FLUXO DE CARGA CONTINUADO BASEADO NO MÉTODO DE NEWTON DESONESTO

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1 FLUXO DE CARGA CONTINUADO BASEADO NO MÉTODO DE NEWTON DESONESTO Alfredo Bonini Neto, Dilson Amancio Alves 2 DEE/ FEIS/ UNESP, Ilha Solteira, Brasil, alfredoneto@aluno.feis.unesp.br 2 DEE/ FEIS/ UNESP, Ilha Solteira, Brasil, dalves@dee.feis.unesp.br Resumo: Os métodos de fluxo de carga continuado são utilizados nos estudos de estabilidade estática de tensão. Neste trabalho investiga-se a influência de atualizar a matriz Jacobiana somente quando o sistema sofrer mudança significativa, ao invés de atualizá-la a cada iteração. Os resultados mostram uma redução do tempo computacional no traçado da curva P-V. Palavras chaves: Fluxo de Carga Continuado, Técnica de Parametrização, Matriz Jacobiana. INTRODUÇÃO Há um crescente interesse por parte das empresas na redução do tempo de CPU dos algoritmos utilizados para o traçado das curvas P-V nas etapas de planejamento e operação de um Sistema Elétrico de Potência. Esse interesse é conseqüente da necessidade de se definir as margens de estabilidade de tensão e as ações de controle necessárias não só para as condições normais de operação (caso base), mas também para diferentes condições de contingência. Nestes estudos, as principais características esperadas para o método de fluxo de potência a ser utilizado são a robustez e a eficiência computacional. Nesse sentido os métodos de fluxo de carga continuado (FCC) utilizando o algoritmo de Newton-Raphson mostram-se como os mais robustos. O FCC realiza o traçado completo das curvas P-V através da variação automática do valor de um determinado parâmetro do sistema. A sua robustez é devida à reformulação das equações do FC a qual elimina a singularidade da matriz Jacobiana no e, consequentemente, os problemas numéricos que ocorrem em torno deste. A remoção da singularidade é, em geral, efetuada por meio da adição de equações parametrizadas. Diversas técnicas de parametrização têm sido apresentadas na literatura [-6]. Apesar disso, em virtude da necessidade de redução do tempo computacional, qualquer desenvolvimento adicional objetivando obter uma melhora nas características de convergência do processo de solução, bem como uma redução do tempo computacional necessário para o traçado da curva P-V tem representado um campo de estudo muito atrativo [7-9]. Nos algoritmos de FCC, a cada iteração, um conjunto de equações não-lineares é linearizado em torno da solução atual, e a atualização do estado é obtida pela solução destas equações. Assim, nesse procedimento, os elementos pertencentes à matriz Jacobiana são atualizados a cada iteração. No entanto, após vários estudos realizados concluiu-se que a matriz Jacobiana é importante para a convergência do processo, mas não influencia a solução final. Observe que embora as correções a cada iteração sejam aproximações, o valor da função é calculado de forma exata. Em geral, o processo iterativo parte de uma boa estimativa inicial, ou seja, a obtenção do próximo ponto de operação é realizada ou a partir do ponto anterior, no caso do preditor trivial ou secante de ordem zero, ou a partir de uma estimativa obtida pelo passo preditor, nos casos dos preditores tangente e secante de primeira ordem [3-4] e [9]. Dessa forma, a robustez do método é tal que é possível se considerarem aproximações na matriz Jacobiana sem que se perca a convergência global, e isso, à custa apenas de um aumento relativamente pequeno do número de iterações. Um outro ponto que ficou claro é que a convergência desses métodos também é afetada pelo ajuste das soluções em decorrência da violação dos limites de potência reativa nas barras de geração (barras PV). Assim, no tocante a eficiência computacional, um procedimento comumente utilizado nos métodos de fluxo carga é o de não atualizar a matriz Jacobiana a cada iteração, mas somente quando o sistema sofrer alguma mudança significativa (p.ex., quando