FLUXO DE CARGA EM REDES CA

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1 4 FLUXO DE CARGA EM REDES CA 4.1 INTRODUÇÃO Neste capítulo será abordado o problema de fluxo de carga em regime permanente. Na representação do sistema nesse tipo de problema, supõe-se, em geral, que a rede seja modelada pela matriz Ybus. Adicionalmente, as cargas do sistema são conhecidas. Embora seja uma abordagem determinística, a precisão dos resultados é aceitável. Na realidade, a carga no sistema apresenta variação aleatória e por essa razão o que se conhece são seus valores estimados médios para determinadas horas do dia. Por essa razão, tais elementos podem ser interpretados como perturbações para o sistema. As unidades geradoras fornecem potência para suprir as cargas e as perdas no sistema. São, assim, elementos que atuam no sentido de assegurar o equilíbrio de potência em cada barramento. Quando isso não é possível, torna-se necessário desconectar cargas a fim de restabelecer o equilíbrio. Em função dessas características, equipamentos associados à geração de energia exercem a função de controle no sistema. As tensões no sistema dependem de uma série de fatores e devem ser mantidas próximas aos valores nominais a fim de manter o adequado funcionamento dos equipamentos, em geral. Portanto, o controle das tensões, bem como o fluxo pelos equipamentos, devem ser observados como parte fundamental na análise de um sistema em regime permanente. A magnitude e a fase da tensão devem ser ajustadas, em cada barramento com a finalidade de tornar possível a operação do sistema dentro de parâmetros satisfatórios. Essas duas variáveis são os denominados estados do sistema, sendo essas grandezas objeto de ajuste em problemas de fluxo de carga, considerando essencialmente o balanço de potência em cada barra; as restrições e a disponibilidade operacional dos equipamentos; o tipo de elemento conectado à barra (carga ou geração). 51

2 5 4. FLUXO DE CARGA EM REDES CA 4. DETERMINAÇÃO DAS EQUAÇÕES DO FLUXO DE CARGA Considere que uma corrente I k seja injetada na barra k devido à presença de uma fonte de potência nessa barra. A Figura 4.1 ilustra esse fato. Para essa situação, a potência que é injetada se distribui pelas interligações km e k j conectadas à barra para que ocorra o equilíbrio de potência, e, conseqüentemente atenda à lei de Kirchhoff de corrente nessa barra. Figura 4.1 Injeção de potência na barra k Considere que as interligações com a barra k sejam linhas de transmissão - esta hipótese vale também para outros tipos de equipamentos. Então a corrente que é injetada pode ser calculada a partir da matriz Ybus, pegando-se a k-ésima linha dessa matriz e multiplicando-a pelo vetor de tensões de barra. Isto é equivalente ao seguinte resultado: I k = NB Y km V m (4.1) m=1 onde m no somatório somente deve ser computado, caso exista uma barra m que tenha ligação com a barra k. Caso cotrário, a admitância Y km = 0.

3 4.. DETERMINAÇÃO DAS EQUAÇÕES DO FLUXO DE CARGA 53 A equação (4.1) pode ser colocada em uma outra forma, a qual é mais adequada para ser utilizada no cálculo da potência injetada na barra. Ou seja: I k = NB (G km + jb km )V m θ m (4.) m=1 onde Y km foi desmembrado nas suas respectivas componentes real e imaginária e a tensão de barra foi colocada na sua forma complexa polar V m θ m. A injeção de potência na barra k é: S k = V k I k = V k NB m=1 A expressão anterior pode ser rearranjada, ficando: (G km jb km )V m θ m, k = 1,...,NB (4.3) resultando em NB S k = V k (G km jb km )V m (θ k θ m ), k = 1,...,NB (4.4) m=1 NB NB S k = V k V m [G km cosθ km + B km senθ km ]+ jv k V m [G km senθ km B km cosθ km ] (4.5) m=1 m=1 onde θ km = θ k θ m é a abertura angular entre as barras k e m. Da expressão (4.5), separando as partes real e imaginária de S k = P k + jq k, tem-se as seguintes parcelas das potências ativa e reativa: NB P k = V k V m [G km cosθ km + B km senθ km ] (4.6) m=1 NB Q k = V k V m [G km senθ km B km cosθ km ] (4.7) m=1 A potência injetada S k é a composição de uma demanda de carga na barra, S Ck, e/ou de geração, S Gk, tendo como resultado, então, a potência líquida S k = S Gk S Ck, já comentada antes. Essa relação com a potência injetada na barra é importante para o entendimento a respeito dos tipos de barras que será visto a seguir.

4 54 4. FLUXO DE CARGA EM REDES CA 4.3 TIPOS DE BARRAS As injeções de potência em uma barra k podem ser explicadas pela introdução de duas variáveis P k e Q k, que dependem das tensões das barra k e daquelas as quais essa barra apresenta conexão. Em uma barra k pode haver tanto geração, quanto carga. Então, a composição das potências pode ser interpretada como contribuições desses dois tipos de injeção de potência. Para o caso de geração, a potência é convencionada como positiva. Ao contrário, para a carga, que é um elemento que sempre absorve potência ativa, a injeção é considerada negativa. Assim, na situação de uma barra que apresenta geração e carga, a potência injetada na barra k é P k = P Gk P Ck, onde P Gk é a potência ativa gerada e P Ck é a potência ativa absorvida pela carga. Por exemplo, se em uma barra dessa natureza há geração de 50 MW e uma carga de 30 MW, a potência injetada na barra é +0 MW. O mesmo raciocínio é aplicado ao caso da potência reativa. Ou seja, Q k = Q Gk Q Ck, onde Q Gk é a potência reativa gerada e Q Ck é a potência reativa absorvida pela carga (no caso da carga ser capacitiva, ela fornece potência reativa para a barra e neste caso Q Ck < 0). As equações básicas para o fluxo de carga são aquelas definidas em (4.6) e (4.7). Como para cada barra só é possível tirar duas equações e o número de incógnitas é superior a esse limite, algumas incógnitas na barra são fixadas, deixando evidente a necessidade de caracterizar cada barra do sistema, conforme será definido mais adiante. Para análise de um sistema elétrico de potência em regime permanente, são necessários alguns dados básicos. Dados da rede - parâmetros de linhas de transmissão e de transformadores (R, X, b sh, tap, potência nominal de transformadores e topologia da rede). Dados de carga - potência ativa e reativa de cargas em todos os barramentos (quando não há carga, esses parrâmetros são nulos). Dados de geração - despacho de geração e tensão que se estabelece para o controle da tensão da barra onde está o gerador ou outra indicada pelo usuário. Dados de barra - tensões nominais de todas as barras e outras informações de interesse. Para caracterizar a topologia da rede é necessário apresentar apenas os dados de seqüência positiva, pois tem-se interesse nos resultados considerando uma rede equilibrada. A solução das equações básicas do fluxo de carga permite obter:

5 4.3. TIPOS DE BARRAS 55 Tensões em toda a rede. Ajuste de taps dos transformadores. Carregamentos dos equipamentos e interligações. Perdas ativa e reativa. Potência reativa fornecida ou absorvida pelos geradores. É usual em um sistema elétrico de potência se dividir as barras em três tipos, em função de duas das variáveis que devem ser especificadas. BARRA tipo 1 ou de carga ou PQ - são fixadas a potência ativa e reativa da carga. São calculadas a magnitude da tensão de barra e a fase. Em cada barra de carga são obtidas duas equações. BARRA tipo ou de geração ou PV - são fixads a potência ativa do gerador e a magnitude da tensão. A fase da tensão é a incógnita que se calcula. Nesse tipo de barra é obtida uma única equação. BARRA tipo 3 ou swing ou V θ - são fixadas a magnitude da tensão e a fase. Assim, nenhuma equação deve ser utilizada para fins de cálculo das tensões de barra. Adota-se uma única barra swing em um sistema síncrono. É o gerador localizado nessa barra que absorve os desvios de potência necessários para atender a rede. Por isso, essa barra deve ser escolhida de modo que nela haja uma usina que tenha elevada disponibilidade de potência. Seja o caso em que um sistema elétrico apresente 100 barras, das quais 70 são de carga. Neste caso, a quantidade de equações necessárias para calcular todas as tensões no sistema será 70+9 = 169. Caso em uma mesma barra do sistema houver geração e carga, e a tensão nessa barra é controlada pelo gerador (magnitude constante), então essa barra é caracterizada como de geração. Os valores da potência ativa e reativa da carga devem ser convenientemente agregados aos respectivos valores de potência de geração.

