Representação de Linhas de Transmissão Trifásicas Diretamente no Domínio das Fases por Meio da Matriz ABCD

Transcrição

1 FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA Newton Vieira de Souza Junior Representação de Linhas de Transmissão Trifásicas Diretamente no Domínio das Fases por Meio da Matriz ABCD Ilha Solteira 05

2 FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA Newton Vieira de Souza Junior Representação de Linhas de Transmissão Trifásicas Diretamente no Domínio das Fases por Meio da Matriz ABCD Tese apresentada à Faculdade de Engenharia - UNESP Campus de Ilha Solteira, para obtenção do título de Doutor em Engenharia Elétrica. Área de Conhecimento: Automação. Prof. Dr. Sergio Kurokawa Orientador Ilha Solteira 05

3 Souza JunioRepresentação de Linh Ilha Solteira05 3 Sim Tese (doutoengenharia AutomaçãoSim. FICHA CATALOGRÁFICA Desenvolvido pelo Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação S79r Souza Junior, Newton Vieira. Representação de linhas de transmissão trifásicas diretamente no domínio das fases por meio da matriz ABCD / Newton Vieira Souza Junior. -- Ilha Solteira: [s.n.], 05 f. : il. Tese (doutorado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Automação, 05 Orientador: Sérgio Kurokawa Inclui bibliografia. Linhas de transmissão.. Matriz ABCD 3. Transitórios eletromagnéticos. 4. Modelo desenvolvido diretamente no domínio das fases.

4

5 Dedicatória Dedico esse trabalho aos meus pais, Newton Vieira de Souza e Márcia Helena da Cunha Souza (in memoriam). Aos meus irmãos Marcelo Augusto da Cunha Souza e Mariana Cristina da Cunha Souza e à pelo apoio e carinho a mim dedicados.

6 Agradecimentos Em primeiro lugar a Deus por ter me dado força e sabedoria para buscar e lutar por aquilo em que acredito. E em especial quero agradecer e dedicar este trabalho à: A meus pais Newton Vieira de Souza e Márcia Helena da Cunha Souza (in memorian) e os meus irmãos, Marcelo Augusto da Cunha Souza e Mariana Cristina da Cunha Souza, pelo apoio, compreensão e incentivo que me deram nas horas difíceis. A minha Tia Maria Guimarães (in memorian) pelo carinho dedicado a mim durante todo esse período de plena dedicação ao doutorado. Ao professor Sérgio Kurokawa a quem sou eternamente grato por toda confiança, dedicação e apoio, confiados a mim durante todo o período em que estive desenvolvendo este trabalho. Sou lhe grato pela grande amizade obtida durante esse tempo. Aos professores Aílton Akira Shinoda, Carolina Goulart de Carvalho, Eduardo Coelho Marques da Costa e Júlio Borges de Souza pela disposição para participar da banca e principalmente pelas sugestões para a melhoria do meu trabalho. Aos amigos que fiz durante todo tempo que estudei e em especial, aos meus amigos do GATE (Grupo de Análise de Transitórios Eletromagnéticos):Anderson, Júlia,Pablo e Rodrigo, sou lhes grato pelo apoio, confiança e amizade adquiridos nesse período e também a minha amiga Elizabete. A CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) pelo incentivo por meio da concessão de bolsa de estudo. A todos os docentes e funcionários desta unidade que contribuíram para minha formação profissional. Meu muito obrigado!!

7 Estude a si mesmo, observando que autoconhecimento traz humildade e sem humildade é impossível ser feliz. (Allan Kardec)

8 RESUMO Este trabalho apresenta um modelo de linha de transmissão desenvolvido diretamente no domínio das fases a partir da representação por meio de quadripolos para linhas polifásicas. Deste modo, esse modelo de linha foi estruturado em função dos parâmetros longitudinais e transversais variáveis na frequência e por meio da matriz ABCD. Esta abordagem foi possível a partir da utilização implícita de uma matriz de transformação, variável em função da frequência utilizada nas transformações entre os domínios das fases e dos modos. A matriz de transformação é descrita explicitamente em função dos parâmetros longitudinais e transversais de uma linha trifásica. As grandezas modais da linha foram convertidas para o domínio das fases e resultando assim, em um modelo analítico desenvolvido diretamente no domínio das fases. O modelo proposto foi aplicado para simular uma linha trifásica em um plano de simetria vertical e também situações assimétricas envolvendo condições desequilibradas de carga, por exemplo: faltas fase-fase ou fase-terra e cargas desequilibradas. As simulações considerando condições assimétricas ou desequilibradas não são possíveis em muitos modelos no domínio do tempo e da frequência utilizando uma matriz real e constante. No entanto, a partir da utilização implícita de uma matriz de transformação variável na frequência, o modelo proposto tornou-se capaz de simular transitórios eletromagnéticos em condições assimétricas e desequilibradas. Um dos grandes atributos do modelo proposto consiste na inclusão e simulação de condições não-lineares de forma simplificada por meio de condições de contorno aplicadas aos sinais de entrada e saída das matrizes ABCD. Simulações no domínio do tempo e da frequência foram efetuadas durante o desenvolvimento deste trabalho, possibilitando a ampla análise das possíveis aplicações do modelo de linhas de transmissão proposto. Palavras Chaves: Modelo de linhas de transmissão. Matriz ABCD. Representação modal. Matriz de transformação. Domínio das fases.

9 Abstract This work presents a transmission line model developed directly in the domain of phases from representation through quadripolos for polyphase lines. Thus, the line model was structured as function of longitudinal and transverse parameters variable frequency and by means of ABCD matrix. This approach was possible from the implicit use of a transformation matrix, variable a function of frequency used in transformations between domains of the phases and modes. The transformation matrix is explicitly described as a function of the longitudinal and transverse parameters of a three-phase line. Modal line magnitudes were converted into the domain of the phases, resulting in an analytical model developed directly in the domain phase. The proposed model was applied to simulate a three-phase line without a vertical symmetry plane and also situations involving asymmetric unbalanced load conditions, for example: phase-to-phase or phase-ground and unbalanced loads. The simulations considering asymmetrical or unbalanced conditions are not possible in many models in the time domain and frequency using a real and constant matrix. However, from the implicit use of variable frequency transformation matrix, the model was able to simulate electromagnetic transients in asymmetrical manner and unbalanced. One of the major attributes of the model consists of the inclusion and non-linear simulation conditions in a simplified manner by means of boundary conditions applied to the input and output signals of ABCD matrices. The simulations in the time domain and frequency domain were made during the development of this work, enabling the comprehensive analysis of possible applications the lines proposed transmission model. Keywords: Transmission line model. ABCD matrix. Modal representation. Transformation matrix. Phase domain.

