Modelagem de Sistemas de Aterramento Utilizando a Teoria de Parâmetros Distribuídos

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1 Modelagem de Sistemas de Aterramento Utilizando a Teoria de Parâmetros Distribuídos Claudiner Mendes de Seixas 1,2, Anderson Ricardo Justo de Araújo 1 1 Departamento de Engenharia Elétrica, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, UNESP, Ilha Solteira, SP, Brasil 2 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo, IFSP-Campus Votuporanga, Votuporanga, SP, Brasil Sérgio Kurokawa Departamento de Engenharia Elétrica, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, UNESP, Ilha Solteira, SP, Brasil Resumo O presente trabalho apresenta uma nova técnica de modelagem de eletrodo de aterramento elétrico, submetido a correntes impulsivas de descarga atmosférica, baseada na teoria de linhas de transmissão a parâmetros distribuídos. A técnica permite transformar o sistema de aterramento em circuito elétrico, considerando as influências da frequência, a geometria do aterramento, a permissividade e a resistividade do solo. Desenvolvida utilizando simulações no Matlab e comprovadas no PS/Orcad, foi validada comparando-se as respostas transitórias do circuito equivalente com as respostas das funções hiperbólicas, convertidas para o domínio do tempo. Uma vantagem desta técnica é que o circuito equivalente possibilita análises diretamente no domínio do tempo e permite associação com outros sistemas, como por exemplo, ao modelo de uma torre de transmissão, para obtenção da resposta do conjunto. Palavras-chaves Aterramento elétrico, descargas atmosféricas, linha de transmissão, resistividade do solo, correntes impulsivas, modelagem. I. INTRODUÇÃO Os trabalhos abordando sistemas de aterramento elétrico, especialmente quando submetidos a descargas atmosféricas, tem despertado ao longo do tempo a atenção de muitos pesquisadores, pois deles dependem o bom funcionamento e a confiabilidade dos sistemas elétricos. A utilização de novas ferramentas computacionais e novos estudos visando o projeto de sistemas de aterramento torna-se de fundamental importância no planejamento da transmissão, distribuição e consumo de energia elétrica. De acordo com a literatura técnica, a modelagem de sistemas de aterramento elétrico é feita apoiada basicamente por três teorias, a saber: a) teoria de circuitos elétricos - baseada na representação do comportamento das descargas atmosféricas por componentes de circuitos elétricos [1]-[2]; b) teoria de linhas de transmissão baseada nas equações de propagação de onda [3]-[4]. Segundo [5], a modelagem com base nessa teoria não é tão complexa e apresenta resultados precisos para grande maioria dos transitórios eletromagnéticos no sistema de aterramento e c) teoria de campos eletromagnéticos baseada nas equações de Maxell, os modelos são mais complexos comparados aos anteriores, porém apresentam boa precisão pois necessitam de poucas simplificações [6]-[7]. Existem também diversos trabalhos utilizando abordagem híbrida, isto é, uma combinação das teorias de circuitos e de campos eletromagnéticos [8]-[9]. A modelagem pela aplicação direta da Teoria de Linhas de Transmissão (TLT) tem por inconveniente não fornecer as respostas diretamente no Domínio do Tempo (DT). Este trabalho tem por objetivo propor uma técnica nova para obtenção de um modelo diretamente no DT, usando modelos e ferramentas existentes (TLT, aproximação por funções racionais, análise de circuitos elétricos), para determinar a impedância de um eletrodo horizontal de aterramento, a partir das tensões e correntes obtidas no Domínio da Frequência (DF) pela TLT. A técnica utiliza a aproximação pelo método dos mínimos quadrados realizada por meio do vector fitting [10] para obtenção da função racional representativa da impedância harmônica, a partir da qual se determina o circuito equivalente (composto por elementos R, L e C) que representa, diretamente no domínio do tempo, os parâmetros (R, L, G e C) distribuídos ao longo do eletrodo e do solo. A maior contribuição deste trabalho é o desenvolvimento da técnica usada para obtenção do modelo diretamente no DT (circuito elétrico equivalente), aplicando a TLT a parâmetros distribuídos, que considera a influência dos efeitos da frequência, sem necessidade do uso da transformada inversa de Fourier para conversão das respostas (tensões e correntes) do DF para o DT. Assim, o circuito elétrico equivalente pode ser simulado em softwares disponíveis no mercado, que realizam simulações no DT, para obtenção direta das respostas transitórias de tensão e corrente. Para análise transitória de um sistema real de aterramento, tipo cabos contrapeso de torres de transmissão, aplicando a técnica proposta neste trabalho, é necessário conhecer os parâmetros (resistividade, permissividade) do solo, a geometria do aterramento (comprimento, raio, resistividade e profundidade de enterramento do eletrodo), disponibilizar de softwares de simulação, como por exemplo o Matlab e. aplicar a técnica descrita a seguir. II. MODELO PROPOSTO PARA SISTEMA DE ATERRAMENTO As equações diferenciais que descrevem as tensões e correntes ao longo de uma linha de transmissão são dadas em função da distância x, por (1) [4].

