Fluxo de potência elétrica: análise dos métodos utilizados em redes de transmissão de energia elétrica.

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1 Fluxo de potência elétrica: análise dos métodos utilizados em redes de transmissão de energia elétrica. Leonardo Andrade Lira Fernando Silva Pereira Resumo Instituto Federal de Goiás/Campus Jataí/Engenharia Instituto Federal de Goiás /Campus Jataí/Indústria/ Neste trabalho são propostas e avaliadas metodologias existentes para o cálculo do fluxo de potência em redes de energia elétrica. Fluxo de potência é uma das ferramentas básicas em análise de sistemas elétricos. As equações de fluxo de potência podem ser aplicadas tanto em sistemas de grande porte quanto em pequenas instalações. Através da análise do fluxo de potência pode-se conhecer o desempenho de sistemas sob o ponto de vista de operação ou planejamento para que se tenha a determinação do estado (tensão complexa da barra), da distribuição dos fluxos (potências ativas e reativas que fluem pelas linhas e transformador) e de algumas outras grandezas de interesse. Especificamente será feita a análise de três métodos utilizados para o cálculo do fluxo de potência do sistema elétricos sendo eles o método linearizado, o método de Newton-Raphson e o método de Gauss-Seidel. Estes métodos são os mais conhecidos na literatura especializada e são utilizados no planejamento e operação do sistema de transmissão de energia elétrica.. O desempenho destes métodos foi avaliado de forma teórica e experimental para os sistemas transmissão de 14, 30 e 57 barras, disponibilizados pelo Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). Palavras-chave: Fluxo de potência, sistemas de transmissão, método linearizado, método de Newton-Raphson, método de Gauss-Seidel. Introdução Sistemas elétricos de potência (SEP) são grandes sistemas de energia que englobam a geração, transmissão e distribuição de energia elétrica. A geração de energia elétrica se faz em usinas localizadas em função de suas características próprias. Usinas hidrelétricas, que usam represamento de rios e lagos, são localizadas nos pontos dos rios e lagos considerado mais eficiente para o armazenamento do volume ideal de água. Usinas térmicas podem ser localizadas em pontos mais convenientes para a transmissão e controle. Geradores eólicos são localizados em pontos com maior volume de ventos. O sistema elétrico de potência engloba todas as formas de geração de energia elétrica e sua transmissão até os consumidores. O planejamento e a operação de sistemas de energia elétrica têm como finalidade atender o contínuo crescimento de carga assim como suas variações diárias e sazonais. Uma indústria de grande porte, uma rede de distribuição de energia elétrica ou mesmo todo o sistema elétrico interligado nacional (SIN) são exemplos de sistemas de potência. O atendimento da carga, representando os consumidores de energia elétrica residenciais, comerciais e industriais, é uma tarefa que requer previsão de instalação de novos equipamentos e reforços no sistema de transmissão e distribuição assim como sua adequada utilização nos procedimentos operativos. Relatório Final do PIBIC/PIBITI/CNPq/IFG - agosto/2012-julho/

2 A análise de fluxo de potência no atendimento das cargas pressupõe a disponibilidade de ferramentas adequadas e confiáveis, principalmente quando o sistema envolvido é de grande porte. Para o correto dimensionamento da rede elétrica, dentro dos critérios vigentes e normas de projeto, é necessário comparar alternativas de transmissão e construção de novas linhas, programar investimentos de geração, assim como adequar a compensação reativa necessária. Na solução de circuitos elétricos, em regime permanente, estamos habituados a tratar com redes com impedâncias fixas conhecidas, formando um sistema linear de equações. Na solução de uma rede elétrica, colocada na forma de um problema de fluxo de potência, a formulação é um pouco diferente, pois algumas impedâncias para a terra, principalmente aquelas conectadas a determinados pontos de entrega de energia, como subestações, também conhecidas como barras de carga, não são conhecidas a priori. Um estudo de carga consiste na determinação da tensão, da corrente da potência e do fator de potência ou potência reativa nos diversos pontos de uma rede elétrica