10 Lista de Figuras Figura - Linha de transmissão monofásica de comprimento d Figura - Circuito equivalente para um elemento infinitesimal da linha Figura 3 - Linha de transmissão monofásica de comprimento d no domínio da frequência... 9 Figura 4 - Correntes e tensões em uma linha com n fases Figura 5 - Representação em diagrama de blocos de uma linha de transmissão polifásica no domínio modal Figura 6 Representação de quadripolos Figura 7 - (a) Modelo modal clássico (b) Modelo proposto(carvalho, 03) Figura 8 - Representação das correntes e tensões em uma linha polifásica com n fases Figura 9 - Linha trifásica não transposta e sem plano de simetria vertical Figura 0 - Linha trifásica genérica Figura - Representação das correntes e tensões nos terminais emissor (A) e receptor (B) do modo... 6 Figura - Representação das correntes e tensões nos terminais nos terminais emissor (A) e receptor (B) do modo Figura 3 - Representação das correntes e tensões nos terminais nos terminais emissor (A) e receptor (B)do modo Figura 4 - Silhueta da estrutura de uma linha de transmissão trifásica de 440 kv Figura 5 Energização da linha em aberto Figura 6 -Módulo da tensão no terminal receptor (B), da fase da linha de 00 km Figura 7 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para tensão, no terminal receptor (B), da fase da linha de 00 km Figura 8 - Módulo da tensão no terminal receptor (B), da fase da linha de 00 km... 7 Figura 9 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para tensão, no terminal receptor (B), da fase da linha de 00 km... 7 Figura 0 - Módulo da tensão no terminal receptor (B), da fase 3 da linha de 00 km Figura - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para tensão, no terminal receptor (B), da fase 3 da linha de 00 km Figura - Módulo da corrente no terminal emissor (A), da fase da linha de 00 km Figura 3 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no terminal emissor (A), da fase da linha de 00 km

11 Figura 4 - Módulo da corrente no terminal emissor (A) da fase da linha de 00 km Figura 5 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no terminal emissor (A), da fase da linha de 00 km Figura 6 - Módulo da corrente no terminal emissor (A), da fase 3 da linha de 00 km Figura 7 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente no terminal emissor (A), da fase 3 da linha de 00 km Figura 8 - Energização da linha em curto circuito Figura 9 - Módulo da corrente no terminal emissor (A), da fase da linha de 00 km Figura 30 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no terminal emissor (A), da fase da linha de 00 km Figura 3 - Módulo da corrente no terminal emissor (A), da fase da linha de 00 km Figura 3 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no terminal emissor (A), da fase da linha de 00 km Figura 33 - Módulo da corrente no terminal emissor (A), da fase 3 da linha de 00 km Figura 34 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no terminal emissor (A), da fase 3 da linha de 00 km Figura 35 - Módulo da corrente no terminal receptor (B), da fase da linha de 00 km Figura 36 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no terminal receptor (B), da fase da linha de 00 km Figura 37 - Módulo da corrente no terminal receptor (B), da fase da linha de 00 km Figura 38 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no terminal receptor (B), da fase da linha de 00 km Figura 39 - Módulo da corrente no terminal receptor (B), da fase 3 da linha de 00 km Figura 40 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no terminal receptor (B), da fase 3 da linha de 00 km Figura 4 - Energização da linha trifásica Figura 4 - Tensões trifásicas no terminal receptor (B), da fase da linha de 00 km. Modelo proposto () e modelo clássico () Figura 43 - Tensões trifásicas no terminal receptor (B), da fase da linha de 00 km.modelo proposto () e modelo clássico () Figura 44 - Tensões trifásicas no terminal receptor (B), da fase 3 da linha de 00 km.modelo proposto () e modelo clássico () Figura 45 - Tensões trifásicas no terminal receptor (B) das fases, e 3 pelo modelo proposto, para uma linha de 00 km

12 Figura 46 - Incidência de uma descarga atmosférica na linha trifásica com carga Z C Figura 47 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase da linha de 00 km, com o terminal emissor (A) em aberto Figura 48 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase da linha de 00 km, com o terminal emissor (A) em aberto Figura 49 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase 3 da linha de 00 km, com o terminal emissor (A) em aberto Figura 50 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase da linha de 00 km, com o terminal receptor (B) em curto Figura 5 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase da linha de 00 km, com o terminal receptor (B) em curto Figura 5 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase 3 da linha de 00 km, com o terminal receptor (B) em curto Figura 53 - Comparação dos autovalores de λ, curva (autovalor numérico) e curva, 3 e 4 (autovalores analíticos) Figura 54 - Comparação dos autovalores de λ, curva (autovalor numérico) e curva (autovalor analítico) Figura 55 - Comparação dos autovalores de λ 3, curva (autovalor numérico) e curva (autovalor analítico) Figura 56 - Linha trifásica genérica Figura 57 - Representação das correntes e tensões nos terminais emissor (A) e receptor (B) do modo... 0 Figura 58 - Representação das correntes e tensões nos terminais emissor (A) e receptor (B) do modo... Figura 59- Representação das correntes e tensões nos terminais emissor (A) e receptor (B) do modo 3...

13 LISTA DE ABREVIAÇÕES ULM Matlab Skin effect Universal LineModel MATrixLABoratory Efeito Skin

14 LISTA DE SÍMBOLOS [Z] [Y] d z ii z ij y ii y ij R L G C γ Z C [V] [I] Matriz de impedância longitudinal Matriz de admitância transversal Comprimento da linha de transmissão em km Impedância própria da fase i Impedância mútua entre as fases i e j Admitância da fase i Admitância entre as fases i e j Resistência por unidade de comprimento Indutância por unidade de comprimento Condutância por unidade de comprimento Capacitância por unidade de comprimento Função de propagação Impedância característica Vetor de tensão Vetor de corrente [T V ] Matriz de transformação (autovalores do produto matricial [Z][Y]) [T I ] Matriz de transformação (autovalores do produto matricial [Y][Z]) [T Ω ] Matriz inversa da matriz de transformação [T V ] Z mk Y mk V mk I mk λ k [S] [U] Impedância no k-ésimo modo da linha Adimtânciano k-ésimo modo dalinha Tensão no k-ésimo modo da linha Correnteno k-ésimo modo da linha K-ésimo autovalor Produto entre as matrizes [Z][Y] Matriz identidade

