Um modelo de linha de transmissão bifásica desenvolvido diretamente no domínio das fases

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1 Campus de Ilha olteira PROGRAMA DE PÓ-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA DIERTAÇÃO DE METRADO Um modelo de linha de transmissão bifásica desenvolvido diretamente no domínio das fases Newton Vieira de ouza Junior Orientador: Prof. Dr. érgio Kurokawa Ilha olteira/p Agosto, 0

2 Campus de Ilha olteira PROGRAMA DE PÓ-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA DIERTAÇÃO DE METRADO Um modelo de linha de transmissão bifásica desenvolvido diretamente no domínio das fases Newton Vieira de ouza Junior Orientador: Prof. Dr. érgio Kurokawa Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia - UNEP Campus de Ilha olteira, para obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica. Área de Conhecimento: Automação. Ilha olteira/p Agosto, 0

3 FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela eção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação erviço Técnico de Biblioteca e Documentação da UNEP - Ilha olteira. 79m ouza Junior, Newton Vieira de. Um modelo de linha de transmissão bifásica desenvolvido diretamente no domínio das fases / Newton Vieira de ouza Junior. -- Ilha olteira : [s.n.], 0 88 f. : il. Dissertação (mestrado) Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha olteira. Área de conhecimento: Automação, 0 Orientador: érgio Kurokawa Inclui bibliografia. Domínio modal.. Linhas de transmissão. 3. Linhas polifásicas. 4. Matriz de transformação. 5. Newton-Raphson, Método. Capes

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5 Dedico esse trabalho aos meus pais, Newton Vieira de ouza e Márcia Helena da Cunha ouza (in memoriam) e aos meus irmãos Marcelo Augusto da Cunha ouza e Mariana Cristina da Cunha ouza,. pelo apoio e carinho a mim dedicados. 5

6 Agradecimentos Em primeiro lugar a Deus por ter me dado força e sabedoria para buscar e lutar por aquilo em que acredito. E em especial quero agradecer e dedicar este trabalho à: A meus pais Newton Vieira de ouza e Márcia Helena da Cunha ouza (in Memorian) e a meus irmãos, Marcelo Augusto da Cunha ouza e Mariana Cristina da Cunha ouza e a minha namoradathaygra Cristina Moreira Barbosa pelo apoio, compreensão e incentivo que me deram nas horas difíceis. A minha Tia Maria Guimarães pelo carinho dedicado a mim durante todo esse período de plena dedicação ao mestrado. Ao professor érgio Kurokawa a quem sou muito grato por toda confiança, dedicação e apoio confiados a mim durante todo o período em que estive desenvolvendo este trabalho. ou lhe grato pela grande amizade obtida durante esse tempo. Aos professores Luiz Fernando Bovolato, Afonso José do Prado e José Carlos da Costa Campospela disposição para participar da banca e principalmente pelas sugestões para a melhoria do meu trabalho. Aos colegas que fiz durante todo tempo que estudei e em especial, aos meus amigos de laboratório: Carolina Goulart de Carvalho, Gislaine Aparecida Asti, Rodrigo Cléber e Ivan Brandt, sou lhes grato pelo apoio, confiança e amizade adquiridos nesse período. 6

7 A paz, se possível, mas a verdade a qualquer preço. (Martin Lutero) 7

8 REUMO abe-se que uma linha de transmissão polifásica pode ser representada no domínio modal, por seus n modos de propagação que se comportam como sendo n linhas monofásicas independentes. Uma vez calculadas as correntes e tensões no domínio modal, as mesmas são convertidas para o domínio das fases por meio de uma matriz de transformação modal. A matriz de transformação modal é uma matriz cujos elementos são escritos em função dos parâmetros longitudinais e transversais da linha, variam em função da frequência e, geralmente, são obtidos por meio de métodos numéricos. Deste modo, diz-se que o modelo obtido é um modelo numérico de linha. Neste trabalho foi feita uma abordagem a respeito de um modelo analítico de linha de transmissão bifásica. O modelo proposto utiliza também a representação modal, mas a matriz de transformação será obtida analiticamente em função dos parâmetros da linha. Deste modo, foi possível obter, analiticamente, relações entre as correntes e tensões de fase da linha baseando-se unicamente nos parâmetros longitudinais e transversais da mesma. Palavras Chave Domínio modal. Linhas de transmissão. Linhas polifásicas. Matriz de transformação.newton-raphson. 8

9 ABTRACT It is know that polyphase transmission line can be represented in the modal domain its n propagation modes that behave as n independent single-phase lines. Once calculated the currents and voltages in the modal domain, they are converted into the realm of the phases by means of a modal transformation matrix. The modal transformation matrix is a matrix whose elements re written against the parameters of longitudinal and cross the and they are usually obtained by numerical methods. In this paper an approach was made on an analytical model of two-phase transmission line. The proposed model uses the modal representation, but the transmission matrix obtained analytical in terms of line parameters. The development of the analytical model will be based on the modal model. Thus, initially will be obtained analytically, a modal matrix decomposition that allows to calculate analytically the eigenvalues of the product [Z][Y] line. Once obtained the eigenvalues it possible to abtain the modes of propagation and characteristic impedance of the line modes. Then, using the solutions algebraic differential equation of a single-phase line, we abtain the equations of currents and voltages of each of modes of spread of the row. In a final step, the equations of modal currents and voltages are converted into the realm of the phases, resulting in algebraic equations that can calculate the currents and phase voltages of the line in the frequency domain. Keywords- Modal domain. Transmission line.two-phase line. Transformation matrix. Newton-Raphson. 9

10 Lista de Figuras Figura Nº0-Mapa do IN istema de Transmissão. 3 Figura Nº0- Representação em diagrama de blocos de uma linha no domínio modal. 5 Figura Nº03 - Linha de transmissão monofásica de comprimento d. 6 Figura Nº04 - Circuito equivalente para um elemento infinitesimal da linha. 7 Figura Nº05 -Linha de comprimento d. 8 Figura Nº06 - Representação das correntes e tensões nos terminais da linha. 9 Figura Nº07 - Correntes de tensões em uma linha com n fases. 0 Figura Nº08 - Representação em diagrama de blocos de uma linha no domínio modal. 34 Figura Nº09 - Representação de uma linha de transmissão bifásica genérica sem plano de simetria vertical. 36 Figura Nº0 - Linha bifásica genérica sem plano de simetria vertical com as correntes e tensões. 37 Figura Nº - Modo genérico de uma linha de transmissão bifásica.. 38 Figura Nº -Linha de transmissão bifásica.. 57 Figura Nº3 - Energização da linha em aberto. 58 Figura Nº4 - Tensão no terminal B da linha de 50 km em aberto (fase ). 58 Figura Nº5 - Tensão no terminal B da fase da linha de 50 km em aberto (fase ). 59 Figura Nº6 -Ângulo da tensão no terminal B da linha de 50 km em aberto (fase ).. 59 Figura Nº7 -Tensão no terminal B da linha de 00 km em aberto (fase ). 60 Figura Nº8 - Tensão no terminal B da linhade 00 km em aberto (fase ). 60 Figura Nº9 - Ângulo da tensão no terminal B da linha de 00 km em aberto (fase ). 6 Figura Nº0 - Corrente no terminal A da linha de 50 km em aberto (fase ). 6 Figura Nº-Ângulo da corrente no terminal A da linha de 50 km em aberto (fase ). 6 Figura Nº -Corrente no terminal A da linha de 50 km em aberto (fase ). 6 Figura Nº3 -Ângulo da corrente no terminal A da linha de 50 km em aberto (fase ). 63 Figura Nº4 -Corrente no terminal A da linha de 00 km em aberto (fase ). 63 Figura Nº5 -Ângulo da corrente no terminal A da linha de 00 km em aberto (fase ). 64 Figura Nº6 -Corrente no terminal A da linha de 00 km em aberto (fase ). 64 Figura Nº7 -Ângulo da corrente no terminal A da linha de 00 km em aberto (fase ). 65 Figura Nº8- Energização da linha em curto circuito. 65 Figura Nº9 -Corrente no terminal A da linha de 50 km em curto (fase ). 66 0

