MODELO MATEMÁTICO DETERMINÍSTICO PARA A PREVISÃO DA TRANSIÇÃO COLUNAR-EQUIAXIAL NA SOLIDIFICAÇÃO BIDIMENSIONAL 1

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1 MODELO MATEMÁTICO DETERMINÍSTICO PARA A PREVISÃO DA TRANSIÇÃO COLUNAR-EQUIAXIAL NA SOLIDIFICAÇÃO BIDIMENSIONAL 1 Marceo Aquino Martorano 2 Resumo O objetivo do presente trabaho é propor um modeo matemático determinístico para a previsão da transição counar-equiaxia em probemas de soidificação bidimensiona. O modeo desenvovido combina um modeo determinístico com uma técnica para o acompanhamento da frente counar. O modeo matemático determinístico é baseado nas equações de conservação em sistemas mutifásicos e possibiita a obtenção de diversos campos, entre ees, os de temperatura e de fração voumétrica de grãos. A técnica de acompanhamento da frente counar baseia-se no método do autômato ceuar, porém neste trabaho ea não é utiizada para acompanhar cada um dos grãos da estrutura, mas sim apenas a região counar. O modeo foi utiizado para simuar a soidificação de uma iga A-3%Cu em uma cavidade de forma quadrada, onde a extração de caor é reaizada através de duas paredes adjacentes. Os resutados do modeo mostram a movimentação da frente de crescimento counar e, finamente, a posição da transição counar-equiaxia. A maior parte dos resutados apresenta uma boa aderência a aguns dados da iteratura e nota-se que a transição counar-equiaxia pode ser prevista com a utiização de mahas siginificativamente mais grosseiras do que as mahas utiizadas no modeo de autômato ceuar origina. Paavras-chave: Modeo matemático; Transição counar-equiaxia; CET Soidificação bidimensiona; Modeo determinístico. 1 Trabaho apresentado no 12 o Congresso de Fundição (CONAF), reaizado em 27 a 30 de Setembro de 2004, São Pauo, SP. 2 Professor, Departamento de Engenharia Metaúrgica e de Materiais da Escoa Poitécnica da Universidade de São Pauo, Av. Prof. Meo Moraes, 2463, São Pauo, SP, Brasi, CEP

2 1 INTRODUÇÃO A estrutura bruta de soidificação pode apresentar grãos counares e grãos equiaxiais e uma região de transição chamada de transição counar-equiaxia (CET - "coumnar-to-equiaxed transition"). O fenômeno da CET vem sendo investigado há várias décadas através de abordagens teóricas e experimentais. Atuamente sabe-se que a transição ocorre quando os grãos equiaxiais boqueiam o crescimento dos grãos counares durante a soidificação. (1) Hunt (2) propôs o primeiro modeo matemático para a previsão da CET durante a soidificação unidireciona sob condições de estado-estacionário. Uma das hipóteses fundamentais utiizadas foi a de que os grãos counares seriam boqueados quando a fração voumétrica de grãos equiaxiais crescendo a sua frente atingisse o vaor de 0,49. Este critério, que foi posteriormente chamado de "critério de boqueio mecânico", (3) foi utiizado por diversos modeos propostos posteriormente. Atuamente, é possíve cassificar os modeos para a previsão da CET em estocásticos, caso utiizem agum tipo de variáve aeatória, ou determinísticos, caso contrário. Food and Hunt (4,5) utiizaram o conceito básico do modeo de Hunt (2) para propor um modeo determinístico para a previsão da CET durante a soidificação unidireciona, porém sob condições transientes. Os autores soucionaram numericamente a equação de condução de caor para obtenção do campo de temperaturas. A posição da frente de crescimento counar foi acompanhada através da integração numérica de sua veocidade no tempo, como indicado pea equação t x + t t co = x co + v t (1) t + t t onde t é o passo de tempo; x co e x co indicam a posição da frente counar nos intantes de tempo t + t e t, respectivamente, e v é a veocidade da frente, cacuada em função de sua temperatura no instante t. A reação entre a veocidade e a temperatura foi obtida através de uma equação empírica. No processo de soução numérica apresentado no modeo, o domínio unidimensiona de cácuo era dividido em céuas. Durante a soidificação, a maha era ajustada constantemente para garantir que a posição da frente counar coincidia com a face de uma céua, tornando trabahosa a sua impementação. Novamente, para prever o instante em que a frente counar seria boqueada, utiizou-se o critério do boqueio mecânico. Wang e Beckermann (6) impementaram um modeo determinístico mutifásico em regime transiente para cacuar a CET durante a soidificação unidireciona. Neste modeo foi utiizado o conceito de enveope dendrítico e a frente counar foi acompanhada através de uma equação semehante à Eq. (1), no entanto a veocidade v foi cacuada para a temperatura da frente no instante t + t, o que demandou um processo iterativo. Wang e Beckermann (6) também utiizaram o critério do boqueio mecânico para prever a posição da CET. Martorano et a. (3) modificaram o modeo de Wang e Beckermann (6) para eiminar o critério de boqueio mecânico utiizado por todos os modeos determinísticos propostos até então. Estes autores (3) consideraram a interação dos campos de souto entre os grãos equiaxiais e counares, permitindo que a frente counar fosse boqueada naturamente, sem a necessidade de um critério extra, como o do boqueio mecânico.