2 (1-a) conforme descrito por [11] e [12]. Na Fig. 2 é apresentado um esquema simplificado destes parâmetros. (1-b) Como estas equações são de difícil solução no domínio do tempo, a solução será obtida no domínio da frequência. Para isso (1) podem ser reescritas conforme (2) [4]. Sendo: a impedância longitudinal da linha e, admitância transversal da linha. (2-a) (2-b) Analisando o eletrodo de aterramento como um quadripolo, Fig.1, a partir das grandezas físicas de correntes e tensões nos seus terminais emissor (A) e receptor (B), a relação estabelecida entre essas grandezas é dada por (3), considerando que a corrente I B (s) no terminal receptor, em aberto para eletrodo de aterramento, é zero [11]. Fig. 2. Parâmetros (R, L, G e C) distribuídos, para eletrodo enterrado. As equações (5-a) a (5-d) mostram como estes parâmetros foram calculados, considerando u=1m (comprimento unitário do eletrodo). * ( ) + (5-a) (5-b) [ ( ) ] (5-c) * ( ) + (5-d) Fig. 1. Tensões e correntes nos terminais do eletrodo. (3-a) (3-b) Sendo ρ cu a resistividade do cobre em Ω.mm 2 /m, ρ a resistividade do solo em Ω.m, μ a permeabilidade magnética do solo em H/m, ε a permissividade elétrica do solo em F/m e e a permeabilidade magnética (H/m) e a permissividade elétrica (F/m), respectivamente, do vácuo. As constantes geométricas do sistema de aterramento, dadas em metros, são o raio r da seção transversal do eletrodo e a profundidade h na qual o eletrodo encontra-se aterrado. Fazendo-se algumas manipulações matemáticas, a partir de (3) determina-se a impedância harmônica (Z A =V A /I A ) e Admitância harmônica (Y A ), conforme (6). Sendo γ a função de propagação expressa por (4-a) e Z c a impedância característica dada por (4-b), ambas dependendo dos parâmetros do eletrodo e do solo dados por (5). (4-a) (4-b) Para solução de (3), os parâmetros longitudinais R (resistência em Ω/m) e L (indutância em H/m) e transversais G (condutância em S/m) e C (capacitância em F/m) do eletrodo/solo foram calculados, por unidade de comprimento, (6-a) (6-b) Com os valores de corrente e de tensão obtidos no domínio da frequência, por meio de transformada inversa de Fourier, obtêm-se os resultados no domínio do tempo [13]. Essa forma de onda será considerada como padrão para validação do modelo proposto, composto por elementos de circuito RLC. Aplicando-se no resultado (curva da admitância) obtido pelas funções hiperbólicas (6-b), o método de aproximação baseado nos mínimos quadrados chamado de Vector Fitting (VF), obtém-se as funções racionais do tipo apresentada em

3 (7) que representam com bastante precisão a mesma curva da admitância Y A (s) obtida pelas funções hiperbólicas. O objetivo do VF é aproximar a resposta em frequência F(s) por frações parciais, conforme (7). Nesta aplicação a função genérica F(s) é a admitância Y A (s). (7) Onde D é o termo constante E é o termo dependente da frequência, c i são os resíduos, a i os polos e s o operador igual a j2πf, sendo f a frequência. Tanto os resíduos como os polos podem ser números reais ou complexos. Simplificando (7), fazendo D e E igual a zero, F(s) dependerá das frações parciais que podem ser de dois tipos: a) Quando c i e a i são reais: Nesse caso a fração parcial é do tipo mostrado em (8) e um circuito elétrico equivalente é apresentado na Fig.3 [14]: Fig.4. Circuito equivalente para polos complexos conjugados A admitância Y C (s) do circuito equivalente pode ser calculada por (12) ( ) ( ) ( ) (12) Comparando-se (11-b) e (12) obtém-se os elementos R, L e C do circuito equivalente, conforme (13) [14]. (13-a) (8) (13-b) (13-c) Fig. 3. Circuito RL equivalente para polos reais A admitância Y R (s) do circuito equivalente pode ser calculada por (9). Sendo: (13-d) ( ) ( ) (9) Igualando-se (8) e (9) obtém-se os elementos R e L do circuito equivalente, conforme (10). * ( )+ e Dependendo da resposta obtida pelo vector fitting (resíduos/polos reais ou complexos) se aplica o circuito da Fig. 3, da Fig. 4 ou a combinação deles para se obter o modelo proposto. b) Quando c i e a i são complexos conjugado: (10-a) (10-b) Nesse caso a fração parcial é do tipo mostrado em (11) e um circuito elétrico equivalente é apresentado na Fig.4 [14]: (11-a) (11-b) III. RESULTADOS DE SIMULAÇÃO O sistema de aterramento abordado neste estudo é representado por um eletrodo de aterramento horizontal, similar a um cabo contrapeso de uma torre de transmissão, conforme apresentado na Fig. 1. Nas simulações foram considerados: um eletrodo de raio 0,004 m enterrado a uma profundidade de 0,7m, solo com permissividade elétrica relativa igual a 15 e permeabilidade magnética relativa igual a 1, permissividade elétrica e a permeabilidade magnética do vácuo de 8, F/m e 4.π.10-7 H/m, respectivamente. O impulso atmosférico I A (s) é representado por uma onda de frente rápida, tipicamente 1,2/20µs, com pico de 1.000A, matematicamente expressa por uma função dupla exponencial, injetada no terminal emissor do eletrodo.

