânguo de 0º. Depois de percorrer 8 km, o avião se encontra a uma atura de: a) km b) km c) 4 km d) 5 km e) 8 km. Ao empinar uma pipa, João percebeu que estava a uma distância de 6m do poste onde a pipa engatou. Renata notou que o ânguo formado entre a inha da pipa e a rua era de 60º, como mostra a figura. Determine a atura do poste. 11

12 4. (FATEC-SP) De dois observatórios, ocaizados em dois pontos X e Y da superfície da Terra, é possíve enxergar um baão meteoroógico B, sob ânguos de 45 e 60, conforme é mostrado na figura abaixo. Desprezando-se a curvatura da Terra, se 0 km separam X e Y, a atura h, em quiômetros, do baão à superfície da Terra, é: a) 0-15 b) c) 60-0 d) e) Após a ajuda do amigo Luiz, Bruno conseguiu entender que seria necessário utiizar seus conhecimentos de trigonometria para resover essa situação. a) Quanto deverá medir a escada que igará os dois andares? b) Supondo que cada degrau da escada tenha 0 cm de atura, quantos degraus ea deverá ter? 1

13 Para evar sua muher até o ato do pedesta, ou trazê-a até o chão, o vicking usa uma escada medindo,4m. Nem todos os degraus estão representados na figura. Cacue a atura h do pedesta sabendo que a escada forma um ânguo 60º com ee. Agora é a sua vez! Escoha uma tirinha e crie, a partir dea, uma situação probema na qua possamos utiizar agum dos conceitos estudados na aua de hoje!!! Atividades do ivro didático - Matemática Ciência e Apicações Geson Iezzi- sobre o assunto abordado na aua. 1

14 ATIVIDADE Habiidade reacionada: Compreender a representação de arcos e ânguos no cico trigonométrico e deduzir a reação fundamenta da trigonometria. Pré-requisitos: Conhecimento do pano cartesiano, representação de um par ordenado, Teorema de Pitágoras. Tempo de duração: 50 min Recursos educacionais utiizados: Materia didático Organização da turma: Individua Objetivos: Deduzir e utiizar a reação fundamenta da circunferência Metodoogia adotada: Aua expositiva e ivro didático Cico Trigonométrico O cico trigonométrico é uma circunferência orientada, com raio unitário, associada a um sistema de coordenadas cartesianas. O centro da circunferência coincide com a origem do sistema cartesiano. Dessa forma, a circunferência fica dividida em quatro quadrantes, identificados de acordo com o sentido anti-horário a partir do ponto A. Considerando x a medida de um arco no cico trigonométrico, então os vaores de x, tais que 0º < x < 60º, estão presentes nos seguintes quadrantes: 14

15 Primeiro quadrante: 0º < x < 90º Segundo quadrante: 90º < x < 180º Terceiro quadrante: 180º < x < 70º Quarto quadrante: 70º < x < 60º Ao representarmos, no cico trigonométrico, um ânguo agudo, no primeiro quadrante, conforme a figura, identificamos um triânguo retânguo, cuja hipotenusa mede 1, o cateto oposto corresponde ao vaor de y e o cateto adjacente corresponde ao vaor de x. Utiizando os conhecimentos já adquiridos, podemos concuir que: No eixo das abscissas estarão representados os vaores do cosseno do ânguo. No eixo das ordenadas estarão representados os vaores do seno do ânguo. Se apicarmos ao triânguo o Teorema de Pitágoras obteremos: sen + cos = 1 A essa reação denominamos Reação Fundamenta da Trigonometria. Também podemos concuir que tg sen cos 15

16 Exercícios: 1. O triânguo retânguo respondeu: O meu cosseno é 0,6. Podemos afirmar que o seno do ânguo deste triânguo vae: a) 0,5 b) 0,6 c) 0,7 d) 0,8 e) 0,9. Considerando o 90º cacue em cada caso os vaores pedidos utiizando as informações dadas a) Se sen, cacue cos, tg 5 b) Se cos, cacue sen, tg 6 PENSANDO... Será que podemos cacuar os vaores de seno, cosseno e tangente somente nos triânguos retânguos? Atividades do ivro didático Matemática Ciência e Apicações Geson Iezzi - sobre o assunto abordado na aua. 16