3 Wang and Beckermann (6) estenderam seu modeo unidimensiona para simuar o caso da soidificação bidimensiona. Após assumir que a veocidade da frente counar era paraea ao fuxo de caor, os autores acompanharam um único ponto previamente escohido da frente counar através da Eq.(1). Após determinação da temperatura neste ponto, assumiu-se que toda a frente estava ocaizada nesta isoterma. Esta hipótese simpificadora desconsidera que diversas partes da frente counar possuem diferentes veocidades e podem estar a diferentes temperaturas. Jacot et a. (7) imementaram um modeo determinístico bidimensiona em regime transiente para a previsão da CET durante a soidificação de ferrosfundidos brancos e cinzentos. A posição da frente counar foi acompanhada através de uma técnica conhecida como voume de fuido (VOF-"voume-offuid"), iniciamente proposta para o acompanhamento de superfícies ivres em probemas da área de fuidodinâmica. O autor apresentou um resutado promissor mostrando a transição counar-equiaxia durante a soidificação de uma peça com geometria ciíndrica, indicando que o método foi capaz de manter o formato da frente counar durante o seu crescimento. Os modeos determinísticos discutidos acima consideram os grãos equiaxiais e counares de forma média, ou seja, não é possíve saber a posição e o formato de cada grão. Os modeos estocásticos, por outro ado, contêm procedimentos para acompanhar a nuceação e o crescimento de cada grão. Esta técnica possibiita o cácuo da imagem da macroestrutura de grãos, através da qua a CET pode ser identificada. No entanto, a grande desvantagem deste tipo de modeo é a necessidade de uma maha numérica suficientemente refinada para resover cada grão presente na estrutura. Desta forma, normamente esta técnica demanda um ato poder computaciona, principamente para simuar estruturas refinadas. Gandin e Rappaz (8) propuseram uma primeira versão do modeo estocástico mais freqüentemente utiizado atuamente para prever a macroestrutura de grãos durante a soidificação bidimensiona. Este modeo, conhecido como autômato ceuar, foi posteriormente modificado por Gandin e Rappaz, (9) atingindo a sua forma mais utiizada. A metodoogia empregada nos modeos estocásticos consiste em subdividir o domínio do meta por uma maha contendo um número suficiente de nós ou sítios para que cada grão da estrutura possa ser resovido. Quando um sítio é ativado, um retânguo será associado a ee e este retânguo começará a crescer, imitando o processo de crescimento dos grãos. Cada um destes sítios podem ser ativados em apenas duas situações: (1) quando a sua temperatura tornar-se menor que uma temperatura de nuceação predefinida ou (2) quando um retânguo associado a um sítio vizinho atingir à sua posição durante o crescimento. Agumas regras, que podem ser encontradas no trabaho origina, (9) devem ser utiizadas para se definir a orientação e o tamanho do retânguo iniciamente associado a cada sítio. O modeo proposto por Gandin e Rappaz (9) foi também utiizado para simuar a formação da estrutura de grãos durante a soidificação tridimensiona. Como discutido anteriormente, a maior desvantagem dos modeos estocáticos é a necessidade da maha refinada para resover cada grão, resutando em tempos computacionais reativamente grandes. A técnica possibiita a obtenção não somente da CET, mas de toda a macroestrutura de grãos. No entanto, em muitos casos deseja-se prever apenas a posição da CET, que indica a quantidade de grãos counares e equiaxiais na estrutura. Nestes