da mudança no tipo da barra PV para PQ em virtude da violação de seus limites) ou após o número de iterações excederem um valor predefinido de iterações. Esse procedimento, conhecido como Dishonest Newton Method [0-2], muitas vezes possibilita um ganho considerável no tempo de processamento. Assim, o objetivo desse trabalho é o de apresentar os resultados da avaliação da técnica de parametrização local proposta em [3], comparando seu desempenho considerando dois procedimentos. No primeiro procedimento a atualização da matriz Jacobiana é realizada a cada iteração e no segundo, visando à redução do tempo computacional necessário para o traçado da curva P-V, atualizar a matriz somente quando o sistema sofrer alguma mudança significativa. O desempenho do método, utilizando matrizes constantes, é realizado através do traçado das curvas P-V do sistema IEEE 4, 8 e 300-barras, de uma configuração de 638 barras do sistema Sul-Suldeste Brasileiro e sistema de 904 barras do sudoeste Americano. 2 FLUXO DE CARGA CONTINUADO O traçado da curva P-V é realizado por meio de sucessivas soluções do sistema de equações do FC, considerando um crescimento da carga numa direção predefinida. De forma a se automatizar o processo de Serra Negra, SP - ISSN

2 Fluxo de Carga Continuado Baseado no Método de Newton Desonesto Alfredo Bonini Neto, Dilson Amancio Alves. levantamento da curva P-V, o sistema de equações dos balanços de potências ativa e reativa nodais do FC é descrito por λ Pθ, V λ Qθ, V esp P 0 Gθ, V, λ 0 () esp Q 0 onde os respectivos vetores das magnitudes e ângulos das tensões nodais, V e, excetuando os da barra referência, são as variáveis dependentes, enquanto que, P esp e Q esp, são as variáveis independentes. Com a inclusão de como variável qualquer uma das n + incógnitas pode ser definida como parâmetro. Em geral os FCC apresentam quatro elementos básicos: a parametrização, o passo preditor, o passo corretor e o controle de passo. A parametrização é considerada como o elemento mais importante porque é através dela que se procura garantir a não singularidade da matriz Jacobiana (J) no. Para a obtenção de curvas P-V, a adição de equações parametrizadas à equação () tem sido um procedimento padrão [3]. De uma forma geral a equação a ser acrescida pode ser colocada na seguinte forma: R(y,,,)=(- 0 )-([y]- [y 0 ])=0 (2) onde e são coeficiente angulares que definem a reta a ser utilizada, e [y] é a medida escalar do vetor y=[y,...,y n ] T, a qual pode ser escolhida dentre várias formas [3] e [4]: [y]= y k onde k é qualquer um dos índices k n; [y]= y =máx.{y, y 2,..., y n } (3) [y]= y 3 =(y +y y n )/n=(y k )/n As duas primeiras formas encontram-se dentre as técnicas de parametrização local, enquanto que a última é um exemplo da técnica de parametrização global. 2. Revisão do fluxo de carga continuado proposto O método de fluxo de carga continuado proposto (FCCP) em [3] utiliza a equação de uma reta que passa através de um ponto no plano determinado pelas variáveis fator de carregamento e magnitude da tensão nodal de uma barra k qualquer. Assim, considera-se [y]= y k onde k é qualquer um dos índices k n, n o número de barras. Conforme é apresentado na figura, o valor de = e o parâmetro é o coeficiente angular da reta que passa por um ponto inicial escolhido, ponto O ( 0 =0,[y] 0 =V k =), situado no plano formado pelas variáveis e [y]. Com a adição de uma destas equações, passa a ser tratado como uma variável dependente e como uma variável independente, ou seja, escolhida como parâmetro da continuação. Assim, o número de incógnitas é igual ao de equações, isto é, a condição necessária para que se tenha solução é atendida, desde que a matriz tenha posto completo, isto é, seja não singular. Assim, com a solução do caso base (, V e ) calculase o valor de a partir do ponto inicial escolhido O e dos seus respectivos valores obtidos no caso base P (, [y] ): = ([y] -[y] 0 )/( - 0 ) (4) Para = +, a solução do novo sistema