MODELAGEM NÃO-UNIFORME DE LINHAS DE TRANSMISSÃO TRIFÁSICAS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

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1 MODELAGEM NÃO-UNIFORME DE LINHAS DE TRANSMISSÃO TRIFÁSICAS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA LEONARDO A. A. SOUZA, ANTONIO C. S. LIMA PROGRAMA DE ENGENHARIA ELÉTRICA, COPPE/UFRJ, UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO CAIXA POSTAL CIDADE UNIVERSITÁRIA RIO DE JANEIRO RJ S: Abstract This article presents an analysis of non-uniform transmission lines. This type of transmission line occurs when the height along the circuit is no longer assumed constant. This can be carried out by segmentation of the actual transmission lines in very small segments, where each segment is represented by an uniform line. In the frequency domain this procedure leads to a cascade of quadripole that can later be converted to a single nodal admittance matrix. To analyze the differences between uniform lines and the non-uniform counterparts two test cases were considered. To obtain the time domain responses a Numerical Laplace Transform was used. Keywords Transmission Lines, Electromagnetic Transients, Frequency Domain, Laplace Transform Resumo Este artigo apresenta a modelagem não-uniforme de linhas de transmissão trifásicas no domínio da frequência. O objetivo é avaliar o comportamento de um vão não-uniforme como os que ocorrem durante a travessia de rios, ou trechos com acentuado declive ou aclive. Face às várias simplificações envolvidas na maioria dos estudos atuais, torna-se oportuna uma avaliação mais abrangente da modelagem não-uniforme de linhas trifásicas, analisando-se diferentes configurações de modelagem por meio das suas respostas ao degrau e impulso. Para a representação da não-uniformidade são consideradas conexões sucessivas de quadripolos para linhas uniformes. A utilização do domínio da frequência permite obter, a partir da cascata de quadripolos e da decomposição modal, um quadripolo equivalente. A Transformada Numérica de Laplace é utilizada para se obter a relação entre os sinais no domínio da frequência e no domínio do tempo. Palavras-chave Linhas de Transmissão, Transitórios Eletromagnéticos, Domínio da Freqüência, Transformada de de Laplace. 1 Introdução Em se tratando de sistemas físicos, quanto mais considerações uma modelagem específica realizar, quanto mais criteriosa for, mais precisa espera-se ser a avaliação pretendida. A maior parte dos estudos de linhas de transmissão é realizada sem considerar a variação da altura dos cabos de transmissão de energia, ou seja, admitindo-a constante. Quando tracionados, especialmente nas chamadas grandes travessias, os cabos apresentam considerável envergadura em relação ao solo, o que altera sua altura ao longo do vão ou trecho Baseado nesse pressuposto, este artigo realiza a modelagem de uma linha de transmissão trifásica de 230 kv em situação de extrema não-uniformidade, como é o caso de uma travessia margem-a-margem de um grande rio. A modelagem não-uniforme de um trecho de linha de transmissão pode ser realizada dividindo-a em segmentos suficientemente pequenos para considerar sua variação longitudinal. A modelagem é avaliada por meio de diferentes respostas a sinais injetados (degrau e impulso) para um estudo de caso, consistindo de trecho de linha com geometria não-uniforme significativa, observadas diferentes configurações. É importante salientar que tal avaliação diz respeito ao comportamento elétrico dos circuitos que representam o trecho de linha não-uniforme, não cabendo aqui a verificação de sua utilidade em termos práticos, como seria o caso dos estudos para coordenação de isolamento, por exemplo. No que diz respeito ao entendimento dos gráficos e textos apresentados neste artigo, tanto para a legenda como para a descrição da figura, o termo linha uniforme é abreviado como LU, o termo linha não-uniforme como LNU e o termo cabos pára-raios como P.R.. 3 Modelagem de Linhas Não-Uniformes A análise de linhas de transmissão normalmente é realizada considerando-se a altura constante para todo o trecho avaliado. Isto permite obter um modelo baseado em ondas trafegantes, sendo possível a representação das relações terminais da linha de transmissão no domínio da frequência ou no domínio do tempo [1, 2]. Contudo, há diversos cenários onde a representação por uma altura constante pode não ser adequada, e.g., travessias de rios, vales ou estreitos, ou até mesmo na conexão da linha de transmissão com a subestação [3, 4]. 