11 Figura Nº30 -Ângulo da corrente no terminal A da linha de 50 km em curto (fase ). 66 Figura Nº3 -Corrente no terminal A da linha de 50 km em aberto (fase ). 67 Figura Nº3 -Ângulo da corrente no terminal A da linha de 50 km em curto (fase ). 67 Figura Nº33 -Corrente no terminal B da linha de 50 km em curto (fase ). 68 Figura Nº34 -Ângulo da corrente no terminal B da linha de 50 km em curto (fase ). 68 Figura Nº35 -Corrente no terminal B da linha de 50 km em curto (fase ). 69 Figura Nº36 -Ângulo da corrente no terminal B da linha de 50 km em curto (fase ). 69 Figura Nº37 -Corrente no terminal A da linha de 00 km em curto (fase ). 70 Figura Nº38 -Ângulo da corrente no terminal A da linha de 00 km em curto (fase ).. 70 Figura Nº39 -Corrente no terminal B da linha de 00 km em curto (fase ).. 7 Figura Nº40 -Ângulo da corrente no terminal B da linha de 00 km em curto (fase ). 7 Figura Nº4 -Corrente no terminal A da linha de 00 km em curto (fase ). 7 Figura Nº4 -Ângulo da corrente no terminal A da linha de 00 km em curto (fase ). 7 Figura Nº43 -Corrente no terminal B da linha de 00 km em curto (fase ). 73 Figura Nº44 -Ângulo da corrente no terminal B da linha de 00 km em curto (fase ). 73

12 UMÁRIO CAPÍTULO...4. Introdução (DALTIM, 006)... 4 CAPÍTULO...8 EQUAÇÕE DE CORRENTE E TENÕE DE LINHA MONOFÁICA Introdução Equações diferenciais de uma linha monofásica olução das equações de propagação caso de linhas sem perdas olução das equações de propagação para o caso de linhas com perdas Conclusão CAPÍTULO REPREENTAÇÃO DE UMA LINHA POLIFÁICA NO DOMÍNIO MODAL Introdução Equações de correntes e tensões para linhas polifásicas Representação da linha polifásica no domínio modal Matrizes de impedâncias e admitâncias no domínio modal (KUROKAWA, 003) Relação entre as matrizes [T V ] e [T I ] Relação entre [λ], [Z m ] e [Y m ] Procedimento para se calcular as correntes e tensões nos terminais de uma linha utilizando o modelo modal Conclusão CAPÍTULO DEENVOLVIMENTO DO MODELO DE LINHA DE TRANMIÃO BIFÁICA DIRETAMENTE NO DOMÍNIO DA FAE Introdução Desenvolvimento do modelo Obtenção das funções de propagação, das matrizes [K] e [P] e das impedâncias características Obtenção das funções de propagação dos modos (γ m e γ m ) Obtenção das matrizes [K] e [P] Obtenção das impedâncias características Conclusão CAPÍTULO VALIDAÇÃO DO MODELO DEENVOLVIDO Introdução Resultados obtidos Resultados obtidos para a linha em aberto Resultados obtidos para a linha em curto circuito Conclusão CAPÍTULO CONCLUÕE Referências... 8 Apêndice A A. Introdução A. olução dos autovalores λ e λ A.3 olução para a matriz [T v ] A.4 olução para as matrizes de impedância [Z m ] e de admitância [Y m ] modais A.5 olução para as impedâncias características dos modos de propagação... 88

13 Apêndice B B. Introdução B. - Resultados obtidos B.3 Matrizes K, K, K 3 e K B.3. Resultados obtidos de K, K, K 3 e K B.4 Matrizes P, P, P 3 e P B.4. Resultados obtidos de P, P, P 3 e P

14 CAPÍTULO. Introdução (DALTIM, 006) A primeira linha de transmissão de que se tem registro no Brasil foi construída por volta de 883, na cidade de Diamantina, Minas Gerais. Essa linha transportava a energia gerada de uma usina hidroelétrica, constituída de duas rodas d água e dois dínamos Gramme, a uma distância de km, aproximadamente. A energia transmitida por meio dessa linha acionava bombas hidráulicas em uma mina de diamantes. Consta que era a linha mais longa do mundo, na época. Em 90, com a entrada em serviço da central Hidroelétrica de antana do Parnaíba, a então The an Paulo Tramway Light and Power Co. Ltd. construiu as primeiras linhas de seus sistemas de 40 kv. Em 94, com a entrada em serviço da Usina Hidroelétrica de Utupararanga, a mesma empresa introduziu o padrão 88 kv. Esse padrão de tensão foi, em seguida, adotado pela Companhia Paulista de Estradas de Ferro, Estrada de Ferro orocabana e, por meio desta, pela UELPA, que futuramente viria a integrar o sistema CEP. Entre 945 e 947, construiu-se a primeira linha de 30 kv no Brasil, com um comprimento aproximado de 330 km. Essa linha, destinada-se a interligar os sistemas Rio Light e ão Paulo Light, operava inicialmente em 70 kv, passando, em 950, a operar com 30 kv. Foi também a primeira interligação de dois importantes sistemas realizada no Brasil. Vieram, a partir daí, em rápida sucessão, linhas de 30 kv do sistema da Cia. Hidroelétrica de ão Francisco, 6 e 345 kv da CEMIG e FURNA, 460 kv da CEP, as linhas de 500 kv de FURNA e 800 kv do sistema Itaipu (FUCH, 977). Atualmente, de acordo com (OPERADOR NACIONAL DO ITEMA ELÉTRICO - ON, 0), a rede básica de transmissão compreende tensões entre 30 kv a 750 kv, atinge uma extensão de 80.0 km, engloba 85 circuitos de transmissão, contando com uma capacidade de transformação de MVA, em 3 subestações distribuídas. A figura Nº0 mostra um esquema do sistema de transmissão brasileiro (COMPANHIA DE TRANMIÃO DE ENERGIA ELÉTRICA PAULITA - CTEEP, 006). O mapa das linhas de transmissão pertencentes ao istema Interligado Nacional IN. 4

