Integration Methods Used in Numerical Simulations of Electromagnetic Transients

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1 16 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 9, NO. 7, DECEMBER 211 Integration Methods Used in Numerical Simulations of Electromagnetic Transients R. C. Silva, Student Member, IEEE, S. Kurokawa, Member Abstract This paper made an analysis of some numerical integration methods that can be used in electromagnetic transient simulations. Among the existing methods, we analyzed the trapezoidal integration method (or Heun formula), Simpson's Rule and Runge-Kutta. These methods were used in simulations of electromagnetic transients in power systems, resulting from switching operations and maneuvers that occur in transmission lines. Analyzed the characteristics such as accuracy, computation time and robustness of the methods of integration. Keywords Electromagnetic transients, transmission lines, electric power, numerical methods, cascade of π-circuits. I. INTRODUÇÃO S SOLUÇÕES analíticas das equações diferenciais de Acorrentes e tensões, no domínio do tempo, de uma linha de transmissão são conhecidas para o caso em que as perdas na mesma são desconsideradas [1,2]. No entanto, este modelo (sem perdas) não representa adequadamente uma linha real, que possui uma resistência e uma condutância distribuídas ao longo do seu comprimento [1,2]. Sabe-se que em algumas situações, uma linha de transmissão pode ser representada por meio de uma cascata de circuitos π [3]. Este modelo é desenvolvido diretamente no domínio do tempo e permite levar em conta o efeito da frequência nos parâmetros longitudinais da linha [4]. Quando uma linha é representada por meio de uma cascata de circuitos π, as correntes e tensões ao longo da mesma são obtidas por meio da solução das equações de estado. A integração das equações de estado geralmente é realizada por meio do método de integração numérica denominada Fórmula de Heun ou método de integração trapezoidal [5], que é o método de integração utilizado em softwares do tipo ATP (AlternativeTransientsProgram, respectivamente) que são softwares utilizados para simulações de transitórios eletromagnéticos em sistemas de energia elétrica [6].Uma outra opção para simular as correntes e tensões ao longo da linha é a implementação computacional das rotinas que realizam a integração numérica das equações de estado [5,7]. Neste trabalho será feita uma análise da performance dos métodos de integração numérica mais conhecidos (dentre os métodos, foram escolhidos a fórmula de Heun, a regra de Simpson e o método de Runge-Kutta). Estes métodos serão utilizados em simulações de transitórios eletromagnéticos resultantes de operações de manobras e chaveamentos que ocorrem em linhas de transmissão de energia elétrica. Os resultados obtidos com os métodos numéricos apresentados no artigo foram comparados com resultados obtidos com o ATP (Alternative Transients Program). II. REPRESENTAÇÃO DE UMA LINHA MONOFÁSICA POR MEIO DE UMA CASCATA DE CIRCUITOS Π Uma linha de transmissão é caracterizada pelo fato de que seus parâmetros longitudinais e transversais são distribuídos ao longo do comprimento da mesma. No entanto, em algumas situações, a linha pode ser representada por meio de elementos discretos de circuitos. Uma situação em que os parâmetros distribuídos de uma linha podem ser representados por parâmetros discretos, é em estudos de transitórios resultantes de operações de manobras e de chaveamentos que ocorrem em linhas de transmissão. Nestas condições, uma linha monofásica pode ser representada por meio de uma cascata de circuitos π [9], conforme mostra a Fig. 1. Figura 1. Linha de transmissão representada por cascata de circuitos π. Na Fig. 1, uma linha de transmissão monofásica de comprimento