6 56 4. FLUXO DE CARGA EM REDES CA Aplicação ao Problema de Fluxo de carga considere o exemplo descrito a seguir. EEMPLO O sistema abaixo de três barras (Figura 4.) opera em regime permanente. Apresente as equações do problema do fluxo de carga e indique as variáveis que devem ser calculadas em cada barra, considerando tensões e potências injetadas na barra. Os dados do sistema são fornecidos a seguir. Impedância das interligações: z 1 = j0,1 pu; z 3 = 0,05+ j0,10 pu. Dados das cargas - carga : 50 MW e 30 MVar indutivo; carga 3: 60 MW e 30 MVar indutivo. Geração ativa fixada na barra 3 em 80 MW, operando com 1,05 pu. A barra 1 é a swing e sua tensão é fixada em 1,0 pu e fase 0 o. Considere base 100 MVA de potência. Figura 4. Sistema exemplo com três barras SOLUÇÃO As admitâncias da interligação são: g 1 = j0,1 1 = j10 pu e g 1 3 = 0,05+ j0,1 = 4 j8 pu. Não foi indicado nenhuma admitância shunt. Logo é possível montar a matriz de admitância nodal com apenas as duas admitâncias das duas interligações. Além dos elementos próprios Y 11, Y, e Y 33, a matriz Y BUS terá os seguintes elementos não-nulos: Y 1 e Y 3. O cálculo desses elementos ocorre como segue.

7 4.3. TIPOS DE BARRAS 57 Y 11 = j10 pu; Y = j10+(4 j8) = 4 j18 pu; Y 33 = 4 j8 pu Y 1 = j10 pu; Y 3 = 4+ j8 pu Descreve-se agora o procedimento para obtenção das equações e incógnitas de interesse. Inicialmente, o objetivo é calcular a magnitude e a fase da tensão, em cada barra do sistema, a menos daquelas grandezas já fixadas. Barra 1: é a barra swing do sistema. Por essa razão devemos especificar a magnitude e fase da tensão. Neste caso, V 1 = 1,0 0 o. Portanto, nenhuma equação precisa ser gerada para fins de cálculo de tensão. Barra : é uma barra de carga. É especificada tanto a potência ativa, quanto a potência reativa da carga. Precisa ser gerado um conjunto de duas equações de balanço de potência. A barra contribui com as incógnitas magnitude da tensão V e a fase θ. Barra 3: é uma barra de geração. Neste caso, é especificada a potência ativa e a magnitude da tensão V 3. Embora uma carga esteja ligada na barra, a tensão nessa barra é controlada pelo gerador, caracterizando assim uma barra de geração. A injeção de potência ativa na barra é P 3 = P G3 P C3. Como a magnitude da tensão nesse tipo de barra é fixada, a única incógnita a ser determinada é o ângulo θ 3 da tensão. Desse modo, uma única equação nessa barra é formada. As equações para o sistema do exemplo são as seguintes: Barra P C = V V (G )+V V 1 (G 1 cosθ 1 + B 1 senθ 1 )+V V 3 (G 3 cosθ 3 + B 3 senθ 3 ) (4.8) Q C = V V ( B )+V V 1 (G 1 senθ 1 B 1 cosθ 1 )+V V 3 (G 3 senθ 3 B 3 cosθ 3 ) (4.9) Barra 3 P G3 P C3 = V 3 V 3 (G 33 )+V 3 V (G 3 cosθ 3 + B 3 senθ 3 ) (4.10) Para a situação dos dados fornecidos no exemplo, temos as seguintes equações: Barra 0,5 = 4V +V 1,05( 4cosθ 3 + 8senθ 3 )+V 1(0 cosθ + 10senθ ) (4.11) 0,3 = 18V +V 1,05( 4senθ 3 8cosθ 3 )+V 1(0 senθ 10cosθ ) (4.1)

8 58 4. FLUXO DE CARGA EM REDES CA Barra 3 0,8 0,6 = 4 1,05 + 1,05 V ( 4cosθ 3 + 8senθ 3 ) (4.13) Diante dos resultados anteriores, obtém-se um sistema de equações não-linear com três equações e três incógnitas. O sistema de equações é o apresentado a seguir. 0,5 = 4V 4,V cos(θ θ 3 )+8,4V sen(θ θ 3 )+10V senθ (4.14) 0,3 = 18V 4,sen(θ θ 3 ) 8,4V cos(θ θ 3 ) 10V cosθ ) (4.15) 0, = 4,41 4,V cos(θ 3 θ )+8,4V sen(θ 3 θ ) (4.16) Evidentemente, a solução do sistema de equações (6.1) a (6.3) não é trivial, visto que se trata de sistema não-linear. Para solucioná-lo, são utilizados métodos iterativos, onde o mais empregado é o método de Newton-Raphson. Mesmo esse método precisa de uma solução inicial adequada (ponto de partida inicial) para que o resultado convirja para uma solução. A convergência pode vir a falhar para esse "chute"inicial. Acontecendo tal situação, pode-se tentar um outro ponto inicial. Não havendo convergência, ou o ponto de partida está muito distante da solução que se almeja, ou simplesmente a convergência é inviável. Nessa situação, pode ser que o sistema esteja inadequadamente ajustado, ou parâmetros incorretos para o sistema em análise estão sendo utilizados. Por exemplo, passagem de fluxo de potência por um transformador ou linha cuja capacidade foi exageradamente ultrapassada (sobrecarga excessiva). Um ponto de partida usualmente adotado para as tensões nos barramentos é o que considera magnitude 1,0 pu nas barras de carga (flat starting) e fase 0 o. Uma outra alternativa utilizada é considerar algumas iterações que servem como refinamento do ponto de partida inicial. O método utilizado nesse caso é o de Gauss-Seidel. O resultado do procedimento iterativo do método de Gauss-Seidel é utilizado pelo método de Newton-Raphson como ponto de partida. Na seção que se segue será vista a técnica de Newton-Raphson para a solução de um sistema não-linear de equações e em seguida a sua aplicação ao problema de fluxo de carga.

