Equivalent Representation of Mutual Coupling in Transmission Lines by Discrete Element

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1 IEEE ATIN AMERICA TRANSACTIONS, VO. 11, NO. 2, MARCH Equivalent Representation of Mutual Coupling in Transmission ines by Discrete Element R. C. Silva, E. C. M. Costa, S. Kurokawa and J. Pissolato Abstract This paper describes a computational model based on lumped elements for the mutual coupling between phases in transmission lines without the explicit use of modal transformation matrices. The self and mutual parameters and the coupling between phases are modeled using modal transformation techniques. The modal representation is developed from the intrinsic consideration of the modal transformation matrix and the resulting system of time-domain differential equations is described as state equations. Thus, a detailed profile ofthe currents and the voltages through the line can be easily calculated using numerical or analytical integration methods. However, the original contribution of the article is the proposal of a time-domain model without the successive phase/mode transformations and a practical implementation based on conventional electrical circuits, without the use of electromagnetic theory to model the coupling between phases. Keywords Mutual coupling, lumped elements, transmission line theory, state equations. I. INTRODUÇÃO INHAS de transmissão são convencionalmente representadas por um conjunto de elementos infinitesimais ligados em cascata. A clássica representação por cascata de circuitos π ou quadripolos é um modo intuitivo e prático para modelagem de sistemas elétricos diretamente no domínio do tempo. Essa representação é amplamente conhecida e abordada em diversas literaturas, seja para pesquisa ou para fins didáticos; no entanto, é amplamente utilizada para simulação de transitórios eletromagnéticos e também de fenômenos em regime permanente em sistemas de energia elétrica. Dessa forma, o estudo de novas técnicas alternativas com base na representação em questão, bem como rotinas mais precisas e eficazes do ponto de vista computacional, é sempre uma abordagem interessante dentro do atual estado da arte. Em modelos baseados em elementos discretos, uma dada linha de transmissão é representada por múltiplos circuitos π ligados em cascata. ogo, a natureza distribuída dos parâmetros transversais e longitudinais é representada adequadamente em função do número de elementos utilizados, da faixa de frequência equivalente ao conteúdo harmônico do sinal transitório, ou então a frequência fundamental do sinal R. C. Silva, Universidade Estadual Paulista (UNESP), Ilha Solteira, Brasil, rcleber@gmail.com S. Kurokawa, Universidade Estadual Paulista (UNESP), Ilha Solteira, Brasil, kurokawa@dee.feis.unesp.br E. C. M. Costa, Universidade de Campinas, Campinas, Brasil, educosta@dsce.fee.unicamp.br J. Pissolato, Universidade de Campinas, Campinas, Brasil, pisso@dsce.fee.unicamp.br em regime. Outra prática eficaz e muito utilizada é a representação do conjunto de equações diferenciais, relativas à representação por parâmetros discretos, no espaço de estado. Dessa forma, um perfil detalhado das tensões e correntes em qualquer ponto da linha pode ser obtido e armazenado em um único vetor diretamente no domínio do tempo. Ademais, simulações considerando componentes e fenômenos eletromagnéticos não lineares são facilmente modelados no domínio do tempo com base na representação do sistema elétrico por parâmetros discretizados [1], o que representa uma grande vantagem computacional e estrutural quando comparadas às simulações realizadas a partir de modelos considerando parâmetros distribuídos no domínio da frequência e fazendo uso de transformadas inversas [2]-[5]. Além disso, vale destacar ainda que o sistema de equações diferenciais de primeira ordem, ou equações de estado, pode ser facilmente solucionado por métodos numéricos ou analíticos de integração [6]. Atualmente, existem