d é representada por n circuitos π conectados emcascata. Os elementos R, L, C e G que constituem o circuito mostrado na Figura 1 são escritos em função dos parâmetros longitudinais (R' e L') e transversais (C' e G'), por unidade de comprimento, da linha. Deste modo, para uma linha de comprimento d, representada por n circuitos π, obtémse: R = R ' d n L =L ' d n Este trabalho foi desenvolvido no Laboratório de Estudos de Transitórios Eletromagnéticos (LETEL), com recursos concedidos pela FAPESP e pelo CNPq. R. C. Silva, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, São Paulo, Brazil, rcleber@gmail.com S. Kurokawa, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, São Paulo, Brazil, kurokawa@dee.feis.unesp.br C =C ' d n G =G ' d n (4)

2 DA SILVA et al.: INTEGRATION METHODS USED IN 161 As correntes longitudinais e as tensões transversais ao longo da linha representada pelo circuito mostrado na Fig. 1 podem ser escritas na forma de equações de estado [5] ou seja: [x ] =[A][x] +[B]v(t) (5) Em (5), [x] é um vetor com as correntes longitudinais e com as tensões transversais em cada um dos circuitos π, [A] e [B] são as matrizes de estados da cascata de circuitos π e [x ] é um vetor com a derivada do vetor [x] em relação ao tempo. A partir de (5) é possível obter as correntes e tensões ao longo da linha por meio de métodos numéricos de integração [8]. III. MÉTODOSNUMÉRICOS DE INTEGRAÇÃO. Para obter a solução de (5), neste trabalho serão utilizados três métodos de integração numérica que são a fórmula de Heun (ou método de integração trapezoidal), a regra de Simpson e o método de Runge-Kutta. A. Fórmula de Heun A fórmula de Heunbaseia-se na hipótese de que, considerando pequenos intervalos de tempo, a derivada da função a ser integrada (função y ) pode ser aproximada por uma função de primeiro grau [8], conforme a mostra a Fig. 2. valores da tensão v(t) calculados nos instantes t k+1 e t k. A matriz [I] é a matriz identidade e Δt é o intervalo de tempo compreendido entre t k+1 e t k. B. Regra de Simpson A regra de Simpson baseia-se na hipótese de que, considerando pequenos intervalos de tempo, a derivada da função a ser integrada (função y ) pode ser aproximada por uma função de segundo grau [8], conforme a mostra a Fig. 3. Figura 3. Aproximação da derivada da função a ser integrada (curva 1) por uma função do segundo grau (curva 2). A partir da Fig. 3, obtém-se [8]: y(t k+1 )= 1 3 y'(t k+1)+4y'(t M )+y'(t k ) t (8) A partir de (5) e (8) obtém-se: [x(t k+1 )]=[a 1 ]([a 2 ]+[a 3 ]+[a 4 ]) (9) A equação (9) é a regra de Simpson. Nesta equação as matrizes [a 1 ], [a 2 ], [a 3 ] e [a 4 ] são escritas como sendo [8]: Figura 2. Aproximação da derivada da função a ser integrada (curva 1) por uma função do primeiro grau (curva 2). A partir da Fig. 2, considerando que a derivada da função a ser integrada pode ser aproximada por uma função do primeiro grau,obtém-se: y(t ) = 1 2 y, (t ) +y, (t ) t + y(t ) (6) Em (6) y(t k+1 ) e y(t k ) são, respectivamente, os valores da integral da função y' nos instantes t k+1 e t k enquanto que y'(t k+1 ) e y'(t k ) são os valores da função y' nos instantes t k+1 e t k. A partir de (5) e (6) obtém-se: [ ( )] = [I] t 2 [A] [I] + t 2 [A] [x(t k)] + t t [B] [I] 2 2 [A] (v(t k )+v(t k+1 )) A equação (7) é a fórmula de Heun. Nesta equação [x(t k+1 )] e [x(t k )] são os valores do vetor [x(t)] calculados nos instantes t k+1 e t k, respectivamente, enquanto que v(t k+1 ) e v(t k ) são os (7) [a 1 ] = [I]- t 6 [A] -1 (1) [a 2 ] = [I]+ t 6 [A] [x(t k)] (11) [a 3 ]= 2 t 3 [A][y(t m)] (12) [a 4 ] = t 6 [B][v(t k )+4v(t M )+v(t k+1)] (13) sendo: t = t k+1 t k (14) t m = t k+1+t k 2 (15) A regra de Simpson é mais precisa que a fórmula de Heun, mas, no entanto, requer um tempo maior para realizar as simulações.