4 As simulações foram realizadas no software Matlab, para alguns casos, a fim de comprovar a eficiência e validade do modelo, além de servir como exemplos numéricos. Para se chegar ao resultado final, mostrado nas simulações dos itens (A), (B) e (C), se percorreu o seguinte caminho: a) Foi obtida a admitância harmônica equivalente ao aterramento, por meio das funções hiperbólicas, a partir de (6-b); b) Aplicou-se o impulso de corrente I A (s) na admitância Y A (s) e se obteve, após conversão para o domínio do tempo, a forma de onda da elevação da tensão V A1 (t) no ponto de injeção de corrente, conforme esquema mostrado na Fig. 5 [16]. Essa forma de onda foi adotada como padrão para posterior validação do modelo proposto; c) Por meio de aproximação, usando-se o vector fitting, se determinou as funções racionais que representam a admitância (módulo e fase) do aterramento; d) A partir das funções racionais obteve-se o circuito elétrico equivalente ao aterramento, bem como os valores dos elementos discretos R, L e C; e) De posse do circuito elétrico equivalente, aplicou-se um impulso de corrente I A (t) (no DT) conforme mostrado no esquema da Fig. 6 e se obteve a forma de onda da elevação da tensão V A2 (t) no ponto de injeção da corrente. f) As formas de ondas das tensões V A1 (t) e V A2 (t) foram comparadas, para validação do modelo; O circuito elétrico foi simulado no Matlab, no domínio da frequência e a resposta foi convertida para o domínio do tempo. Ele também foi simulado no PSpice (Orcad), diretamente no domínio do tempo. Os dois resultados, como esperado pois se trata do mesmo circuito, foram praticamente idênticos. Por isso, nesse trabalho, foram mostrados apenas os resultados obtidos via Matlab. (14) A partir de (14) foi obtido o circuito equivalente apresentado na Fig. 7. Os elementos calculados para o circuito RLC equivalente foram: R=555,65Ω, L=22,45µH, R 1 =1,64Ω, L 1 =780,81ηH, R 2 =82,08Ω e C=1,93ηF. Fig.7. Circuito RLC equivalente ao aterramento (5m/1.000Ω.m) A elevação de tensão obtida no terminal A, V A1 (tensão padrão via funções hiperbólicas) e V A2 (tensão via modelo proposto) está apresentada na Fig. 8. Fig. 5. Obtenção da tensão padrão V A1, via funções hiperbólicas. Fig. 6. Obtenção da tensão V A2 via circuito RLC Fig. 8. Elevação de tensão no terminal emissor (curvas V A1- padrão, V A2 modelo RLC). A. Simulação para comprimento do eletrodo de 5m e resistividade do solo de 1.000Ωm. Nessa simulação foi obtida, como resultado da aproximação da curva da admitância, a função racional representada em (14). B. Simulação para comprimento do eletrodo igual a 5m e resistividade do solo de 500Ωm. Nessa simulação foi obtida, como resultado da aproximação da curva da admitância, a função racional representada em (15).

5 L 1 =61,65ηH, R 1 =42,00Ω, L 2 =989,33ηH e R 2 =8,81Ω. (15) A partir de (15) foi obtido o circuito equivalente, similar ao apresentado na Fig. 7. Os elementos calculados para o circuito RLC equivalente, foram: R=95,88, L=1,79µH, R 1 =6,70Ω, L 1 =832,79ηH, C= 2,14ηF e R 2 =51,92Ω. A elevação de tensão obtida no terminal A, V A1 (tensão padrão via funções hiperbólicas) e V A2 (tensão via modelo proposto) está apresentada na Fig. 9. Fig.10. Circuito RL equivalente ao aterramento (5m/100Ω.m) Aplicando-se o impulso de corrente I A (t) no circuito da Fig. 7 obteve-se a elevação da tensão V A2 no terminal A, conforme mostrado na Fig. 11. A tensão V A1 é a tensão considerada padrão obtida pelas funções hiperbólicas. Fig. 9. Elevação de tensão no terminal emissor (curvas V A1- padrão, V A2 modelo RLC) C. Simulação para comprimento do eletrodo igual a 5m e resistividade do solo de 100Ω.m. Nessa simulação foi obtida a função racional representada em (16), como resultado da aproximação da curva da admitância. Fig. 11. Elevação de tensão no terminal emissor (curvas V A1- padrão, V A2 modelo RLC) Mesmo resultado obtido na simulação mostrada na Fig. 11 pode ser obtido utilizando-se o circuito equivalente mostrado na Fig. 12, cujos elementos calculados para o circuito RLC equivalente, encontram-se descritos a seguir: L 1a =61,87ηH, C 1a =1,65ηF, R 1a =26,97Ω, R 2a =13,74Ω, L 1b =1,00µH, C 1b =1,25µF, R 1b =8,80Ω, R 2b =0,09Ω (16) Essa função racional da forma como foi obtida em (16) (resíduo negativo) não é fisicamente implementável por circuitos RLC [15] e por isso foi feito algum ajuste, usando apenas duas frações parciais reais, desconsiderando a fração parcial cujo resíduo é negativo. O valor de R 1 também foi reajustado e o circuito elétrico equivalente obtido deste sistema de aterramento está apresentado na Fig. 10. Os valores dos elementos R e L foram ajustado conforme descrito a seguir: Fig.12. Circuito RL equivalente ao aterramento (5m/100Ω.m)

6 Observa-se nas três simulações anteriores que as curvas V A1 e V A2 são praticamente coincidentes, o que mostra que o modelo é preciso, para baixa, média e alta resistividade, 100, 500 e Ω.m, respectivamente. Verifica-se também que quanto maior a resistividade do solo, maior será a sobretensão causada no ponto de injeção do impulso de corrente, para mesmo comprimento de eletrodo. IV. CONCLUSÃO Esse trabalho apresentou uma técnica de modelagem capaz de representar um sistema de aterramento, diretamente no DT, por elementos de circuitos elétricos que representam os parâmetros distribuídos ao longo do eletrodo. Consiste em uma nova ferramenta para análise de transitórios eletromagnéticos em sistemas de aterramento elétrico. O modelo se mostrou bastante preciso e não requer grandes recursos computacionais. As simulações podem ser realizadas diretamente no DT pela maioria dos softwares de simulação disponíveis no mercado. Este modelo (baseado na TLT a parâmetros distribuídos) tem vantagem sobre os modelos baseados na mesma teoria, porém com parâmetros concentrados, por ser mais preciso em altas frequências. Também leva vantagem por ser menos complexo que os modelos baseados nas teorias de circuitos elétricos e de campos eletromagnéticos, visto que apresenta precisão suficiente para as análises de transitórios. Outra vantagem desse modelo é que ele permite a associação com outros elementos de circuito, como por exemplo, o modelo de uma torre de transmissão, para se fazer a análise transitória do conjunto. Os modelos apresentados nas Fig. 7 e 10 atendem vários comprimentos de eletrodo e diferentes resistividades de solo, porém podem existir situações particulares que necessitem algum ajuste no modelo, como foi o caso da simulação do item (C). Para análise transitória de um sistema real de aterramento, aplicando a técnica proposta neste trabalho, é necessário conhecer os parâmetros (resistividade, permissividade) do solo, a geometria do aterramento (comprimento, raio, resistividade e profundidade de enterramento do eletrodo) e disponibilizar de softwares de simulação (ex.: Matlab ). Neste trabalho foi apresentada e testada a modelagem somente para eletrodo de aterramento horizontal (contrapeso). No entanto, a técnica também pode ser empregada para hastes verticais, substituindo a formulação dos parâmetros pertinentes ao eletrodo horizontal (5) pela pertinente à haste vertical, que podem ser encontradas, dentre outras, em [17]. Neste trabalho não foi levado em consideração a ionização do solo nem a variação da resistividade e permissividade do solo em função da frequência. IV. REFERENCIAS [1] A. Geri. "Behaviour of Grounding Systems Excited by High Impulse Currents: the Model and Its Validation ". 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