diversos softwares dedicados para manipulação e realização de operações com matrizes esparsas. A representação no espaço de estado, muitas vezes, dependendo da quantidade de elementos utilizados na discretização do sistema, apresenta-se amplamente esparsa. Portanto, o modelo proposto é implementado no Matlab e técnicas intrínsecas desse software são utilizadas na manipulação das matrizes de estado, resultando em um algoritmo robusto e computacionalmente eficaz. Além disso, uma solução analítica das equações de estado (Eigenbased- Solution) é aplicada, possibilitando a utilização de um amplo passo de integração e uma maior velocidade de processamento sem degradar a precisão das simulações. Na representação de sistemas polifásicos, é convencional a utilização de análise modal na modelagem do acoplamento mútuo entre as fases ao invés da teoria eletromagnética com base nas equações exatas de Maxwell, sendo essa ultima uma representação complexa, quando não impraticável, na modelagem dos parâmetros mútuos e próprios em linhas de transmissão. Fazendo uso de técnicas de desacoplamento modal, a linha é decomposta em seus modos exatos de propagação, sendo esses totalmente independentes uns dos outros, ou seja, cada modo pode ser considerado como sendo uma linha monofásica e facilmente representada por uma cascata de circuitos π ou por quadripolos [7]. O desenvolvimento proposto nesse artigo descreve uma modelagem alternativa para o acoplamento mútuo entre as fases de uma linha de transmissão polifásica, fazendo uso de elementos discretos e considerando de forma intrínseca as sucessivas transformações entre os domínios modais e das

2 744 IEEE ATIN AMERICA TRANSACTIONS, VO. 11, NO. 2, MARCH 213 fases. Dessa forma, uma formulação no estado de espaço é apresentada de forma simples e didática em função dos parâmetros elétricos concentrados mútuos e próprios da linha, proporcionando resultados diretamente no domínio das fases e do tempo, sem transformações modais, transformadas inversas e convoluções. II. MODEAGEM POR EEMENTOS DISCRETOS DIRETAMENTE NO DOMÍNIO DO TEMPO Inicialmente, considera-se duas fases consecutivas de uma linha de transmissão, sendo seus parâmetros elétricos próprios e mútuos descritos por meio de elementos discretos, tal como: v1(j-1) v2(j-1) i1(j-1) C 12 i2(j-1) C 11 R 1 1 C 22 C 12 R 2 2 v1(j) C 11 C 22 v2(j) Figura 1. Representação equivalente por elementos discretos do acoplamento mútuo entre duas fases e parâmetros próprios. Os elementos R e indicados no elemento infinitesimal j, descrito nas fases 1 e 2, são as representações equivalentes da soma das resistências e das indutâncias próprias e mútuas em cada fase, ou seja: R'=R' 1+R' 12 ; R'=R' 2 22+R' 21 (1) ' 1= ' 11+ ' 12 ; ' 1= ' 11+ ' 12 (2) Ressaltando que R 12 e R 21 são equivalentes, o mesmo aplica-se as indutâncias e capacitâncias mútuas. ogo, as matrizes com as resistências, as indutâncias e as capacitâncias por unidade de comprimento, associadas às fases 1 e 2, são descritas como [8]: R' 11 R' 12 [ R' ] = R' 12 R' (3) 22 ' 11 ' 12 [ ' ] = ' 12 ' (4) 22 C' 11 C' 12 [ C' ] = C' 12 C' (5) 22 Os elementos contidos na diagonal principal das matrizes expressas por (3)-(5) são os parâmetros próprios relativos a cada fase, já os elementos fora da diagonal principal são os elementos mútuos entre as duas fases, representando o acoplamento entre as mesmas. Primeiramente, vale ressaltar que a modelagem dos elementos mútuos diretamente no domínio do tempo e das fases não é um procedimento trivial, quando não impraticável, na modelagem do acoplamento mútuo entre as fases de uma linha de transmissão. Para tal fim, propõe-se o desenvolvimento no domínio modal. Ou seja, as fases são totalmente desacopladas umas das outras em seus modos de propagação exatos, sendo cada modo equivalente a uma simples linha monofásica. As transformações fase-modo são dadas a partir das seguintes expressões matriciais [7, 8]: [ 1 ' m] = V [ '][ I] [ 1 ' m] = V [ '][ I] [ ' ] = [ 1 ] [ '] R T R T (6) T T (7) C m TI C T V (8) Os termos [R m], [ m] e [C m] são, respectivamente, as matrizes com as resistências, as indutâncias e as capacitâncias longitudinais dos modos A e B: R' A [ R' m ] = ' (9) R B ' A [ ' m ] = ' (1) B C' A [ C' m ] = C' (11) B As matrizes de transformação modal [T I] e [T V], utilizadas em (6)-(8), são reais e constantes em função da frequência, como descrito abaixo: 1 Τ Ι = ; T V = 1 1 (12) As matrizes[t I] e [T V] são convencionalmente calculadas a partir dos parâmetros longitudinais e transversais da linha, impedâncias e admitâncias, respectivamente. No entanto, para linhas com plano de simetria vertical e não idealmente transpostas, algumas matrizes com termos reais e constantes podem ser aplicadas, tais como as matrizes descritas em (12) e a matriz de Clarke [9]. Dessa forma, cada modo de propagação pode ser representado como uma linha monofásica e modelada de forma simples por cascata de circuitos π, como na Fig. 2. v m (j-1) i m j R m m Figura 2. Representação de um segmento de linha por elemento π. A resistência, a indutância e a capacitância R m, m, e C m, respectivamente, são relativas ao modo m, que no caso é descrito como sendo A ou B. O j-ésimo elemento infinitesimal é descrito na Fig. 2, sendo a corrente e tensão no terminal v m j

3 CEBER SIVA et al.: EQUIVAENT REPRESENTATION 745 emissor do quadripolo descritas por v m(j-1) e i m(j), respectivamente, e a tensão no terminal receptor sendo v m(j). Portanto, as equações diferenciais que representam o elemento genérico j são descritas como [1, 2]: passagens algébricas com base nas equações descritas no item anterior e considerando duas matrizes de transformação reais e constantes, a matriz [A] no domínio das fases pode ser dada da seguinte forma: di R' dt ' m j m =- i m j - v m j + v m (j-1) m dvm j 2 = i dt C' m m j (13) (14) a b e f b a f e [A] = (19) c d d c De acordo com diversas referências, as equações descritas em (13) e (14) podem ser expressas no espaço de estado e facilmente solucionadas por diversos métodos de integração numéricos ou analíticos. Os vetores com as correntes e tensão associadas aos modos de propagação A e B podem ser descritos por: ia j I mj = ; ib j vaj V mj = (15) vbj ogo após o cálculo das correntes e tensões modais, os valores no domínio das fases podem ser obtidos por meio das seguintes relações matriciais fase/modo [9]: I phj = Ti I mj ; V phj = TV V mj (16) Sendo os vetores [I phj] e [V phj] compostos respectivamente pelos valores de corrente e tensão relativos às fases 1 e 2. Sendo os elementos da matriz [A] descritos como: 1 R' + R' R' R' a = 2 ' + ' ' ' 1 R' + R' R' R' b = + 2 ' + ' ' ' 1 c = + 2 C' + C' C' C' 1 d = 2 C' + C' C' C' 1 e = 4 ' + ' ' ' (2) (21) (22) (23) (24) III. REPRESENTAÇÃO POR EQUAÇÕES DE ESTADO DIRETAMENTE NO DOMÍNIO DO TEMPO E DAS FASES Várias referências descrevem em detalhes a modelagem de linha de transmissão por meio de equações de estado [2-7]. No desenvolvimento do modelo proposto para o acoplamento mútuo é utilizada a representação no espaço de estado, descrita logo abaixo: [X] & = [A][X]+[B][U] (17) Sendo o vetor [X] composto pelas correntes e tensões em duas fases consecutivas e acopladas eletromagneticamente, considerando um segmento de linha genérico j, tal como descrito na Fig. 2: t = i1j i2j v1j v2j [X] (18) Para o modelo proposto diretamente no domínio das fases, as sucessivas transformações modais são intrinsecamente consideradas ao longo do desenvolvimento matemático. Portanto, a matriz de estado [A] é dada em função dos elementos próprios e mútuos entre as fases 1 e 2, diferente dos modelos propostos até então, nos quais as matrizes de estado são dadas em função dos parâmetros modais e em sequência convertidos para o domínio das fases por meio de matrizes de transformação complexas ou reais [7]. ogo, após sucessivas 1 f = + 4 ' + ' ' ' (25) Portanto, como descrito pelas expressões (19)-(25), a matriz de estado [A] é completamente descrita por elementos no domínio das fases. A matriz [B] é descrita em (26), também em função dos elementos próprios e mútuos relativos às duas fases consecutivas da linha. g h h g [ B] = (26) Sendo os elementos da matriz [B] descritos como: 1 g = + 4 ' + ' ' ' 1 h = 4 ' + ' ' ' (27) (28) O vetor [U] representa as tensões sobre o elemento