3 162 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 9, NO. 7, DECEMBER 211 C. Método de Runge-Kutta O método de Runge-Kutta [8] aplicado em (5) resulta em: [x(t k+1 )]=[x(t k )]+ 1 6 (k 1+2k 2 +2k 3 +k 4 ) (16) onde k 1 = t.([a][x(t k )]+[B]v(t k )) (17) k 2 = t ([A]([x(t k )]+ k 1 2 )+[B]v(t k)) (18) k 3 = t ([A]([x(t k )]+ k 2 2 )+[B]v(t k)) (19) k 4 = t ([A]([x(t k )]+k 3 )+[B]v(t k )) (2) IV. RESULTADOS Para analisar as características dos métodos de integração numérica descritos no artigo, a mesma forma utilizada na simulação da energização de uma linha de transmissão monofásica. Considerou-se que a linha foi energizada com uma fonte de tensão constante de 44 kv e que o terminal desta linha está em aberto, conforme mostra a Fig. 4. F. Heun Figura 5. Tensão no terminal da linha em aberto: Fórmula de Heun ( t =,1 µs) e resposta padrão. R. Heun Figura 6. Tensão no terminal da linha em aberto: Fórmula de Heun ( t =,5 µs) e resposta padrão. Figura 4. Energização de uma linha monofásica. Considerou-se que a linha monofásica mostrada na Fig. 4 possui 1 km de comprimento e que os parâmetros desta linha, por unidade de comprimento, são R =,5 Ω/km, L = 1 mh/km, G =,556 µs/kme C = 11,11 ηf/km. Esta linha foi representada por uma cascata com 1 circuitos π. As correntes e tensões ao longo da linha foram escritas na forma de equações de estado e, em seguida, foram calculadas com o auxílio dos métodos de integração numérica descritos anteriormente. Foram realizadas simulações da tensão no terminal da linha considerando passos de cálculo iguais a,1 µs,,5 µs e 1, µs. Os resultados obtidos foram comparados com o resultado obtido com o software ATP e este resultado foi denominada. A. Análise da precisão Neste item será feita uma análise da precisão dos métodos de integração quando os mesmos forem utilizados para simular o procedimento de energização da linha mostrada na Fig. 4. A precisão dos métodos será verificada por meio de comparações com os resultados obtidos com o Alternative Transients Program (ATP). As Figs. 5-7 mostram a tensão no terminal B da linha, obtida com a fórmula de Heun, considerando passos de cálculo iguais a,1 µs,,5 µs e 1, µs, respectivamente. F. Heun Figura 7. Tensão no terminal da linha em aberto: Fórmula de Heun ( t = 1, µs) e resposta padrão. As Figs. 5-7 mostram que quando as simulações são realizadas com a fórmula de Heun, os resultados obtidos são praticamente iguais ao resultado obtido com o ATP. Esta característica se manteve presente nas simulações realizadas com os três passos de cálculo distintos que foram utilizados. As Figs. 8-1 mostram a tensão no terminal B da linha, obtida com a regra de Simpson, considerando passos de cálculo iguais a,1 µs,,5 µs e 1, µs. R. Simpson Figura 8. Tensão no terminal da linha em aberto: Regra de Simpson ( t =,1 µs) e resposta padrão.

4 DA SILVA et al.: INTEGRATION METHODS USED IN 163 R. Simpson Tempos [ms] Figura 9. Tensão no terminal da linha em aberto: Regra de Simpson ( t =,5 µs) e resposta padrão. R. Simpson Tempos [ms] Figura 1. Tensão no terminal da linha em aberto: Regra de Simpson ( t = 1, µs) e resposta padrão. As Figs. 8-1 mostram que os resultados obtidos com a regra de Simpson são praticamente idênticos aos resultados obtidos com o ATP. Portanto conclui-se que a regra de Simpson é adequada para ser utilizada em simulações de transitórios resultantes da energização de linhas de transmissão. As Figs mostram a tensão no terminal B da linha, obtida com o método de Runge-Kutta, considerando passos de cálculo iguais a,1 µs,,5 µs e 1, µs. Runge-Kutta Figura 11. Tensão no terminal da linha em aberto: Runge-Kutta ( t =,1 µs) e resposta padrão. Runge-Kutta Figura 12. Tensão no terminal da linha em aberto: Runge-Kutta ( t =,5 µs) e resposta padrão. Runge-Kutta Figura 13. Tensão no terminal da linha em aberto: Runge-Kutta ( t = 1, µs) e resposta padrão. As Figs mostram que os resultados obtidos com o método de Runge-Kutta são praticamente idênticos aos resultados obtidos com o ATP. Sendo assim, conclui-se que o mesmo é adequado para realizar simulações de transitórios resultantes de operações de manobras e chaveamentos que ocorrem em linhas de transmissão de energia elétrica. As Figs mostram a tensão no terminal da linha obtida com os três métodos numéricos analisados, considerando passos de cálculo igual a,1 µs,,5 µs e 1, µs Figura. 14. Tensão no terminal da linha em aberto: Fórmula de Heun (curva 1), regra de Simpson (curva 2) e Runge-Kutta (curva 3) - t =,1 µs Figura 15. Tensão no terminal da linha em aberto:fórmula de Heun (curva 1), regra de Simpson (curva 2) e Runge-Kutta (curva 3) - t =,5 µs Figura 16. Tensão no terminal da linha em aberto: Fórmula de Heun (curva 1), regra de Simpson (curva 2) e Runge-Kutta (curva 3) - t = 1, µs.

