TRABALHO FINAL DE GRADUAÇÃO JUNHO/2016 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ ENGENHARIA ELÉTRICA

Transcrição

1 TRABALHO FINAL DE GRADUAÇÃO JUNHO/2016 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ ENGENHARIA ELÉTRICA MODELAGEM DE CHAVES IDEAIS POR COLAPSO DE NÓS NA SIMULAÇÃO DE TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS EM PROGRAMAS BASEADOS NO EMTP Natanael de Souza Figueiredo Orientador: Prof. Ph.D. Benedito Donizeti Bonatto Centro de Excelência em Redes Elétricas Inteligentes (CERIn) Resumo Simulações computacionais de transitórios eletromagnéticos são essenciais para a análise e tomada de decisões na Engenharia Elétrica. A portabilidade dos computadores e a facilidade de programação permitem que, além de simular e obter resultados, engenheiros possam intervir no próprio processo de simulação. Assim, este artigo apresenta a implementação, em MatLab, de um modelo de chaves ideais, baseado no método do colapso de nós, que foi inserido num programa capaz de fazer a simulação completa de um circuito, comparando as características deste método com as de outros. A modelagem de chaves ideais é essencial para a simulação de diversos fenômenos transitórios eletromagnéticos e estudos integrando dispositivos da eletrônica de potência. Palavras-Chave: Eletrônica de Potência, EMTP, Modelo computacional de chaves, Transitórios eletromagnéticos. I INTRODUÇÃO O Electromagnetic Transients Program (EMTP) é um programa computacional para simulações no domínio do tempo de transitórios eletromagnéticos em sistemas elétricos de potência, sendo muito utilizado em estudos e projetos no mundo todo. Seu algoritmo é baseado na troca das equações diferenciais, que modelam o sistema, por equações a diferenças (utilizando o método trapezoidal). Circuitos reais de alta complexidade para solução dinâmica completa no tempo são resolvidos através do algoritmo do EMTP por meio da solução consecutiva de vários circuitos virtuais equivalentes de baixa complexidade e resposta simultânea, usando o método nodal [1], [2]. Com base nessa técnica, troca-se a solução analítica das equações do sistema por uma solução numérica. Isso requer um esforço computacional considerável em termos de memória para armazenar valores das respostas e variáveis internas e, também em termos de processamento para resolver diversos cálculos de problemas de menor porte para a resposta do problema original. O custo computacional é compensado pelas vantagens obtidas na simulação de elementos não lineares ou elementos variantes no tempo [3], na abertura e fechamento de chaves, que mudam a topologia do circuito, e no cálculo da resposta a excitações com sinais de difícil modelagem por técnicas analíticas. Todos esses exemplos são comuns no sistema elétrico de potência e complicariam muito (ou tornaria inviável) a determinação de uma solução analítica completa. Dentre os elementos modelados, destacam-se, neste artigo, as chaves ideais, que são representadas como condutâncias nulas, quando abertas, ou condutâncias infinitas, quando fechadas. O problema dessa modelagem surge ao introduzir um número infinito na matriz de condutância nodal, o que é impossível numericamente, para a solução em computadores. São adotadas, então, diferentes técnicas para a solução deste problema, as quais serão comparadas em diferentes aspectos, sendo que algumas delas foram implementadas computacionalmente em um programa no MatLab para a realização deste trabalho. II REFERENCIAL TEÓRICO Dentre as técnicas adotadas para modelar chaves fechadas, uma simples solução é a representação por uma condutância finita de alto valor na matriz de condutância nodal. Também é possível aplicar a técnica Modified Nodal Analysis (MNA) [4], acrescentando a corrente elétrica que passa pela chave como uma nova variável. Também pode-se utilizar a técnica Multi-Area Thévenin Equivalent (MATE) [5], 1