3.1 Equacionamento Básico de uma LNU Uma LNU pode ser representada no domínio da frequência através do conjunto de equações diferenciais, vide (1) e (2). Vale lembrar que nessas expressões Z = Z(ω, h, l) e Y(ω, h, l), onde ω é a frequência angular, h a altura do conjunto de condutores que 3939

2 varia ao longo do comprimento l do circuito. dv dx = ZI (1) di dx = YV (2) Diferenciando-se as equações acima e em relação à coordenada x: d 2 V dx 2 = dz dx I Z di dx d 2 I dx = dy 2 dx V Y dv dx (3) (4) Ao contrário do caso da linha de transmissão uniforme, não há solução analítica para (3) e (4). Se o domínio da frequência for utilizado, é possível empregar a técnica conhecida como matrizes em cadeia ( Chain Matrices ou cascata de quadripolos) [5]. A cascata de quadripolos foi bastante utilizada na literatura técnica para a representação de sistemas no domínio da frequência [6, 7, 8]. Uma vez que no presente trabalho é empregado o domínio da frequência e o interesse maior é análise das oscilações de tensão e corrente nos terminais da LNU, empregou-se o método de matrizes em cadeia. Uma LNU de n condutores pode ser representada pela relação matricial mostrada em (5). V E I E = Aeq B eq V (5) R C eq D eq I R Os elementos A eq, B eq, C eq e D eq são os elementos da matriz de transferência equivalente, obtidas pela associação em cascata dos quadripolos. A partir da relação em (5) é possível obter a formulação nodal de um equivalente representando a LNU, conforme mostra (6) I E = Y EE I R Y RE Y ER Y EE V E V R (6) onde Y EE e Y RR são os termos próprios e Y ER e Y T RE os mútuos da matriz de admitância nodal. As relações são mostradas abaixo. Y EE = D eq B eq Y ER = C eq D eq B eq A eq Y RE = B eq (7) por meio da integração trapezoidal da equação da catenária [9]. De posse das alturas médias de cada segmento, podese dar início ao cálculo dos parâmetros de cada quadripolo que compõe a linha não-uniforme. Todas as expressões necessárias para os cálculos estão definidas em [10, 11]. A impedância longitudinal de cada quadripolo será dada por Z (i) e a admitância transversal por Y (i). Ambas são funções da frequência ω, do comprimento definido para o quadripolo l e da altura média h m(i) de cada segmento. Logo, infere-se que, para o caso escalar, a matriz representativa de cada quadripolo, chamada matriz de transferência e neste trabalho definida como P (i), será implementada também em função de ω, l e h m(i). A expressão de P (i) é apresentada em (8), o índice i utilizado indica um contador de uma associação que se inicia em i e vai até um determinado número n de quadripolos. Cada quadripolo Q (i) possuirá uma matriz de transferência P (i). P (i) = A (i) B (i) (8) C (i) D (i) onde as expressões para A (i), B (i), C (i) e D (i) são mostradas abaixo. A (i) = cosh γ (i) ( ) ( ) ( ) sinh( γ (i) ) ( ) B (i) = Z c(i) sinh γ (i) C (i) = Z c(i) D (i) = cosh γ (i) (8a) Definidos e calculados todos os elementos de cada um dos quadripolos necessários à determinada configuração não-uniforme, pode-se realizar a associação em cascata para obtenção do quadripolo equivalente Q eq. Matricialmente, a associação em cascata para n quadripolos pode ser escrita da forma apresentada em (9), i.e. produto matricial nas n seções compostas por linhas uniformes. P eq = P (i) P (i+1) P (n) (9) A Fig. 1 apresenta o diagrama esquemático da associação em cascata para n quadripolos. Y RR = B eq A eq 3.2 Cascata de Quadripolo Conforme citado na seção anterior, a modelagem da linha não-uniforme utilizada neste estudo baseiase na subdivisão de uma configuração de linha com geometria não-uniforme em pequenos segmentos, de modo que os mesmos possam ser considerados linhas uniformes. Esse procedimento é válido para o caso monofásico, sendo posteriormente expandido para o caso multifásico, conforme já dito. É então considerada a altura média h mi de cada segmento, calculada Fig.1. Diagrama esquemático da associação em cascata para n quadripolos. É importante ressaltar que a relação básica de igualdade do quadripolo no caso da linha uniforme (A = D) é satisfeita para cada um dos n quadripolos indi- 3940