sob condições reais ou ideais de operação normal. Os estudos de carga são essenciais para planejar a expansão do sistema, uma vez que a operação satisfatória desse sistema depende do conhecimento dos efeitos da interligação com outros sistemas, de novas cargas, de novas centrais geradoras e de novas linhas de transmissão antes que elas sejam instaladas. Antes do desenvolvimento de computadores digitais de grande porte, os estudos de fluxo de carga eram feitos em analisadores de rede CA, os quais eram uma réplica monofásica e escala reduzida do sistema real por intermédio da interligação de elementos de circuitos e de fontes de tensão. A realização de conexões, ajustes e leituras de dados era cansativa e demorada. Atualmente, os computadores digitais fornecem as soluções para estudos de fluxo de carga em sistemas complexos. De fato, um programa computacional pode comportar mais de 1500 barras, 2500 linhas, 500 transformadores com mudança de derivação sob carga e 25 transformadores defasadores. Os resultados são impressos rápidos e economicamente. Os planejadores de sistema estão interessados em estudar como será o sistema de potência 10 ou 20 anos depois. É mais do que 10 anos o tempo que transcorre entre o inicio do planejamento de uma nova usina nuclear e se início de operação. Uma empresa de energia elétrica deve saber, com muita antecedência, dos problemas relacionados com a alocação da usina e a melhor disposição das linhas para transmitir a energia aos centros de carga, os quais não existem quando o planejamento deve ser feito. O problema do fluxo de carga ou fluxo de potência consiste na obtenção das condições de operação em regime permanente de uma rede de energia elétrica com topologia e níveis de geração e consumo conhecidos. Na formulação básica do problema do fluxo de carga em sistemas elétricos são associados a quatro variáveis a cada barra de rede (que representa um nó no circuito equivalente): Por outro lado, aos ramos da rede (cujas barras são k e m) associam-se as seguintes variáveis: No fluxo de carga convencional, definem-se três tipos de barras, em função das variáveis que são conhecidas e incógnitas conforme a tabela 1: Relatório Final do PIBIC/PIBITI/CNPq/IFG - agosto/2012-julho/

3 Tipo de barra Notação Dados Incógnitas Barra de carga PQ e e Tensão controlada PV e e Referência V e e Tabela 1 De forma em geral, as barras de carga aparecem em maior número e representa as subestações de energia elétrica nas quais estão conectadas as cargas no sistema elétrico; em segundo lugar, as barras de tensão controlada representam as instalações que possuem geradores, que pode realizar o controle da sua tensão terminal (por intermédio do seu controle de excitação) e também as barras cuja tensão pode ser controlada por intermédio do ajuste do tap de algum transformador. A barra de referência é a única e imprescindível na formulação do problema em função de dois fatores: - Necessidade matemática de estipular um ângulo de referência (geralmente igualado a zero); - Pra fechar o balanço de potência na rede, pois as perdas de transmissão não são conhecidas a priori, ou seja, não é possível definir todas as injeções de potência do sistema antes de conhecer as perdas que são função dos fluxos de potência na rede. Métodos utilizados para o cálculo de fluxo de potência A escolha de um método de solução de fluxo de potência para aplicações práticas não é uma tarefa fácil, porque requer uma análise cuidadosa das vantagens e desvantagens dos vários métodos disponíveis, no que diz respeito às características de armazenamento, velocidade e confiabilidade, em relação à aplicação prática em questão e às facilidades computacionais. A dificuldade da escolha ocorre devido ao fato que nenhum método reúne todas as características desejadas. Até o ano de 1961, os métodos de fluxo de potência eram todos iterativos e se baseavam principalmente em métodos de deslocamentos sucessivos, dentre os quais se destacou o método de Gauss-Seidel. Este método, de simples programação, reduzido números de cálculos e pequeno requisito de memória, apresenta sérios problemas de convergência quando da presença, na rede elétrica, de reatâncias série negativa não compensada pelas reatâncias positivas das linhas, ou quando da ocorrência de impedâncias muito diferentes terminando em uma mesma barra. O chamado "Método de Eliminação para Solução de Fluxo de Potência, que era a aplicação de uma versão do método de Newton-Raphson à 4 solução das equações não lineares de fluxo de potência, resolveu os problemas que ocorriam no método de Gauss-Seidel. Este método além de resolver os problemas que o de Gauss-Seidel não resolvia, era superior para sistemas de pequeno porte. Entretanto, os requisitos de memória e o tempo de computação cresciam rapidamente com o tamanho do sistema, limitando, portanto o método para sistemas de grande porte. A determinação de uma sequência de operações que minimizasse os requisitos de memória e o tempo de computação necessário à solução de equações simultâneas, baseadas na matriz admitância ou similar, e à preservação dos operadores e da sequência de operações para uso em soluções repetidas, foram duas ideias introduzidas, quando foi notado que as dificuldades ocorriam, não devido ao método de Newton-Raphson em si, mas sim no método numérico de resolução do sistema de equações lineares associado. O método Newton-Raphson foi então consagrado mesmo sendo menos econômico que o de Gauss-Seidel para pequenos sistemas e menos rápido que métodos existentes para soluções repetidas. Relatório Final do PIBIC/PIBITI/CNPq/IFG - agosto/2012-julho/

4 Fluxo de carga linearizado O fluxo de potência ativa em uma linha de transmissão é aproximadamente proporcional à abertura angular da linha e se desloca no sentido dos ângulos maiores para os ângulos menores. A relação entre os fluxos de potência e as aberturas angulares é do mesmo tipo da existente entre o fluxo de corrente e as quedas de tensão em um circuito de corrente contínua, para o qual é valida a lei de Ohm. Surge daí a nomenclatura fluxo de carga CC para a versão linearizada do fluxo de carga. Esta propriedade possibilita o desenvolvimento de um modelo aproximado chamado de fluxo de carga CC, que permite estimar com baixo custo computacional e precisão aceitável para muitas aplicações, a distribuição dos fluxos de potência ativa em uma rede de transmissão. Este tipo de modelo linearizado tem encontrado muitas aplicações na análise de sistemas elétricos de potência, tanto no planejamento como na operação do sistema. O fluxo CC é baseado no acoplamento entre as variáveis (potencia ativa/ângulo) e apresenta resultados tanto melhores quanto mais elevados o nível de tensão. Além disso, o mesmo tipo de relação válida para linhas de transmissão pode ser estendido também para transformadores em fase e defasadores. Este modelo linearizado, no entanto, não é aplicável para sistemas de distribuição em baixa tensão, nos quais o fluxo de potência ativa depende também, e de maneira significativa, das quedas de tensão. Nestes sistemas é possível a utilização de modelos linearizados baseados em outras características físicas da rede que não a relação. Deve-se observar que o modelo CC não leva em conta as magnitudes das tensões nodais, as potencias reativas e os taps dos transformadores. Por esta razão ele não pode substituir por completo os métodos não lineares de fluxo de carga, mas tem, todavia, grande utilidade em fases preliminares de estudo que exigem análise de um grande número de casos, o que dificilmente poderia ser feito utilizando os métodos convencionais. Em fases subsequentes dos estudos, se for necessário o conhecimento de variáveis como as magnitudes de tensões, os fluxos de potência reativa e os valores dos taps de transformadores, então se deve partir para uma solução para utilizando-se um dos métodos clássicos de fluxo de carga. Fluxo de carga não linear Além das equações básicas, existe um conjunto adicional de equações-inequações que representam as restrições de operação da rede e atuação de dispositivos de controle, que também devem ser obedecidas pela solução do problema. Na formulação clássica, a definição das variáveis que são especificadas e calculadas encontra-se na tabela 1. Tipo de barra Notação Dados Incógnitas Barra de carga PQ e e Tensão controlada PV e e Referência V e e Tabela 1 Se a barra está representando um ponto no sistema onde é conhecida a injeção líquida de potência (como, deve-se conhecer a potência gerada e a potência demanda ), esta pode ser especificada restando calcular e. Este tipo de barra é denominado barra de carga ou PQ. Se a barra esta representando um ponto no sistema onde é possível o controle da magnitude da tensão, através do controle da injeção líquida de potência reativa ou por Relatório Final do PIBIC/PIBITI/CNPq/IFG - agosto/2012-julho/

5 intermédio do ajuste do tap de algum transformador, esta tensão pode ser especificada, restando calcular e. Este tipo de barra é denominado barra de tensão controlada u PV. Como as perdas não são conhecidas, a priori se deve deixar pelo menos uma barra onde a injeção líquida de potência seja calculada. Este tipo de barra é denominado referência ou V sendo definidos e. Observar que pelo menos uma injeção de potência ativa e outra de potência reativa precisam ser calculadas para fechar os balanços de potência ativa e reativa. Embora geralmente tais tensões de balanço sejam associadas à barra de referência angular, não é mandatório que sejam associadas a uma única barra. Uma vez resolvido o problema de fluxo de carga, é conhecido o estado da rede, ou seja, são conhecidos os fasores tensão (, ) de todas as barras. Isto torna possível o cálculo de outras variáveis de interesse como as injeções de potência nas barras e o fluxo de potência nos ramos (linhas e transformadores). Método de Gauss- Seidel As soluções digitais de problemas de fluxo de carga que consideramos seguem um processo iterativo, atribuindo valores estimados para as tensões das barras desconhecidas e calculando um novo valor para cada tensão de barra a partir dos valores estimados nas outras barras, da potência real especificada ou de um modulo de tensão especificada. Então, é obtido um novo conjunto de valores para as tensões em cada barra, o qual é usado para calcular outro conjunto de tensões de barra. Cada cálculo de um novo conjunto de tensões é chamado uma iteração. O processo iterativo é repetido até que as mudanças em todas as barras sejam menores do que um valor mínimo especificado. À medida que a tensão corrigida for encontrada para cada barra, ela será usada no cálculo da tensão corrigida da barra seguinte. O processo é repetido para cada barra, consecutivamente, através do sistema (exceto para a barra de referência) para completar a primeira iteração. Então o processo inteiro é repetido várias vezes até que a magnitude da correção na tensão em cada barra seja menor do que uma precisão previamente determinada. Este processo de resolver equações algébricas lineares é conhecido como Método iterativo de Gauss Seidel. Se o mesmo conjunto de valores de tensão for usado durante uma iteração completa, o processo será chamado de Método iterativo de Gauss. Desenvolvendo o método, temos: O vetor corrente é dado por: Onde Relatório Final do PIBIC/PIBITI/CNPq/IFG - agosto/2012-julho/

6 Tensão nova é: O cálculo da tensão na barra k, na iteração i+1, apoia-se na atualização dos valores de tensão obtidos, previamente calculados até a barra k-1, nesta mesma iteração i+1. Método de Newton- Raphson A expansão da série de Taylor para uma função de duas ou mais variáveis é à base do método de Newton- Raphson para resolver o problema de fluxo de carga. O número de iterações necessárias para a solução é praticamente independente do tamanho e tipo problema. Isto é rigorosamente verdade apenas para problemas com um início de tensão plana e sem ajustes automáticos. Sob estas condições, uma solução aceitável pode ser obtida em quatro ou cinco iterações. Com a programação em linguagem de máquina ideal uma iteração deste método é igual à cerca de sete dos sucessivos métodos deslocamentos. A alta velocidade de solução é devido à característica quadrática convergência do método de Newton, a eliminação otimamente ordenadas, e as técnicas de programação especiais. Uma das principais deficiências dos métodos iterativos é a incapacidade de resolver os problemas com reatâncias de transferência negativas que não pode ser compensada pela reatância positiva de uma linha. O método de Newton não é afetado por essas condições. Provavelmente a característica mais significativa do método de Newton é o fato de que o programa necessita apenas de pequenas modificações para realizar outras funções importantes. Suponha que desejamos resolver o seguinte sistema de equações, onde f1 e f2 são funções, x1 e x2 são variáveis e y1 e y2 são constantes. Sejam e os respectivos valores iniciais de e, e e as correções necessárias para que as condições sejam atendidas. Assim, podemos escrever: Expandindo as equações em série de Taylor, teremos: Relatório Final do PIBIC/PIBITI/CNPq/IFG - agosto/2012-julho/

