Circuitos Trifásicos Aula 11 Cálculo de RMS, Potência e Distorção de uma Onda

Transcrição

1 Circuitos Trifásicos Aula 11 Cálculo de RMS, Potência e Distorção de uma Onda Engenharia Elétrica Universidade Federal de Juiz de Fora tinyurl.com/profvariz (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 1 / 30

2 Valor médio de uma onda complexa O valor médio (average) de uma onda periódica de tensão, corrente ou potência está relacionado com a componente contínua desta onda. Graficamente, o valor médio pode ser representado como área sob a curva, no intervalo T, dividido pelo período T. O período T é o intervalo de repetição da onda periódica. F ave = 1 T t0t t 0 f (t) dt (1) (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 2 / 30

3 Valor eficaz de uma onda complexa Dada uma função periódica f (t), o seu valor eficaz ou rms é dado por F rms = 1 T f (t) T 2 dt (2) 0 Escrevendo f (t) na forma de amplitude e fase da série de Fourier f (t) = a 0 A n cos(nωt φ n ) (3) n=1 Substituindo (5) em (4) e lembrando que (a b) 2 = a 2 2ab b 2, obtém-se (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 3 / 30

4 Valor eficaz de uma onda complexa F 2 rms = 1 T T 0 [ ] a a 0 A n cos(nωt φ n ) A 2 n cos 2 (nωt φ n ) dt (4) n=1 n=1 Portanto F rms = a A 2 2 n (5) n=1 Em termos da série de Fourier a n e b n F rms = a (a 2 2 n b 2 n) (6) n=1 (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 4 / 30

5 Valor eficaz de uma onda complexa Finalmente, para uma tensão do tipo v(t) = V cc V 1p cos(ωt φ 1 ) V 2p cos(2ωt φ 2 ) V np cos(nωt φ n ) (7) em que V p é o valor de pico. O valor eficaz é dado por V rms = Vcc 2 V2 1p 2 V2 2p 2 V2 np 2 (8) (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 5 / 30

6 Valor eficaz de uma onda complexa Já, se o valor de amplitude da cada componente harmônica é dada em termos de seu valor eficaz O valor eficaz da onda complexa se torna V pn = V n 2 (9) Finalmente V rms = V rms = Vcc 2 2V V V2 n 2 (10) V 2 cc V 2 1 V2 2 V2 n (11) (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 6 / 30

7 Exemplo Uma forma de onda de tensão complexa que possui um valor eficaz de 240 V contém 30% de terceiro harmônico e 10% de quinto harmônico, ambos inicialmente em fase entre si. a) Determine o valor eficaz da fundamental de cada harmônico. Resposta: V 1 = 228,8 V; V 3 = 68,64 V; V 5 = 22,88 V. b) Escreva uma expressão (representação alternativa) para representar a forma de onda complexa, caso a frequência da fundamental seja 31,83 Hz. Resposta: v(t) = 323,6 cos(200t) 97,07 cos(600t) 32,36 cos(1000t) V (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 7 / 30

8 Potência média de uma onda complexa Considere as seguintes tensão e corrente v(t) = V cc V np cos(nωt θ n ) (12) n=1 i(t) = I cc I mp cos(mωt φ m ) (13) m=1 A potência média (ou ativa) é dada por P = 1 T T 0 v(t)i(t) dt (14) (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 8 / 30

9 Potência média de uma onda complexa Substituindo (14) e (9) em (16) m=1 n=1 I mp V np T m=1 T 0 n=1 I mp V cc T V np I cc T T P = 1 T 0 T 0 T 0 cos(mωt φ m ) dt V cc I cc dt (15) cos(nωt θ n ) dt (16) cos(nωt θ n ) cos(mωt φ m ) dt (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 9 / 30

10 Potência média de uma onda complexa O segundo e o terceiro termos de (19) são iguais a zero, devido a integral do cosseno em um período Os termos da quarta integral são nulos para n m m=1 n=1 I mp V np T m=1 T 0 n=1 I mp V cc T V np I cc T T P = 1 T 0 T 0 T 0 cos(mωt φ m ) dt V cc I cc dt (17) cos(nωt θ n ) dt (18) cos(nωt θ n ) cos(mωt φ m ) dt (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 10 / 30

11 Potência média de uma onda complexa Finalmente, para m = n, a potência média se reduz a P = V cc I cc 1 2 V np I np cos(θ n φ n ) (19) n=1 Já se o valor de amplitude da cada componente harmônica é dada em termos de seu valor eficaz P = V cc I cc V n I n cos(θ n φ n ) (20) n=1 (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 11 / 30