15 [V f ] Vetor de tensão nas fases da linha de transmissão [I f ] Vetor de corrente nas fases da linha de transmissão [V m ] Vetor de tensão nos modos da linha de transmissão [I m ] Vetor de corrente nos modos da linha de transmissão

16 SUMÁRIO MODELAGENS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA INTRODUÇÃO... 7 EQUAÇÕES DE CORRENTES E TENSÕES DE LINHAS MONOFÁSICAS INTRODUÇÃO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE UMA LINHA MONOFÁSICA CONCLUSÃO REPRESENTAÇÃO DE UMA LINHA POLIFÁSICA NO DOMÍNIO MODAL INTRODUÇÃO EQUAÇÕES DE CORRENTES E TENSÕES PARA LINHAS POLIFÁSICAS REPRESENTAÇÃO DA LINHA POLIFÁSICA NO DOMÍNIO MODAL PROCEDIMENTOS PARA SE CALCULAR AS CORRENTES E TENSÕES NOS TERMINAIS DE UMA LINHA UTILIZANDO O MODELO MODAL CONCLUSÃO MODELO DESENVOLVIDO DIRETO NO DOMÍNIO DAS FASES PARA LINHAS DE TRANSMISSÃO TRIFÁSICAS REPRESENTADA POR MEIO DA MATRIZ ABCD INTRODUÇÃO REPRESENTAÇÃO DE LINHA POR UM QUADRIPOLO (MATRIZ ABCD) CORRENTES E TENSÕES DE FASE PARA UMA LINHA POLIFÁSICA ATRAVÉS DA TEORIA DE DECOMPOSIÇÃO MODAL MODELO DE LINHAS POLIFÁSICAS DESENVOLVIDO DIRETAMENTE NO DOMÍNIO DAS FASES DESCRIÇÃO DO MODELO PROPOSTO OBTENÇÃO ANALÍTICA DA MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO [T V ] PARA n FASES CONCLUSÃO REPRESENTAÇÃO DA LINHA TRIFÁSICA SEM PLANO DE SIMETRIA VERTICAL, POR MEIO DO MODELO PROPOSTO INTRODUÇÃO... 49

17 5. OBTENÇÃO DOS AUTOVALORES E DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DA MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO [T V ] PARA UMA LINHA TRIFÁSICA SEM PLANO DE SIMETRIA VERTICAL DESENVOLVIMENTO DO MODELO PROPOSTO CONCLUSÃO VALIDAÇÃO DO MODELO PROPOSTO INTRODUÇÃO DESEMPENHO DO MODELO PROPOSTO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E DO TEMPO PARA AS TENSÕES E CORRENTES COM O TERMINAL RECEPTOR (B) EM ABERTO DESEMPENHO DO MODELO PROPOSTO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E DO TEMPO PARA AS CORRENTES COM O TERMINAL RECEPTOR (B) EM CURTO CIRCUITO DESEMPENHO DO MODELO PROPOSTO EM SIMULAÇÕES DE TRANSITÓRIOS RESULTANTES DA ENERGIZAÇÃO DA LINHA DESEMPENHO DO MODELO PROPOSTO EM SIMULAÇÕES DE TRANSITÓRIOS RESULTANTES DA INCIDÊNCIA DE DESCARGA ATMOSFÉRICA CONCLUSÃO CONCLUSÃO CONCLUSÕES GERAIS SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS APÊNDICE A DESENVOLVIMENTO E RESULTADOS DOS AUTOVALORES, IMPEDÂNCIAS MODAIS, ADMITÂNCIAS MODAIS, IMPEDÂNCIAS CARACTERISTICAS E DAS FUNÇÕES DE PROPAGAÇÃO DA LINHA A. INTRODUÇÃO A. DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DOS AUTOVALORES A.3 SIMULAÇÕES DOS AUTOVALORES A.4 SOLUÇÃO ANALÍTICA PARAS AS MATRIZES DE IMPEDÂNCIA [Z m ] E DE ADMITÂNCIA [Y m ] MODAIS A.5 SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA A FUNÇÃO DE PROPAGAÇÃO γm E IMPEDÂNCIA CARACTERÍSTICA Zcm PARA CADA MODO DA LINHA (MARTI, 98; CHIPMAN, 97)... 06

18 A.6 CONCLUSÃO APÊNDICE B DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DAS MATRIZES [A], [B], [C] e [D] B. INTRODUÇÃO B. DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DAS MATRIZES [A], [B], [C] e [D] B.3 CONCLUSÃO... 9

19 7 MODELAGENS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA. INTRODUÇÃO A abordagem técnica computacional de sistemas de energia elétrica para estudo de transitórios eletromagnéticos iniciou-se por volta da década de 960, quando alguns artigos passaram a ser publicados. Dentre estes, obtiveram maior destaque aqueles publicados por (DOMMEL, 969; BUDNER,970). O artigo publicado em 969 por Dommel, sugeriu um modelo computacional que simulava os transitórios eletromagnéticos de uma linha de transmissão polifásica, no domínio do tempo, com seus parâmetros distribuídos ou discretos. Contudo, o modelo computacional proposto apresentou algumas limitações, como a quantidade de amostras em um intervalo de tempo Δt muito grande na discretização do vetor de tempo t, que resultou em erros de trucamento e instabilidade numérica do método proposto. Para tentar diminuir as oscilações e os erros apresentados, o autor utilizou o método de integração trapezoidal na resolução de equações diferenciais ordinárias para linhas, sendo suas constantes dadas pelas capacitâncias e indutâncias equivalentes aos parâmetros longitudinais e transversais de uma linha sem perdas. Desta abordagem, uma solução exata pôde ser obtida por meio do método das características, também denominado método de Beregeron, que se fundamenta na propagação de ondas em uma linha de transmissão sem perdas (DOMMEL, 969). O segundo exemplo mencionado é o artigo publicado em 970 por Budner (970), onde o autor modelou uma linha bifásica e a desacoplou em seus dois modos de propagação independentes um do outro, sendo modelados em dois quadripolos no domínio da frequência. As equações de corrente e tensão no domínio da frequência são obtidas pelas equações trigonométricas referentes à representação de quadripolos, sendo que para o domínio do tempo, as equações de corrente e tensão são obtidas por meio da transformada de Fourier e do cálculo das integrais de convolução resultantes. O modelo proposto por Budner teve exatidão, uma vez que modelou de maneira apropriada a distribuição dos parâmetros variáveis da linha em função da frequência (BUDNER, 970). A literatura técnica demonstra que,os parâmetros de linhas de transmissão aéreas ou cabos subterrâneos eram fortemente dependentes do efeito da frequência, devido ao efeito do retorno da corrente através do solo e em frequências mais baixas, influenciados pelo efeito