15 Figura Nº0 Mapa do istema Interligado Nacional (IN). Fonte: Operador Nacional do istema Elétrico- ON, 0. O sistema elétrico brasileiro, esquematizado na figura Nº0, apresenta como particularidade grandes extensões de linhas de transmissão e um parque produtor de geração predominantemente hidráulico. O mercado consumidor (47, milhões de unidades) concentrase nas regiões ul e udeste, as mais industrializadas. A região Norte é atendida de forma intensiva por pequenas centrais geradoras, a maioria das termoelétricas, movidas a óleo diesel (OPERADOR NACIONAL DO ITEMA ELÉTRICO - ON,0). Verifica-se que, no Brasil, grande parte das linhas que constituem o istema Interligado Nacional são linhas de 750 kv, ± 600 kv cc, 500 kv, 440 kv, 345 kv, 30 kv e 38 kv (circuito duplo) (COMPANHIA DE TRANMIÃO DE ENERGIA ELÉTRICA PAULITA - CETEEP, 006). 5

16 Devido às suas peculiaridades, as linhas de transmissão podem ser modeladas de diferentes formas, de acordo com a precisão e eficiência necessárias. Na literatura, existem diversas representações para as linhas de transmissão. Quanto à técnica de simulação utilizada, os modelos podem ser classificados em dois grandes grupos que são os modelos descritos no domínio do tempo e os modelos descritos no domínio da freqüência (FARIA et al., 00). Nos modelos do primeiro grupo, a solução é obtida diretamente em função do tempo sem o uso de transformadas inversas (de Fourier ou de Laplace), enquanto que, no segundo grupo, a solução é primeiramente obtida no domínio da freqüência para em seguida ser convertida para o domínio do tempo por meio de transformadas inversas. Os modelos escritos no domínio da freqüência são limitados quanto à sua capacidade de representar corretamente alterações na configuração do sistema (tais como faltas e manobras) e apresentam dificuldades quanto à representação de elementos não lineares. Os modelos de linhas de transmissão também podem ser classificados quanto à natureza de seus parâmetros em modelos a parâmetros constantes e modelos a parâmetros variáveis em relação à freqüência. Os modelos a parâmetros constantes são de fácil utilização, mas não podem representar adequadamente a linha em toda a faixa de freqüências nas quais estão presentes os fenômenos de natureza transitória. Na maior parte dos casos esses modelos aumentam a amplitude das harmônicas de ordem elevada, distorcendo as formas de onda e produzindo picos exagerados (FARIA et al., 00). Os modelos com parâmetros variáveis em relação à freqüência são considerados mais precisos quando comparados aos modelos que consideram os parâmetros constantes. A variação está na dependência da freqüência, podendo esta ser representada por meio da associação série e paralela de elementos R e L (TAVARE, 999). As linhas de transmissão polifásicas podem ainda ser representadas no domínio modal ou no domínio das fases (FARIA et al., 00). Os modelos que representam linhas polifásicas no domínio modal fazem uso da técnica de transformação modal. Nesse caso, a partir do cálculo dos autovalores do produto matricial envolvendo as matrizes de impedâncias longitudinais e admitâncias transversais, pode-se representar uma linha polifásica com n fases por meio de linhas monofásicas independentes e matematicamente equivalentes ao sistema polifásico original. Na representação modal, todos os cálculos são realizados no sistema de n linhas monofásicas que representa o sistema original. Em seguida, utilizando uma matriz de transformação modal adequada, obtém-se os resultados para a linha polifásica. A vantagem da 6

17 representação da linha por meio de seus modos é que no domínio modal o acoplamento entre as fases é eliminado, facilitando os cálculos das correntes e tensões. A figura Nº0, mostra um diagrama de bloco onde se representa uma linha no domínio modal. Figura Nº0 Representação em diagrama de blocos de uma linha no domínio modal. Domínio das fases Linha polifásica de n fases Transformação modal Domínio modal Modos de propagação (Linhas monofásicas) Cálculo das correntes e tensões nos modos de propagação Transformação modal inversa Domínio das fases Linhas polifásicas de n fases Fonte: ouza Junior (0) Quando a linha é representada no domínio das fases, todos os cálculos são realizados diretamente nas fases da linha, evitando a transição para o domínio modal (FARIA et al., 00). Neste trabalho foi feita uma abordagem a respeito de um modelo analítico de linha de transmissão bifásica. O modelo proposto utiliza também a representação modal, mas a matriz de transformação será obtida analiticamente em função dos parâmetros da linha. Deste modo, foi possível obter, analiticamente, relações entre as correntes e tensões de fase da linha baseando-se unicamente nos parâmetros longitudinais e transversais da mesma. 7

18 . Introdução CAPÍTULO EQUAÇÕE DE CORRENTE E TENÕE DE LINHA MONOFÁICA As linhas de transmissão têm como característica, a capacidade de conduzir energia eletromagnética, limitando essa energia à proximidade da própria linha de transmissão. Uma análise rigorosa desse problema exigiria a aplicação das equações de Maxwell nos problemas de campo, onde, ela pode ser representada por meio de seus parâmetros R, L, G e C. No entanto deve-se considerar que os parâmetros são distribuídos ao longo do comprimento da linha.. Equações diferenciais de uma linha monofásica. Considera-se que uma linha de transmissão é constituída por dois condutores metálicos, retilíneos e completamente isolada. Pela necessidade da existência de um circuito fechado, pode-se considerar o próprio solo como sendo o segundo condutor ou condutor de retorno. A figura Nº03 mostra uma representação de uma linha de transmissão monofásica de comprimento d (HEDMAN, 983; FUCH, 979): Considere uma linha, de comprimento d, conforme mostra a figura.. Figura Nº03 - Linha de transmissão monofásica de comprimento d. I A (t) A B I B (t) V A (t) V B (t) d (km) solo Fonte: ouza Junior (0) 8

19 abendo-se que os parâmetros elétricos longitudinais e transversais de uma linha de transmissão, do tipo mostrado na figura Nº03, são uniformemente distribuídos ao longo do comprimento da mesma. Pode-se representar um elemento infinitesimal desta linha, como mostraremos na figura Nº04, a seguir. (CHIPMAN, 97; GREENWOOD, 977). Figura Nº04 - Circuito equivalente para um elemento infinitesimal da linha. i (x,t) LΔx RΔx i (x+δx,t) v (x,t) GΔx CΔx v (x+δx,t) x x Fonte: ouza Junior (0) Na figura Nº04, tem-se um seguimento de comprimento infinitesimal Δx de uma linha de transmissão, cuja resistência possui um valor R, a indutância possui um valor L, a capacitância possui um valor C e a condutância possui um valor G, todos uniformemente distribuídos ao longo do comprimento da linha. Assim para o circuito da figura., podemos escrever que; v(x x,t) i(x, t) i(x x,t) Gx v(x x,t) Cx t (.) A equação (.) pode ser escrita na forma: v(x x,t) i(xx,t) i(x,t) Gxv(xx,t) Cx t (.) Dividindo a expressão (.) por x, teremos: 9

20 i(xx,t) i(x,t) v(xvx,t) Gv(xx,t) C x t (.3) Calculando o limite da equação (.3) para x tendendo a zero, obtém-se (WOKOWKI, 994): i(x x,t) i(x,t) v(x,t) lim G v(x, t) C x t x0 (.4) O lado esquerdo da equação (.4) é a derivada parcial de i(x,t) em relação à x. Portanto, (.4) será escrita, como sendo (CHIPMAN, 97): i(x,t) v(x,t) Gv(x,t) C x t (.5) Para o circuito da figura., também podemos escrever: v(x,t) V V v(x x, t) 0 (.6) R L i(x,t) v(x,t) Rxi(x,t) Lx v(x x,t) 0 t (.7) i(x, t) v(x,t) v(x x,t) R x i(x, t) Lx t (.8) i(x,t) v(xx,t) v(x,t) Rxi(x,t) Lx t (.9) Dividindo (.9) por x, teremos: v(xx,t) v(x,t) i(x,t) Ri(x,t) L x t (.0) Calculando o limite de (.0), para x tendendo a zero, (WOKOWKI, 994), fica: 0