7 Desprezando as derivadas de ordem superior a primeira e escrevendo o sistema de equações em forma matricial, vem: onde todas as derivadas devem ser calculadas a partir dos valores iniciais. Podemos escrever abreviadamente como: Onde: Invertendo, obtemos:. Tendo x1 e x2, podemos escrever: Da mesma forma que no caso do método de Gauss-Seidel, o método de Newton-Raphson é iterativo, ou seja, devemos continuar calculando as iterações até que o vetor das correções se torne menor do que um erro previamente especificado. Quando tal acontecer, dizemos que o sistema convergiu. Metodologia Tendo em vista a importância da modelagem dos sistemas elétricos de potência para o estudo, planejamento e operações, associado à necessidade de aprofundamento de novas metodologias e otimização dos atuais modelos matemáticos utilizados no cálculo de fluxo de potência, no presente projeto de iniciação científica foi implementado algoritmos em linguagem de programação, para compreender o funcionamento dos sistemas de transmissão de energia elétrica e realizar as análises dos resultados obtidos pelos métodos de fluxo de potência. Propôs-se em primeiramente realizar o levantamento bibliográfico de métodos de fluxo de potência. Após o levantamento e estudo dessa bibliografia, o algoritmo começou a ser discutido e logo depois se iniciou a implementação. Relatório Final do PIBIC/PIBITI/CNPq/IFG - agosto/2012-julho/

8 O desenvolvimento e implementação do algoritmo foi realizado no software MATLAB, em que já possui sua própria linguagem de programação e uma abrangente biblioteca de funções matemáticas, geração de gráficos e manipulação de dados que auxiliam bastante o programador. Foram desenvolvidos três programas genéricos em que é possível realizar a simulação teórica e experimental para os sistemas de transmissão de 14,30 e 57 barras disponibilizado pelo Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) para os métodos de fluxo de potência linearizado (fluxo CC), Newton Raphson e Gauss Seidel. Resultados Para a validação da metodologia proposta foram realizados estudos de casos nos modelos de 14,30 e 57 barras, disponibilizado pelo Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). No método linearizado, o algoritmo desenvolvido possibilitou um modelo aproximado que permite estimar a distribuição dos fluxos de potência ativa em linhas de transmissão, dentre suas vantagens podemos citar o baixo esforço computacional e uma precisão aceitável. No método de Newton Raphson,o número de iterações necessárias para a convergência não depende da dimensão do problema, não é sensível à escolha da barra de referência, apresenta convergência quadrática, mas por outro lado requer mais espaço de memória para armazenamento devido a matriz jacobiana, o tempo computacional por iteração é maior, pois se deve inverter a matriz jacobiana e multiplicá-la por um vetor e é sensível à escolha do ponto inicial. O método de Gauss Seidel é de concepção mais simples, entretanto sua aplicação é mais trabalhosa, pois a convergência do processo é lenta, quando maior o sistema, mais lenta será a convergência. Conclusão Com o uso de eliminação de Gauss otimamente ordenada e técnicas de programação especiais, o problema de fluxo de potência em AC pode ser resolvido de forma eficiente pelo método de Newton, uma técnica padrão para equações não lineares. Este método parece ser mais rápido, mais preciso e mais confiável do que qualquer outro método conhecido para qualquer tamanho ou tipo de problema. Embora o método já seja muito bom, é evidente que outras melhorias são possíveis. Um incentivo adicional para a utilização do método é a sua capacidade de adaptação a outras aplicações. A importante contribuição deste trabalho é a prova de que o método não só funciona, mas que é eficiente para grandes problemas. REFERÊNCIAS GRAINGER, J. J.; STEVENSON JR., W. D., Power system analysis, McGraw-Hill, MONTICELLI, A. J., Fluxo de carga em redes de energia elétrica, Editora Edgard Blücher Ltda., MONTICELLI, A. J.; GARCIA, A. V., Introdução a sistemas de energia elétrica, Editora USP, Relatório Final do PIBIC/PIBITI/CNPq/IFG - agosto/2012-julho/