12 Fator de potência Fp = potência ativa total tensão eficaz total corrente eficaz total = P S (21) Alternativamente Fp = V 1I 1 cos(θ 1 ) V 2 I 2 cos(θ 2 ) V n I n cos(θ n ) V rms I rms (22) (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 12 / 30

13 Exemplo Uma tensão complexa expressa por v = 60 cos(ωt) 15 cos(3ωt π/4) 10 cos(5ωt π/2) V alimenta um circuito resultando em uma corrente da forma i = 2 cos(ωt π/6) 0,3 cos(3ωt π/12) 0,1 cos(5ωt 8π/9) A. Determine: a) A potência ativa total fornecida ao circuito; Resposta: 53,26 W b) O fator de potência global. Resposta: 0,841 (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 13 / 30

14 Exemplo Uma tensão complexa expressa por v = cos(ωt) 40 cos(3ωt π/6) 20 cos(5ωt π/12) V, em que ω = 10 4 rad/s, alimenta um circuito série composto por uma resistência R = 5Ω e uma indutância L = 500µH. Determine: a) Uma expressão para a corrente que flui pelo circuito; Resposta: i(t) = 514,14 cos(ωt 0,785)2,43 cos(3ωt 0,726)0,784 cos(5ωt 1,112) A b) O valor rms da corrente; Resposta: I = 11,33 A c) A potência dissipada no circuito. Resposta: P = 642,46 W (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 14 / 30

15 Distorção harmônica total (DHT, THD) O THD (Total harmonic distortion) é definido em consequência da necessidade de se quantificar numericamente o impacto das harmônicas numa onda. O THD f indica a distorção harmônica total em relação à componente fundamental. THD = A 2 2 A2 3 A2 4 A2 n A 1 100% (23) Onde A 1, A 2,, A n representam o valor eficaz das harmônicas de ordem 1, 2,, n. (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 15 / 30

16 Distorção harmônica total (THD) Existe uma outra forma de se calcular o THD, onde quantificado o grau de distorção harmônica total em relação ao sinal total. THD altern = A 2 2 A2 3 A2 4 A2 n 100% (24) A 2 1 A2 2 A2 3 A2 4 A2 n Esta formulação é pouco utilizada na prática. (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 16 / 30

17 Distorção harmônica total (THD) Para exemplificar, vamos determinar o valor do THD f para um sinal de corrente que possua as seguintes características medidas em um dado ponto do circuito Tabela 1: Exemplo de correntes harmônicas em um dado sinal. Ordem Valor(A) I 1 3,63 I 3 2,33 I 5 0,94 I 7 0,69 I 9 0,50 I 11 0,41 I 13 0,33 I total 4,53 (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 17 / 30

18 Distorção harmônica total (THD) Da tabela, temos (2,33)2 (0,94) THD = 2 (0,69) 2 (0,50) 2 (0,41) 2 (0,33) 2 100% (25) 3,63 THD = 74,5% (26) (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 18 / 30

19 Distorção harmônica total (THD) A Figura abaixo mostra o sinal de corrente e o seu respectivo espectro relativo ao exemplo anterior. Deve-se notar que a onda em questão é bastante deformada em relação a uma senóide ideal, o que pode ser verificado pelo alto valor do THD f calculado. Figura 1: Forma de onda de corrente e seu espectro THD f = 74,5%. (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 19 / 30

20 Fator de Ondulação (Ripple) e de Crista (Pico) Fator de Ondulação indica a presença de ondulação em uma onda (sinal) contínua (CC). Ripple = V rms = V rms = V rms (27) V ave V cc V 0 Fator de Crista é particularmente útil para atrair a atenção sobre a presença de valores de pico (crista) excepcionais em relação ao valor eficaz. K p = V pico V rms (28) (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 20 / 30

21 Solução de Circuito com Componentes Harmônicas 17.4 Circuit Applications i(t) V 0 i(t) V 1 cos( 0 t 1 ) v(t) Periodic Source Linear network V 2 cos(2 0 t 2 ) V n cos(n 0 t n ) Linear network (a) (b) Figure (a) Linear network excited by a periodic voltage source, (b) Fourier series representation (time-domain). Figura 2: (a) circuito linear excitado por uma fonte de tensão periódica, (b) Representação da série de Fourier (domínio do tempo). (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 21 / 30