4 casos, a utiização dos modeos estocásticos acarretará em tempos computacionais desnecessariamente ongos, indicando que um modeo determinístico seria preferíve. O objetivo do presente trabaho é a proposta de um modeo matemático determinístico para a previsão da transição counarequiaxia em probemas de soidificação bidimensiona. O modeo desenvovido combina um modeo determinístico com uma técnica para o acompanhamento da frente counar baseada no método do autômato ceuar. Finamente, o modeo será apicado à soidificação de uma iga A-3%Cu em uma cavidade quadrada, fornecendo, entre outros resutados, a posição da transição counar-equiaxia. 2 METODOLOGIA O modeo matemático a ser apresentado foi subdividido em duas partes, cada uma baseada em um tipo de técnica: (1) utiização das equações diferenciais de conservação de massa, energia e espécies químicas para modear os campos de fração de sóido, temperatura e concentração de souto e (2) utiização de uma técnica baseada no modeo de autômato ceuar para prever a posição da frente de crescimento counar. A primeira parte do modeo será chamada de modeo determinístico e a segunda, de agoritmo para acompanhamento da frente de crescimento counar. Estas técnicas estão descritas a seguir. 2.1 Modeo Matemático Determinístico O modeo matemático determinístico é baseado nas equações propostas por Wang e Beckermann (6), em seu modeo mutifásico. Desta forma, as equações são descritas apenas brevemente, pois os detahes podem ser encontrados no trabaho origina. Assumiu-se que o domínio do probema poderia ser dividido em três pseudofases, a saber, sóido (s), íquido interdendrítico (d) e íquido extradendrítico (). As duas fases íquidas podem ser definidas após posicionarse um enveope dendrítico imaginário ao redor de cada grão counar ou equiaxia, formando um contorno que toca a ponta dos braços primários e secundários de dendrita. O íquido interdendrítico é definido como aquee no interior de cada enveope e o extradendrítico é o íquido na região externa ao enveope. As seguintes hipóteses foram utiizadas para a definição das equações diferenciais e agébricas do modeo: (6) o domínio é assumido bidimensiona (definem-se as direções x e y de um sistema de coordenadas retanguares utiizado como referência); o transporte de caor e massa ocorrem apenas por difusão; o íquido interdendrítico (d) possui concentração de souto homogênea; a difusão de souto no sóido é desprezíve; a macrossegregação é desprezíve; existe equiíbrio oca na interface sóido-íquido; o caor específico e a densidade do sóido e íquido são constantes e iguais para o íquido e sóido; todos os grãos equiaxiais nuceiam instantaneamente após um superresfriamento predefinido para a nuceação ( T N ) ter sido utrapassado. A partir dos princípios de conservação de massa, energia e espécies químicas e considerando-se as hipóteses simpificadoras apresentadas, o

5 seguinte conjunto de equações foi obtido e utiizado para modear a soidificação no sistema estudado: (6) T T T εs (2) ρ cp = κ + κ + ρl t x x y y t 4σ D m (k 1)C 1 V [ Iv ( Ω) ] 2 (3) = Γ C C (4) Ω = C ( 1 k) ε (5) = Se V t ε D ( ) s C (6) 1 k C S = εd + e (C C ) t t δe ( ε C ) ε D C S (7) = + e (C C ) t t δe T Tf (8) C = m εs + εd + ε = 1 (9) onde ε é a fração voumétrica de cada fase, indicada peos subescritos 's', 'd' e ''; T é a temperatura; t é o tempo; ρ, c P e L são a densidade, o caor específico e o caor atente, respectivamente; κ é a condutividade térmica média, definida por κ = ε s κ s +(ε d +ε )κ ; C é a concentração do íquido interdendrítico; C é a concentração média no íquido extradendrítico; D é o coeficiente de difusão de souto no íquido; k é o coeficiente de partição de souto; S e é a concentração de área superficia de enveope por voume; δ e é a distância efetiva de difusão de souto ao redor dos enveopes dendríticos; T f é a temperatura do meta puro; m é a incinação da inha iquidus do diagrama de fases; C 0 é a concentração inicia de souto; V é a veocidade da ponta das dendritas equiaxiais; Ω é o superresfriamento adimensiona na ponta das dendritas; Γ é o coeficiente de Gibbs- Thomson; σ 1/(4π 2 ) é a constante de estabiidade margina e Iv -1 é o inverso da função de Ivantsov. As reações extras utiizadas para o cácuo da concentração de área superficia dos enveopes dendríticos (S e ) e da distância efetiva de difusão (δ e ) em função da densidade do número de grãos equiaxiais (n) ou do espaçamento entre os braços primários dos grãos counares (λ 1 ) podem ser obtidas no trabaho de Martorano et a. (3) O sistema de Eqs. (2) a (9) foi soucionado em um domínio quadrado de ado L, onde o sistema de referências foi fixado no vértice inferior esquerdo e o caor foi extraído através do contorno inferior e do contorno à esquerda. As seguintes condições de contorno e inicia foram empregadas para soução da equação da conservação da energia (Eq. (2)) Condição Inicia T = T v 0 x L, 0 y L, t = 0 (10)