5 164 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 9, NO. 7, DECEMBER 211 As Figs mostram que os três métodos analisados forneceram praticamente a mesma resposta. Portanto, quando se considera a precisão dos resultados, verifica-se que os três métodos apresentam a mesma performance quando utilizados em simulações de transitórios resultantes de operações de manobras e chaveamentos em linhas de transmissão. B. Esforço computacional Para se obter conclusões a respeito do esforço computacional exigido pelos métodos de integração numérica, foram analisados o tempo exigido por cada um dos mesmos para se obter a tensão no terminal da linha mostrada na Fig. 4. Foram analisados os tempos exigidos por cada método para simular a energização da linha representada por uma cascata com 1 circuitos π, considerando passos de cálculo iguais a,1 µs,,5 µs e 1, µs.os resultados são apresentados na tabela I. TABELA I TEMPO DE SIMULAÇÃO REQUERIDOS PELOS MÉTODOS NUMÉRICOS PASSO DE CÁLCULO (µs) ESFORÇO COMPUTACIONAL (TEMPO DE SIMULAÇÃO) HEUN SIMPSON RUNGE-KUTTA,1 ΔT 1 22,52 ΔT 1,63 ΔT 1,5 ΔT 2 8,94 ΔT 2,23 ΔT 2 1, ΔT 3 8,4 ΔT 3,26 ΔT 3 Na tabela I verifica-se que, para um passo de cálculo igual a,1 µs, o tempo necessário para realizar as simulações utilizando a Regra de Simpson é aproximadamente 22 vezes maior do que o tempo exigido quando as simulações são realizadas com a fórmula de Heun. Verifica-se também que quando as simulações são realizadas com o método de Runge- Kutta, o tempo exigido é a metade do tempo exigido pela fórmula de Heun. Como conclusão, é possível afirmar que para os passos de cálculo considerados neste artigo, o método de Runge-Kutta é o mais rápido e a regra de Simpson é o método de integração numérica mais lenta. C. Verificação da robustez Uma outra análise que foi feita neste artigo, diz respeito à precisão do modelo em função do passo de cálculo com valores superiores a 1, µs. Neste artigo, diremos que um método de integração é robusto se a precisão da resposta do mesmo não varia em função do aumento do passo de cálculo. Os resultados mostraram que a fórmula de Heun foi o método mais robusto, pois foi o método cuja precisão mostrou-se menos sensível em função do aumento do passo de cálculo. Quanto à regra de Simpson e ao método de Runge- Kutta, os resultados mostraram que ambos perdem totalmente a precisão à medida que se aumenta o passo de cálculo das simulações. Para se ter uma idéia da robustez da fórmula de Heun, tal método foi utilizado para simular a energização da linha considerando diversos passos de cálculo compreendidos entre 1, µs e 2 µs. Os resultados obtidos para o passo de cálculo igual a 2 µs são mostrados na Fig. 17. A Fig. 17 mostra que mesmo para um passo de cálculo igual a 2 µs a fórmula de Heun fornece uma resposta estável e que apresenta alguma semelhança com a resposta obtida, com o mesmo método, com passos de cálculo menores. Portanto, conclui-se que este método de integração numérica é bastante robusto Figura 17. Tensão no terminal da linha em aberto, obtida com a fórmula de Heun ( t = 2, µs). A robustez da fórmula de Heun torna-o adequado para simulações em que é necessário utilizar um passo de cálculo variável, sendo que provavelmente este é um dos motivos que faz com que este método de integração seja utilizado em programas do tipo ATP. Ao contrário do que ocorre com a fórmula de Heun, a regra de Simpson e o método de Runge-Kutta mostraram-se pouco robustos, conforme pode ser observado nos resultados mostrados nas Figs. 18 e 19. Módulo da Figura 18. Tensão no terminal da linha em aberto, obtida com a Regra de Simpson ( t = 6, µs). A Fig. 18 mostra a tensão no terminal da linha, obtida com a regra de Simpson considerando um passo de cálculo igual a 6 µs. Verifica-se que a resposta apresentada é totalmente diferente da resposta que seria esperado. Deste modo, concluise que este método de integração não é robusto e o mesmo não é adequado para se utilizar em simulações em que se necessita de um passo de cálculo variável. Módulo da Figura 19. Tensão no terminal da linha em aberto, obtida com o método de Runge-Kutta ( t = 5, µs).