9 4.3. TIPOS DE BARRAS 59 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Considere um transformador trifásico com tap no lado de baixa tensão, cuja potência nominal é igual a 300 MVA e que apresenta nominalmente relação de tensões de linha 13,8kV/500kV. A sua reatância para o tap nominal é igual a 8 % na base do transformador. Considerando uma base de potência igual a 100 MVA e 13,8 kv no lado de baixa tensão, responda os itens a seguir. a) Calcule o modelo equivalente do transformador, em pu da base apresentada, considerando que o tap foi ajustado para operar 1 % abaixo da tensão nominal. Neste caso, se o transformador operar a vazio, e for aplicada uma tensão de 13, kv no lado de baixa tensão, determine a tensão no lado de alta. b) No item a), calcule a corrente no lado de baixa tensão e a tensão de operação necessária para alimentar uma carga conectada no lado de alta com tensão nominal, que absorve potência ativa igual a 00 MW com fator de potência indutivo igual a 0,9. c) Refazer os itens a) e b) considerando que o tap do transformador foi ajustado para operar 10 % acima do seu valor nominal. ) Considere que três barras em um sistema que opera em 60 Hz estão interconectadas da seguinte forma: entre a barra 1 e, existe uma linha de transmissão cujos parâmetros são R=0,05 ohm/km, X=0, ohm/km e C=0,5 nf/km. Entre a barra e a 3, foi conectado o transformador descrito no problema 1, com o tap ajustado em 10 % acima do valor nominal. Considerando que em todas as barras exista uma carga conectada, responda os itens a seguir. a) Considere que a linha apresenta valores nominais para a tensão de 500 kv e que tem 150 km. Supondo uma base comum de tensão 13,8 kv no lado de baixa do transformador e de potência igual a 100 MVA, determine o circuito elétrico equivalente da rede elétrica em pu da base fornecida. b) Considere as informações do item a) para responder os subitens que se seguem. b.1) Determine a matriz de admitância nodal (Ybus) do sistema elétrico. b.) Determine a capacidade máxima de transmissão da linha de transmissão e do transformador. b.3) Considerando que a linha apresenta tensão nominal nas duas extremidades, calcule a potência reativa que ela gera nessas condições. b.4) Suponha que as tensões nos barramentos são as seguintes: barra 1, 500 kv e fase -35 graus; barra, 50 kv e fase -1 graus; barra 3, 13,4 kv e fase igual a graus. Calcule as distribuições de fluxo de potência ativa e reativa no transformador e na linha.

10 60 4. FLUXO DE CARGA EM REDES CA Determine as correntes que saem de cada equipamento nessa condição de operação. Considere o sistema elétrico esboçado na Figura 4.3 para responder os exercícios adiante. Figura 4.3 Sistema exemplo com seis barras Os dados do sistema são os seguintes: Transformador T1: 150 MVA, x = 10%. Este transformador apresenta tap; Transformador T: 100 MVA, x = 10% LT1: R = Ω, C = 100 nf, reatância série X = 18 Ω; LT: R = 1 Ω, C = 0, reatância série X = 8 Ω; LT3: R = 0,5 Ω, C = 0, reatância série X = 4 Ω; Carga da barra 3: 90 MW e 40 MVar indutivo Carga da barra 4: 60 MW e 30 MVar capacitivo

11 4.3. TIPOS DE BARRAS 61 O gerador G1 está conectado à barra swing e apresenta tensão V = 1 pu e fase zero graus. O gerador G opera com V = 1,0 pu e fornece potência ativa de 70 MW. Suponha que o sistema funcione à freqüência de 60 Hz e considere base de potência igual a 100 MVA para conversão dos dados em pu. 3) Considerando o transformador T1 operando com tap nominal, determinar: a) as grandezas e parâmetros em pu da rede. Adote tensão base igual a nominal em todas as barras. b) a matriz de admitância de barra (Ybus) para o sistema. c) as tensões de operação (magnitude e fase) em cada barra do sistema; d) as potências ativa e reativa fornecidas pelos geradores, bem como os fluxos ativo e reativo na entrada de cada linha e de cada transformador. Considerar a representação em pu do sistema obtida no item a) para desenvolvimento dos cálculos. 4) Repetir os cálculos do exercício 3), mas agora considerando outras duas situações de operação do transformador T1 (supostas dentro da faixa de taps mínimos e máximo): a) tap ajustado em 0,95 pu; b) tap ajustado em 1,03 pu. 5) Calcular a capacidade máxima de transmissão da linha, considerando apenas sua reatância e tensões nominais nas suas duas extremidades.

12 6 4. FLUXO DE CARGA EM REDES CA 4.4 O MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Considere um conjunto de equações do tipo: f 1 (x 1,x,...,x n ) = 0 f (x 1,x,...,x n ) = 0. f n (x 1,x,...,x n ) = 0 O mesmo conjunto de equações pode ser colocado em uma forma matricial como: f(x) = 0 (4.17) A expressão de f(x) na equação (4.17) pode ser expandida em uma série de Taylor em torno de um ponto de operação x (0). Considere nessa aproximação apenas a parte linear, sendo, portanto, desprezados os termos de ordem superior da série. Assim, a expressão (4.17) é apresentada como: f(x (0) + x) f(x (0) )+ f(x) x x (0) x = 0 (4.18) O termo f(x) x x (0) na equação (4.18), quando f(x) é uma função multivariável, é uma matriz quadrada n n denominada matriz Jacobiana. Calcular as raízes da equação (4.17) consiste em se determinar incrementos x na equação linear (4.18), em um processo iterativo, cujo ponto de partida é x (0). O método de Newton-Raphson possibilita o cálculo das raízes do conjunto de equações, a partir do ponto x (0), que é inicialmente estipulado pelo usuário. Caso a função em x (0) seja nula, o ponto x (0) é o próprio conjunto solução de (4.17). No entanto, tal chute dificilmente acontece dessa forma. O mais provável é que f(x (0) ) seja diferente de zero. O valor f(x (0) ) é chamado de resíduo (mismatch). Se ele for diferente de zero, pode ser utilizado para o cálculo futuro do desvio x da raiz em relação ao ponto x (0), suposto anteriormente como raiz. Então, uma raíz atualizada é calculada em um novo ponto de operação, designado como x (1), a partir do cálculo de x (1) = x (0) + x (0). Caso novamente o valor absoluto do resíduo f(x (1) ) resulte não-nulo, e uma determinada tolerância foi alcançada, nova iteração deve ser efetuada. Agora, considerando x (1) como ponto de operação. Desse modo, um novo ponto de operação x () seria buscado através de x () = x (1) + x (1). O procedimento continua até que uma soluçaõ seja encontrada ou o método divirja, mediante observação de critéiro de parada do algoritmo, o qual pode ser monitorado através do valor absoluto do resíduo do maior elemento de f(x), durante a

13 4.4. O MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 63 iteração. Ou monitorando-se a convergência por meio do valor absoluto do desvio x, também em cada iteração. Em resumo, o método de Newton-Rapson consiste em se efetuar os seguintes passos: i) estabelecer um ponto de operação inicial x (0), fixar k = 0 (k é um contador de iterações) e definir uma tolerância de convergência ε > 0, suficientemente pequena; ii) calcular o valor da função f(x (k) ) da iteração k; iii) caso a norma de f(x (k) ) seja inferior a uma tolerância ε, o processo convergiu e x (k) representa a solução de (4.17) e o processo iterativo é concluído. Caso contrário, ir para o passo iv). iv) calcular o incremento x (k) por meio da expressão (4.18) da seguinte forma: [ ] f 1 x (k) = x x (k) f(x (k) ) e determinar x (k+1) como x (k+1) = x (k) + x (k) v) verificar se δ = x (k+1) x (k) < ε. Caso isto ocorra, x (k) é admitida como raíz e o processo iterativo pára. Senão, incrementar k e retornar ao passo ii), se o número de iterações estabelecido pelo usuário não foi ultrapassado. A norma euclidiana de um vetor de dimensão n (ou seja, x = onde x (k) i é um elemento do vetor) é dada por x = [ ] x (k) 1 x (k)... x (k) T n, (x (k) 1 ) +(x (k) ) +...+(x (k) n ). Antes da aplicação do método de Newton-Raphson ao problema de fluxo de carga, considere um exemplo que consiste em se determinar a solução de um sistema não-linear de equações que é representado pelas equações a seguir. f 1 (x 1,x ) = 10x 1 10x 1cos(x )+0,5 = 0 f (x 1,x ) = 10x 1 sen(x )+0,3 = 0 Para esse sistema de equações, supõe-se como ponto de partida para o método de Newton-Rapson x (0) 1 = 1 e x (0) = 0. O valor de x, para efeito de cálculo, deve ser considerado em radianos. Ou seja o vetor inicial é x (0) = [1 0] T. Os valores das funções no ponto x (0) são f 1 (x (0) ) = 0,5 e f (x (0) ) = 0,3. Logo, o resíduo f(x (0) ) é diferente de zero.