4 746 IEEE ATIN AMERICA TRANSACTIONS, VO. 11, NO. 2, MARCH 213 genérico (j-1) relativo às fases 1 e 2: v1( j 1) U = (29) v2( j 1) Observa-se que o desenvolvimento algébrico para um único elemento, diretamente no domínio das fases, contem intrinsecamente as matrizes de transformação dadas em (12). O desenvolvimento apresentado neste item corresponde a um único circuito π. No entanto, o equacionamento completo para uma cascata composta por n elementos é descrita no apêndice em anexo. IV. AVAIAÇÃO DA MODEAGEM PROPOSTA Os resultados simulados por meio do modelo proposto são comparados com o modelo já conceituado apresentado em [7], porém considerando a representação dos parâmetros como sendo concentrados e em função do conteúdo harmônico do transitório a ser estudado. Além disso, o modelo de referência apresenta de forma explicita as matrizes de transformação modal ao longo das sucessivas transformações modais. A configuração da linha utilizada nas simulações é dada logo abaixo, com base nas duas fases externas de uma linha de 44 kv com circuito simples. São simuladas as tensões nas fases 1 e 2 considerando o terminal receptor da linha conectado a uma carga com alta impedância e fator de potência,98 indutivo. O terminal emissor da fase 1 é alimentado com uma tensão de 2 kv e o mesmo terminal na fase 2 encontra-se aterrado, tal como descrito na Fig. 4. Por meio da configuração apresentada pode-se verificar, o acoplamento eletromagnético mútuo entre as duas fases com base na magnitude e no perfil das tensões induzidas. No esquema mostrado na Fig. 4, a fonte de tensão V A1 aplicada à fase 1 descreve um degrau ideal de 2 kv. As tensões V B1 e V B2 são as tensões nas fases 1 e 2, respectivamente, sobre a carga conectada ao terminal receptor da linha. Os termos I B1 e I B2 são as correntes através da carga, nas fases 1 e 2, respectivamente. Os parâmetros da linha são calculados em função da faixa de frequência associada ao sinal aplicado e levando em consideração os efeitos solo e pelicular, amplamente abordados na teoria clássica de linhas de transmissão [8]. O método de integração proposto na resolução das equações de estados é o Eigenbased-Solution. Tal método é robusto e pode ser aplicado com um passo de integração significativamente maior quando comparado ao passo convencionalmente utilizado na solução numérica utilizando a regra trapezoidal [6, 7]. O algoritmo proposto é implementado com um passo de integração de 5 μs, enquanto que o passo convencional para a regra trapezoidal é de,5 μs. Portanto, o passo de integração aplicado é cem vezes maior que o usualmente considerado, representando uma diminuição significativa no custo computacional. ogo abaixo são mostrados os resultados obtidos por meio da modelagem proposta e por meio do modelo de referência descrito anteriormente Figura 5. Tensão no terminal receptor da fase 1: modelagem proposta (curva vermelha e pontilhada) e modelo de referência (curva em azul). Figura 3. Configuração geométrica de duas fases de uma linha de transmissão convencional com plano de simetria vertical. O raio dos condutores 1 e 2 é de,1 metros e a resistência do solo considerada nas simulações é 1 Ωm. A Fig. 6 mostra em detalhes a primeira reflexão de onda da tensão no terminal receptor da linha, ressaltando a semelhança entre os resultados obtidos utilizando a modelagem proposta e os mesmos obtidos por meio do modelo de linha utilizado como referência Figura 4. Sistema elétrico considerado nas simulações Figura 6. Primeira reflexão de onda da tensão no terminal receptor da fase 1: modelagem proposta (curva vermelha e pontilhada) e modelo de referência (curva em azul).

5 CEBER SIVA et al.: EQUIVAENT REPRESENTATION 747 A Fig. 7 mostra a tensão induzida na fase 2 mediante o degrau aplicado no terminal emissor da fase Figura 7. Tensão no terminal receptor da fase 2: modelagem proposta (curva vermelha e pontilhada) e modelo de referência (curva em azul). ogo abaixo, a Fig. 8 descreve o perfil de tensão na primeira reflexão de onda no terminal receptor da fase 2. Verifica-se que as duas curvas, associadas as duas modelagens utilizadas, estão praticamente sobrepostas, validando mais uma vez a modelagem proposta. 2 APÊNDICE Com base na equação descrita em (17) e em uma cascata composta por n elementos, as matrizes de estado e seus componentes, em função dos parâmetros mútuos e próprios associados às duas fases acopladas, podem ser obtidos do mesmo modo como para um único elemento. A matriz [A] é descrita por: Aˆ Bˆ Cˆ Dˆ Eˆ Fˆ Gˆ Hˆ A = () C ˆ Dˆ Aˆ Bˆ Gˆ Hˆ Eˆ Fˆ Sendo os elementos contidos em [A] sub-matrizes descritas da seguinte forma: a a  = M M O M M a a (31) Figura 8. Primeira reflexão de onda da tensão no terminal receptor da fase 2: modelagem proposta (curva vermelha e pontilhada) e modelo de referência (curva em azul). V. CONCUSÕES Por meio da simulação de um chaveamento, representado por um degrau ideal de tensão, foi possível comparar os resultados obtidos a partir da modelagem proposta com os resultados utilizando o modelo de referência. Os transitórios de tensão nas fases 1 e 2, obtidos por ambos os modelos, são similares, validando o modelo equivalente para o acoplamento mútuo proposto. O modelo equivalente apresenta uma alternativa prática para simulação de transitórios eletromagnéticos em sistemas de potência, tornando a modelagem do acoplamento mútuo entre as fases um procedimento trivial baseado apenas em elementos básicos de circuitos elétricos. Além disso, o modelo proposto não apresenta de forma explicita as sucessivas transformações modais, convencionalmente utilizadas na modelagem e simulação de linhas de transmissão, simplificando significativamente a representação de um sistema com dois condutores acoplados por um campo eletromagnético mútuo. e e e ˆB = M M O M M e e e b b Ĉ = M M O M M b b f f f ˆD = M M O M M f f f c c c Ê = M M O M M c c 2c (32) (33) (34) (35)

6 748 IEEE ATIN AMERICA TRANSACTIONS, VO. 11, NO. 2, MARCH 213 d d d Ĝ = M M O M M d d 2d (36) A matriz [B] para uma cascata com n elementos é dada por: g... h... B = h... g... (37) Dependendo da quantidade de circuitos π utilizados na representação em cascata, a matriz de estado [A] pode ser muito esparsa. Para a manipulação e realização de operações matriciais envolvendo matrizes esparsas e com um grande número de elementos, o Matlab oferece diversos comando para otimização desses processos. Um deles, utilizado no algoritmo proposto, é o comando de linha sparse. De forma geral, esse comando armazena apenas o valor da dimensão da matriz e os elementos não nulos, sendo todos elementos iguais armazenados em um mesmo endereço da memória, dessa forma minimizando o tempo de processamento da rotina computacional e a quantidade de memória volátil alocada. t de interesse são transitórios eletromagnéticos em sistemas elétricos de potência utilizando métodos numéricos e modelos de linhas de transmissão para simulações de transitórios eletromagnéticos em sistemas de potência. Eduardo Coelho Marques da Costa é graduado em engenharia