21 v(x x,t) v(x,t) i(x,t) lim R i(x, t) L x t x0 (.) A equação (.) pode ser escrita, como sendo: v(x,t) i(x,t) Ri(x,t) L x t (.) As equações (.5) e (.), são as equações de propagação de uma linha monofásica. A solução analítica de (.5) e (.), somente é conhecida para o caso de linhas sem perdas (R = 0 e G = 0)..3 olução das equações de propagação caso de linhas sem perdas. nulas. Denomina-se linhas sem perdas uma linha em que a resistência e a condutâncias são Para este caso, as equações (.5) e (.) tornam-se: i(x,t) C x v(x,t) t (.3) v(x,t) i(x,t) L x t (.4) Derivando (.3) em relação à x obtém-se (NAIDU, 985) v(x,t) v(x,t) L x x t (.5) i(x,t) v(x,t) C x t x (.6) ubstituindo (.4) em (.5), obtém-se:

22 i(x,t) i(x,t) LC x t (.7) Derivando (.4) em relação à x, obtém-se: v(x,t) i(x,t) C x x t (.8) ubstituindo (.3) em (.8), obtém-se: v(x,t) v(x,t) LC x t (.9) As equações (.7) e (.9) mostram que, para o caso de uma linha sem perdas, a corrente e a tensão comportam-se como ondas..4 olução das equações de propagação para o caso de linhas com perdas. Considere uma linha de comprimento d, conforme mostra a figura Nº05. Figura Nº05 - Linha de comprimento d. Fonte: ouza Junior (0) olo abe-se que as equações diferenciais para a linha mostrada na figura Nº05 são: v(x,t) i(x,t) Ri(x,t) L x t (.0) i(x, t) v(x, t) Gv(x,t) C x t (.)

23 Estas equações são de difícil solução no domínio do tempo, mas podem ser resolvidas no domínio da frequência. Deste modo, aplicando a transformada de Laplace em (.0) e (.) obtém-se: v(x,s) Ri(x,s) sli(x,s) (.) x i(x,s) v(x,s) Gv(x,s) Cs x x (.3) Fazendo s j, as equações (.) e (.3) tornam-se (FUCH, 979): dv(x) (R j L)i(x) (.4) dx dv (x) Zi(x) (.5) dx Analogamente, a equação (.3) torna-se: di(x) Yv(x) (.6) dx Derivando as equações (.5) e (.6) em relação à x, teremos: d v(x) dx di(x) Z (.7) dx d i(x) dx dv(x) Y (.8) dx ubstituindo as equações (.6) em (.7) e (.5) em (.8), obtêm-se: d v(x) dx ZYv(x) (.9) 3

24 di(x) dx ZYi(x) (.30) abe-se que as soluções para as equações (.9) e (.30) são do tipo: x x v(x) ae be (.3) (.3) Z Z x x i(x) ae be C C Nas equações (.3) e (.3) os termos e Z c são respectivamente, a função de propagação e a impedância característica da linha e são escritos como sendo (MARTI, 98; CHIPMAN, 976): ZY (.33) Z Z C (.34) Y Considere que a linha mostrada na figura.3 possui, em seus terminais, correntes e tensões conforme mostra a figura Nº06: Figura Nº06 Representação das correntes e tensões nos terminais da linha. I (x = 0) = I A A B I (x = d) = I B x = 0 x = d V (x=0) = V A V (x=d) = V B solo Fonte: ouza Junior (0) A partir da figura Nº06, mostrada acima, pode-se escrever as equações hiperbólicas da linha como sendo (BUDNER, 970): 4

25 VB VAcos h( d) ZC IA sen h( d) (.35) I V senh( d) I cosh( d) (.36) B A A ZC Onde: sen h e ( d) d e d (.37) e cos h ( d) d e d (.38) Uma vez obtidas as correntes e tensões nos terminais da linha, no domínio da frequência, é possível convertê-las para o domínio do tempo por meio do uso das transformadas inversas de Fourier ou Laplace..5 Conclusão. Neste capítulo, foram deduzidas as equações diferencias que representam uma linha de transmissão cujos parâmetros são uniformemente distribuídos ao longo da linha. Estas equações diferenciais obtidas são de difícil solução no domínio do tempo, sendo a solução conhecida para alguns casos específicos. Um caso em que é possível obter as correntes e tensões diretamente no domínio do tempo é quando se considera linhas sem perdas com parâmetros invariáveis em relação a frequência. Para o caso de linhas com perdas, é possível converter as equações diferenciais das mesmas para o domínio da frequência, onde é possível obter as soluções das mesmas. 5

26 CAPÍTULO 3 REPREENTAÇÃO DE UMA LINHA POLIFÁICA NO DOMÍNIO MODAL 3. Introdução No capítulo anterior foram mostrados modelos de linhas que permitem obter as correntes e tensões de linhas monofásicas. Para o caso de linhas com mais de uma fase, pode-se utilizar a técnica de decomposição modal (WEDEPOHL, 996). A técnica de decomposição modal consiste em representar uma linha polifásica no domínio modal, onde uma linha de n fases pode ser separada em seus n modos de propagação, sendo que cada um dos modos de propagação comporta-se como sendo uma linha monofásica independente das demais. Deste modo, as correntes e tensões de cada modo de propagação podem ser calculadas, no domínio modal, por meio das equações desenvolvidas no capítulo. A representação de uma linha no domínio modal dá-se por meio de uma matriz denominada matriz de decomposição modal (WEDEPOHL, 996). Uma vez calculadas as correntes e tensões no domínio modal, é possível obter as correntes e tensões nas fases da linha polifásica por meio do uso da matriz de transformação modal inversa. 3. Equações de correntes e tensões para linhas polifásicas Considere uma linha com n fases, conforme mostra a figura Nº07. Figura Nº07 Correntes de tensões em uma linha com n fases. i n i V n Fase n Fase i V V Fase solo Fonte: ouza Junior (0) 6

27 Na figura Nº07, i e V, são respectivamente a corrente e tensão na fase, i e V, são respectivamente a corrente e tensão na fase e i n e V n, são respectivamente a corrente e tensão na fase n. A matriz de impedância longitudinal [Z] e de admitância transversal [Y] da linha mostrada na figura Nº07, são escritas como sendo: Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z n n n n nn (3.) Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y n n n n nn (3.) As equações diferenciais de tensão e corrente para essa linha são escritas como sendo (BUDNER, 970): dv ZI (3.3) dx di YV (3.4) dx Nas equações (3.3) e (3.4), [V] e [I] são vetores com as tensões e correntes de fase, respectivamente. Derivando (3.3) e (3.4) em relação à x, onde x é a posição ao longo da linha, têm-se (WOKOWKI, 994): Z d V d I dx dx (3.5) 7