de equações formado pelas equações () e (2) fornecerá o novo ponto de operação ( 2, V 2 e 2 ) correspondente à interseção da trajetória de soluções (curva -[y]) com a reta cujo novo valor de coeficiente angular ( +) foi especificado. Para =, a solução obtida deverá resultar em =. A expansão do novo sistema de equações em série de Taylor, incluindo somente os termos de primeira ordem e considerando o valor prefixado no valor do parâmetro calculado para o caso base, resulta em: [y]= yk O J R x Δα = -0,05 G α P x J Δα = 0,02 m Δα = -0,05 / 0 x G R Fator de carregamento λ Figura. Curva -y k da barra 2 do sistema IEEE 4 sendo que x=[ T V T ] T, J e J m são as respectivas matrizes Jacobianas do FC convencional e do FCC, e G corresponde à derivada de G em relação a. Os próximos pontos da curva -[y] são obtidos diminuindo-se gradualmente o valor de, i+ = i até que o FCCP não encontra solução, ou seja, quando a reta R não mais intercepta a trajetória de soluções. Nesse ponto, é efetuada a mudança das coordenadas do centro do feixe de retas do ponto O para o ponto médio (PM) situado entre os dois últimos pontos obtidos, ou seja, as coordenadas do novo centro de feixe de retas serão PM ((y 3 a +y 3 b )/2, (λ a +λ b )/2). A seguir, considere a equação da reta que passa por PM e pelo último ponto obtido. Uma vez passado o, o restante da curva é traçada considerando-se novamente as equações das retas que passam pelas coordenadas do ponto O, com. Observa-se que para alguns sistemas é possível obter o usando-se apenas as equações das retas pertencentes ao feixe que passa pelo ponto O, como mostrado na figura. Para facilitar a compreensão do método proposto em [3], a figura 2 apresenta o seu correspondente fluxograma. E R reta na qual o FCCP não encontrou solução antes da redução de passo (5) Serra Negra, SP - ISSN

3 Figura 2: Fluxograma do FCCP. Serra Negra, SP - ISSN

4 Fluxo de Carga Continuado Baseado no Método de Newton Desonesto Alfredo Bonini Neto, Dilson Amancio Alves. 3 RESULTADOS Para todos os testes realizados, a tolerância adotada para o mismatch total de potência foi de 0 4 p.u. A consideração dos limites de potência reativa (Q) nas barras PV's é feito da mesma forma que no método convencional de FC. O valor adotado para o passo () no método apresentado em [3] foi de 0,05 respectivamente. A tabela apresenta, para os cinco sistemas analisados, os valores de no ( ) e da tensão crítica computado pela técnica de parametrização apresentada (-V k ). Nesta tabela pode-se observar para todos os sistemas, os valores do obtidos considerando o passo de 0,05. A figura 3 mostra o desempenho FCCP durante o traçado da curva P-V do sistema IEEE-300, considerando a magnitude da tensão da barra crítica 526 como parâmetro. Da figura 3(a) se pode observar que no caso da barra crítica (barra 526), o algoritmo não necessita efetuar a mudança do centro do feixe de retas para o ponto médio PM. A figura 3(b) mostra o número de iteração gasto pelo FCCP e pelo método do FCC parametrizado por tensão [2], de onde se pode notar que os desempenhos (número de iterações) de ambos os métodos foram praticamente os mesmos. A figura 3(c) apresenta a comparação entre os tempos de CPU gastos pelo FCCP e pelo FCC parametrizado pela magnitude de tensão da barra 526, V 526. Novamente aqui, se Tensão [p.u.] Número de iterações Tempo de CPU O Δα = - 0,05 V 526 O = FCCP + = FCC parametrizado por V 526 P (caso base) Fator de carregamento λ (a) O = FCCP + = FCC parametrizado por V 526 (c) Figura 3: Desempenho do FCCP para o IEEE-300: (a) magnitude da tensão da barra de carga crítica 526 (V 526 ) em função de λ, (b) número de iterações, (c) tempos de CPU para o FCCP e para o FCC parametrizado pela magnitude de tensão da barra 526. (b) Tabela. Ponto de máximo carregamento e tensão crítica dos sistemas analisados. Sistemas Tensão Crítica (p.u.) ,0530 0,7 638,0087 0,77 904,976 0,68 pode considerar que a diferença de tempo entre os métodos é praticamente desprezível, ou seja, que os desempenhos dos métodos são praticamente os mesmos quando da atualização da matriz J a cada iteração. 