20 8 pelicular decorrente da interação entre o campo eletromagnético no interior dos condutores da linha (FUCHS, 979; COSTA, 03). Como amplamente descrito pela literatura técnica, sabia-se antes do inicio dos anos 980 que os parâmetros elétricos de linhas de transmissão aéreas ou cabos subterrâneos são fortemente dependentes do efeito da frequência, i.e., determinados em função da frequência devido ao efeito do retorno da corrente através do solo (efeito solo) e, em frequências mais baixas, influenciados pelo efeito pelicular (skineffect) decorrente da interação entre o campo eletromagnético no interior dos condutores da linha (FUCHS, 979). Uma grande quantidade de artigos descrevendo a solução das equações de linhas de transmissão no domínio da frequência foram propostas, por meio do uso de transformadas inversas e convoluções (SNELSON, 97; MEYER; DOMMEL, 974). No contexto das diversas formas de modelagem de linhas de transmissão, algumas foram desenvolvidas diretamente no domínio do tempo considerando o efeito da frequência sobre os parâmetros longitudinais da linha. Tais modelagens baseiam-se na aproximação da impedância Longitudinal [Z] por funções racionais, desta forma, o método representa uma cascata de circuitos π, de maneira que possa incluir os efeitos da frequência em cada seção da linha de transmissão (MARTÍ, 98; 988). Essas técnicas de modelagens, desenvolvidas décadas atrás, denominadas na literatura como vector fitting e formam uma base essencial para a modelagem de linhas de transmissão e sistemas de energia elétrica dependentes da frequência (GUSTAVSEN; SEMLYEN, 998, 98). Fazer a integração de modelos desenvolvidos diretamente no domínio da frequência e simular os resultados no domínio do tempo é um procedimento complexo, por isso, o modelo foi desenvolvido no domínio da frequência e solucionado através da transformada inversa de Fourier para o domínio do tempo. Este modelo foi nomeado de Universal LineModel (ULM) (MORCHED; GUSTAVSEN; 999). O ULM representa um modelo computacional preciso para linhas de transmissão para simulações de transitórios eletromagnéticos. A modelagem faz uso de uma matriz de transformação modal dependente da frequência, porém, pode-se dizer que resulta do aprimoramento da técnica proposta em 970 por Budner (BUDNER, 970). Por sua vez, Gómez e Uribe (008) apresentaram uma revisão sobre a utilização de transformada de Laplace na simulação e análise de transitórios eletromagnéticos, mostrando vários aspectos importantes no uso da transformada inversa e o desenvolvimento das soluções das integrais de convolução relativas à técnica de modelagem abordada. Os modelos

21 9 desenvolvidos diretamente no domínio da frequência, a partir das equações de corrente e tensão da linha de transmissão ou representadas pelos seus modos de propagação por quadripolos ou uma matriz ABCD, apresentam maior precisão em seus resultados, já que a modelagem é feita por parâmetros distribuídos no domínio da frequência e convertida para o domínio do tempo através da transformada inversa. A maior confiabilidade na modelagem supracitada pode ser vista por meio das simulações de transitórios eletromagnéticos decorrentes de um impulso unitário através de um modo de propagação modelado por elementos discretos diretamente no domínio do tempo, e posteriormente comparando os mesmos resultados obtidos para o mesmo meio de propagação, porém, modelado por parâmetros distribuídos no domínio da frequência e fazendo uso de transformada inversa de Laplace (COSTA et al., 00). Kurokawa et al. (009) mostraram um modelo de linha de transmissão levando em consideração o efeito da frequência sobre os parâmetros longitudinais da linha, utilizando vector fitting e fazendo uso da representação das equações diferenciais resultantes da representação da linha por elementos discretos (resistivos, indutivos e capacitivos). Posteriormente, os mesmos autores desenvolvem um modelo de linha trifásico com plano de simetria vertical não idealmente transposta, utilizando uma matriz constante e real, que faz o desacoplamento dessa linha. No artigo Alternative Proposal for Modal Representation of a Non-Tranposed Three-Phase Transmition Line with a Vertical Symmetry Plane, a linha é desacoplada em seus modos e quasi-modos e podem ser escritos como sendo três linhas monofásicas independentes umas das outras (KUROKAWA et al., 009). Dos anos 000 até o presente momento, muitos autores desenvolveram modelos diferentes para linhas de transmissão, tendo como referência o efeito da frequência, e componentes não lineares; propondo técnicas até então não desenvolvidas e muitas vezes aprimorando os métodos já desenvolvidos desde 960. Um modelo que se destaca mais recentemente é o apresentado por (MORENO et al., 005), onde os autores apresentam um modelo desenvolvido no domínio da frequência e faz uso da transformada inversa de Laplace para obter os resultados no domínio do tempo. Na representação de elementos não lineares, o trabalho propõe algumas aproximações na representação de chaveamentos no sistema (MORENO et al., 005). No entanto, como discutido anteriormente, generalizar a modelagem de elementos não lineares acoplados ao sistema (e.g. corona, descargas desruptivas nas cadeias de isoladores, transformadores, capacitores, pará-raios inseridos na linha, manobras mecânicas, etc.) é uma proposta complexa e em muitos casos torna-se impraticável.