3 vidualmente, mas não é satisfeita para P eq, sendo esta uma importante característica da linha não-uniforme. No caso do quadripolo equivalente da linha nãouniforme ocorre que A eq D eq (10) 3.3 Modelagem Não-Uniforme para o caso multifásico Para o caso multifásico não se alterar um pouco o procedimento anterior, visto que é necessário utilizar a decomposição modal para a representação matricial das funções hiperbólicas envolvidas. Nesse caso é necessário primeiro obter os modos de propagação de cada seção uniforme de linha e a partir destes dados obter a matriz de admitância nodal do segmento uniforme. Maiores detalhes sobre esse procedimento estão descritos em [12]. A partir da matriz de admitância nodal de cada segmento, pode-se obter cada quadripolo conforme mostrado abaixo. A = Y RE Y RR (11) B = Y RE C = Y ER Y EE Y RE Y RR D = Y EE Y RE O procedimento seguinte é idêntico ao caso escalar, apenas observando-se que agora todos os elementos são matrizes de ordem n n (sendo n o número de condutores equivalentes considerados). 3.4 Comprimento Mínimo para o Quadripolo Apresentada a metodologia adotada no trabalho, torna-se necessária a definição de um comprimento mínimo a ser assumido, para cada quadripolo, que seja capaz de realizar adequadamente a modelagem não-uniforme dos casos avaliados. Para definição de um comprimento mínimo ótimo a ser utilizado nas modelagens, algumas observações são pertinentes. Uma delas é o critério de estabilidade numérica estabelecido pelas condições Courant-Friedrichs-Lewy, ou CFL, apresentado em [5], que estabelece o critério de validação c Δt Δx 1 (12) Na expressão apresentada c é a velocidade de propagação de onda, aqui assumida como m/s. O tempo de análise (ou tempo de observação) é definido por Δt, sendo obtido para o presente estudo por meio do inverso da maior frequência de interesse. A modelagem da linha de transmissão supõe a propagação TEM (Transversal Eletromagnético) que é válido apenas para alguns poucos MHz, logo nesse trabalho se postulou uma frequência máxima de análise de 10 MHz, o que implica em um Δt=10 7 s. O comprimento mínimo do quadripolo é dado por Δx. Considerando a velocidade de propagação c e o período de interesse Δt, pode-se obter o comprimento mínimo do segmento Δx para que o sistema tenha viabilidade numérica. O valor a ser adotado para Δx deve ser maior ou igual a 30 m, o que implica, por exemplo, para um vão de 600 m, em uma modelagem nãouniforme por meio de uma cascata de 20 quadripolos. Novamente, maiores detalhes sobre o cálculo do número adequado de quadripolos podem ser encontrados em [12]. 4.1 Implementação 4 Estudo de Caso Definida a metodologia para modelagem de linhas de transmissão não-uniformes e estudado o seu comportamento básico no domínio da frequência, torna-se oportuno o estudo de caso para verificação da modelagem não-uniforme, assim como uma análise do seu comportamento para diferentes configurações. É definido um caso teste com algumas variações de configuração dentro dele. O objetivo é a realização de um estudo que documente o comportamento da não-uniformidade face às diferentes configurações encontradas nos percursos de linhas de transmissão. Algumas simulações destes percursos são apresentadas pelo caso analisado. A configuração de rede utilizada para o caso teste é típica de uma linha de transmissão trifásica de 230 kv convencional. A Fig. 4.1 ilustra a configuração utilizada indicando valores