14 64 4. FLUXO DE CARGA EM REDES CA Deve-se buscar uma nova aproximação para a raíz, utilizando a equação (4.18). Para essa finalidade, é necessário calcular a matriz Jacobiana. Essa matriz para as equações referentes a f 1 (x) e f (x) é: [ ] f(x) J = = x [ f1 (x) x 1 f (x) x 1 f 1 (x) x f (x) x ] Considerando o exposto, a matriz Jacobiana para o nosso exemplo será: [ ] f(x) = x A avaliação de J no ponto inicial x (0), [ 0x1 10cos(x ) 10x 1 sen(x ) 10sen(x ) 10x 1 cos(x ) [ ] f(x) J = = x [ ] ] Diante desse resultado, x (0) = J 1 f(x (0) ). Então [ x1 x ] [ 10 0 = 0 10 ] 1 [ 0,5 0,3 ] = [ 0,05 0,03 ] Assim, encontra-se x (1) 1 = 1,0+( 0,05) = 0,95. A outra variável será x (1) = 0,0+ ( 0, 03) = 0, 03. Busca-se então reavaliar a função f(x) nesse novo ponto de operação. Verifica-se que nessa nova condição, f 1 (x (1) 1 ) = 0,093 e f (x (1) 1 ) = 0,015. Esses dois valores são diferentes de zero. Desse modo, o processo iterativo deve continuar, porque a tolerância esperada não foi atingida. Deve-se calcular a nova Jacobiana, considerando agora o ponto x =[0,95 0,03] T. A nova matriz Jacobiana é: [ ] 9,0045 0,850 J = 0, , 4957 O incremento em x para essa iteração será: [ x1 x ] [ 9,0045 0,850 = 0, , 4957 ] 1 [ 0,093 0, 0150 ] = [ 0,0033 0, 0017 ]

15 4.4. O MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 65 Assim, os valores atualizados das variáveis são: x () 1 = 0,95+( 0,033) = 0,9467 e x () = 0,03+( 0,0017) = 0,0317. Recalculando os valores de f(x) nesses novos valores, são encontrados: f 1 (x) = 1, e f (x) = 5, Observe-se que esses valores já são inferiores em relação a uma tolerância ε = 10 3, mesmo considerandose o pior resíduo. Por outro lado, efetuando-se nova iteração, será obtido um refinamento que resulta em x = [ 0, , ] T, que leva a um valor de x com maior precisão. Seja novamente o conjunto de equações não-lineares resultante do fluxo de carga no sistema de três barras abordado antes, considerando o despacho de geração dos geradores e das cargas. As funções f(x) associadas ao sistema de três barras são: f 1 (x) = 4V 4,V cos(θ θ 3 )+8,4V sen(θ θ 3 )+10V senθ + 0,5 f (x) = 18V 4,V sen(θ θ 3 ) 8,4V cos(θ θ 3 ) 10V cosθ + 0,3 f 3 (x) = 4,V cos(θ 3 θ )+8,4V sen(θ 3 θ )+(4,41 0,) Resta agora calcular a matriz Jacobiana associada ao sistema, matriz essa que será utilizada no processo iterativo. As derivadas parciais para o sistema são as seguintes: f 1 (x) V = 8V 4,cos(θ θ 3 )+8,4sen(θ θ 3 )+10sen(θ ) f 1 (x) θ = 4,V sen(θ θ 3 )+8,4V cos(θ θ 3 )+10V cos(θ ) f 1 (x) θ 3 = 4,V sen(θ θ 3 ) 8,4V cos(θ θ 3 ) f (x) V = 36V 4,sen(θ θ 3 ) 8,4cos(θ θ 3 ) 10cos(θ ) f (x) θ = 4,V cos(θ θ 3 )+8,4V sen(θ θ 3 )+10V sen(θ ) f (x) θ 3 = 4,V cos(θ θ 3 ) 8,4V sen(θ θ 3 ) f 3 (x) V = 4,cos(θ 3 θ )+8,4sen(θ 3 θ ) f 3 (x) θ = 4,V sen(θ 3 θ ) 8,4V cos(θ 3 θ ) f 3 (x) θ 3 = 4,V sen(θ 3 θ )+8,4V cos(θ 3 θ ) Seja o vetor x definido como x = [V θ θ 3 ] T. Seja também o vetor correspondente ao valor das funções em um determinado ponto de operação x da seguinte forma

16 66 4. FLUXO DE CARGA EM REDES CA f = [ f 1 f f 3 ] T. Para o vetor x (0) da iteração inicial, "chuta-se"os seguintes valores: V (0) = 1,0 pu; θ (0) = 0 o e θ (0) 3 = 0 o. Enfatiza-se que os valores dos ângulos, para efeito de cálculo, devem ser considerados em radianos (transformar um valor de graus para radianos, consiste em se multiplicar o valor em graus pelo fator 180 π. No caso da transformação inversa, que é mais adequada para a apresentação dos resultados, basta multiplicar o valor em radianos por 180 π. Para efeito de apresentação dos resultados, será mostrado a seguir um programa em Matlab para realizar os cálculos referentes à resolução do sistema não-linear de equações. Os resultados são exibidos de modo seqüencial, tal como eles surgem na execução da rotina numérica descrita a seguir. % Rotina para cálculo da solução de um sistema não-linear % pelo método de Newton-Raphson clear all x1 = 1.0; x = 0.0; x3 = 0.0; % ponto de operação de partida (chutado) x0 = [x1;x;x3]; % Estamos chamando x1 = V; x = teta; e x3 = teta3; epson = 1.0e 4; % tolerância para convergência delta = 1; % parâmetro para controle da convergência maxiteracoes = 10; % número máximo de iterações admitidas iteracao = 0; while delta > epson % calcular as funções f1 f e f3 com relação ao ponto x = [x1;x;x3] x1 = x0(1); x = x0(); x3 = x0(3); disp( iteração ) iteracao f 1 = 4 x1 ( ) 4. x1 cos(x x3) x1 sin(x x3) + 10 x1 sin(x) + 0.5; f = 18 x1 ( ) 4. x1 sin(x x3) 8.4 x1 cos(x x3) 10 x1 cos(x) + 0.3; f 3 = 4. x1 cos(x3 x)+8.4 x1 sin(x3 x)+4.1; f = [ f 1; f ; f 3] % vetor f, que guarda os valores da função % calcular a matriz Jacobiana J disp( Matriz Jacobiana da iteração ) J11 = 8 x1 4. cos(x x3)+8.4 sin(x x3)+10 sin(x); J1 = 4. x1 sin(x x3)+8.4 x1 cos(x x3)+10 x1 cos(x); J13 = 4. x1 sin(x x3) 8.4 x1 cos(x x3); J1 = 36 x1 4. sin(x x3) 8.4 cos(x x3) 10 cos(x); J = 4. x1 cos(x x3)+8.4 x1 sin(x x3)+10 x1 sin(x); J3 = 4. x1 cos(x x3) 8.4 x1 sin(x x3);