28 d I d V Y dx dx (3.6) ubstituindo (3.3) e (3.4) em (3.6) e (3.5), respectivamente, obtêm-se: d d dx dx V I ZYV (3.7) Y Z I (3.8) endo: ZY V (3.9) YZ I (3.0) Nas equações (3.7) e (3.8), os produtos [Z][Y] e [Y][Z] são distintos, e as matrizes [Z] e [Y] não são diagonais, fato que dificulta a obtenção das soluções das equações diferenciais. Tais produtos podem ser transformados em matrizes diagonais a partir da utilização de uma transformação de similaridade (CHEN, 984). Nesse caso, os produtos matriciais [Z] [Y] e [Y] [Z] resultarão em matrizes diagonais cujos elementos são os autovalores dos produtos matriciais. Portanto, para obter as correntes e tensões nos terminais de uma linha monofásica, pode-se utilizar a técnica de decomposição modal que será mostrada em seguida. 3.3 Representação da linha polifásica no domínio modal As equações (3.7) e (3.8), podem ser escritas desta forma: d dx V V V (3.) 8

29 d dx I I I (3.) Os autovalores das matrizes [ V ] e [ I ] são iguais, e podem ser escritos como sendo (WEDEPOHL, 996; DOMMEL, 997): T ZYT (3.3) V V T YZT (3.4) I I A matriz [λ], em (3.3) e (3.4), é uma matriz diagonal do tipo (LIPCHUTZ, 974): n (3.5) Na equação (3.3), a matriz [T V ], é uma matriz cujas colunas são autovetores associados a [ V ] e, na equação (3.4), a matriz [T I ] é uma matriz cujas colunas são autovetores associados a [ I ] (WEDEPOHL, 996). Das equações (3.3) e (3.4), têm-se: T T (3.6) V V V T T (3.7) I I I ubstituindo as equações (3.6) e (3.7) respectivamente nas equações (3.) e (3.), obtêm-se: d dx V TV TV V (3.8) 9

30 d dx I TI TI I (3.9) A partir de (3.8) e (3.9) é possível escrever: d²[t V ] [V] dx² (3.0) [ ][T V] [V] d²[t I] [I] dx² (3.) [ ][T I] [I] Fazendo: [V m] [T V] [V] (3.) [I m] [T I] [I] (3.3) Resulta: d²[v m] [ ][V m] (3.4) dx² d²[i m ] [ ][I m ] (3.5) dx² Manipulando as equações (3.4) e (3.5), obtêm-se: d d dx V I dx m m Z Y V (3.6) m m m Y Z I (3.7) m m m Onde nas equações (3.6) e (3.7), [Z m ] e [Y m ] serão mostradas a seguir. 30

31 Neste caso, [V m ] e [I m ] são os vetores com as tensões e as correntes modais da linha. Desenvolvendo (3.6) e (3.7), fica: Vm Vm V d m 0 V 0 0 m dx² Vmn V n mn (3.8) Im Im I d m 0 I 0 0 m dx² Imn I n mn (3.9) Das equações (3.8) e (3.9), têm-se: dx dx dvm dim V m I m (3.30) dvm dx dim dx V m I m (3.3) dvmn dx dimn dx n n I V m n mn (3.3) Os pares de equações (3.30) à (3.3) descrevem os n modos de propagação da linha de n fases, sendo que cada um dos modos é independente dos demais e comporta-se como uma linha monofásica. 3

32 As equações (3.6) e (3.7) são as equações diferenciais modais da linha. Uma vez que as matrizes [Zm] e [Ym] são diagonais, as equações (3.6) e (3.7) estão desacopladas e suas soluções são conhecidas (BUDNER, 970). Lembrando que as soluções das equações diferenciais de cada modo já foram estudadas no capítulo anterior. 3.4 Matrizes de impedâncias e admitâncias no domínio modal (KUROKAWA, 003) As equações diferenciais de uma linha de n fases são escritas como sendo: d[v] [Z][I] (3.33) dx d[i] [Y][V] (3.34) dx As relações entre as tensões e as correntes de fase no domínio modal são: [V ] [T ] [V] [V] [T ][V ] (3.35) m V V m [I ] [T ] [I] [I] [T ][I ] (3.36) m I I m ubstituindo (3.35) e (3.36) nas equações (3.33) e (3.34), têm-se: d[t ][V ] dx V m [Z][T I][I m] (3.37) d[t ][I ] dx I m [Y][T V][V m] (3.38) Manipulando (3.37) e (3.38), obtêm-se: d[v ] dx m [T V] [Z][T I][I m] (3.39) 3

33 d[i ] dx m [T I] [Y][T V][V m] (3.40) endo: [Z ] [T ] [Z][T ] (3.4) m V I [Y ] [T ] [Y][T ] (3.4) m I V As matrizes [Z m ] e [Y m ] são, respectivamente, as matrizes de impedância longitudinal e de admitância transversal escritas no domínio modal. Essas matrizes são escritas como sendo: Zm Zm 0 0 [Z m ] Z mn (3.43) Ym Ym 0 0 [Y m] Y mn (3.44) Portanto, foram apresentadas as matrizes de impedância longitudinal e de admitância transversal da linha. 3.5 Relação entre as matrizes [T V ] e [T I ] Considere uma linha de n fases caracterizadas por suas matrizes [Z] e [Y], considerando na linha polifásica que a impedância mútua entre as fases i e j é idêntica à impedância mútua entre as fases j e i, pode-se escrever para essa linha: Z Z T (3.45) 33

34 Y Y T (3.46) Onde: [Z] T é a transposta de [Z]; [Y] T é a transposta de [Y]. Conforme visto nas equações (3.3) e (3.4), têm-se: T ZYT (3.47) V V T YZT (3.48) I I Transpondo a equação (3.48), fica: T T YZT I I T (3.49) TI Y ZTI T T (3.50) T T ZTI TI Y T (3.5) T T T T I Z Y T I (3.5) abendo que, [λ]=[λ] T, as equações (3.47) e (3.5) são iguais, ou seja: T T V V I I T ZYT T ZY T (3.53) Portanto: 34

35 T T V T (3.54) I 3.6 Relação entre [λ], [Z m ] e [Y m ] Multiplicando a equação (3.4) pela equação (3.4), tem-se: Z Y T ZT T YT (3.55) m m V I I V Então: Z Y T ZYT (3.56) m m V V Z Y (3.57) m m Fazendo o produto das equações (3.4) e (3.4), tem-se: Y Z T YT T ZT (3.58) m m I V V I Agora desenvolvendo a equação (3.58), obtém-se: Y Z T YZT (3.59) m m I I Fazendo a comparação das equações (3.4) e (3.59), tem-se: Y Z (3.60) m m As equações (3.55) e (3.58) mostram que os produtos [Z m ] [Y m ] e [Y m ] [Z m ] são iguais. Portanto, as matrizes [Z m ] e [Y m ] são matrizes diagonais. 35