de alturas mínimas do vão, ou seja, a seção transversal do arranjo de condutores e cabos pára-raios é apresentada no ponto mínimo da catenária. Fig.2. Configuração típica de LT utilizada no estudo de caso. Torna-se necessário definir uma equação que contemple a variação do perfil longitudinal dos condutores, ou seja, a equação da catenária. O terminal emissor está localizado à esquerda do segmento e tem suas coordenadas denominadas por x E e y E. Já o terminal receptor está localizado à direita e é denominado por x R e y R. Conforme [9], define-se a equação da catenária como: y = q cosh x (13) q onde q é um parâmetro de escala, definido para o caso base com o valor de 626,3 m, de acordo com [4], para definição da catenária desejada. 3941

4 No estudo de caso foi considerado um condutor com 2,54 cm de diâmetro, cabos pára-raios de 1,1049 cm de diâmetro. A permeabilidade magnética relativa dos cabos pára-raios foi considerada igual a 80. Como a implementação da metodologia para o caso base é realizada inteiramente no domínio da frequência, a resposta temporal da rede é obtida por meio da Transformada Numérica de Laplace [14]. Todos os cálculos pertinentes a este artigo foram realizados no programa Mathematica. 4.2 Análises Realizadas Cada configuração modelada não-uniformemente é comparada com a sua modelagem uniforme para uma devida avaliação da influência da nãouniformidade considerada. Uma importante avaliação realizada diz respeito à consideração ou não dos cabos pára-raios no estudo da não-uniformidade. Outro aspecto de grande importância é o tipo de solo considerado na modelagem da linha. São realizadas avaliações com diferentes valores de resistividade, considerando inclusive valor específico para o caso de travessia margem-a-margem, no qual se utiliza valor de resistividade típico da água doce. As formas de onda relativas aos sinais de entrada são o degrau unitário e o impulso, o último escolhido com o intuito de se observar o comportamento das tensões terminais da linha não-uniforme quando da excitação de uma forma de onda que sobe rapidamente e apresenta também um decaimento acentuado. A forma de onda para tal foi o impulso atmosférico, geralmente assumido na literatura técnica como 1,2x50µs. Os esquemas de injeção de sinal de ambas as formas de onda são apresentados nas Fig. 3 e 4. Injeta-se um degrau ou impulso de tensão de 1 p.u. no terminal emissor das três fases da linha, com o terminal receptor em aberto. Observam-se as curvas de saída da linha para a configuração em análise. Fig.3. Esquema de injeção de degrau em LT trifásica Fig.4. Esquema de injeção de impulso em LT trifásica. 4.3 Travessia simples de LT Trifásica 230 kv O diagrama esquemático da travessia simples de uma LT trifásica de 230 kv é apresentado nas Fig. 4.6 e 4.7, que representam a travessia margem-amargem de um rio e sobre solo. Cabe dizer que os diagramas citados não foram elaborados em escala, sendo meramente ilustrativos, para o melhor entendimento da configuração. Este vão é idêntico ao proposto por [3] e também estudado por [4]. Resolveuse por reproduzí-lo com o intuito da realização de alguma comparação com a implementação realizada nestes artigos, avaliando-o também para outros tipos de solo e configurações de linha, visto que as análises se resumem ao caso de travessia margem-amargem e não levam em conta a presença dos cabos pára-raios. Fig.5. Configuração de travessia simples margem-a-margem de um rio Fig.6. Configuração de travessia simples sobre solo. O caso teste é simulado com três diferentes valores de resistividade, para verificação do comportamento do modelo não-uniforme da travessia frente às diferentes configurações apresentadas. Os valores de resistividade ρ são definidos para o solo como sendo 100 Ω m (valor tipicamente utilizado na literatura técnica específica) e 1000 Ω m. Para a travessia margem-a-margem, considera-se a resistividade como sendo 10 Ω m (valor tipicamente utilizado para resistividade da água doce). A utilização desses três valores de resistividade visa ilustrar o comportamento da modelagem não-uniforme frente aos valores tipicamente utilizados na prática de cálculos nos estudos da área de transmissão. Um desses valores (1000 Ω m) se aproxima dos valores tipicamente definidos para região amazônica. Tal valor foi definido com o intuito de ilustrar o comportamento da modelagem não-uniforme frente a valores mais elevados. Outra variação de simulação para o caso teste apresentado diz respeito à inclusão ou não dos cabos pára-raios na avaliação. Para cada configuração duas curvas são apresentadas, uma representando a mode- 3942