17 4.4. O MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 67 J31 = 4. cos(x3 x)+8.4 sin(x3 x); J3 = 4. x1 sin(x3 x) 8.4 x1 cos(x3 x); J33 = 4. x1 sin(x3 x)+8.4 x1 cos(x3 x); J = [J11 J1 J13; J1 J J3; J31 J3 J33] pause % - cálculo do incremento do valor de x fixado na iteração Dx = inv(j) f % - atualização do valor de x disp( Valor atualizado de x devido ao cálculo de Deltax ) x = x0+dx % - armazena os valores de x em x0 para efetuar nova iteração delta = norm(dx); % calcula a norma do vetor diferença x x0 x0 = x; disp( delta - controle de convergência e de iterações ) delta iteracao=iteracao+1 pause if iteracao > maxiteracoes disp( Não houve convergência para o numero de iterações fixado ) break end end % fim do loop while A seguir é apresentado o resultado obtido pelo programa. Foi estabelecido tolerância de convergência ε = 10 4 para a norma dos desvios de x. A Figura 4.4 mostra uma síntese dos resultados ao final do processo de convergência. Houve convergência do processo iterativo já na segunda iteração, não sendo necessária a terceira. Observa-se ao final que a convergência para a tolerância estabelecida ocorre com apenas três iterações.

18 68 4. FLUXO DE CARGA EM REDES CA Figura 4.4 Resultados ao final da iteração

19 4.5. MATRIZ JACOBIANA NO PROBLEMA DE FLUXO DE CARGA MATRIZ JACOBIANA NO PROBLEMA DE FLUXO DE CARGA No problema de fluxo de carga, o objetivo inicial é calcular os estados do sistema - magnitude das tensões de barra V i e fase θ i, resolvendo o sistema não-linear de equações definido a seguir. P k (V,θ) {}}{ NB 0 = P k esp + V k V m (G km cos(θ km )+B km sen(θ km )) = P k (V,θ) (4.19) m=1 NB 0 = Q k esp +V k V m (G km sen(θ km ) B km cos(θ km )) = Q k (V,θ) (4.0) m=1 } {{ } Q k (V,θ) Observe-se que em (4.19) e (4.0) P k (V,θ) e Q k (V,θ) correspondem aos resíduos da solução, a cada iteração, das equações não-lineares. As duas equações (4.19) e (4.0) estão presentes em barras de carga (tipo PQ). Contudo, nas barras de geração (tipo PV) são necessárias apenas equações na forma indicada por (4.19). Note-se que P k (V,θ) e Q k (V,θ) são calculados como: P k (V,θ) = P k esp + P k (V,θ) (4.1) Q k (V,θ) = Q k esp + Q k (V,θ) (4.) onde P k esp e Q k esp são a potência ativa e reativa injetada na barra, respectivamente. P k esp e Q k esp são termos constantes, pois são valores especificados. Para resolução do sistema de equações (4.19) e (4.0), fazemos uso da matriz jacobiana, que será inserida no problema adiante. Para compreensão do processo de resolução do problema de equações não-lineares, considere que se queira calcular as raízes associadas às equações não-lineares, a partir de uma solução inicial desconhecida, obtida por meio de uma estimativa; e por meio de uma aproximação linear, na iteração (i). Desta forma, é possível escrever o novo sistema de equações da seguinte forma:

20 70 4. FLUXO DE CARGA EM REDES CA P k (V (i),θ (i) ) = Q k (V (i),θ (i) ) = NB NB P k (V,θ) P θ m + m=1,m swing θ m k (V,θ) V j (4.3) j=1, j barra PQ θ j NB NB Q k (V,θ) Q k (V,θ) θ m + m=1,m swing θ m V j (4.4) j=1, j barra PQ θ j Os mismatches (desvios) do valor exato em relação ao valor aproximado na iteração (i) são definidos de acordo com as expressões (4.1) e (4.) para as potências ativa e reativa, respectivamente. Quando o número de iteração é incrementado, havendo convergência, os valores absolutos dos mismatches tendem a zero. Como buscam-se raízes numéricas, aceita-se que em uma determinada iteração, quando máximo( P (i) k, Q(i) k ) < ε, sendo ε > 0 e suficientemente pequeno, por exemplo, 10 3, as raízes (V (i),θ (i) ) satisfaçam a solução do problema. Portanto, para cada iteração (i), e um ponto de operação (V (i),θ (i) ), deve-se calcular os desvios V (i) e θ (i) como segue. [ θ (i) V (i) ] = [ P(V,θ) θ Q(V,θ) θ P(V,θ) V Q(V,θ) V ] 1[ P (i) Q (i) ] [ H N = M L ] 1 [ P (i) Q (i) onde H, N, M e L são submatrizes da matriz Jacobiana; o vetor θ (i) (deve-se excluir a barra swing) é [ ] θ (i) = θ (i) 1 θ (i) T... θ(i) NB o vetor de tensões (somente barras PQ) é [ V (i) = V (i) 1 V (i)... V(i) NB P (i) é o vetor dos mismatches em cada barra de carga e de geração; e Q (i) k é o vetor dos mismatches em cada barra de geração. As submatrizes H, N, M e L dependem das derivadas de P k (V,θ) e Q k (V,θ) com relação às variáveis de estado. Por fim, para a iteração (i+1) as raízes são atualizadas da seguinte forma: θ (i+1) = θ (i) + θ (i) V (i+1) = V (i) + V (i) O cálculo das matrizes H, N, M e L deve ser considerado para a iteração (i). ] T ]

21 4.5. MATRIZ JACOBIANA NO PROBLEMA DE FLUXO DE CARGA Obtenção da Matriz H A matriz H é obtida a partir de derivadas de P k (V k,θ k com relação a θ m. A derivada indica a sensibilidade das potências ativa nas barras de carga e de geração em relação às variações dos ângulos das tensões de barra. As derivadas devem ser calculadas, a cada iteração i, para barras PQ e PV. Assim, se um sistema tiver 10 barras, sendo que em cinco delas há geração, a dimensão da matriz H será n H n H, onde n H = n PQ + n PV = 5+(5 1) = 9. Note-se que uma das barras onde há geração deve ser considerada como swing. As derivadas de P k com relação a θ m devem ser consideradas a partir da expressão (4.19) levando-se em conta as situações quando m = k e quando m k de formas distintas. Isto facilita o entendimento, porque as fases aparecem nas expressões na forma de abertura angular entre barras. No entanto, as derivadas são calculadas em relação a um determinado ângulo de fase, a cada vez. Situação em que m = k A potência P k, nesta situação, pode ser desmembrada da seguinte forma: P k (V,θ) = Vk G kk +V k NB m=1,m k V m (G km cos(θ k θ m )+B km sen(θ k θ m )) (4.5) Observe-se que dentro do somatório que aparece na expressão (4.5), não é incluído o termo no qual m = k. A expressão nessa forma é mais apropriada para se determinar as derivadas P k θ e P k k V. k A derivada de P k com relação à fase θ k é: P k (V,θ) θ k = V k NB m=1,m k V m ( G km sen(θ k θ m )+B km cos(θ k θ m )) = NB = V k V m (G km sen(θ km ) B km cos(θ km )) = m=1,m k Portanto H kk = V k B kk Q k (V,θ). = [ V k B kk + Q k (V,θ) ] (4.6)