36 3.7 - Procedimento para se calcular as correntes e tensões nos terminais de uma linha utilizando o modelo modal Verifica-se que para utilizar o modelo modal de linhas de transmissão, inicialmente a linha deve ser separada em seus modos de propagação que comportam-se como sendo linhas monofásicas. Em seguida cálcula-se as correntes e tensões nos modos de propagação da linha, para finalizar, estas correntes e tensões modais são convertidas, por meio de uma matriz de transformação modal adequada, para o domínio das fases. A figura Nº08 mostra, na forma de diagrama de blocos, o procedimento para calcular as correntes e tensões nos terminais de uma linha utilizando o modelo modal. Figura Nº08 - Representação em diagrama de blocos de uma linha no domínio modal. Domínio das fases Linha polifásica de n fases Transformação modal Modos de propagação (Linhas monofásicas) Domínio modal Cálculo das correntes e tensões nos modos de propagação Domínio das fases Transformação modal inversa Linhas polifásicas de n fases Fonte: ouza Junior (0) 3.8 Conclusão Neste capítulo, mostrou-se o processo de decomposição modal de linhas de transmissão. A representação modal de linhas permite que uma linha de transmissão de n fases seja decomposta em seus n modos de propagação. 36

37 A vantagem de se representar a linha por meio de seus modos de propagação está no fato de que cada um dos modos comporta-se como uma linha monofásica. Desse modo, uma linha polifásica de n fases pode ser representada como sendo n linhas monofásicas independentes, cujas equações de correntes e tensões são conhecidas e cujas soluções foram mostradas no capítulo anterior. A decomposição da linha em seus modos de propagação é feita por meio de uma transformação de similaridade, onde a matriz de transformação é uma matriz cujas colunas correspondem a um conjunto de autovetores do produto matricial [Z][Y]. Uma vez que as matrizes [Z] e [Y] que são usadas para obter a matriz de transformação da linha são variáveis em função da freqüência, deve-se obter um conjunto de autovetores para cada freqüência. 37

38 CAPÍTULO 4 DEENVOLVIMENTO DO MODELO DE LINHA DE TRANMIÃO BIFÁICA DIRETAMENTE NO DOMÍNIO DA FAE 4. Introdução Neste capítulo será feita uma abordagem inicial a respeito de um modelo analítico para linhas de transmissão bifásica. Este modelo terá como base a representação da linha no domínio modal. No entanto a matriz de decomposição modal, que faz a conversão fase-modofase, será obtida analiticamente em função dos parâmetros da linha. O método foi desenvolvido analiticamente para uma linha bifásica genérica, que é caracterizada por suas matrizes de impedância longitudinal [Z] e de admitância transversal [Y]. 4. Desenvolvimento do modelo eja a silhueta de uma linha bifásica genérica sem plano de simetria vertical, vista de lado conforme mostra a figura Nº09. Figura Nº09 Representação de uma linha de transmissão bifásica genérica sem plano de simetria vertical. Fonte: ouza Junior (0) 38

39 Na figura Nº09, os condutores e são elementos da linha bifásica. O condutor encontra-se a uma altura genérica h. Na mesma figura, d é a distância genérica entre os condutores e e θ pode assumir quaisquer valores. A figura Nº0, mostra as correntes e tensões de fase nos terminais A e B da linha mostrada figura Nº09. Figura Nº0 Linha bifásica genérica sem plano de simetria vertical com as correntes e tensões. I A fase A B I B fase I A fase I B fase V A fase V B fase V A fase V B fase solo Fonte: ouza Junior (0) Na figura Nº0, temos que, A e B são os terminais da linha V A fase e V A fase são tensões de fase e fase respectivamente no terminal A da linha enquanto que V B fase e V B fase são tensões de fase e fase respectivamente no terminal B da linha. Já I A fase e I A fase são correntes de fase e fase no terminal A da linha e I B fase e I B fase são correntes de fase e fase no terminal B da linha. Para a figura Nº0, podemos escrever as matrizes de impedâncias longitudinais [Z] e admitâncias transversais [Y] da linha conforme mostraremos abaixo. Z Z Z Z Z (4.) Y Y Y Y Y (4.) e a linha bifásica descrita anteriormente for representada no domínio modal, deve-se obter as matrizes de impedância longitudinal [Z m ] e de admitância transversal [Y m ] no domínio modal, a partir das seguintes relações (WEDEPOHL, 996; BUDNER, 970), obtêm-se: 39

40 T m V V Z T Z T (4.3) Y T YT (4.4) m v v Nas equações (4.3) e (4.4) [T v ] é uma matriz cujas colunas são os autovetores associados aos autovalores do produto [Z][Y]. As matrizes [T v ] T e [T v ] - são, respectivamente a transposta e a inversa da matriz [T v ]. As matrizes [T v ] e [T v ] - são as matrizes podem ser escritas como: T v t t t t (4.5) T t v t t t (4.6) As matrizes [Z m ] e [Y m ] são as matrizes diagonais e podem ser escritas como (BUDNER, 970): Z m Zm 0 0 Z m (4.7) Y m Ym 0 0 Y m (4.8) No domínio modal, a linha bifásica mencionada anteriormente é representada por meio de seus dois modos de propagação que se comportam como duas linhas monofásicas independentes. A figura Nº mostra um modo genérico de uma linha de transmissão bifásica. 40

41 Figura Nº - Modo genérico de uma linha de transmissão bifásica. I A A B I B V A V B Fonte: ouza Junior (0) solo Na figura Nº, V A e V B são as tensões transversais nos terminais A e B respectivamente, enquanto que os termos I A e I B são as correntes longitudinais nos terminais A e B respectivamente do modo de propagação. A relação entre as correntes e tensões descritas anteriormente são escritas como sendo (BUDNER, 970): VA VBcosh( Z Yd) ZcIBsenh( ZYd) (4.9) V (4.0) B IA IBcosh( ZYd) senh( ZYd) Zc Nas equações (4.9) e (4.0) Z e Y são, a impedância longitudinal e a admitância transversal respectivamente do modo. O termo Zc é a impedância característica do modo e é escrita como sendo (MARTI, 98; CHIPMAN, 976). Z C Z (4.) Y Deste modo, as equações (4.9) e (4.0) para o modos e da linha bifásica descrita anteriormente, podem ser escritas como sendo: VmA VmB cosh( ZmYm d) Zcm ImB senh( ZmYm d) (4.) V I I cosh( Z Y d) senh( Z Y d) (4.3) mb ma mb m m m m Zcm 4

42 Analogamente, para o modo, têm-se: VmA VmB cosh( ZmYm d) Zcm ImBsenh( ZmYm d) (4.4) V I I cosh( Z Y d) senh( Z Y d) (4.5) mb ma mb m m m m Zcm Onde, nas equações (4.) - (4.5), V ma e V mb são as tensões transversais nos terminais A e B respectivamente do modo, enquanto que os termos I ma e I mb são as correntes longitudinais nos terminais A e B respectivamente do modo de propagação da linha (BUDNER, 970). É possível escrever as equações (4.3) - (4.5) na forma matricial como sendo: VA mod cosh( ZmY V m d) 0 B mod VAmod 0 cosh( Z V mym d) Bmod Zcmsenh( ZmYm d) 0 IBmod 0 Z I cm senh( ZmYm d) Bmod (4.6) IAmod cosh( ZmY I m d) 0 Bmod IAmod 0 cosh( Z I mym d) Bmod senh( Z m Y m d) 0 Z V cm B mod VBmod 0 senh( ZmYm d) Z cm (4.7) As equações (4.6) e (4.7) podem ser escritas de forma mais resumida, desta maneira: V AV BI (4.8) A B B I CV DI (4.9) A B B 4