6 DA SILVA et al.: INTEGRATION METHODS USED IN 165 A Fig. 19 mostra que o método de Runge-Kutta torna-se totalmente impreciso à medida que o passo de cálculo aumenta, tornando-se também inadequado para simulações em que se utiliza passo de cálculo variável. V. CONCLUSÃO Neste trabalho foram realizadas comparações de três métodos numéricos de integração, considerando a utilização dos mesmos em simulações de transitórios eletromagnéticos em linhas de transmissão de energia elétrica. Foram analisados a Fórmula de Heun, a Regra de Simpson e o método de Runge-Kutta, e foram obtidas conclusões a respeito da precisão, tempo de simulação e robustez dos métodos. Os resultados mostraram que os três métodos de integração numérica apresentam praticamente a mesma precisão para simulações em que o passo de cálculo é menor que 1, µs (que é o que ocorre em simulações de transitórios eletromagnéticos, em sistemas de energia elétrica, resultantes de operações de manobras e chaveamentos que ocorrem em linhas de transmissão). Apesar de apresentarem praticamente a mesma precisão, os métodos analisados são bastante diferentes no que diz respeito ao tempo computacional. Verificou-se que, quando se considera passos de calculo menores que 1, µs, o método de Runge-Kutta é o mais rápido e a regra de Simpson é o mais lento. Nos testes realizados, o método de Runge-Kutta mostrou ser, no mínimo, duas vezes mais rápido que a fórmula de Heun. A regra de Simpson mostrou-se muito mais lenta que a fórmula de Heun, sendo o mais lento dos métodos estudados. No que diz respeito à robustez dos métodos, a fórmula de Heun é a mais robusta e os resultados mostraram que a mesma pode ser utilizada em situações em que se utiliza passo de cálculo variável. A regra de Simpson e o método de Runge- Kutta não são adequados para situações em que se variam passo de cálculo, pois a precisão destes métodos é fortemente dependente do passo de cálculo. De modo geral, verificou-se que a fórmula de Heun é bastante adequada para situações em que o passo de cálculo é variável e o método de Runge-Kutta, que é o mais rápido dos métodos analisados, é o mais adequado quando se considera o passo de cálculo fixo e menor que 1, µs. REFERÊNCIAS [1] R. D. Fuchs, Transmissão de Energia Elétrica: Linhas Aéreas; teoriadas Linhas em Regime Permanente, 2ª edição, Editora livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro, R. J., [2] R. A. Chipman, Teoria e Problemas de Linhas de Transmissão, Editora Mc Graw-Hill do Brasil Ltda, São Paulo, SP, [3] R. M. Nelms, G. B. Sheble, S. M. Newton e L. L. Grigsby, Using A Personal Computer To Teach Power System Transients, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 4, No. 3, August [4] S. Kurokawa, F. N. R. Yamanaka, A. J. Prado e J. Pissolato, Inclusion of the frequency effect in the lumped parameters transmission line model: State space formulation, Electric Power Systems Research, Vol. 79, No. 7, pp , Julho 29. [5] M. S. Mamis, Computation of Electromagnetic Transients on Transmission Lines with Nonlinear Components, IEE Proceedings Generation, Transmission and Distribution, Vol. 15, Nº 2, pags. 2-23, março, 23. [6] A. I. Ibrahim e H. W. Dommel, A Knowledge Base for Switching Surge Transients, International Conference on Power Systems Transients, in Montreal, Canada, Junho 19-23, 25. [7] E. C. M. Costa, S. Kurokawa e J. Pissolato, Corona Discharge Model for Transmission Lines by Lumped Elements, IEEE Latin America Transactions, Vol. 9, NO. 1, março, 211 [8] S. C. Chapra, Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists, Editora McGraw Hill, New York, NY, 25. [9] R. M. Nelms, G. B. Sheble, S. R. Newton e L. L. Grigsby, Using a Personal Computer to Teach Power System Transients, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 4, No. 3, August Rodrigo Cleber da Silva Graduado em Engenharia Elétrica na Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista (21). Cursando atualmente o Mestrado em Engenharia Elétrica na Universidade Estadual Paulista. Suas principais áreas de interesse são transitórios eletromagnéticos em sistemas elétricos de potência utilizando métodos numéricos e modelos de linhas de transmissão para simulações de transitórios eletromagnéticos em sistemas de potência. Sérgio Kurokawa(S 1-M 4) Graduado em Engenharia Elétrica (199).Desde 1994 atua como Professor na Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira da Universidade Estadual Paulista (UNESP). Obteve o título de Doutor em Engenharia Elétrica na Faculdade de Engenharia Elétrica e da Computação da Universidade Estadual Paulista (UNICAMP). Suas principais áreas de interesse são transitórios eletromagnéticos em sistemas elétricos de potência e modelos de linhas de transmissão para simulações de transitórios eletromagnéticos em sistemas de potência.