22 0 Souza Junior et al. (03) publicaram um artigo propondo a utilização da matriz ABCD para representar uma linha de transmissão polifásica no domínio das fases, sem a necessidade de fazer as conversões de fase-modo-fase. No modelo desenvolvido, as expressões permitem que os elementos da matriz ABCD para uma linha de transmissão polifásica possam ser escrito em função dos parâmetros longitudinal e transversal da linha. A principal vantagem do modelo é que pode ser utilizado para representar a linha para situações em que o desacoplamento das fases é inadequado. Alguns exemplos dizem respeito à simulação de transitórios para a análise da linha de transmissão, considerando a mesma com curto-circuito em fase-terra ou fase-fase. Nestas situações, os modos de propagação de uma linha polifásica não são totalmente desacoplados e, portanto, não podem ser representados como linhas monofásicas desacopladas. Esta situação não é de fácil simulação se a linha está representada no domínio modal, mas pode ser simuladas e a linha estiver representada no domínio das fases. O modelo foi aplicado em uma linha bifásica e seus resultados foram comparados com o modelo clássico de decomposição modal (SOUZA JUNIOR et al., 03). Em 03, Carvalho (03) propôs em sua tese de doutorado, um modelo analítico para uma linha de transmissão trifásica com plano de simetria vertical, onde devido às características físicas dessa linha, foi possível representá-la por um sistema constituído por uma linha monofásica e por uma linha bifásica. Neste sistema, as equações que descrevem o comportamento das grandezas nos terminais da linha monofásica são conhecidas, enquanto que as equações da linha bifásica foram obtidas utilizando uma matriz de transformação escrita explicitamente em função dos parâmetros da linha trifásica. Em seguida, as grandezas modais da linha trifásica foram convertidas para o domínio das fases e as equações resultantes representam um modelo analítico desenvolvido diretamente no domínio das fases dessa linha. Tal modelo leva em conta o efeito da frequência sobre os parâmetros longitudinais da linha, e também o fato de que os parâmetros da linha são distribuídos ao longo de seu comprimento. Tal modelo, pelo fato de ser obtido diretamente das equações de propagação da linha, permite a obtenção de resultados de simulações de transitórios eletromagnéticos que ocorrem em sistemas de energia elétrica mais preciso, possibilitando assim, que o sistema de energia elétrica opere com maior confiabilidade e segurança. No entanto, as condições da linha eram limitadas (CARVALHO, 03). Tendo como referência a análise bibliográfica apresentada sobre a modelagem de linhas de transmissão para o estudo de transitórios eletromagnéticos, foi desenvolvido um

23 modelo analítico para uma linha de transmissão trifásica sem plano de simetria vertical, fazendo uso das relações de correntes e tensões de uma linha de transmissão e da representação da linha no domínio dos modos. Inicialmente, foi realizado um estudo a respeito das equações diferencias de uma linha de transmissão polifásica genérica que é caracterizada por matrizes com as impedâncias [Z] e admitâncias [Y] da linha, obtidas a partir dos parâmetros longitudinais e transversais da mesma. O conteúdo aborda a técnica de decomposição modal, que foi de extrema relevância para o desenvolvimento das equações que descrevem o modelo analítico proposto. Na representação modal, uma linha de transmissão, que originalmente está no domínio das fases, é separada em seus modos de propagação. Desse modo, uma linha de n fases é representada por seus n modos de propagação e cada um desses modos comportam-se como uma linha monofásica, e é totalmente desacoplado dos demais modos. Para esse modelo, os cálculos das correntes e tensões na linha são realizados no domínio dos modos e em seguida, essas grandezas são convertidas novamente para o domínio das fases. A conversão fase-modo-fase dá-se por meio de uma matriz de transformação modal obtida a partir das matrizes de impedância longitudinal [Z] e de admitância transversal [Y] da linha. Geralmente, a matriz de transformação possui elementos pertencentes ao conjunto dos números complexos e tais elementos são variáveis em relação à frequência (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 996). Com essas características, a matriz de transformação usualmente é obtida por meio de métodos numéricos, assim torna-se inviável o desenvolvimento de um modelo analítico para linhas com mais de uma fase. Porém, uma vez obtida de maneira explícita, uma função que relacione os elementos da matriz de transformação aos parâmetros da linha, é possível desenvolver um modelo analítico para linhas de transmissão polifásicas cujas equações são funções desses parâmetros. A partir da obtenção desse modelo, ele admitirá uma melhor compreensão da função que relaciona as correntes e tensões aos parâmetros da linha de transmissão. Atualmente, esta relação não é conhecida, pois os elementos da matriz de transformação são obtidos por meio de métodos numéricos. Uma essencial vantagem do modelo proposto é o seu desenvolvimento diretamente no domínio das fases, o que permite que as correntes e tensões sejam obtidas em qualquer situação de análise da linha (e.g. na análise da linha considerando a mesma com curto-circuito

24 em fase-terra ou fase-fase), o que não pode ser feito tão facilmente na técnica de decomposição modal. As equações que descrevem esse modelo permitem que o cálculo das correntes e tensões seja mais simples, uma vez que essas equações não exigem, por parte do usuário, o conhecimento matemático avançado, ao contrário de outras técnicas previamente propostas, que apesar de mostrarem relativa precisão, são implementadas por meio da manipulação dos autovalores e dos autovetores utilizados no cálculo das matrizes de transformação modal em função da frequência. Esses métodos de correção modal são complexos e, em muitos casos, ineficientes do ponto de vista computacional, uma vez que são métodos realimentados por meio de um erro relativo a cada passo de cálculo, i.e., os valores de cada elemento da matriz de transformação são recalculados em função do erro obtido com base no valor anterior para cada elemento do vetor de frequências (COSTA, 03). Todos os termos presentes nas equações que representam esse modelo são funções, unicamente, dos parâmetros [Z] e [Y], sendo que a análise dessas funções poderá resultar em conhecimentos úteis que passam a ser utilizados na tentativa de se obter um modelo no domínio do tempo. O modelo desenvolvido leva em conta o efeito da frequência sobre os parâmetros longitudinais da linha e também o fato de que os parâmetros da linha são distribuídos ao longo de seu comprimento. A análise das matrizes, que dão suporte ao modelo, e a validação do modelo no domínio do tempo possa dar origem, futuramente, a um modelo de linha de transmissão desenvolvido diretamente no domínio do tempo. A vantagem do modelo desenvolvido é que, ele pode ser aplicado para linhas de transmissão com qualquer tipo de geometria, por exemplo: linhas sem plano de simetria vertical, diferentemente de modelos já desenvolvidos, que só permitem a análise de transitórios para linha com algum plano de simetria. Pelo fato de ser obtido diretamente das equações de propagação da linha, o modelo permitiu que depois de feitas as simulações de transitórios eletromagnéticos que ocorrem em sistemas de energia elétrica, os resultados se mostraram mais precisos, permitindo assim que o sistema de energia elétrica opere com maior confiabilidade e segurança. Assim, acredita-se que este trabalho seja um novo conceito de representação de linhas de transmissão, de maneira que esse modelo seja uma das formas de se analisar fenômenos transitórios que ocorrem em linhas de transmissão do sistema de energia elétrica. Portanto, neste capítulo foi apresentada de maneira breve uma abordagem histórica a respeito da modelagem de sistemas de energia elétrica para estudo de transitórios

25 3 eletromagnéticos. Estas descrições contribuíram para enfatizar as principais contribuições da metodologia proposta nesta tese e o objetivo deste trabalho.