6 Condições de Contorno T (11) κ = h( T T a ) x = 0, 0 y L, t > 0 x T (12) = 0 x = L, 0 y L, t > 0 x T (13) κ = h( T T a ) 0 x L, y = 0, t > 0 y T (14) = 0 0 x L, y = L, t > 0 y onde h é o coeficiente de transferência de caor; T V é a temperatura inicia de simuação e T a é uma temperatura de referência do mode, que pode ser a temperatura da água de refrigeração no caso e um mode metáico refrigerado. O sistema de Eqs. (2) a (14) foi discretizado através do método dos voumes finitos em sua formuação impícita utiizando uma maha de voumes finitos quadrados. (3) O sistema de equações agébricas resutante do processo de discretização foi soucionado através do método de Gauss-Seide. Todas as tarefas computacionais foram impementadas através de um código utiizando a inguagem de computador ANSI C com o auxíio de um compiador Borand C++ em um computador pessoa com microprocessador Inte Pentium III. 2.2 Acompanhamento da Frente de Crescimento Counar Um agoritmo especia foi impementado para reaizar o acompanhamento da posição da frente counar em crescimento em um domínio bidimensiona. Este agoritmo foi inspirado em diversos procedimentos do modeo de autômato ceuar (CA) proposto por Gandin e Rappaz (8) para obtenção da macroestrutura competa. No entanto, no presente trabaho o agoritmo impementado tem o objetivo de apenas acompanhar a frente de crescimento counar, sem acompanhar individuamente cada grão counar ou equiaxia. Este agoritmo, que será descrito a seguir, utiiza o campo de temperaturas (T) e o campo de fração de grãos (ε g ) cacuados peo modeo determinístico apresentado no item anterior. Anaogamente ao modeo de autômato ceuar origina, uma maha de nós ou sítios é uniformemente distribuída sobre todo o domínio bidimensiona de cácuo. Estes sítios estão iniciamente desativados, o que significa que estão no estado "íquido", e podem ser ativados, ou seja, tonar-se "sóidos", a partir de um processo de nuceação ou de crescimento. Diferentemente do CA origina, no presente agoritmo apenas os sítios adjacentes ao contorno do domínio podem ser ativados através de um processo de nuceação. Este procedimento representa a nuceação de grãos counares na parede de um mode de fundição. Os sítios internos, por outro ado, somente são ativados através do processo de crescimento de um grão associado ao sítio vizinho. Desta forma, os sítios ativados sempre indicarão apenas os grãos counares, ou seja, a maha de sítios empregada pea técnica de autômato ceuar não acompanhará os grãos equiaxiais. Um retânguo inicia é associado a cada sítio imediatamente ativado. No presente trabaho, cada retânguo pode representar um conjunto de grãos