5 lagem com os cabos pára-raios inclusos e outra, desprezados. No caso em que os cabos pára-raios são considerados, foi realizado o procedimento de redução de matrizes para eliminação das linhas e colunas pertinentes aos cabos pára-raios, o que é bastante comum na teoria de cálculo de parâmetros elétricos de linhas de transmissão. Tal redução não prejudica a inclusão do efeito dos cabos pára-raios para a modelagem estudada Travessia sobre rio A simulação do caso teste será iniciada por meio da resposta ao degrau e ao impulso das modelagens uniforme e não-uniforme para a configuração da travessia margem-a-margem (esquematizada pela Fig. 5), considerando-se a resistividade da água doce ρ a =10Ω m. Para a resposta ao degrau, são avaliadas tanto a configuração em que são considerados inclusos os pára-raios, sendo sua resposta na Fase A apresentada pela Fig. 7, como a que os mesmos não são considerados, dada pela Fig. 8. para a LU e de 2,25844 p.u. para a LNU, acarretando em uma diferença percentual máxima que ultrapassa os 13%. Para caso em que os cabos pára-raios não são considerados, tem-se 2,00514 p.u. para a LU e 2,72739 p.u. para a LNU, ficando a diferença percentual em torno de 36%.. Outro ponto importante a observar diz respeito às resposta das outras fases, visto que o degrau é aplicado simultaneamente às três fases. Por questões de ordem prática, tamanha a quantidade de respostas obtidas, afirma-se apenas que as mesmas têm comportamento análogo ao apresentado pela Fase A. Tal análise é apresentada com detalhes em [12]. No caso da injeção de impulso vale observar que a injeção é realizada apenas em uma das fases, diferente da análise em termos da resposta ao degrau. Para o presente artigo, considera-se como padrão a injeção de impulso apenas na Fase A, conforme esquema apresentado na Fig. 4. As Figs. 9 e 10 apresentam as respostas ao impulso da configuração (com e sem cabo pára-raios). Fig.7. Resposta ao Degrau da LU com P.R. e da LNU com P.R. Fig.9. Resposta ao Impulso da LU com P.R. e da LNU com P.R. Fig.8. Resposta ao Degrau da LU sem P.R. e da LNU sem P.R. As respostas são apresentadas com em seus primeiros 10 ms iniciais para maior clareza das diferenças entre as respostas. Em uma primeira análise, para ambas as respostas, percebe-se considerável diferença na amplitude da oscilação, assim como notória deformação nas mesmas. Alguma defasagem também é percebida em ambas as configurações. Tais constatações serão discutidas ao final do artigo nas conclusões. Em termos de valores absolutos, no caso específico de injeção em que os cabos pára-rios são considerados, a tensão atinge valores máximos de 1,99471 p.u. Fig.10. Resposta ao Impulso da LU sem P.R. e da LNU sem P.R. Novamente, para ambas as respostas, percebe-se considerável diferença na amplitude da oscilação, assim como clara deformação nas mesmas. A defasagem também é percebida em ambos as configurações, apresentando um comportamento análogo ao da resposta ao degrau. Ao final do artigo tais constatações serão discutidas. Em termos de valores absolutos, no caso específico de injeção em que os cabos pára-rios são considerados, a tensão atinge valores máximos de 1,98105 p.u. para a LU e de 2,00658 p.u. para a LNU, acarretando em uma diferença percentual máxima que não ultrapassa os 2%. Para caso em que os cabos pára- 3943