26 4 EQUAÇÕES DE CORRENTES E TENSÕES DE LINHAS MONOFÁSICAS. INTRODUÇÃO No estudo e desenvolvimento de modelos de linhas de transmissão, verifica-se que os parâmetros longitudinais e transversais da linha são influenciados pelas características físicas da linha e pelas características do meio em que essa está imersa. Considera-se também, que os parâmetros da linha são distribuídos ao longo de seu comprimento. Devido à natureza distribuída dos parâmetros, as correntes e tensões em uma linha de transmissão são obtidas a partir da solução de equações diferenciais que são funções do tempo e da posição ao longo da linha. As soluções dessas equações diferenciais são conhecidas no domínio do tempo somente para o caso de linhas ideais (linhas sem perdas), mas tais soluções são facilmente obtidas no domínio da frequência. Neste capítulo, será mostrado o desenvolvimento das equações clássicas que descrevem o comportamento de uma linha de transmissão (com perdas) e as soluções para essas equações no domínio da frequência. Inicialmente, serão apresentadas as equações diferenciais de uma linha de transmissão monofásica genérica no domínio da frequência, bem como sua solução. A partir dessas relações, as equações diferenciais de uma linha de transmissão polifásica serão apresentadas. A solução para as equações que representam uma linha polifásica genérica pode ser obtida por meio da representação dessa linha no domínio modal. No domínio modal, uma linha polifásica com n fases é representada por seus n modos de propagação e cada um desses n modos comporta-se como uma linha monofásica independente. Essa maneira de representar a linha será denominada, neste trabalho, modelo clássico. Na representação modal, as grandezas de fase são convertidas para o domínio dos modos por meio de uma matriz de transformação modal adequada. Nesse domínio, as correntes e tensões são obtidas para cada modo e em seguida, essas grandezas são convertidas novamente para o domínio das fases. A matriz de transformação que realiza a conversão fasemodo-fase é uma matriz cujas colunas são autovetores correspondentes aos autovalores do produto [Z][Y] ou [Y][Z], sendo [Z] a matriz de impedâncias longitudinais e [Y] a matriz de admitâncias transversais da linha. Essa matriz é, geralmente, variável em função da frequência e pode ser obtida por meio de métodos numéricos como, por exemplo, o método de Newton- Raphson (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 996).

27 5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE UMA LINHA MONOFÁSICA A distribuição das correntes e tensões e a transferência de energia ao longo da linha de transmissão podem ser analisadas de diversas maneiras. O objetivo dessas análises é obter expressões matemáticas aplicáveis à solução de problemas envolvendo linhas genéricas de transmissão. Essas expressões devem não só garantir a solução para linhas de transmissão, como também devem representar suas características e limitações (FUCHS, 979). Verifica-se que é possível estabelecer, matematicamente, uma relação entre as correntes e tensões, em um sistema de transmissão, por meio de equações, descritas no tempo e na frequência, considerando aspectos físicos da linha e do meio na qual a linha está inserida. Considere uma linha de transmissão monofásica genérica representada na figura. (CARVALHO, 03). Figura - Linha de transmissão monofásica de comprimento d. A v(x,t) i(x,t) B solo Fonte: Elaboração do próprio autor. d (km) A figura mostra uma linha monofásica, de comprimento d, onde o retorno da corrente se dá por meio do solo. Nessa figura, A e B são, respectivamente, os terminais emissor e receptor da linha, enquanto que v(x,t) e i(x,t) são, respectivamente, a tensão e a corrente na posição x ao longo da linha no instante de tempo t. Sabendo-se que os parâmetros elétricos longitudinais e transversais de uma linha de transmissão, do tipo mostrado na figura, são uniformemente distribuídos ao longo do comprimento da mesma. Pode-se representar um elemento infinitesimal desta linha, como mostraremos na figura, a seguir. (CHIPMAN, 97; GREENWOOD, 977).

28 6 Figura - Circuito equivalente para um elemento infinitesimal da linha. Fonte: Elaboração do próprio autor. Na figura os parâmetros longitudinais R e L são, respectivamente, a resistência e a indutância por unidade de comprimento da linha enquanto os parâmetros transversais G e C são respectivamente a condutância e a capacitância da linha por unidade de comprimento. Os termos i(x,t) ei(x+δx, t) são as correntes longitudinais no elemento diferencial da linha. Os termos v(x,t)e v(x+δx, t) são as tensões transversais neste elemento. As equações da corrente e da tensão paraeste circuito aplicando a lei dos nós e a lei das malhas de Kirchhoff, podem ser escritas como: v( x+ Δx,t) i( x,t) i( x+ Δx,t) GΔxv( x+ Δx,t) CΔx () t A equação () pode ser escrita na forma: v( x x, t) i( x x, t) i( x, t) Gxv( x x, t) Cx t () Dividindo a equação () por x, teremos: i ( x+ Δx,t ) i ( x,t ) ( ) G v( x+ Δx,t) C v x+vδx,t Δx t (3) Calculando o limite da equação (3) para x tendendo a zero, obtém-se (SWOKOWSKI, 994): i( x+ Δx,t) i( x,t) v( x,t) lim C x t x0 (4)

29 7 O lado esquerdo da equação (4) é a derivada parcial de i(x,t) em relação à x. Portanto, a equação (4) será reescrita, como sendo (CHIPMAN, 97): i( x, t) v( x, t) G v( x, t) C x t (5) Para o circuito da figura, também pode-se escrever: v( x, t) V V v( x x, t) 0 (6) R L i( x x, t) v( x, t) Rxi( x x, t) Lx v( x x, t) 0 t i( x, t) v( x, t) v( x x, t) Rx i( x, t) Lx t i( x, t) v( x x, t) v( x, t) Rx i( x, t) Lx t (7) (8) (9) Dividindo (9) por x, teremos: v ( x x, t ) v ( x, t ) (, ) Ri( x, t) L i x t x t (0) Calculando o limite de (0), para x tendendo a zero, (SWOKOWSKI, 994), fica: v x x t v x t i x t lim x 0 (, ) (, ) (, ) x x () O lado esquerdo da equação () é a derivada parcial de i(x,t) em relação à x. Logo, a equação () será reescrita, como sendo (CHIPMAN, 97): v( x, t) i( x, t) Ri( x, t) L x t () As equações (5) e () são equações diferenciais de primeira ordem e descrevem o comportamento das correntes e tensões, em uma linha monofásica, no domínio do tempo. As soluções das equações diferenciais (5) e () no domínio do tempo não são facilmente obtidas (BRANIN, 967). No entanto, é possível obter as soluções dessas equações no domínio da frequência.