2 [6], para isolar regiões entre chaves, resolvê-las de forma desacoplada e depois equacionar a conectividade (links) entre os subsistemas de acordo com o estado das chaves. Alternativamente, alguns métodos assumem que a chave fechada torna iguais os potenciais dos nós entre as quais está situada, e aplicam a Lei de Kirchhoff das correntes na região abrangida pelos dois nós e a chave, formando uma só equação ao invés de duas. Em seguida, acrescenta-se uma equação que representa a igualdade dos potenciais entre a chave ou, considerando a igualdade dos potenciais, passa-se a calcular apenas um deles e atribui-se o mesmo resultado ao outro em momento posterior do algoritmo. Dessas duas alternativas, originam-se dois métodos: o primeiro, neste trabalho denominado de igualdade de nós e o segundo, colapso de nós (foco do trabalho) que foram implementados num programa baseado no algoritmo básico do EMTP desenvolvido na plataforma MatLab considerando a proposição de [7], e o trabalho desenvolvido em [8], que utiliza métodos adequados para evitar oscilações numéricas [9]. A representação de chaves ideais é importante para a construção de modelos mais complexos de elementos chaveados como tiristores, transistores e diodos, e também de componentes não lineares como para-raios e indutores com núcleo magnético em condições de saturação [3]. III METODOLOGIA III.1 Elaboração dos modelos matemáticos O algoritmo EMTP é baseado no método nodal de análise de circuitos [2]. Assim, o modelo de chaves nos métodos a serem apresentados exige, em geral, manipulações da matriz de condutância nodal e do vetor de correntes, as quais devem ser previstas em uma formulação matemática. III.4 Comparação entre métodos A partir do modelo matemático e uma implementação computacional básica do algoritmo de cada método, é possível levantar as características computacionais e avaliar a eficácia de cada um deles diante de diferentes aplicações. IV MODELO MATEMÁTICO O problema da representação de chaves fechadas em circuitos resolvidos pelo método nodal é ilustrado em um circuito equivalente digital [2] apresentado na Figura 1, por uma chave inserida entre os nós de índices k e m. A fonte de corrente ou a condutância mostradas na Figura 1 podem não existir em algumas situações, porém isso equivale matematicamente a atribuir valor nulo aos parâmetros i fmk ou G km. Figura 1 Ilustração do problema de modelagem de chaves fechadas Frequentemente os métodos de solução de circuitos com chaves abordam o problema da chave fechada manipulando o equacionamento correspondente à situação em que todas as chaves estão abertas, como na Figura 2. III.2 Elaboração do modelo computacional O modelo computacional do colapso de nós consiste na padronização de operações matemáticas que sejam equivalentes aos princípios do modelo matemático, e na criação de procedimentos e variáveis capazes de ordenar o vetor de tensões para uma correta alocação dos resultados. III.3 Implementações computacionais Baseando-se nos modelos matemático e computacional do método do colapso de nós e outros métodos, são implementados os seus respectivos algoritmos, modificando um algoritmo EMTP já programado em MatLab [8]. Figura 2 Circuito com chave aberta Do circuito com a chave fechada ou aberta, tem-se o equacionamento nodal para o nó k em (1) e para o nó m em (2) de um sistema com N nós. i fmk + i km + i kj = 0 N j=1 j k,m (1) 2