17 ATIVIDADE 4 Habiidade reacionada: Resover probemas apicando a Lei dos Senos e dos Cossenos H-1 Pré-requisitos: Reconhecer e apicar os conceitos de seno, cosseno e tangente de um ânguo agudo Tempo de duração: 100 minutos Recursos educacionais utiizados: Livro didático. Organização da turma: Individua. Objetivos:. Utiizar a ei dos senos e dos cossenos na resoução de probemas que envovam um triânguo quaquer. Metodoogia adotada: Aua expositiva e ivro didático. TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER 1. Lei dos cossenos Em quaquer triânguo, o quadrado de um ado é igua à soma dos quadrados dos outros dois ados, menos duas vezes o produto desses dois ados peo cosseno do ânguo formado por ees. pt.wikipedia.org 17

18 a = b + c bc. cos  b = a + c ac. cos B c = a + b ab. cos C Exempo: Determine o vaor de x no triânguo ABC abaixo: Apicando a ei dos cossenos:. Lei dos senos Em quaquer triânguo, o quociente entre cada ado e o seno do ânguo oposto é constante e igua à medida do diâmetro da circunferência circunscrita. Exempo: No triânguo abaixo, cacue a medida b. 18

19 b sen 60º sen 45º b b b Exercícios: Resover probemas em Matemática, como o nome já diz, é sempre um probema! Afina, são tantas fórmuas, tantos conceitos e recursos que conhecemos que muitas vezes fica difíci identificar qua a fórmua ou conceito devemos utiizar. Quando os exercícios não estão contextuaizados, geramente encontramos a soução com maior faciidade. Então vamos criar uma rotina para tentarmos obter a soução dos probemas abaixo sem grande dificudade. 1ª Etapa: Ler atentamente a situação probema, identificando os dados importantes e o que se pretende obter. ª Etapa: Identificar as informações e/ou fórmuas necessárias para se obter a soução, Verificar os dados fornecidos peo probema e os dados necessários para utiização da fórmua. ª Etapa: Substituição dos dados na fórmua e resoução dos cácuos. 4ª Etapa: Verificação da resposta obtida. Resova os probemas abaixo, utiizando cada uma dessas etapas. 19

20 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Determine o vaor de x no triânguo ABC abaixo: ) No triânguo abaixo, cacue a medida b. ) (UFPE) Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e B, como iustrado na figura a seguir. Para cacuar o comprimento AB, escohe-se um ponto C na mesma margem em que B está, e medem-se os ânguos CBA = 57º e ACB = 59º. Sabendo que BC mede 0 m, indique, em metros, a distância AB. (Dado: use as aproximações sen 59º = 0,87 e sen 64º= 0,90.) 4) Na figura ao ado, determine o vaor de x 0

21 5) Dois cicistas partem, em inha reta, seguindo em direções que formam entre si um ânguo de 75º. Um dees corre a 600 m por minuto e o outro, a 800 m por minuto. Quantos quiômetros os separam depois de 5 minutos de pedaadas? (Considere: sen 75º = 0,9659 e cos 75º = 0,588) 6) A figura mostra um trecho de um rio onde se deseja construir uma ponte AB. De um ponto P, a 100 m de B, mediu-se o ânguo APB = 45º e do ponto A, mediu-se o ânguo PAB = 0º. Cacuar o comprimento da ponte. 7) (UNIRIO) Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escaa. Sabe-se que AB = 80 km e AC = 10 Km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura. Logo, a distância entre B e C, em Km, é: a) Menor que 90 b) maior que 90 e menor que 100 c) maior que 100 e menor que 110 d) maior que 110 e menor que 10 e) maior que 10 1

22 8. Uma das regiões mais importantes da cidade e porta de entrada de visitantes que chegam peo mar está sendo revitaizada a partir de um projeto denominado pea Prefeitura do Rio de Janeiro como Porto Maraviha. O projeto prevê a derrubada competa do Eevado da Perimetra, com sua substituição por uma maha de vias expressas, merguhões e túneis que, ao fina, vai reintegrar a região com o restante da cidade. Para projetar tais vias e orçar os custos da obra os arquitetos tomaram como base o mapa da região e fizeram o esboço abaixo Com base na figura, cacue qua deverá ser o comprimento da via que igará a Cidade Nova até a pista centra da Av. Brasi. a) A via deverá ter mais de 1 km b) A via deverá ter entre 10 e 11 km c) A via deverá ter exatamente 10 km d) A via deverá ter entre 8 e 9 km e) A via deverá ter entre 7 e 8 km O.B.S.: As atividades aqui apresentadas foram retiradas dos ivros Matemática: Contexto e apicações- Luiz Roberto Dante Fundamentos de Matemática Eementar Geson Iezzi Matemática Paiva Manoe Paiva Atividades do ivro didático- Matemática Ciência e Apicações Geson Iezzi - sobre o assunto abordado na aua.

23 AVALIAÇÃO O processo avaiativo é parte integrante do processo de ensino-aprendizagem e deve ser norteador do ensino oferecido, propiciando ao auno uma tomada de consciência quanto aos seus avanços, dificudades e possibiidades e ao professor, uma refexão sobre sua prática educativa. O estudo da Trigonometria remete ao estudo puro e simpes das medidas dos ados, ânguos e outros eementos dos triânguos, porém o estudo da Trigonometria evouiu bastante e, atuamente, se faz presente em diversas ciências e na ata tecnoogia. Sendo assim, o uso de situações do cotidiano possibiita ao auno identificar a apicabiidade do conteúdo apresentado na em saa de aua, tornando sua aprendizagem efetiva. Também se deve ressatar nesse caso, a avaiação do uso e entendimento da inguagem matemática, através da interpretação de situações probema e da identificação do conceito a ser utiizado para soução. Outro critério de grande importância é, através de propostas de atividades para casa, estimuar a prática diária dos conteúdos ministrados ao ongo das auas, pois somente a prática conduzirá a obtenção da dimensão procedimenta da aprendizagem. Sendo assim, o processo avaiativo deverá ocorrer durante todas as auas, através da observação, por parte do professor das seguintes situações: participação do auno e reaização das atividades propostas, aém da avaiação forma, a qua ocorrerá através da apicação de teste e da avaiação bimestra, utiizando para ta dois tempos de cinquenta minutos.

24 REFERÊNCIAS DANTE, Luiz Roberto, Matemática: Contexto e apicações; 1ª Edição, São Pauo: Ática, 010. DUVAL, Raymond, Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em Matemática; Capítuo do ivro Aprendizagem em Matemática, pág. 11 a IEZZI, Geson, et. A. Matemática Ciência e Apicações, São Pauo: Saraiva 010. IEZZI, Geson, et. A. Fundamentos de Matemática Eementar Trigonometria, 8ª Edição. São Pauo: Atua, 004. MATRIZ DE REFEÊNCIA SAERJINHO 01 acessado em 6/05/01. MIDIATECA - Curso de Aperfeiçoamento oferecido por CECIERJ referente ao 1º ano do Ensino Médio º bimestre/01 acessado em 6/05/01. PAIVA, Manoe, Matemática Paiva, 1º ano 1ª Edição São Pauo: Moderna, 009. PAVANELLO, Regina e NOGUEIRA, Céia, Estudos em Avaiação Educaciona, v. 17, n., jan./abr Disponíve em ROTEIROS DE ACAO Funções Curso de Aperfeiçoamento oferecido por CECIERJ referente ao 1º ano do Ensino Médio º bimestre/01 acessado em 6 /05/01. Endereços eetrônicos acessados de 0/05/01 à 6/05/ 01, utiizados ao ongo do trabaho: http: //www. crv.educacao.mg.gov.br www. maismatematica.wordpress.com 4