43 endo: A cosh( ZmYm d) 0 0 cosh( ZmYm d) (4.0) B Zcmsenh( ZmYm d) 0 0 Zcmsenh( ZmYm d) (4.) C senh( Z m Y m d) 0 Z cm 0 senh( ZmYm d) Z cm (4.) cosh( ZmYm d) 0 D 0 cosh( ZmYm d) (4.3) Temos que as grandezas de fase-modo obedecem às seguintes relações: T V T [V ] (4.4) mod o I fase I T [I ] (4.5) mod o I fase Na equação (4.4) [V fase ] é o vetor com as tensões de fase enquanto que [V modo ] é o vetor com as tensões modais, e na equação (4.5) [I fase ] é o vetor com as correntes de fase da linha e [I modo ] é o vetor com as correntes dos modos da linha. Na equação (4.5) [T I ] é uma matriz cujas colunas são os autovetores associados aos autovalores do produto [Y][Z], e [T I ] - é a inversa da matriz [T I ]. As matrizes [T V ] e [T I ] obedecem a seguinte relação (WEDEPHOL, 996): T T I T v (4.6) 43

44 ubstituindo as equações (4.4) e (4.5) nas equações (4.8) e (4.9) manipulando-as adequadamente, obtêm-se: T T T V A fase TI A T I V Bfase TI B T I [I B fase] (4.7) T [I Afase] TI C TI VBfase TI D T I [I Bfase] (4.8) As equações (4.7) e (4.8) podem ser escritas em função somente da matriz [T V ]. Deste modo, com base na equação (4.6), as equações (4.7) e (4.8) tornam-se: - T V A fase = Tv A T v VBfase Tv B T v [I B fase ] (4.9) T T T [I ] T C T V T D T [I ] Afase v v Bfase v v Bfase (4.30) As equações (4.9) e (4.30) podem ser escritas, resumidamente, como sendo: V M V M I A fase Bfase Bfase (4.3) [I A fase ] M 3 V Bfase M 4 I B fase (4.3) Onde: M T AT (4.33) V V M T = TV B T V (4.34) T 3 v v M T C T (4.35) T T 4 v v M T D T (4.36) 44

45 ubstituindo as equações (4.5), (4.6) e (4.0) na equação (4.33) e a desenvolvendo matematicamente, obtém-se: t t t t t t t t M cosh( md) cosh( md) t t t t t t t t (4.37) Analogamente, substituindo as matrizes [T v ] e [T v ] -, bem como as matrizes [B], [C] e [D] nas expressões de [M ], [M 3 ] e [M 4 ] e fazendo as operações matemáticas necessárias, obtêm-se: t t t t t t M Zcm sen h( md) Z cm sen h( md) t t t t t t (4.38) t t t t t t t M3 senh( md) senh( md) t Zcm t t t Zcm t t t (4.39) t t t t t t t t M4 cosh( md) cosh( md) t t t t t t t t (4.40) ubstituindo as equações (4.37) e (4.38) na equação (4.3) e a colocando na forma matricial, obtém-se: V Bfase Afase t t t t t t t V t cosh( md) cosh( md) V Afase t t t t t t t t V Bfase t t t t t t IB fase Z cm senh( md) Z cm senh( md) t t t t I t t Bfase (4.4) Chamando: 45

46 K t t t t t t t t (4.4) K t t t t t t t t (4.43) K t t t 3 t t t (4.44) K t t t 4 t t t (4.45) Portanto, substituindo as equações (4.4)-(4.45) na equação (4.4), obtém-se: V A fase VBfase K cosh( d) K cosh( d) m m V Afase V Bfase IBfase K3 Zcmsenh( md) K4 Zcmsenh( md) I Bfase (4.46) Da mesma forma, substituindo as equações (4.39) e (4.40) na equação (4.3) e a colocando na forma matricial, obtém-se: t t t t I A fase t t t VBfase senh( md) senh( md) I Afase t Zcm t t t Zcm VBfase t t t t t t t t t t t I Bfase cosh( md) cosh( m d) t t I t t t t t t Bfase (4.47) Chamando: 46

47 P t t t t t t t (4.48) P t t t t t t t (4.49) P t t t t 3 t t t t (4.50) P t t t t 4 t t t t (4.5) Logo, substituindo as equações (4.48)-(4.5) na equação (4.47) obtém-se: IA fase VBfase P senh( md) P senh( md) IAfase Zcm Zcm VBfase IBfase P3 cosh( md) P4 cosh( md) I Bfase (4.5) As equações (4.46) e (4.5) mostram as relações entre as correntes e tensões de fase nos terminais A e B de uma linha bifásica desenvolvida diretamente nas fases da mesma. Observa-se que as correntes e tensões são expressas em função das matrizes [T v ] e [T v ] -, das funções de propagação e das impedâncias características dos modos de propagação da linha. As matrizes [T v ] e [T v ] -, bem como as funções de propagação e as impedâncias características dos modos são escritas em função das impedâncias longitudinais e das admitâncias transversais da linha. O desenvolvimento detalhado das matrizes que constituem as equações (4.46) e (4.5) será mostrado nos próximos itens deste capítulo. 4.3 Obtenção das funções de propagação, das matrizes [K] e [P] e das impedâncias características 47

48 Neste item, serão mostradas as funções que relacionam as de propagação, as matrizes [K] e [P] e as impedâncias características com as matrizes de impedâncias longitudinais [Z] e de admitâncias transversais [Y] da linha Obtenção das funções de propagação dos modos (γ m e γ m ). Para a linha representada na figura Nº, as matrizes de impedância longitudinal e admitância transversal são, respectivamente, dadas por: z [Z] z z z (4.53) y [Y] y y y (4.54) A função de propagação modal da linha, são os autovalores do produto matricial [Z]]Y] ou [Y][Z] (WEDEPHOL, 996), sendo que tais autovalores podem ser obtidos a partir da seguinte expressão (LIPCHUTZ, 976): det I 0 (4.55) Onde [] = [Z][Y] e são os autovalores de []. A partir de (4.53) e (4.54), é possível escrever [] como sendo: [] (4.56) Onde: zy zy (4.57) zy zy (4.58) 48

49 zy zy (4.59) zy zy (4.60) Desenvolvendo a equação (4.55), obtém-se: ( ) 0 (4.6) A partir da equação (4.6) obtêm-se dois autovalores para [], que são escritos como sendo: ( ) 4 (4.6) ( ) 4 (4.63) Assim, verifica-se que os autovalores das equações (4.6) e (4.63) em função dos parâmetros da linha podem ser escritos como sendo: z y z y z y z y z z y y 4z y y 4z z y 4z z y y (4.64) z y z y z y z y z z y y z y y z z y z z y y (4.65) abemos que a função de propagação dos modos pode ser escrita como sendo: (4.66) m m 49

50 escritos como: Desta forma, a função de propagação para os modos e da linha bifásica pode ser m m z y z y z y z y z z y y 4z y y 4z z y 4z z y y (4.67) z y z y z y z y z z y y 4z y y 4z z y 4z z y y (4.68) Logo, as equações (4.67) e (4.68) são as equações da função de propagação nos modos e da linha desenvolvidas diretamente em função dos parâmetros da linha Obtenção das matrizes [K] e [P]. Os elementos das matrizes [K] e [P] podem ser escritos como sendo: K t t t t t t t t (4.69) K t t t t t t t t (4.70) K t t t 3 t t t (4.7) K t t t 4 t t t (4.7) P t t t t t t t (4.73) 50

51 P t t t t t t t (4.74) P t t t t 3 t t t t (4.75) P t t t t 4 t t t t (4.76) Nas equações (4.69)-(4.76), verifica-se que os elementos das matrizes [K] e [P] são funções da matriz de transformação [T v ] da linha, cujas colunas são autovetores associados ao [Z][Y] da linha. abe-se que os autovetores associados aos autovalores do produto [Z][Y] podem ser escritos como sendo: T v t t t t (4.77) Na equação (4.77) cada coluna da matriz [T v ] é um autovetor associado a um autovalor do produto [Z][Y]. Deste modo, têm-se os seguintes autovetores: T v T T (4.78) T v T T (4.79) O autovetor [T v ] pode ser obtido a partir da solução do sistema mostrado na equação (4.80), que é escrito como sendo (WEDEPOHL, 996): I [T ] 0 (4.80) v 5

52 Na equação (4.78) o vetor [T v ] é o autovetor associado ao autovalor do produto [Z][Y] e [I] é a matriz identidade. Desenvolvendo o sistema mostrado na equação (4.78) tem-se: T 0 T 0 (4.8) Verifica-se que o sistema mostrado na equação (4.8) é indeterminado, cujas soluções são dadas por: T T (4.8) É usual utilizar autovetores cujo módulo seja unitário (WEDEPOHL, 996). Assim, considerando [T v ] como tendo módulo unitário, tem-se: T T T (4.83) n O sistema agora constituído pelas equações (4.8) e (4.83) possui uma única solução escrita como sendo: T ( ) (4.84) T ( ) (4.85) O autovetor [T v ] pode ser obtido a partir do sistema mostrado na equação (4.86), escrito como sendo: I [T ] 0 (4.86) v 5

53 Usando procedimento análogo, ao que foi utilizado para obter o autovetor [T v ], obtêm-se: T ( ) (4.87) T ( ) (4.88) Portanto, a matriz [T v ] pode ser escrita como sendo: T v ( ) ( ) ( ) ( ) (4.89) ubstituindo os elementos da matriz [T V ] nas equações (4.69)-(4.76) obtém-se os elementos das matrizes [K] e [P] que são escritas como sendo: K (4.90) K (4.9) K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 (4.9) 53

54 K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 (4.93) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P ( ) ( ) ( ) ( ) (4.94) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P ( ) ( ) ( ) ( ) (4.95) P 3 ` (4.96) P 4 (4.97) 54

55 4.3.3 Obtenção das impedâncias características abe-se que as matrizes de impedâncias e de admitâncias modais são escritas como sendo (KUROKAWA, 003): [Z ] [T ] [Z][T ] (4.98) m v I [Y ] [T ][Y][T ] m v I (4.99) abendo que [T v ] - = [T I ] T, e desenvolvendo as equações (4.98) e (4.99), as mesmas tornam-se: Z z ( z ) z 0 m 0 z( z ) z (4.00) Y y ( y ) y 0 m 0 y( y ) y (4.0) Onde: ( ) ( ) ( ) (4.0) ( ) (4.03) ( ) ( ) ( ) (4.04) ( ) (4.05) 55

56 ( ) (4.06) ( ) (4.07) ( ) (4.08) ( ) (4.09) A impedância característica de um modo de propagação de uma linha de transmissão genérica é escrita como sendo (MARTI, 98; CHIPMAN, 976): Z Z m Cm (4.0) Ym Portanto, podemos escrever a equação (4.0) função dos modos e da linha bifásica, logo: Z Z m Cm (4.) Ym Z Z m Cm (4.) Ym Onde: 56

57 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z m (z ) (z ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (z ) (z ) ( ) (4.3) Y m (y ) (y ) ( ) ( ) ( ) (y ) (y ) ( ) ( ) ( ) (4.4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z m (z ) (z ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (z ) (z ) ( ) (4.5) Y m (y ) (y ) ( ) ( ) ( ) (y ) (y ) ( ) ( ) ( ) (4.6) 57

58 4.4 Conclusão Considerado uma linha de transmissão bifásica, neste capítulo mostramos o desenvolvimento de um modelo que nos permite calcular correntes e tensões de uma linha bifásica diretamente no domínio das fases. As relações entre as correntes e tensões de fase da linha foram obtidas sem a necessidade de se obter numericamente os elementos da matriz de transformação. As correntes e tensões serão escritas em função única e exclusivamente em função das impedâncias longitudinais [Z] e das admitâncias transversais [Y] da linha no apêndice A. 58

59 CAPÍTULO 5 VALIDAÇÃO DO MODELO DEENVOLVIDO 5. - Introdução. Neste capítulo, serão mostrados os resultados obtidos com o modelo desenvolvido direto domínio das fases (modelo proposto) da linha mostrado anteriormente neste trabalho e o modelo clássico (numérico) de Newton-Raphson (WEDEPOHL et al., 996). O modelo será aplicado em uma linha bifásica sem plano de simetria vertical com comprimento de 50 km e 00 km, com freqüência compreendida entre 0 - Hz e 0 6 Hz. As simulações realizadas consideraram operações de energização de linhas com os terminais em aberto e em curto circuito, que é o procedimento básico utilizado para verificar o desempenho de modelos de linhas de transmissão utilizados em simulações de transitórios eletromagnéticos em sistemas de energia elétrica Resultados obtidos O modelo foi aplicado em uma linha bifásica sem plano de simetria vertical, onde as fases, são constituídas de condutores do tipo Grosbeak com raio r = m e a resistividade do solo foi considerada como sendo igual a 000 Ω.m. Essa linha foi decomposta em seus n modos. A decomposição da linha em seus n modos de propagação foi feita a partir da matriz de transformação modal [T V ] que foi obtida através do método de Newton-Raphson (WEDEPOHL et al., 996). Figura Nº Linha de transmissão bifásica. 9, 7 m 36 m 4,4 m solo Fonte: ouza Junior (0) 59

60 Na linha mostrada na figura Nº, os números e representam as fases da linha. Os parâmetros longitudinais da linha foram calculados tendo em conta os efeitos do solo e pelicular. A condutância transversal da linha foi desconsiderada e considerando a linha mostrada na figura Nº, as simulações foram feitas para obter as tensões e correntes nos terminais A e B da linha Resultados obtidos para a linha em aberto A figura Nº3 mostra a linha bifásica, descrita anteriormente, sendo energizada por uma fonte de tensão constante e com o terminal receptor em aberto. Figura Nº3 Energização da linha em aberto. A Fase B p.u. Fase olo Fonte: ouza Junior (0) 5.3. Tensões no terminal B da linha em aberto das fases e com comprimento de 50 km e 00 km. Figura Nº4 Tensão no terminal B da fase da linha em aberto (50 km). 0 5 (): Modelo numérico (): Modelo proposto Módulo da tensão [p.u] Frequência [Hz] Fonte: ouza Junior (0) A figura. Nº4, representa a tensão no terminal B da fase da linha em aberto, com o comprimento de 50 km, nota-se que a curva obtida pelo modelo numérico tem o mesmo 60