30 8 No domínio da frequência, as equações (5) e (), tornam-se (MARTINEZ; GUSTAVSEN; DURBAK, 005; BUDNER, 970): d i (x, ) Y ( ) V ( x, ) (3) dx d v(x, ) Z( ) I ( x, ) (4) dx onde: Z ( ) R( ) j L( ) (5) Y( ω) G( ) jc( ) (6) Nas expressões (3) e (4), i(x, ω) e v(x, ω) são, respectivamente, a corrente e a tensão em uma posição x da linha no domínio da frequência. Os termos Z(ω) e Y(ω) são,respectivamente, a impedância longitudinal e a admitância transversal da linha por unidade de comprimento. Na equação (5) os parâmetros R(ω) e L(ω) são a resistência e a indutância por unidade de comprimento da linha respectivamente e na equação (6) os parâmetros Z(ω) e Y(ω) são a condutância e a capacitância por unidade de comprimento da linha. Nas equações (3)-(6), o termo jω corresponde à frequência angular imaginária e por questões de simplificação será omitido no restante deste trabalho. Geralmente, em casos de linhas aéreas costuma-se desprezar a condutância G(ω) e também, desconsidera-se o efeito da frequência sobre a capacitância C(ω) (MARTINEZ; GUSTAVSEN; DURBAK, 005). Derivando as equações (3) e (4) em relação ax, teremos: d v x ( ) d i ( x) Z (7) d x d x d i x ( ) d v ( x) Y (8) d x d x Substituindo a equação (3) em (7) e (4) em (8), respectivamente, e fazendo as manipulações matemáticas necessárias, obtêm-se:

31 9 d v x ( ) Z Y v( x) (9) d x d i x ( ) Z Y i( x) (0) d x As equações (9) e (0) são as equações diferencias de ª ordem para o cálculo das tensões e correntes e suas soluções são do tipo: x x v( x) ae be () x x i( x) ae be () Z Z C C Nas equações () e () os termos e Z C são respectivamente, a função de propagação e a impedância característica da linha e são escritos como sendo (MARTI, 983, CHIPMAN, 97): Z Y (3) Z Z C (4) Y Considere que na linha mostrada na figura possui, em seus terminais, correntes e tensões conforme mostra a figura 3. Figura 3 - Linha de transmissão monofásica de comprimento d no domínio da frequência. I A A B I B V A V B solo Fonte: Elaboração do próprio autor. Na figura 3 A e B são, respectivamente, os terminais emissor e receptor da linha monofásica. As componentes I A e I B são as correntes longitudinais da linha nos terminais A e

32 30 B, respectivamente, enquanto que V A e V B são as tensões nesses terminais. As correntes I A e I B e as tensões V A e V B estão no domínio da frequência. A partir da figura 3, podem-se escrever as equações hiperbólicas da linha como sendo (BUDNER, 970): V V cos h( d) Z I sen h( d) (5) B A C A IB VA sen h ( d) I A cos h ( d) (6) Z onde: C d d e e sen h ( d) d d e e cos h ( d ) (7) (8) Uma vez obtida às correntes e tensões no terminal receptor da linha no domínio da frequência e conhecendo-se a corrente e tensão no terminal emissor da linha, é possível convertê-las para o domínio do tempo por meio do uso das transformadas inversas de Fourier ou Laplace (MORENO; RAMIREZ, 008)..3 CONCLUSÃO A revisão descrita neste capítulo, com base nas equações do telegrafista, mostra que os transitórios eletromagnéticos em linhas de transmissão são de fato ondas viajantes guiadas ao longo dos condutores metálicos. Características de propagação, tais como atenuação e desvio de fase, são observadas com base na função de propagação e impedância característica do meio de propagação. Estes parâmetros são uniformemente distribuídos ao longo do comprimento da linha e para uma maior precisão, deve-se considerá-los dependentes da frequência. As equações diferenciais obtidas são de difícil solução no domínio do tempo, sendo que esta solução somente é conhecida para alguns casos específicos.

33 3 3 REPRESENTAÇÃO DE UMA LINHA POLIFÁSICA NO DOMÍNIO MODAL 3. INTRODUÇÃO No capítulo anterior foram mostrados modelos de linhas que permitem obter as correntes e tensões de linhas monofásicas. Para o caso de linhas com mais de uma fase, pode-se utilizar a técnica de decomposição modal (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 996). A técnica de decomposição modal consiste em representar uma linha polifásica no domínio modal, onde uma linha de n fases pode ser desacoplada em seus n modos de propagação, sendo que cada um dos modos de propagação comporta-se como sendo uma linha monofásica independente das demais. Deste modo, as correntes e tensões de cada modo de propagação podem ser calculadas, no domínio modal, por meio das equações desenvolvidas no capítulo. A representação de uma linha no domínio modal dá-se por meio de uma matriz denominada matriz de decomposição modal (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 996). Uma vez calculadas as correntes e tensões no domínio modal, é possível obter as correntes e tensões nas fases da linha polifásica por meio do uso da matriz de transformação modal inversa. 3. EQUAÇÕES DE CORRENTES E TENSÕES PARA LINHAS POLIFÁSICAS Considere uma linha com n fases, conforme mostra a figura 4. Figura 4 - Correntes e tensões em uma linha com n fases. I n I V n Fase n Fase I V V Fase solo Fonte: Elaboração do próprio autor. Na figura 4 I e V, são respectivamente as correntes e tensões na fase, I e V, são respectivamente as correntes e tensões na fase e I n ev n, são respectivamente as correntes e tensões na fase n.

34 3 A matriz de impedância longitudinal [Z] e de admitância transversal [Y] da linha mostrada na figura 4, são escritas como sendo (PORTELA; TAVARES, 993): Z Y z z zn z z z n zn zn znn y y yn y y y n yn yn ynn (9) (30) sendo: z ii impedância própria da fase i; z ij impedância mútua entre as fases i e j; y ii admitância da fase i; y ij admitância entre as fases i e j. As equações diferenciais de tensão e corrente para essa linha são escritas como sendo (BUDNER, 970): d V ZI (3) dx d I YV (3) dx As equações de segunda ordem para uma linha polifásica, escritas no domínio da frequência, podem ser escritas como: d d dx dx V I ZYV (33) Y Z I (34) Nas equações (3)-(34), [V] e [I] são vetores com as tensões e correntes de fase, respectivamente e escritos no domínio da frequência.

35 33 Nas equações (33) e (34), os produtos [Z][Y] e [Y][Z] são distintos, e as matrizes [Z] e [Y] não são matrizes diagonais, fato que dificulta a obtenção das soluções das equações diferenciais.tais produtos podem ser transformados em matrizes diagonais a partir da utilização de uma transformação de similaridade (CHEN, 999). Nesse caso, os produtos matriciais [Z] [Y] e [Y] [Z] resultarão em matrizes diagonais cujos elementos são os autovalores dos produtos matriciais. Portanto, para obter as correntes e tensões nos terminais de uma linha monofásica, pode-se utilizar a técnica de decomposição modal que será mostrada em seguida. 3.3 REPRESENTAÇÃO DA LINHA POLIFÁSICA NO DOMÍNIO MODAL A matriz [λ V ], que é a matriz com os autovalores de [Z][Y], é calculada por meio da seguinte relação (FARIA, 997): [ V V V ] [T ] [Z][Y][T ] (35) Os autovalores [λ I ] do produto matricial [Y][Z] são (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 996): [ I I I ] [T ] [Y][Z][T ] (36) Nas equações (35) e (36), as matrizes [T V ] e [T I ] são as matrizes cujas colunas são os autovetores associados aos autovalores dos produtos [Z][Y] e [Y][Z], respectivamente, e [T V ] - e [T I ] - são, respectivamente, as matrizes inversas de [T V ] e [T I ]. As matrizes [T V ], [T I ], [λ I ] e [λ V ] são complexas e variáveis em relação à frequência. Os produtos matriciais [Z][Y] e [Y][Z], de maneira genérica são distintos e, portanto,as matrizes [T V ] e [T I ] são diferentes.no entanto, mesmo sendo [Z][Y] e [Y][Z] matrizes distintas, seus determinantes e consequentemente seus autovalores [λ I ] e [λ V ] são iguais. Assim, denominando os autovalores dos produtos [Z][Y] e [Y][Z] como [λ m ], as equações (35) e (36), tornam-se: T ZYT (37) m V V T YZT (38) m I I A matriz [λ m ], em (37) e (38), é uma matriz diagonal do tipo (LIPSCHUTZ, 974):

36 n m (39) Na equação (37), a matriz [T V ], é uma matriz cujas colunas são autovetores associados ao produto [Z][Y] e, na equação (38), a matriz [T I ] é uma matriz cujas colunas são autovetores associados a [Y][Z] (WEDEPOHL;NGUYEN; IRWIN, 996). Manipulando as equações (37) e (38), respectivamente obtém-se: [Z][Y] [T (40) V ][ m ][TV ] [Y][Z] [T ][ (4) I m ][TI ] Substituindo as equações (40) e (4) nas equações (33) e (34) obtêm-se: d²[t V ] [V] dx² (4) [ m ][T V] [V] d²[t I ] [I] dx² (43) [ m ][T I] [I] Nas equações (4) e (43), as tensões e corrente modais são definidas como: [V m] [T V] [V] (44) [I m] [T I] [I] (45) Desenvolvendo as equações (44) e (45), obtêm-se: [ V m V] [T ][V ] (46) [ I m I] [T ][I ] (47) Nas equações (44) e (45), [V m ] e [I m ] são os vetores com as tensões e correntes modais da linha, respectivamente. Substituindo as equações (46) e (47) nas equações (4) e (43), respectivamente, obtém-se:

37 35 d²[v m] [ m][v m] dx² (48) d²[i m] [ m][i m] dx² (49) De forma análoga, substituindo as equações (46) e (47) nas equações (3) e (3), obtém-se: d[tv ][V dx d[ti ][I dx m m ] -[Z][T ][I ] (50) I m ] -[Y][T ][V ] (5) V m Desenvolvendo matematicamente as equações (50) e (5), têm-se: d[v ] - -[TV ] [Z][TI ][Im ] dx (5) d[i ] - -[TI ] [Y][TV ][Vm ] dx (53) onde: - [ Zm ] = [TV ] [Z][TI ] - [ Ym ] = [TI ] [Y][TV ] (54) (55) Nas equações (54) e (55), as matrizes de [Z m ] e [Y m ] são as matrizes de impedâncias longitudinais e admitâncias transversais modais da linha de transmissão. Derivando as equações (5) e (53) em relação a x, têm-se: d d dx V I dx m m Z Y V (56) m m m Y Z I (57) m m m

38 36 As equações (56) e (57) são as equações diferenciais modais da linha. Uma vez que as matrizes [Z m ] e [Y m ] são diagonais (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 996) as equações (56) e (57) estão desacopladas e escritas no domínio modal. 3.4 PROCEDIMENTOS PARA SE CALCULAR AS CORRENTES E TENSÕES NOS TERMINAIS DE UMA LINHA UTILIZANDO O MODELO MODAL Verifica-se que para utilizar o modelo modal de linhas de transmissão, inicialmente a linha deve ser separada em seus modos de propagação que se comportam como linhas monofásicas. Em seguida cálcula-se as correntes e tensões nos modos de propagação da linha. Para finalizar, estas correntes e tensões modais são convertidas, por meio de uma matriz de transformação modal adequada, para o domínio das fases. A figura 5 mostra, na forma de diagrama de blocos, o procedimento para calcular as correntes e tensões nos terminais de uma linha utilizando o modelo modal. Figura 5 - Representação em diagrama de blocos de uma linha de transmissão polifásica no domínio modal. Domínio das fases Linha polifásica comnfases Transformação modal Modos de propagação (Linhas monofásicas) Domínio modal Cálculo das correntes e tensões nos modos Transformação modal inversa Domínio das fases Linhas polifásicas com n fases Fonte: Elaboração do próprio autor.