elétrica (25). Mestre em engenharia elétrica pela Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira (UNESP) e atualmente realizando o doutoramento na Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Suas principais áreas de pesquisa são: transitórios eletromagnéticos em sistemas de energia elétrica, coordenação de isolamento e modelagem de sistemas elétricos de potência. Sérgio Kurokawa(S 1-M 4) Graduado em Engenharia Elétrica (199).Desde 1994 atua como Professor na Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira da Universidade Estadual Paulista (UNESP). Obteve o título de Doutor em Engenharia Elétrica na Faculdade de Engenharia Elétrica e da Computação da Universidade Estadual Paulista (UNICAMP). Suas principais áreas de interesse são transitórios eletromagnéticos em sistemas elétricos de potência e modelos de linhas de transmissão para simulações de transitórios eletromagnéticos em sistemas de potência. José Pissolato Filho é doutor pela Université Paul Sabatier, França (1986) e atualmente professor titular da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Responsável pelo aboratório de Alta Tensão da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação (AT/FEEC). Suas principais áreas de pesquisa são: transitórios eletromagnéticos e compatibilidade eletromagnética. REFERÊNCIAS [1] E. C. M. Costa, S. Kurokawa, J. Pissolato. Corona Discharge Model for Transmission ines by umped Elements, Revista IEEE América atina, Vol. 9, pp , 211 [2] M. S. Mamis. Computation of electromagnetic transients on transmission lines with nonlinear components, IEE. Proc. Gener. Transm. Distrib, Vol. 15, n o 2, pp. 2-24, March, 23. [3] M. S. Mamis, M. E. Meral. State-space modeling and analysis of fault arcs, Electric Power Systems Research, vol. 76, n o 1, pp , September, 25. [4] M. S. Mamis. State-space transient analysis of single-phase transmission lines with corona, in Proc International Conference on Power Systems Transients IPST 3, New Orleans, USA, 23. [5] M. S. Mamis, A. Nacaroglu. Transient voltage and current distributions on transmission lines, IEE. Proc. Gener. Transm. Distrib, vol. 149, n o 6, pp , November, 22. [6] J. A. R. Macías, A. G. Expósito, A. Soler, A comparison of techniques for state-space transient analysis of transmission lines, IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 2, n o 2, pp , April, 25. [7] S. Kurokawa, E. C. M. Costa, J. Pissolato, A. J. Prado,. F. Bovolato, Proposal of a transmission line model based on lumped elements: an analytic solution. Electric Power Comp. & Syst., vol. 38, n o 14, pp , December, 21. [8]. M. Wedepohl, H. V. Nguyen and G. D. Irwin. Frequency-dependent transformation matrices for untransposed transmission lines using Newton-Raphson Method. IEEE Trans. on Power Delivery, vol. 11, n o 3, pp , August [9] J. C. C. Campos, J. Pissolato, A. J. Prado, S. Kurokawa. Singlereal transformation matrices applied to double three-phase transmission lines. Electric Power Systems Research, vol. 78, n o 1, pp , October 28 Rodrigo Cleber da Silva Graduado em Engenharia Elétrica na Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, UNESP (21). Mestrado em Engenharia Elétrica na Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, UNESP (212). Atualmente cursando o Doutorado em Engenharia Elétrica na Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, UNESP. Suas principais áreas