3 i fmk + i mk + i mj = 0 N j=1 j k,m (2) Cada corrente i kj ou i mj é calculada por meio do produto da condutância total equivalente entre os nós j e k ou j e m e a diferença de potencial entre os nós k e j ou m e j. A fim de não lidar com uma condutância infinita (chave ideal fechada), pode ser que o método trabalhe não mais com duas equações para os dois nós, mas com uma equação da região fechada compreendida entre os nós k, m e a chave, tal como em (4) que corresponde exatamente à soma das equações em (1) e (2), com base em (3). N i km + i mk = 0 (3) i kj + i mj = 0 j=1 j k,m N j=1 j k,m (4) O desenvolvimento do método nodal do sistema com a chave aberta resulta na equação matricial (6), sintetizada em (5): [G]. [v] = [i] (5) g kk g km v k i fk. =, (6) g mk g mm v m i fm [ ] [ ] [ ] onde g jl é o elemento da matriz de condutância nodal do sistema com todas as chaves abertas na linha j e coluna l, v j é a tensão do nó j e i fj é a soma das correntes originárias de fontes de correntes que entram no nó j. V MÉTODOS E SUAS CARACTERÍSTICAS V.1 Chave como resistência elétrica A chave é representada por uma condutância elétrica nula, quando aberta, e uma condutância elétrica de alto valor (G f ), quando fechada. Do equacionamento do sistema com chaves abertas (5), o presente método modifica apenas a matriz de condutância nodal segundo (7) quando a chave estiver fechada. g kk + G f g km G f [G] = g mk G f g mm + G f [ ] V.2 Modified Nodal Analysis (MNA) (7) Este método é baseado na inserção da corrente que passa pela chave fechada como nova variável do sistema, tendo como consequência a inserção de uma nova equação, informando a igualdade dos potenciais (8) entre os terminais da chave, quando esta estiver fechada. Assim, modifica-se (6) para (9), baseando-se também em (1) e (2). v k v m = 0 (8) 0 g kk g km 1 v k i fk 0. = g mk g mm 1 v m i fm 0 [ ] [ i km ] [ 0 ] (9) Os zeros situados em posições de extensão indefinida representam a correspondente sequência de zeros que ocupa essa extensão na linha ou coluna. Para a solução do caso de chave aberta, pode ser feita a eliminação da equação da chave que, nesse caso particular, equivale a retornar o sistema ao estado (6), o que deve levar a um algoritmo de reordenação das correntes de chaves, quando houver mais de uma. Alternativamente pode se optar por manter a equação trivial (10) na matriz tal como em (11). i km = 0 (10) 0 g kk g km 1 v k i fk 0. = g mk g mm 1 v m i fm 0 [ ] [ i km ] [ 0 ] (11) Uma grande vantagem relacionada a este método é o monitoramento da corrente instantânea que passa pela chave fechada, a qual pode ser utilizada em critérios de comparação para determinar a abertura da chave, que de fato irá abrir eletricamente na passagem da corrente por zero (zero crossing), após a extinção do arco elétrico, característica de dispositivos reais como disjuntores. Isso possibilita que o algoritmo simule o momento real em que uma chave representando um disjuntor possa abrir. 3

4 V.3 Multi-Area Thévenin Equivalent (MATE) Este método tem como principal característica a simulação computacional de grandes sistemas através de múltiplos subsistemas conectados por links (Figura 3), que são desacoplados nas etapas de solução simultânea. Utiliza-se o conceito de equivalentes de Thévenin multi-áreas por meio das submatrizes de conectividade e de relações das equações dos links (inclusive de impedâncias) entre os subsistemas [5]. g kk + g mk g km + g mm [G] = [ ] [i] = i fk + i fm 0 [ ] (12) (13) A possibilidade de relacionar as duas tensões nodais em (8) abre caminhos também para a representação de fontes de tensão não conectadas ao nó de referência, as quais não são diretamente reconhecidas pelo algoritmo básico do EMTP [2]. Assim, para um passo da simulação ocorrido no tempo t 0, pode-se representar uma fonte de tensão e(t) entre os nós k e m por (14), a partir de uma simples modificação de (8). Figura 3 Representação de um sistema dividido em dois subsistemas pela técnica MATE Ao aplicar o método para resolver o problema das chaves, o algoritmo deve separar o sistema em subsistemas conectados pelas chaves. O custo computacional é praticamente o mesmo de uma solução acoplada, tendo ainda a adição de tarefas de organização e partição dos subsistemas. Porém, esta adição é compensada com a possibilidade de aumentar a velocidade de resposta usando processadores com vários núcleos, num processamento em paralelo, fazendo cada núcleo processar os cálculos referentes a um subsistema. Assim o conceito MATE é particularmente útil na simulação computacional em tempo real. V.4 Igualdade de potenciais Ao se fechar uma chave entre dois nós, as equações dos referidos nós sofrem alterações: as duas são somadas (4) e substituídas no lugar de uma delas, enquanto no lugar da outra, é adicionada uma equação como informação de que os nós estão sob o mesmo potencial (8). Portanto, a representação de chaves ideais por tal método é exata, pois ele é baseado em uma diferença de potencial igual a zero entre os terminais de uma chave fechada. Com relação às equações do sistema com todas as chaves abertas (6), a matriz de condutância nodal e o vetor de correntes são modificados para (12) e (13) respectivamente. O vetor de tensões permanece o mesmo de (6). V.5 Colapso de nós v k v m = e(t 0 ) (14) O método do colapso de nós assume as mesmas premissas referentes ao método da igualdade de potenciais. Porém, seu modelo difere em alguns aspectos. Ao se fechar uma chave entre dois nós (k e m), uma das equações nodais também é substituída pela soma das duas correspondentes (4), e ao invés de inserir nova equação ao sistema a variável v m é retirada, com base em (15). v k = v m (15) A matriz de condutância nodal, o vetor de correntes e o vetor de tensões do sistema com chaves abertas (6) são modificados para a forma descrita em (16), (17) e (18) respectivamente. [G] = [ g kk + g mk + g km + g mm ] (16) [i] = [ i fk + i fm ] (17) [v] = [ v k ] (18) Após a retirada de uma variável (tensão nodal v m ), os índices do vetor de tensões nodais não têm mais relação direta com os índices adotados para os nós. Por isso, é preciso conduzir o algoritmo a uma correta associação entre os índices do vetor de tensões nodais obtido e os nós do circuito. 4

5 V.6 Análise comparativa Após a descrição individual de cada método, é apresentado na Tabela 1 um resumo com as implicações computacionais de cada método. São estudadas as seguintes características: A. Exatidão; B. Dimensão do sistema com chaves fechadas comparada à dimensão do sistema com todas as chaves abertas; C. Possibilidade de processamento numérico paralelo (simulação em tempo real): se é possível ou não calcular várias variáveis de forma independente, ao mesmo tempo. D. Processamento auxiliar: nível de modificações nas matrizes e vetores do sistema com chaves abertas e de processamento para associação correta entre variáveis de interesse e dados obtidos no processamento numérico; Tabela 1 Comparação das características dos métodos A B C D Resistência Não Igual Não Pequeno MNA Sim Maior Não Médio MATE Sim Maior Sim Grande Igualdade Sim Igual Não Médio Colapso Sim Menor Não Grande Figura 4 Algoritmo básico (sem chaves) VI ALGORITMO DO COLAPSO DE NÓS VI.1 Algoritmo geral Antes de detalhar o algoritmo do método proposto nesse artigo, deve se fazer uma contextualização, expondo o algoritmo básico do EMTP [2] sem chaves, apresentado na Figura 4, depois qual a influência das chaves no algoritmo básico tal como ilustrado na Figura 5, para então apresentar algumas definições e o algoritmo específico do método. O detalhe tracejado no processo Reordenação dos resultados demonstra que ele pode acontecer ou não dependendo do método aplicado. Os métodos Chave como resistência elétrica e Igualdade de potenciais não requerem esse processo, ao contrário dos métodos Colapso de nós e Modified Nodal Analysis (quando a corrente de chave aberta é omitida do equacionamento). VI.2 Modelo computacional Os nós equacionados do circuito são indexados de 1 a N, sendo considerado o nó 0 como o nó de referência (não equacionado). Para realizar de forma coerente o equacionamento (5) orientado por (16), (17) e (18), o modelo computacional elaborado usa um vetor de controle chamado de vetor de ponteiro de nós. Figura 5 Algoritmo básico (com chaves) O colapso de nós diminui o tamanho da matriz, tira a referência da tensão do nó m da m-ésima posição do vetor de tensões e a referencia à k-ésima posição (18). Também, como consequência, as tensões de todos os nós de índice superior a m passam a ser referenciadas à posição imediatamente anterior. Assim, define-se o vetor de ponteiros de nós como um vetor de tamanho igual ao número de nós equacionados (N), cujo conteúdo da posição j é o 5

6 ponteiro do nó j e indica o índice do vetor de tensões resultante (18) ao qual se referencia a tensão do nó j. O vetor de ponteiros de nós deve assumir uma forma inicial coerente com o caso de um sistema com todas as chaves abertas (sem colapso de nós). Define-se então a sua forma canônica como aquela em que cada posição contém o próprio índice, como apresentado na Figura 6. VI.3 Algoritmo específico Figura 7 Colapso e orientação (Parte A) Figura 6 Visão geral do algoritmo específico O processo Colapso e orientação dos nós é dividido nas partes especificadas: A. Dentre os ponteiros dos nós da chave, atribuir o valor menor a todos os ponteiros que contêm o valor maior (Figura 7); B. Decrementar todos os ponteiros cujo valor é superior ao valor da variável maior (Figura 8); C. Somar linhas e colunas referentes aos ponteiros dos nós das chaves na matriz G e no vetor i (Figura 9). Todo o algoritmo em torno do conceito de ponteiro de nós serve para simplificar o processo Reordenação dos resultados, o qual passa a ser simplesmente atribuir à tensão de um nó, a tensão do vetor de tensões resultante do colapso (18) da posição apontada pelo seu respectivo ponteiro. Figura 8 Colapso e orientação (Parte B) 6

7 VI.5 Caso exemplo A fim de simular a execução do algoritmo para melhor compreensão, toma-se como exemplo um sistema hipotético qualquer de 6 nós equacionados mais o nó de referência (nó 0). Em determinado momento do processamento, o estado das chaves migra para o estado detalhado na Tabela 2. O processo Colapso e orientação dos nós modifica o vetor de ponteiro de nós como apresentado na Tabela 3 e o vetor de correntes (na Parte C) conforme a Tabela 4. Tabela 2 Estados das chaves em um instante de tempo Índice da chave Nó k Nó m Estado Fechada Fechada Fechada Fechada Figura 9 Colapso e orientação (Parte C) O desenvolvimento de todas as partes do algoritmo explicado deve prever o colapso entre nó equacionado e o nó de referência e tratá-lo de forma diferente, já que o nó de referência não possui ponteiro, nem equação própria. Quando isso ocorrer, deve-se eliminar a equação apontada pelo ponteiro do nó equacionado e atribuir tensão nula ao nó equacionado em questão e também a todos os outros referenciados pelo mesmo ponteiro de nó. VI.4 Modificação no algoritmo principal A proposta de equacionamento do algoritmo fundamental do EMTP [2] separa os nós do circuito entre nós de tensão desconhecida (tipo A) e nós de tensão conhecida (tipo B, associados a fontes de tensão diretamente conectadas à referência), consequentemente dividindo o equacionamento (5) em submatrizes e subvetores (19). [ [G AA ] [G AB ] [G BA ] [G BB ] ]. [[v A ] [v B ] ] = [[i A ] [i B ] ] (19) Ao realizar o colapso de nós, a matriz de condutâncias nodais resultante, de menor ordem, passa a ter índices menores, e como o colapso com nós de tensão conhecida torna os dois nós de tensão conhecida, é mais simples posicionar estes nos índices inferiores. Portanto a assimilação dos tipos A e B com relação ao conhecimento prévio da tensão dos nós é invertida para simplificar o algoritmo do colapso de nós. Tabela 3 Modificações no vetor de ponteiros de nós Chave Parte Ponteiros dos nós Inicialização A B A B A B A B Tabela 4 Modificações no vetor de corrente Inicial i 1 i 1 i 1 i 1 i 2 i 2 + i 4 i 2 + i 4 i 3 i 3 i 6 i 4 i 5 i 6 i 5 i 6 i 6 VII RESULTADOS E DISCUSSÕES i 6 VII.1 Inexatidão do método da chave como resistência elétrica Para verificar a eficácia do método da chave como resistência elétrica, o circuito da Figura 10 foi simulado no software ATP, para referência, e também no programa implementado em MatLab, usando diferentes valores de resistência para modelar a chave 7

8 fechada (R CHf = 1/G f ), tal como apresentado nas Figuras 11 a 14. Além disso, não existe um bom valor de R CHf que se ajuste bem a todos os circuitos possíveis, pois ele deve estar em uma faixa de valores dependente da ordem de grandeza das impedâncias do circuito, requisitando uma solução de compromisso entre um valor pequeno que seja suficientemente desprezível com relação às outras impedâncias do circuito, mas não tão pequeno a ponto de apresentar resultados inexatos ou levar a matriz de condutância nodal a um estado próximo da singularidade. Figura 10 Circuito simulado Figura 11 Detalhe na tensão do nó 4 (ATP) Figura 13 Detalhe na tensão do nó 4 (MatLab, R CHf = 15 Ω) Figura 12 Detalhe na tensão do nó 4 (MatLab, R CHf = Ω) Ao tentar simular o circuito com R CHf = Ω, o MatLab apresenta um aviso de que a matriz (de condutância nodal) está muito próxima de ser singular e não se pode plotar os resultados. Assim, nota-se a influência do parâmetro R CHf na exatidão da simulação e fica claro que, por questões numéricas, não se pode levar a valor da resistência R CHf próximo a zero indefinidamente, fato que também mostra que o método pode falhar ao representar chaves ideais, já que esta sempre será representada por uma resistência elétrica não nula. Figura 14 Detalhe na tensão do nó 4 (MatLab, R CHf = Ω) VII.2 Comparação do desempenho dos métodos Para comparar o desempenho de alguns métodos, o programa baseado no EMTP implementado em [8] foi modificado em três versões para reproduzir os métodos de solução de chaves: Chave como resistência elétrica, Igualdade de potenciais e Colapso de nós. Todas as versões resolveram o sistema de 6 nós equacionados da Figura 10 e o sistema de 12 nós equacionados da Figura 15 e foram medidos o tempo 8

9 médio de solução das matrizes (Tm) e o tempo médio de processamento das chaves, suas variáveis de controle e preparação das matrizes e vetores principais para posterior solução numérica (Tc), obtendo-se a Tabela 5 e Tabela 6. pela diminuição quase quadrática do número de operações necessárias para a solução das matrizes com o número de chaves fechadas. Tais comparações com dados de simulações são coerentes com as características previstas na formulação matemática dos métodos e também com a comparação qualitativa entre eles apresentada na Tabela 1. VIII CONCLUSÕES Figura 15 Circuito com 12 nós equacionados Tabela 5 Dados da simulação do circuito com 6 nós Tm (ms) Tc (ms) Tc/Tm (%) Resistência 17,9 2,5 14 Colapso 16,2 10,6 65 Igualdade 17,6 23,5 134 Tabela 6 Dados da simulação do circuito com 12 nós Tm (ms) Tc (ms) Tc/Tm (%) Resistência 22,6 3,5 15 Colapso 20,8 12,3 59 Igualdade 22,5 20,9 93 É possível notar que o colapso dos nós diminui o tempo de solução das matrizes comparado a outros métodos como consequência direta da redução da ordem do sistema linear a ser resolvido. Também é perceptível que o método da igualdade de potenciais diminui ligeiramente o tempo Tm comparado ao método da chave como resistência elétrica pelo fato de adiantar a triangulação da matriz, pela existência de muitos zeros em algumas linhas, porém essa diminuição não é significativa já que nesses métodos a ordem das equações matriciais a serem resolvidas é sempre constante e igual ao número de nós equacionados do circuito. Comparando o método do colapso de nós ao método da chave modelada como resistência elétrica, nota-se que o método do colapso de nós possui uma relação Tc/Tm decrescente com o aumento do número de nós, ao contrário do que acontece no