6 raios não são considerados, tem-se 1,98819 p.u. para a LU e 2,07584 p.u. para a LNU, ficando a diferença percentual em torno de 4%. Constata-se aqui que a modelagem não-uniforme responde também para fenômenos rápidos, como é o caso do impulso atmosférico. Vale observar que há alguma tensão induzida nas outras duas fases (B e C) devido à injeção do impulso. Novamente, por questões de ordem prática, afirma-se que as mesmas possuem comportamento análogo à resposta da Fase A, obviamente com amplitude bastante reduzida. Tal análise também é apresentada com detalhes em [12] Travessia sobre solo Inicia-se então a avaliação do caso teste para travessia sobre solo. O procedimento de simulação será análogo ao realizado para a travessia sobre água, ou seja, por meio da resposta ao degrau das modelagens uniforme e não-uniforme para o caso da travessia margem-a-margem, considerando-se agora as resistividades ρ s = 100Ω m e 1000Ω m. Por questões de ordem prática, entende-se como suficiente a avaliação das respostas ao degrau das duas configurações. Afirma-se apenas que as mesmas possuem comportamento análogo à resposta ao impulso da configuração anterior. Tal análise também é apresentada com detalhes em [12]. As Figs. 11 e 12 apresentam as respostas ao degrau para ambas as configurações, considerando ou não a presença dos cabos pára-raios. Constata-se um comportamento análogo também para as duas configurações, tanto em termos de amplitude e deformação, como de defasagem. A diferença percentual máxima entre LNU e LU, no caso em que os cabos pára-raios são considerados, fica em torno de 7% para a configuração de 100Ω m e de e 3% para a de 1000Ω m. Para caso em que os cabos pára-raios não são considerados, essa diferença aumenta para 7% e 4%, respectivamente. Constata-se que a resistividade influi diretamente na resposta da modelagem não-uniforme, promovendo uma atenuação de amplitude inversamente proporcional ao seu crescimento. A Fig. 13 ilustra tal afirmação, apresentando as respostas das três configurações anteriores sobrepostas em um único gráfico. Fig.13. Respostas ao Degrau das três configurações de LNU com P.R. As Figs. 14 e 15 apresentam as respostas ao impulso das duas configurações considerando ou não os cabos pára-raios. Fig.14. Resposta ao Impulso da LU com P.R. e da LNU com P.R. Fig.11. Resposta ao Degrau da LU com P.R. e da LNU com P.R. Fig.15. Resposta ao Impulso da LU sem P.R. e da LNU sem P.R. Fig.12. Resposta ao Degrau da LU sem P.R. e da LNU sem P.R. Como era de se esperar, constata-se um comportamento análogo para as duas configurações frente à injeção de impulso, tanto em termos de amplitude e deformação, como de defasagem. A diferença percentual máxima entre LNU e LU, no caso em que os cabos pára-raios são considerados, fica em torno de 3944

7 2% para a configuração de 100Ω m e de e 1% para a de 1000Ω m. Para caso em que os cabos pára-raios não são considerados, essa diferença aumenta para 3% e 2%, respectivamente. Novamente a influência das resistividade é notada. Valem aqui as observações sobre tensão induzida apresentadas acima. 5 Conclusão Neste artigo, apresentou-se uma modelagem nãouniforme de linhas trifásicas no domínio da freqüência, que permitiu obter, a partir da cascata de quadripolos e da decomposição modal, um quadripolo e- quivalente para a mesma. A Transformada Numérica de Laplace foi utilizada para se obter a relação entre os sinais no domínio da frequência e no domínio do tempo. Realizou-se o estudo de caso de uma travessia de grande não-uniformidade para diferentes valores de resistividade. Além disso, analisou-se o efeito da inclusão ou não dos cabos pára-raios no cálculo dos parâmetros. Todas as configurações foram submetidas à injeção de degrau e impulso. Uma observação inicial das respostas é a de que tanto as respostas uniformes quanto as não-uniformes variam de acordo com o tipo de solo utilizado na configuração. Contatou-se que quanto maior o valor da resistividade maior a atenuação da resposta. Tal constatação é inclusive esperada, visto que a impedância característica da linha é alterada por tal valor. Infere-se que a presença dos cabos