3. Influência da atualização da Matriz Jacobiana O objetivo desse item é o de avaliar a técnica de parametrização proposta em [3], comparando seus desempenhos considerando dois procedimentos. No primeiro procedimento (P) a atualização da matriz Jacobiana é realizada a cada iteração e no segundo (P2), somente quando o sistema sofrer alguma mudança significativa. Em todas as tabelas que se seguem, para ambos os procedimentos, é apresentado o número total de iterações (IC) necessários para o traçado completo da curva P-V, e no caso de P2, também é mostrado o número total de iterações (ACo) para o qual há a atualização da matriz. Os tempos computacionais requeridos por cada uma das técnicas de parametrização analisadas, considerando o procedimento P2, são apresentados na sétima coluna de suas respectivas tabelas. Seus valores foram normalizados pelos respectivos tempos requeridos considerando o procedimento P, o qual se encontra na quarta coluna de cada uma das tabelas. A figura 4 apresenta resultados do desempenho do sistema IEEE-8 barras. A figura 4(a) apresenta a curva P- V (curva da barra crítica V 3 em função do carregamento λ). Na figura 4(b) é apresentado o número de iterações, considerando os procedimentos P e P2. Embora o número de iterações pareça maior para o procedimento P2, em termos de tempo de CPU apresenta-se o contrário, isto se deve ao fato que pelo procedimento P2 a matriz é atualizada somente quando necessário. A figura 4(c) e a tabela 2 comprovam estes resultados, o procedimento P exige 94 iterações (com atualizações em todas elas), enquanto que o P2 exige 08 iterações com apenas 59 atualizações, acarretando com isso, uma redução da ordem de 29,4% no tempo de CPU. Na figura 5 e na tabela 2 apresentam-se o desempenho do FCCP para o sistema de 904 barras. Na figura 5(a) encontra-se a curva P-V da barra crítica (38) em função de λ. Na figura 5(b) são apresentados os números de iterações (IC) para cada um dos procedimentos, P e P2. Os tempos de CPU necessários para obtenção de cada ponto da curva, utilizando ambos os procedimentos, são apresentados na figura 5(c). Observando a tabela 2, pode se notar uma redução do tempo computacional utilizando o procedimento P2, embora o número de iterações seja maior (79), a matriz Jacobiana foi atualizada somente 32 vezes (ACo), enquanto que com P, foram feitas ao todo 75 atualizações. Assim, há uma Serra Negra, SP - ISSN

5 redução de 29,2% no tempo de CPU. Já para os sistemas IEEE 300 e 600 barras, a redução do tempo computacional para o traçado completo da curva P-V foram de 39,3% e 4,%, respectivamente. sistemas IEEE 300 e 638 barras, a redução do tempo computacional para o traçado completo da curva P-V foram de 2,% e 39,2%, respectivamente. y k =V 3 [p.u.] V 3 PM (a) y k =V 38 [p.u.], 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 V 38 Δα = (a) 0,3 Número de iterações Tempo de CPU [s] Fator de carregamento, λ 8 - Procedimento P Procedimento P Figura 4. Sistema 8 barras: (a) Curva P-V da barra crítica 3, (b) número de iterações, (c) tempo de CPU. Tabela 2. Desempenho do FCCP considerando os procedimentos P e P2 P P2 Sistema Barra Redução IC Tempo CPU IC ACo Tempo CPU CPU (%) (p.u.) (p.u.) , ,789 2, , ,706 29, , ,607 39, , ,589 4, , ,708 29,2 A tabela 3 apresenta os resultados considerando uma barra k qualquer. Por exemplo, considerando a barra 44 do sistema teste do IEEE-8, também pode se notar uma redução do tempo computacional utilizando o procedimento P2. O número de iterações utilizando o procedimento P foi igual a 0, enquanto que para o P2 foram 30 iterações. Embora o número de iterações seja maior (30), a matriz Jacobiana foi atualizada somente 54 vezes (ACo). Assim, há uma redução de 24,4% no tempo de CPU. Já para os (b) (c) Número de iterações Tempo de CPU [s] 0,2 0, ,8 0,6 0 0,2 0,4 0,6 0,8,2 - Procedimento