7 counares e não apenas uma parte de um único grão, como proposto no modeo CA origina. Logo, os retânguos presentes apenas deinearão a frente de crescimento counar. O tamanho deste retânguo inicia é cacuado de forma semehante àquea empregada no CA origina, porém a sua orientação é definida para manter um de seus ados perpendicuar ao gradiente de temperatura no oca. Este retânguo iniciará o crescimento, que é simuado através do aumento da distância entre o seu ado e o sítio ao qua ee está associado. Esta distância é constantemente atuaizada a partir de uma veocidade de crescimento. Esta veocidade é assumida ser igua à veocidade de crescimento da ponta de uma dendrita e pode ser cacuada através da Eq. (3), onde o super-resfriamento adimensiona (Ω) deve ser cacuado pea equação abaixo, em ugar da Eq. (4) C C (15) 0 Ω = C (1 k) Nesta equação, a interação entre os campos de souto das dendritas counares e equiaixiais não está sendo considerada. No cácuo de C, reaizado a partir da Eq. (8), deve-se utiizar a temperatura na posição do ado do quadrado para o qua se deseja determinar a veocidade. A temperatura nesta posição é obtida através de agum processo de interpoação do campo de temperaturas fornecido peo modeo determinístico. O retânguo associado a um sítio ativado poderá ser boqueado somente em duas situações: (1) quando os quatro sítios vizinhos mais próximos da maha estiverem ativados ou (2) quando a fração de grãos equiaxiais (ε g ) na posição da face do reânguo em crescimento for igua ou maior do que 0,49. O primeiro critério não resuta em um boqueio dos grãos counares, porque o processo de seu crescimento já foi transmitido para todos os sítios vizinhos. O segundo critério, entretanto, causará a transição counar-equiaxia (CET) e representa o chamado boqueio mecânico. O vaor de ε g para a apicação do critério na posição da face do retânguo deve ser obtido através da interpoação do campo de ε g fornecido peo modeo determinístico. 3 RESULTADOS E DISCUSSÃO O modeo impementado através das equações e técnicas descritas nos itens anteriores foi utiizado para simuar a soidificação de uma iga A-3%Cu na cavidade bidimensiona descrita no item anterior. As propriedades da iga simuada estão apresentadas na Tabea 1 e as condições de simuação, na Tabea 2. Os vaores foram escohidos para permitirem a comparação dos resutados do presente modeo com aquees fornecidos por Wang e Beckermann. (6) Os resutados do modeo para três diferentes instantes de tempo estão apresentados na Figura 1. Nesta figura estão mostrados os campos de temperatura e fração de grãos, bem como os sítios ativados, que indicam a região composta por grãos counares. No instante de tempo 198 s, observa-se que a fração de grãos equiaxiais à frente dos grãos counares é aproximadamente 0,2, portanto os grão counares ainda estão em crescimento. No instante t = 312 s, a situação é semehante, porém a região de grãos counares aumentou em reação ao instante anterior. Finamente, no instante 498 s observa-se que a fração de grãos equiaxiais à frente dos grãos counares é superior a 0,8, o que significa que a frente de crescimento counar foi boqueada

8 e a transição counar-equiaxia (CET) já ocorreu. Segundo o critério mecânico adotado, a frente é boqueada em uma fração de grãos igua a 0,49. Tabea 1. Propriedades e parâmetros microestruturais da iga A-3%Cu adotados nas simuações. T f é a temperatura de fusão do meta puro, T L é a temperatura iquidus da iga, T eut é a temperatura do eutético e T N é o super-resfriamento para a nuceação dos grãos equiaxiais. Os símboos restantes foram todos definidos no texto. Propriedade A-3%Cu D (m 2.s -1 ) 5x10-9 κ s (W.m -1.K -1 ) 153 κ (W.m -1.K -1 ) 77 L (J.kg -1 ) 400x10 3 c p (J.kg -1.K -1 ) 1333,3 ρ (kg.m -3 ) 2550 m (K.%wt -1 ) -3,37 k 0,17 Γ (m.k) 2,41x10-7 T f (K) 933,5 T L (K) 923,4 T N (K) 0 T eut (K) 821 n (m -3 ) 10-5 λ 1 (m) 5x10-3 Tabea 2. Condições e parâmetros numéricos utiizados nas simuações. N CA e N VF representam o número de sítios da maha do autômato ceuar e o número de voumes finitos da maha utiizada para o modeo determinístico; t representa o passo de tempo do método numérico. Os símboos restantes foram todos definidos no texto. Parâmetros Vaores h (W.m -2.K -1 ) 65 L (m) 0,1 T V (K) 943,4 T a (K) 298 N CA = N VF 40 x 40 ou 60 x 60 t (s) 1 Os resutados apresentados por Wang e Beckermann (6) foram sobrepostos aos resutados do presente modeo, indicando uma exceente aderência para os dois primeiros instantes de tempo discutidos. No entanto, nota-se uma certa discrepância em reação à posição da CET, observada no instante t = 498 s. Estas discrepâncias podem estar reacionadas com o método proposto por estes autores, onde apenas um ponto da frente counar era acompanhado e posteriormente assumido que toda esta frente possuía a mesma temperatura. Todos os resutados apresentados na Figura 1 foram obtidos utiizando-se uma maha de sítios e de voumes finitos igua a 40 x 40, com exceção da Figura 1(d), na qua uma maha de 60x60 eementos foi utiiazada. Não se observa um efeito siginificativo da maha para este caso.

9 W-B T W-B 922,5 K y(m) T Liq 925 K y(m) K 0.01 T K x(m) (a) 920 K 922,5 K W-B T K x(m) K (b) 922,5 K W-B T y(m) K y(m) K x(m) (c) Figura 1. Campo de temperaturas e de fração de grãos cacuados peo modeo. Os sítios ativados representam os grão counares. O resutado de Wang e Beckermann(6) estão sobrepostos também para diversos tempos de simuação t = (a) 195 s ; (b) 312 s; (c)(d) 498. As mahas utiizadas nos casos (a), (b) e (c) foi de 40x40, e no caso (d) 60x60. 4 CONCLUSÕES x(m) As seguintes concusões podem ser obtidas do presente trabaho: 1) O modeo matemático proposto é capaz de acompanhar o crescimento counar e prever a transição counar-equiaxia em uma situação de soidificação bidimensiona da iga A-3%Cu em uma cavidade quadrada; 2) A forma e posição da frente counar prevista peo modeo apresenta boa aderência aos resutados do modeo de Wang e Beckermann (6), no entanto, a posição da CET mostra discrepâncias em reação aos dados destes autores; 3) A mudança de tamanho de maha de 40x40 para 60 x 60 voumes, tanto para a técnica de autômato ceuar quanto para a discretização das equações diferenciais de conservação, não causa diferenças significativas nos (d)

10 resutados, mostrando que mahas muito mais grosseiras do que as utiizadas peos métodos de autômato ceuar cássico podem ser empregadas. Agradecimentos O autor agradece o suporte financeiro da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Pauo, FAPESP (Processo n o. 03/ ). REFERÊNCIAS 1 S.C. FLOOD, J.D. HUNT, ASM Handbook, 1988, v. 15, p J.D. HUNT, Mater. Sci. Eng., 1984, v. 65, p M.A. MARTORANO, C. BECKERMANN, Ch-A. GANDIN, Meta. Mater. Trans. A, 2003, v.34a, p S.C. FLOOD, J.D. HUNT, J. Cryst. Growth, 1987, v. 82, p S.C. FLOOD, J.D. HUNT, J. Cryst. Growth, 1987, v. 82, p C.Y. WANG, C. BECKERMANN, Meta. Mater. Trans. A, 1994, v. 25A, p A. JACOT, D. MAIJIER, S. COCKROFT, Meta. Mater. Trans. A, 2000, v. 31A, p CH.-A.GANDIN, M. RAPPAZ, Acta Meta., 1993, v. 41, p CH.-A. GANDIN, M. RAPPAZ, Acta Mater., 1997, v. 45, p

11 DETERMINISTIC MATHEMATICAL MODEL TO PREDICT THE COLUMNAR-TO-EQUIAXED TRANSITION IN TWO- DIMENSIONAL SOLIDIFICATION 1 Marceo Aquino Martorano 2 Abstracts The objetive of the present work is to propose a deterministic mathematica mode do predict the coumnar-to-equiaxed transition in two-dimensiona soidification probems. The proposed mode combines a deterministic mode with a method to track the coumnar front position. The deterministic mode is based on the conservation equations for mutiphase systems and is used to cacuate severa fied variabes, such as, the temperature and the grain fraction. On the other hand, the method for coumnar front tracking is based on the ceuar automaton technique, which in the present work is used to foow ony the coumnar front, rather than resove each grain in the structure. The compete mode was used to simuate the soidification of a A-3%Cu aoy in a square cavity, from which heat is extracted through two adjacent domain was. The mode resuts show the coumnar front growth and, eventuay, the coumnar-to-equiaxed transition. Most resuts are in reasonabe agreement with some data pubished in the iterature, indicating that the coumnar-to-equiaxed transition might be predicted with much coarser meshes than those empoyed in the origina ceuar automaton mode. Key words: Mathematica mode; Coumnar to equiaxed transition; Two dimensiona soidification; Deterministic mode 1 2 Paper to be presented at CONAF 2005, in São Pauo, Brasi. September 27 to 30, Professor Ph.D.