método da chave como resistência elétrica. Portanto, mesmo que, para sistemas de baixa ordem, o método do colapso de nós pareça inviável, devido ao alto tempo de processamento do método, isso tende a se inverter com o crescimento da ordem do sistema. Isso se explica observando a relação linear do tempo de processamento do algoritmo de colapso de nós com a ordem do sistema e o número de chaves compensado O método do colapso de nós analisado no presente trabalho em comparação a outros métodos é uma representação exata de chaves ideais, comprovada por sua base matemática, o que permite a construção de modelos mais fiéis de componentes não lineares e dispositivos chaveados da eletrônica de potência. No algoritmo fundamental do EMTP [2], as chaves ideais são representadas pelo método do colapso de nós. Em outras versões do EMTP, tal como o SPICE, utiliza-se a modelagem de chaves ideais como resistências elétricas. O algoritmo relacionado ao método do colapso de nós tem como característica a diminuição do tempo de simulação para grandes sistemas elétricos com elevado número de chaves normalmente fechadas, comparado a outros métodos de processamento de chaves. Isso pode ser útil para simulações em tempo real [10] e otimização de programas de solução de transitórios eletromagnéticos, como em aplicações envolvendo dispositivos de eletrônica de potência [11]. REFERÊNCIAS [1] H. W. Dommel. A method for solving transient phenomena in multiphase system. Proc. 2nd Power System Computation Conference (Stockholm, Sweden), [2] H. W. Dommel. Digital computer solution of electromagnetic transients in single and multiphase networks. IEEE Trans. on Power App. and Systems, vol. PAS-88, n. 4, [3] H. W. Dommel. Nonlinear and time-varying elements in digital simulation of electromagnetic transients. IEEE Trans. on Power App. and Systems, [4] C. Ho, A. E. Ruehli, P. A. Brennan. The Modified Nodal Approach to Network Analysis. IEEE Transactions on circuits and systems, Vol. CAS-22, No. 6, p. 504, June [5] B. D. Bonatto, M. L. Armstrong, J. R. Marti, H. W. Dommel. Current and voltage dependent sources modelling in MATE multi-area Thévenin equivalent concept, Electr. Power Syst. Res. pp (2016). [6] F. A. Moreira, J. R. Martí, L. C. Zanetta, L. R. Linares. Multirate Simulations With 9

10 Simultaneous-Solution Using Direct Integration Methods in a Partitioned Network Environment. IEEE Trasnactions on circuits and systems Regular Papers, Vol. 53, No. 12, p. 2765, December [7] J. Mahseredjian; F. Alvarado. Creating an Electromagnetic Transients Program in MATLAB: MatEMTP. IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 12, No. 1, January [8] L. F. R. Ferreira. Solução de oscilações numéricas na modelagem computacional de programas baseados no EMTP Electromagnetics Transients Program. Trabalho Final de Graduação, UNIFEI, [9] J. R. Martí; J. Lin. Suppression of numerical oscillations in the EMTP. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 4, No. 2, May [10] J. R. Martí, L. R. Linares, J. Calviño, H. W. Dommel. OVNI: An Object Approach to Real- Time Power System Simulators. International Conference on Power System Technology. Beijing, China, [11] N. Mohan, T. M. Undeland, W. P. Robbins. Power Electronics: Converters, Applications and Design. 2nd. edition. New York: John Wilei & Sons, Inc., p. BIOGRAFIA: Natanael de Souza Figueiredo Nasceu em Boa Esperança (MG), em Ingressou no curso de Engenharia Elétrica da UNIFEI em Durante a graduação participou do grupo PET Programa de Educação Tutorial em Engenharia Elétrica, com apoio da CAPES, onde desenvolveu atividades de pesquisa, ensino e extensão. Foi estagiário do Centro de Excelência em Redes Elétricas Inteligentes (CERIn), sob a orientação do Prof. Ph.D. Benedito Donizeti Bonatto e trabalhou na empresa Neurotec pesquisa e desenvolvimento em Biomedicina como auxiliar de projeto. 10