22 V n cos(n 0 t n ) (b) Solução de Circuito com Componentes Harmônicas y a periodic voltage source, (b) Fourier series 779 ). ting n(a) 0 or 0 as in Fig (a), or in acing all inductors V 0 with short Z( circuits = 0) and all rcuits. The response to the ac component is e phasor techniques covered in Chapter 9, as The network is represented by its impedance (n 0 ). Z(n 0 ) is the input impedance at the here replaced by n and I 0, 1 Y(n 0 ) is the recip- (b) he principle of superposition, we add all the r the case Vshown 1 1 in Fig , Z( 0 ) 0(t) i 1 (t) i 2 (t) p (17.41) 0 a 0I n 0 cos(n 0 t c n ) n 1 I 2 n with frequency n 0 has been transformed to n (t), and c n is the argument of I n. I o (b) V 1 1 V 2 2 V n n Z( 0 ) I 2 I n Z(2 0 ) Z(n 0 ) Figure Steady-state responses: (a) dc component, (b) ac component (frequency domain). (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 22 / 30

23 (UFJF) Figura 3: CEL062 Problema 1. tinyurl.com/profvariz 23 / 30 Problema 1 No circuito da figura abaixo a fonte de tensão no domínio do tempo é dada por v(t) = 300 cos(314t) 120 cos(942t 0,698) V. Determine: (a) Frequência fundamental da fonte v; (b) Expressão para a corrente i no domínio do tempo; (c) Espectro harmônico para corrente i; (d) A potência total dissipada no circuito; (e) Expressão para a tensão v 1 no domínio do tempo; (f) Espectro harmônico para a tensão v 1; (g) Expressão para a corrente i c no domínio do tempo. (h) THD da corrente i; v i i c v 1 560Ω 2.123µF 2kΩ

24 Problema 1 Resposta (a)?; (b) i(t) = 0,188 cos(314t 0,644) cos(942t 1,305) A; (c)?; (d) P = 29,7 W; (e) v 1(t) = 105,3 cos(314t 0,644) 81,2 cos(942t 1,305) V; (f)?; (g) i c(t) = 0,150 cos(314t 1,288) 0,141 cos(942t 1,550) A; (h)?. (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 24 / 30

25 Problema 2 Um circuito RC série, no qual R = 1 Ω e C = 100 mf, é excitado pela tensão periódica mostrada a seguir. Calcule as respostas forçadas para i, v r e v c, bem como os respectivos Espectros de frequência e THDs. V r v s (V) V s I 1Ω V c j10 ω Ω t(s) Figura 4: Circuito RL, problema 2. Figura 5: Tensão de entrada (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 25 / 30

26 Problema 2 Resposta i(t) = 0,1908 cos(πt 17,44 )0,1455 cos(3πt 43,30 )0,1074 cos(5πt 57,52 ) A v r(t) = 0,1908 cos(πt 17,44 )0,1455 cos(3πt 43,30 )0,1074 cos(5πt 57,52 ) V v c(t) = 1 2 0,6070 cos(πt 107,44 ) 0,1544 cos(3πt 133,30 ) 0,0684 cos(5πt 147,52 ) V (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 26 / 30

27 Problema 3 Calcule a potência complexa fornecida pela fonte, no exemplo anterior através da forma trigonométrica de Fourier. V r v s (V) V s I 1Ω V c j10 ω Ω t(s) Figura 6: Circuito RL, problema 2. Figura 7: Tensão de entrada Resposta: S = 0,0346 j0,0728 VA (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 27 / 30

28 Problema 4 Um circuito RCL série, no qual R = 100 Ω, L = 1 H e C = 0,04 µf, é excitado pela tensão periódica mostrada a seguir. Calcule a resposta forçada para v c. v s (V) 1 2π π 0 π 2π 3π t(ms) Figura 8: Tensão de entrada Resposta: v c (t) = π cos(5000t 180 ) V (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 28 / 30

29 Problema 5 Determine i 0 (t) na figura a seguir se a tensão de entrada v(t) tem a seguinte forma 2( 1) n v(t) = 1 [cos(nt) n sen(nt)] 1 n2 n=1 4Ω i(t) 2Ω v(t) 2H i 0 (t) 2Ω Figura 9: Problema 5. Resposta: i 0 (t) = 1 4 n=1 ( 1) n 2(1 n 2 ) cos(nt) A (UFJF) CEL062 tinyurl.com/profvariz 29 / 30