pára-raios, mesmo eliminada no processo de cálculo, na hipótese em que são considerados solidamente aterrados, atenua consideravelmente as oscilações e defasagens percebidas na modelagem não-uniforme. O efeito ainda é percebido, mas ocorre uma pequena suavização do mesmo. Uma investigação das respostas considerando os pára-raios explicitamente representados não foi desenvolvida neste trabalho, sendo um interessante tema para trabalhos futuros, assim como a avaliação de outras configurações de linha. Infere-se, com base nos resultados apresentados, que a modelagem não-uniforme pode vir a ser útil para o estudo de coordenação de isolamento, dada tamanha distorção de resposta para um determinado vão. Porém, para tal ainda seriam necessárias avaliações mais criteriosas. Há uma considerável deformação da resposta nãouniforme, assim como alguma defasagem entre as duas respostas. Ou seja, é importante perceber que a modelagem não-uniforme altera não só a impedância característica da linha, mas também os fatores de propagação. Infere-se que há grande relevância da modelagem não-uniforme também para o caso trifásico, assim como para o caso base monofásico, sendo este último mais explorado pela literatura técnica. Por fim, pode-se dizer que os resultados obtidos para a linha trifásica apresentam similaridade com resultados apresentados na literatura técnica [16, 4, 15]. Isto indica a adequação da representação em cascata de quadripolos também para a modelagem de linha trifásica convencional. 6 Referências Bibliográficas [1] WEDEPOHL, L., Application of matrix methods to the solution of the traveling-wave phenomena in poly-phase systems, Proceedings of IEE, v. 110, n. 12, pp , [2] DOMMEL, H., Digital Computer solution of electromagnetic transients in single and multi-phase networks, IEEE Trans. on PAS, v. 88, n. 2, pp , April [3] SEMLYEN, A., Some Frequency Domain Aspects of Wave Propagation on Nonuniform Lines, IEEE Tranactions on Power Delivery, v. 18, n. 1, pp , January [4] FARIA, J. A. B., A New Modal Analysis Theory for Multiconductor Nonuniform Transmission-Line Structures: Application to the Analysis of Line Junctions, IEEE Transaction on Power Systems, v. 19, n. 03, pp , August [5] GOMEZ, P., MORENO, P., NAREDO, J., Frequencydomain transient analysis of nonuniform lines with incident field excitation, Power Delivery, IEEE Transactions on, v. 20, n. 3, pp , July [6] WEDEPOHL, L., The theory of Natural Modes in Multiconductor Transmission Systems, Tech. rep., the University of British Columbia, [7] PORTELA, C., Regimes Transitórios. COPPE/UFRJ ELETROBRAS, [8] WEDEPOHL, L. M., INDULKAR, C. S., Switching overvoltages in long crossbonded cabe systems using the Fourier Transform, IEEE Trans. on PAS, v. PAS-98, pp , [9] SANTIAGO, N. H. C., Linhas Aéreas de Transmissão, Tech. rep., DEE e COPPE/UFRJ, [10] CARSON, J. R., Ground Return Impedance: Underground Wire with Earth Return, Bell System Techincal Journal, v. 8, n. 1, pp , [11] LIMA, A. C. S., PORTELA, C., Inclusion of Frequency- Dependent Soil Parameters in Transmission-Line Modeling, IEEE Transactions on Power Delivery, v. 22, n. 1, pp , Jan [12] SOUZA, L. A. A, Estudos de Linhas de Transmissão Não- Uniformes no Domínio da Freqüência, Dissertação de Mestrado, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, Mar [13] RAMIREZ, A., URIBE, F., A broad range algorithm for the evaluation of Carson s integral, IEEE Transactions on Power Delivery, v. 19, n. 2, pp , April [14] WILCOX, D. J., Numerical Laplace Transformation and Inversion, International Journal Elect. Eng., v. 15, pp , [15] SALARI FILHO, J. C., Efeito das Descargas Atmosféricas no Desempenho de Linhas de Transmissão Modelagens nos Domínios do Tempo e da Frequência, Tese de doutorado, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, Dezembro [16] PORTELA, C., TAVARES, M., Modeling, simulation and optimization of transmission lines. Applicability and limitations of some used procedures. In: Transmission and Distribuition Conference, 2002, Invited paper. 3945