22 7 4. FLUXO DE CARGA EM REDES CA Situação em que m k Nessa situação, pode ser mostrado que: P k (V,θ) θ m = V k V m (G km sen(θ km ) B km cos(θ km )) (4.7) Portanto, H km = V k V m [G km sen(θ km ) B km cos(θ km )] Matrizes N, M e L As demais submatrizes da Jacobiana são obtidas de modo semelhante ao procedimento adotado para se calcular H. Elementos da matriz N N km = P k(v,θ) V m = V k [G km cos(θ km )+B km sen(θ km )] (4.8) N kk = P k(v,θ) V k = V k G kk + P k(v,θ) V k (4.9) A matriz N tem o mesmo número de linhas da matriz H. Mas, o seu número de colunas é igual ao número de barras PQ. Isto se deve ao fato dessa matriz descrever a sensibilidade das potências ativas em relação às variações das magnitudes das tensões de barra, que naturalmente só variam nas barras de carga. Elementos da matriz M M km = Q k(v,θ) θ m = V k V m [G km cos(θ km )+B km sen(θ km )] (4.30) M kk = Q k(v,θ) θ k = V k G kk + P k (V,θ) (4.31) A matriz M descreve a sensibilidade das potências reativas nas barras de carga em relação aos ângulos das tensões de barra. Elementos da matriz L

23 4.5. MATRIZ JACOBIANA NO PROBLEMA DE FLUXO DE CARGA 73 L km = Q k(v,θ) V m = V k [G km sen(θ km ) B km cos(θ km )] (4.3) L kk = Q k(v,θ) V k = V k B kk + Q k(v,θ) V k (4.33) A matriz L descreve a sensibilidade das potências reativas nas barras de carga em relação às magnitudes das tensões nas barras de carga. EXEMPLO Apresente a estrutura das submatrizes H, N, M e L que formam a matriz Jacobiana do sistema caracterizado pelo diagrama unifilar da Figura 4.5. Indique por X o provável elemento não-nulo em cada matriz; e por 0 o elemento que for nulo. Considere que a barra 1 seja a swing. Figura 4.5 Sistema com quatro barras SOLUÇÃO Matriz H

24 74 4. FLUXO DE CARGA EM REDES CA A matriz H será calculada considerando a sensibilidade das potências ativas nas barras, 3 e 4 em relação a θ (coluna 1), θ 3 (coluna ) e θ 4 (coluna 4). Dessa forma X X X H = X X 0 X 0 X Matriz N A matriz N será calculada considerando a sensibilidade das potências ativas nas barras, 3 e 4 em relação a V (coluna 1) e V 4 (coluna ). Assim X X N = X 0 X X Matriz M A matriz M será calculada considerando a sensibilidade das potências reativas nas barras de carga (barras e 4) em relação a θ, θ 3 e θ 4. Dessa forma [ ] X X X M = X 0 X Matriz L A matriz L será calculada considerando a sensibilidade das potências reativas nas barras e 4 em relação a V e V 4. Assim [ ] X X L = X X No total, a matriz Jacobiana do problema de fluxo de carga é uma matriz quadrada, apresentando N = N PQ + N PV linhas e colunas. A matriz Jacobiana é não-singular, porque precisa ser invertida durante o processo iterativo para resolução do problema de fluxo de carga pelo método de Newton-Raphson. Portanto, calculada a matriz Jacobiana J, é possível calcular os incrementos θ (i) e V (i). Esses incrementos são então utilizados para atualização dos valores V (i) e θ (i) no método de Newton-Raphson, conforme algoritmo descrito a seguir. ALGORITMO 1 i) Definir um ponto de operação inicial V (0), θ (0) e fazer i = 0;

25 4.5. MATRIZ JACOBIANA NO PROBLEMA DE FLUXO DE CARGA 75 ii) calcular os desvios P(V (i),θ (i) ) e Q(V (i),θ (i) ); iii) verificar se os desvios absolutos calculados em ii) são inferiores a uma tolerância ε > 0. Caso afirmativo, parar: a convergência foi alcançada; caso contrário, prosseguir para o passo iv); iv) montar a matriz Jacobiana J a partir do cálculo das submatrizes H, N, M e L; v) calcular os incrementos V (i) e θ (i) ) por meio de [ θ (i) V (i) ] [ H N = M L ] 1 [ P (i) vi) atualizar as tensões e fases por meio de Q (i) ] V (i+1) = V (i) + V (i) θ (i+1) = θ (i) + θ (i) incrementar o contador i e retornar ao passo ii). = J 1 [ P (i) Q (i) ] EXEMPLO 4.5. Considere um sistema de duas barras, no qual na barra 1, está conectado um gerador. Esta barra é a swing do sistema, apresentando magnitude de tensão igual a 1 pu e fase zero. À barra é conectado um motor que absorve 0,3 pu de potência ativa. Essa barra é controlada (tipo PV), sendo a tensão controlada em 1,0 pu. A interligação entre as duas barras é realizada por meio de uma linha de transmissão cujos parâmetros são: R = 0,1 pu, X = 0,8 pu e carregamento igual a 0,05 pu. Determine o ângulo da tensão na barra, considerando uma tolerância de 0,001 para o desvio máximo do erro de potência após a convergência do problema de fluxo de carga. Após isso, calcule a potência injetada na barra swing, a potência reativa injetada na barra, e as perdas no sistema. SOLUÇÃO Inicialmente é necessário montar a matriz de admitância de barra (matriz Y BUS ). A partir das informações fornecidas, a impedância série da linha é Z 1 = 0,1 + j0,8 pu. Portanto, a admitância do ramo 1- é ȳ 1 = Z 1 = 1 1 0,1+ j0,8 = 0,1538 j1,308 pu.

26 76 4. FLUXO DE CARGA EM REDES CA Ao circuito equivalente da linha, no seu modelo em π, deve-se acrescentar as admitâncias ȳ sh = j b sh = j0,05 pu às duas extremidades da linha, devido ao carregamento. Com as informações anteriores, a matriz de admitância de barra do sistema é [ ] 0, j1,058-0, j1,308 Y BUS = -0, j1,308 0, j1,058 Desta forma, desmembrando Y BUS na forma de matriz de condutância G e de susceptância B, tem-se: [ ] 0,1538-0,1538 G = -0,1538 0,1538 [ ] -1,058 1,308 B = 1,308-1,058 O sistema apresenta apenas uma incógnita a ser determinada, que é o ângulo da barra, porque no global há apenas uma barra swing (cujo módulo da tensão e fase já são conhecidos) e uma barra PV, onde se tem apenas a magnitude da tensão conhecida. Para aplicar o Algoritmo 1, considere que P esp = 0,3 e suponha θ (0) = 0 radianos. Faça i = 0 e realize o processo iterativo para determinar o ângulo final. Lembre-se que V 1 = 1 pu, θ 1 = 0 radianos e V = 1 pu. iteração 0 - primeira iteração Calcular inicialmente o mismatch P (0). Para isto, torna-se necessário calcular P (V (0),θ (0) ). Para qualquer iteração tem-se: P (V,θ) = V V 1 [G (1) cosθ 1 + B (1) senθ 1 ]+V G () = Assim, com θ (0) = 0, tem-se: = 0,1538cosθ + 1,308senθ + 0,1538 P (V (0),θ (0) ) = 0,1538cosθ (0) + 1,308senθ (0) + 0,1538 = 0 Desta forma, obtém-se o mismatch: P (V (0),θ (0) ) = ( 0,3) 0 = 0,3 pu P (V (0),θ (0) ) > ε Assim, a iteração deve prosseguir.