P + - Procedimento P2 Figura 5. Sistema 904 barras: (a) Curva P-V da barra crítica 38, (b) número de iterações, (c) tempo de CPU. Tabela 3. Desempenho do FCCP considerando uma barra k qualquer, e os procedimentos P e P2 P P2 Sistema Barra Redução IC Tempo CPU IC ACo Tempo CPU CPU (%) (p.u.) (p.u.) , ,790 2, , ,756 24, , ,789 2, , ,608 39, , ,763 23,7 4 CONCLUSÃO =,976 Fator de carregamento, λ Neste trabalho a avaliação da técnica de parametrização local proposta em [3] é realizada considerando o método de Newton Desonesto. Seu desempenho é avaliado considerando, durante o traçado da curva P-V, a atualização da matriz Jacobiana somente quando o sistema sofrer alguma mudança significativa. (b) (c) Serra Negra, SP - ISSN

6 Fluxo de Carga Continuado Baseado no Método de Newton Desonesto Alfredo Bonini Neto, Dilson Amancio Alves. Dos resultados se conclui que é possível conseguir-se uma redução do tempo computacional, ou seja, uma melhora na eficiência da técnica, sem a perda de robustez. Para os cinco sistemas estudados, há uma redução da ordem de 2% a 40% do tempo computacional necessário para o traçado da curva P-V. Assim, os resultados obtidos confirmam uma melhora da eficiência do método bem como mostram sua viabilidade para aplicações em estudos relacionados com a avaliação da estabilidade estática de tensão. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem ao CNPq e à FAPESP pelo apoio financeiro. [2] Semlyen A., Léon F.. (200). Quasi-newton power flow using partial jacobian updates, IEEE Trans. Power Syst., 6, (3), pp [3] Bonini Neto, A., Alves, D. A., (2008). Técnica de Parametrização Geométrica para o Fluxo de Carga Continuado Baseado nas Variáveis Tensão Nodal e Fator de Carregamento. SBA. Sociedade Brasileira de Automática., v.9, p [4] Zhao J., Zhang B.. (2006). Reasons and countermeasures for computation failures of continuation power flow. IEEE Power Engineering Society General Meeting, June, pp. 6.a REFERÊNCIAS [] Cañizares C. A., Alvarado F. L., DeMarco C. L., Dobson.I., and Long W. F., (992). "Point of Collapse Methods Applied to AC/DC Power Systems", IEEE Trans. Power Systems, vol. 7, pp [2] Ajjarapu V., and Christy C., (992). "The continuation power flow: A tool for steady state voltage stability analysis", IEEE Trans. on Power Systems, vol. 7, pp [3] Seydel R., (994). "From Equilibrium to Chaos: Practical Bifurcation and Stability Analysis", 2ª ed., New York: Springer-Verlag, p [4] Chiang H. D., Flueck A. J., Shah K. S., and Balu N., (995). "CPFLOW: A practical tool for tracing power systems steady-state stationary behavior due to load and generation variations", IEEE Trans. Power Systems, vol. 0, pp [5] Alves D. A., da Silva L. C. P., Castro C. A., e da Costa V. F., (2003). Study of Alternative Schemes for the Parameterization Step of the Continuation Power Flow Method Based on Physical Parameters-Part-I: Mathematical Modeling, Electric Power Components and Systems, v. 3, n. 2, December, pp [6] Garbelini E., Alves D. A., Bonini Neto. A., Righeto E., Silva L. C. P., Castro C. A.. (2007). An efficient geometric parameterization technique for the continuation power flow, Electr. Power Syst. Res., 77, (), pp [7] Mori H., Kojima T.. (2004). Hybrid continuation power flow with linear-nonlinear predictor, International Conference on Power System Technology, November, pp [8] Mori H. e Seki K.. (2007). Continuation newton- GMRES power flow with linear and nonlinear predictors, Large Engineering Systems Conference on Power Engineering, October, pp [9] Li S. H., Chiang H. D.. (2008). Nonlinear predictors and hybrid corrector for fast continuation power flow, IET Gener. Transm. Distrib., 2, (3), pp [0] Chai J. S., Bose A.. (993). Bottlenecks in parallel algorithms for power system stability analysis, IEEE Trans. Power Syst., 8, (), pp [] Jovanovic S.. (2000). Semi-newton load flow algorithms in transient security simulations, IEEE Trans. Power Syst., 5, (2), pp Serra Negra, SP - ISSN