27 4.5. MATRIZ JACOBIANA NO PROBLEMA DE FLUXO DE CARGA 77 Deve-se calcular somente a matriz H para este problema, pois a a única incógnita é a fase. Uma outra observação é que basta calcular o termo em que m = k de H, já que pretende-se calcular o próprio ângulo da barra. Neste caso, deve-se utilizar a expressão (4.6). Antes, deve ser calculada a potência reativa na barra. Ou seja Então Q (V,θ) = V V 1 [G (1) senθ 1 B (1) cosθ 1 ]+V ( B () ) = = 0,1538senθ 1,308cosθ + 1,058 na situação em que θ (0) = 0, Q (V (0),θ (0) ) = 0,05 pu. Desta forma H (0) = 1 ( 1,058) ( 0,05) = 1,308 θ (0) = (H (0) ) 1 P (0) = (0,3)/1,308 = 0,437 rad O ângulo atualizado na barra será: θ (1) = θ (0) + θ (0) = 0+( 0,437) = 0,437 rad Concluído o processo de cálculo na primeira iteração. Vamos avançar para a segunda iteração e fazermos i = 1. iteração 1 - segunda iteração Como primeiro procedimento, deve ser verificado se o mismatch é atendido com a variável previamente calculada. Com o valor de θ (1), tem-se: P (V (1),θ (1) ) = 0,1538cosθ (1) + 1,308senθ (1) + 0,1538 = 0,95 Desta forma, obtém-se o mismatch: P (V,θ (1) ) = ( 0,3) 0,95 = 0,0075 pu P (V,θ (1) ) > ε Novamente, a iteração deve prosseguir. Procedendo-se de modo semelhante para os cálculos de H (1) e θ(1), tem-se: H (1) = 1,1573 θ(1) = 0,0075/1,1573 = 0,0065 rad

28 78 4. FLUXO DE CARGA EM REDES CA O ângulo será atualizado como segue. θ () = θ (1) + θ (1) = 0,437+( 0,0065) = 0,50 rad É concluída, assim, a segunda iteração e parte-se para a terceira. iteração - terceira iteração Mais uma vez, como procedimento inicial da iteração, deve ser verificado se o ângulo calculado na iteração anterior já atende à tolerância ε = 0,001 estabelecida para o mismatch. Efetuando o cálculo, obtém-se: Desta forma, obtém-se o mismatch: P (V,θ () ) = 0,30001 P (V,θ () ) = ( 0,3) 0,30001 = pu P (V,θ () ) < ε Portanto, a convergência foi alcançada na segunda iteração, encontrando-se o ângulo θ de aproximadamente -0,50 rad ou 0, π = 14,33o. Nesse ponto, é possível calcular as potências injetadas nas barras e as perdas na linha. As potências injetadas nas barras são: P 1, P, Q 1, Q. Para o caso da barra, falta calcular Q, que é Q (V,θ) = 0,0514 pu.. A potência reativa injetada na barra 1 é calculada como: Q 1 (V,θ) = V 1 V [G (1) senθ 1 B (1) cosθ 1 ]+V 1 ( B (11)) = = 0,1538sen( θ ) 1,308cos( θ )+1,058 = 0,05 pu. O cálculo da potência ativa injetada na barra 1 leva ao seguinte resultado: P 1 (V,θ) = 0,1538cos( θ )+1,308sen( θ )+0,1538 = 0,3096 pu Tendo em vista as potências injetadas na barra 1, que é a swing, e que não existe carga naquela barra, então a potência gerada pelo gerador é igual a S G1 = 0,3096 j0, 05 pu. Essa é também a potência enviada para a linha a partir do terminal do gerador na barra 1. Por outro lado, na barra, a potência injetada é S G = 0,3000+ j0,0514 pu.

29 4.5. MATRIZ JACOBIANA NO PROBLEMA DE FLUXO DE CARGA 79 Como também não há carga nesta barra, S G é também a potência complexa enviada para a linha, a partir do terminal da linha localizado na barra. Somando-se as potências complexas que são enviadas em cada terminal da linha, obedecendo aos sinais adotados, obtêm-se as perdas na linha. Procedendo dessa forma, as perdas são: Sperdas (1) = S G1 +S G =(0,3096 0,3000)+ j( 0,05+0,0514) = 0,0096+ j0,064 pu Assim, as perdas ativa e reativa na linha são 0,0096 pu e 0,064 pu, respectivamente. EXEMPLO Considere que no exemplo 4.5. a barra onde está conectada a carga não seja mais controlada. A potência reativa absorvida pela carga é igual a 0,05 pu. Calcular a tensão na barra, bem como a potência gerada pela swing. SOLUÇÃO Neste exemplo, não há alteração na matriz Y BUS em relação ao exemplo anterior. portanto, É possível iniciar o processo iterativo para calcular os estados do sistema. Inicialmente, supõe-se que V (0) = 1 pu, θ (0) = 0 rad. Lembre-se que V 1 = 1 pu e θ 1 = 0 rad. iteração 0 - primeira iteração Calcular inicialmente os mismatches P (0) e Q (0). Entretanto, é preciso calcular antes P (V (0),θ (0) ) e Q (V (0),θ (0) ). Para qualquer iteração, tem-se: P (V,θ) = V V 1 [G (1) cosθ 1 + B (1) senθ 1 ]+V G () = = 0,1538V cosθ + 1,308V senθ + 0,1538V Q (V,θ) = V V 1 [G (,1) senθ 1 B (,1) cosθ 1 ]+V ( B (,)) = = 0,1538V senθ 1,308V cosθ + 1,058V Para θ (0) = 0, tem-se: P (V (0),θ (0) ) = 0

30 80 4. FLUXO DE CARGA EM REDES CA Desta forma, obtém-se o mismatch: P (V (0),θ (0) ) = ( 0,3)+0 = 0,03 pu P (V (0),θ (0) ) > ε Q (V (0),θ (0) ) = 0,05 pu Q (V (0),θ (0) ) = ( 0,05)+( 0,05) = 0,05 pu Q (V (0),θ (0) ) > ε Assim, a iteração deve prosseguir. Aqui é necessário calcular as matrizes H, N, M e L na situação em que m = k somente. Logo H (0) M (0) N (0) = V (0) B () Q (0) = 1,308 pu = V G () + P(0) = 0,1538 pu V (0) = V (0) G (,) + P (0) = 0,1538 pu = V B () + Q(0) L (0) V (0) = 1,1808 pu A matriz jacobiana J será: Os incrementos serão: [ θ (0) V (0) ] J (0) = [ 1,308 0,1538-0,1538 1,1808 = [ J (0) ] [ 1 0,30 0,05 A atualização das variáveis de estado será: ] = ] [ 0,37 0, 051 θ (1) = θ (0) + θ (0) = 0+( 0,37) = 0,37 rad ]

31 4.5. MATRIZ JACOBIANA NO PROBLEMA DE FLUXO DE CARGA 81 V (1) = V (0) + V (0) = 1 0,051 = 0,9479 pu iteração 1 - segunda iteração Para os valores das variáveis de estado determinados anteriormente, chega-se aos seguintes desvios de potência: P (1) = 0,03 pu e Q (1) = 0, 0337 pu. Claramente, esses valores não atendem ao mismatch fixado. Prosseguindo a iteração, são calculados os seguintes valores na iteração para os desvios da magnitude e fase da tensão na barra : θ (1) = 0,055 rad e V (1) = 0,0394 pu. Assim, as variáveis são atualizadas da seguinte forma: iteração - terceira iteração θ () = θ (1) + θ (1) = 0, 68 rad V () = V (1) + V (1) = 0,9085 pu. Na terceira iteração os desvios são: P () = 0,0019 pu e Q () = 0,005 pu. Assim, a convergência não foi alcançada. Na iteração seguinte a convergência é obtida, alcançando-se os seguintes mismatches: P (3) = 7, 10 6 pu e Q (3) = 7, pu. Portanto, o valor da magnitude da tensão V e do ângulo foram 0,906 pu e -0,647 rad, respectivamente. As potências injetadas nas barras são: P 1, P, Q 1, Q. Para o caso da barra, são: P (V,θ) = 0,3000 pu. Q (V,θ) = 0,0500 pu. A potência reativa injetada na barra 1 é calculada como: Q 1 (V,θ) = 0,093 pu. O cálculo da potência ativa injetada na barra 1 leva ao seguinte resultado:. P 1 (V,θ) = 0,3111 pu A potência injetada na barra 1, que é a swing, será S G1 = 0,3111+ j0,093 pu. Na barra, será S G = 0,3000 j0,0500 pu. As perdas na linha são:

32 8 4. FLUXO DE CARGA EM REDES CA Sperdas (1,) = S G1 +S G =(0,3111 0,3000)+ j(0,093 0,050) = 0,0111+ j0,0430 pu Assim, as perdas ativa e reativa na linha são 0,0111 pu e 0,0430 pu, respectivamente. EXERCÍCIOS PRPOSTOS 1) Repetir o exemplo 1, considerando injeção de potência na barra de -0,5 pu e tensão ajustada nessa barra em 1,03 pu. ) Repetir o exemplo para dois carregamentos distintos na barra : a) a carga foi ajustada de modo a absorver 0,45 pu de potência ativa e 0,10 pu de potência reativa; b) a carga foi ajustada para absorver 0,5 pu de potência ativa e gerar 0,10 pu de potência reativa. EXEMPLO 3.4 Considere o sistema de três barras da (Figura 4.6) já apresentado em capítulo anterior. Os dados do sistema são os seguintes: impedância das interligações - z 1 = j0,1 pu; z 3 = 0,05+ j0,10 pu. Dados das cargas: carga, de 50 MW e 30 Mvar indutivo; carga 3, de 60 MW e 30 MVar indutivo. Geração ativa fixada na barra 3 em 80 MW, operando com 1,05 pu. A barra 1 é a swing e sua tensão é fixada em 1,0 pu e fase 0 o. Considere base 100 MVA de potência. Suponha uma tolerância para a convergência de 0,001. Calcule os estados do sistema. Solução: A matriz Y BUS para esse sistema já foi calculada antes, sendo os seus elementos não-nulos repetidos a seguir, por conveniência. Y 11 = j10 pu; Y = j10+(4 j8) = 4 j18 pu; Y 33 = 4 j8 pu Y 1 = j10 pu; Y 3 = 4+ j8 pu Uma vez que a base do sistema é igual a 100 MVA, as potências injetadas nas barras do sistema, que não seja a swing, serão: P = 0,5 pu, Q = 0,3 pu; P 3 = = 0, pu. Vamos supor que as variáveis de estado desconhecidas assumam os valores de partida: V (0) = 1 pu, θ (0) = θ (0) 3 = 0 rad. Sabe-se ainda que V 1 = 1 pu, θ 1 = 0 rad e V 3 = 1,05 pu. Desta forma, pode-se iniciar o processo iterativo do método de Newton- Raphson.

33 4.5. MATRIZ JACOBIANA NO PROBLEMA DE FLUXO DE CARGA 83 Figura 4.6 Sistema exemplo com três barras iteração 0 - primeira iteração Vamos calcular inicialmente os mismatches associados às barras. Devem ser calculados P (0), Q(0) e P (0) 3. Para isto calculemos P (V (0),θ (0) ), Q (V (0),θ (0) ) e P 3 (V (0),θ (0) ). Para qualquer iteração tem-se: Barra P (V,θ) = P esp +V V (G, )+V V 1 (G,1 cosθ 1 +B 1 senθ 1 )+V V 3 (G,3 cosθ 3 +B 3 senθ 3 ) Q (V,θ) = Q esp +V V ( B, )+V V 1 (G,1 senθ 1 B 1 cosθ 1 )+V V 3 (G,3 senθ 3 B 3 cosθ 3 ) Barra 3 P 3 (V,θ) = P esp 3 +V 3 V 3 (G 3,3 )+V 3 V (G 3, cosθ 3 + B 3 senθ 3 ) Com os dados do sistema, são obtidas as seguintes equações: Barra P (V,θ) = ( 0,5)+4V +V 1,05( 4cosθ 3 +8senθ 3 )+V 1(0 cosθ +10senθ )

34 84 4. FLUXO DE CARGA EM REDES CA Q (V,θ) = ( 0,3)+18V +V 1,05( 4senθ 3 8cosθ 3 )+V 1(0 senθ 10cosθ ) Barra 3 P 3 (V,θ) = 0,+4 1,05 + 1,05 V ( 4cosθ 3 + 8senθ 3 ) Com os valores iniciais, encontram-se: P (V (0),θ (0) ) = 0, pu, P 3 (V (0),θ (0) ) = 0,1 pu e Q (V (0),θ (0) ) = 0,4 pu. Conseqüentemente, P (V (0),θ (0) ) = 0,3 pu, P 3 (V (0),θ (0) ) = 0,01 pu e Q (V (0),θ (0) ) = 0,1 pu. Esses valores não atendem ao mismatch estabelecido. Iteração 0 Deve-se calcular primeiramente a matriz Jacobiana J. As quatros matrizes componentes de J têm as estruturas apresentadas a seguir. [ ] H, H H =,3 H 3, H 3,3 [ ] N, N = N 3, M = [ M, M,3 ] L = [ L, ] A partir das matrizes apresentadas, fica evidente os casos em que m = k e m k no cálculo dos elementos das matrizes. Matriz Jacobiana da primeira iteração Aplicando-se as expressões para cálculo das matrizes H, N, M e L na primeira iteração são encontrados os seguintes resultados: [ ] 18,4 8,4 H = 8,4 8,4 [ ] 3,8 N = 4, M = [ 4, 4, ] L = [ 17,6 ] Tem-se então a seguinte matriz Jacobiana:

35 4.5. MATRIZ JACOBIANA NO PROBLEMA DE FLUXO DE CARGA 85 J (0) = 18,4 8,4 3,8 8,4 8,4 4, 4, 4, 17,6 Então agora são calculados os desvios das variáveis de estado da seguinte forma: θ (0) θ (0) 3 V (0) = [ J (0) ] 1 0,30 0,01 0,1 = 0, , 093 0, 0053 Com a atualização das variáveis, são encontrados os seguintes valores: iteração 1 θ (1) = 0,0308 rad θ (1) 3 = 0,093 rad V (1) = 1,0053 pu No início da segunda iteração, calculam-se os desvios de potência com os valores das variáveis de estado calculadas na primeira iteração. Com isto, encontram-se os seguintes desvios: P (V (1),θ (1) ) = 0,0015 pu, P 3 (V (1),θ (1) ) = 0,0001 pu e Q (V (1),θ (1) ) = 0, 0053 pu. Novamente, esses valores não atendem ao mismatch estabelecido. Prosseguindo então com os cálculos da iteração, determina-se a seguinte matriz Jacobiana: J (1) = 18, , , 54 8, , , , , , 808 Isto leva ao seguinte cálculo para os desvios das variáveis de estado θ (1) θ (1) 3 V (1) = [ J (1) ] 1 0, , , 0053 = 0, Com a atualização das variáveis, são encontrados os seguintes valores: θ () = 0,0307 rad θ () 3 = 0,093 rad V () = 1,0051 pu São encontrados os seguintes mismatches: