7.0 Representação Matricial de Redes P r o f. F l á v i o V a n d e r s o n G o m e s

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1 UIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA Análise de Sistemas Elétricos de Potência 7. Representação atricial de Redes P r o f. F l á v i o V a n d e r s o n G o m e s E - m a i l : f l a v i o. g o m e u f j f. e d u. b r E E 5 - P e r í o d o 2 2-3

2 . Visão Geral do Sistema Elétrico de Potência; 2. Representação dos Sistemas Elétricos de Potência; 3. Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados; 4. Revisão de Representação por unidade (PU); 5. Componentes Simétricas; Ementa Base 6. Cálculo de Curto-circuito Simétrico e Assimétrico; 7. Representação atricial da Topologia de Redes (barra, Zbarra); 2

3 Equivalência entre Fontes de Tensão e Corrente 3 As fontes de tensão e corrente são equivalentes

4 Equações odais da Rede: Exemplo 7.. Equações odais da Rede quando odelada por Admitância: 4 Figura 2.2: Sistema exemplo, onde E 3 representa um motor.

5 Equações odais da Rede: Exemplo Utilizando-se o modelo de cada elemento:

6 Equações odais da Rede: Exemplo 7.. Cada fonte de tensão em série com uma impedância foi transformada em uma fonte de corrente em paralelo com uma admitância e as impedâncias das linhas foram transformadas em admitâncias. 6

7 Equações odais da Rede: Exemplo 7.. 7

8 Equações odais da Rede: Exemplo Equações nodais do circuito:

9 Equações odais da Rede: Exemplo 7.. Agrupando-se os termos das equações para as barras, 2 e 3 vem: 9 Colocando-se as equações na forma matricial:

10 Equações odais da Rede: Exemplo 7..

11 Generalizando ª Lei de irchhoff I I + I + I i i i i2 Reescrevendo em função de e V I in n Ii ij( Vi V j ) + i j V i

12 Representação atricial de uma Rede 2 Sendo: n Ii ij( Vi V j ) + i j V i Desenvolvendo: n Ii 2 2 j ( i ) V + ( i ) V i + ij V i ( in ) V n

13 Representação atricial de uma Rede Portanto, para um SEP com barras, todas as tensões e correntes nodais são relacionadas pelo seguinte sistema matricial: Vetor I Vetor com as injeções de corrente em cada um dos nós da rede Vetor V Vetor com as tensões nodais da rede atriz bus ( barra ) É a matriz admitância nodal da rede. 3 V V V I I I & & & O & & & [ ] [ ] [ ] V I. BUS [ ] [ ] [ ] V I. BARRA

14 atriz Admitância odal (barra, bus) 4 V V V I I I & & & O & & & [ ] O BUS + n j ij i ii ik ik Elemento da Diagonal Principal: Somatório de todas as admitâncias conectadas à barra Elemento Fora da Diagonal egativo da admitância entre barras

15 Formação da atriz Admitância Contribuição de Elemento Série em bus: 5 I & pq pq V& pq V & pq z pq I& pq a posição PP e QQ (diagonal) + a posição PQ e QP (fora da diag.) pq pq [ BUS ] O 2

16 Formação da atriz Admitância 6 Contribuição de Elemento em Derivação em bus: I & V& p p p V & z I& p p p a posição PP (diagonal) + p as demais posições [ BUS ] O 2

17 atriz Admitância odal (barra, bus) A matriz busem SEP: Simétrica; Complexa; Quadrada de dimensão n, onde n é o número de barras (exceto ref.); Esparsa (>95%); Diagonal principal dominante 7 Elementos da diagonal principal kk são o somatório das admitâncias diretamente ligadas à barra; Elementos fora da diagonal principal kj : soma das admitâncias que ligam as barras k e j (sinal contrário).

18 atriz Impedância odal (Zbarra, Zbus) 8 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] I Z I V.. BUS BUS [ ] Z Z Z Z Z Z Z Z Z O O BUS Z Obs.: A obtenção direta dos elementos de Zbusnão é prática, sendo a seu cálculo através da inversa de bus mais conveniente.

19 atriz Impedância odal (Zbarra, Zbus) A matriz Zbusem SEP: 9 Simétrica; Complexa; Quadrada de dimensão n, onde n é o número de barras (exceto ref.); atriz cheia.

20 Exemplo 7..2 Escrever as equações nodais da rede na forma matricial, ou seja, escrever I barra * V para o sistema abaixo: 2

21 Exemplo 7..2 (Solução) Escrever o diagrama unifilar de impedâncias do circuito: 2

22 Exemplo 7..2 (Solução) 22 Cálculo dos parâmetros:

23 Exemplo 7..2 (Solução) Transformar todas as fontes de tensão em fontes de corrente: 23

24 ontagem da barra : Exemplo 7..2 (Solução) 24 O sistema de equações com a matriz admitância de barras:

25 Interpretação Física dos Elementos de Z barra Seja a equação que descreve o circuito: 25 Os elementos da matriz impedância de barra podem ser calculados pelo ensaio em circuito aberto onde: Z kk : impedância própria de circuito aberto da barra k; Z ik : impedância mútua de circuito aberto entre as barras i e k; Ensaio de circuito aberto na barra : fontes de corrente inoperantes ou mortas em todas as barras com exceção da barra, Tem-se portanto I 2 I 3

26 Interpretação Física dos Elementos de Z barra 26 Ensaio de circuito aberto na barra : fontes de corrente inoperantes ou mortas em todas as barras com exceção da barra, Tem-se portanto I 2 I 3 A expressão geral de cada elemento da matriz impedância de barra relaciona o efeito à causa e é:

27 Interpretação Física dos Elementos de barra e Z barra Se a corrente I (injetada na rede durante o ensaio) é de pu: 27 ou seja, os elementos da coluna são numericamente iguais às tensões. Z kk é a impedância equivalente da rede vista entre a barra k e a referência com as demais fontes de corrente inoperantes, ou seja, é a impedância do equivalente de Thèvenin:

28 Exemplo Resolva as equações nodais do Exemplo 7..2 para encontrar a matriz impedância de barra pela inversão da matriz admitância de barra. Calcule as tensões de barra.

29 Invertendo-se a matriz barra: Exemplo 7..3 (Solução) 29 O vetor tensão de barra é encontrado efetuando-se a multiplicação indicada:

30 Exemplo 7..4 Um capacitor com reatância de 5 pu nas bases do sistema é conectado entre a barra 4 e a referência do circuito. Calcular a corrente que passa pelo capacitor e a nova tensão da barra 4. 3

31 Exemplo 7..4 (Solução) 3 Z 44 é a impedância equivalente da rede vista da barra 4. V 4 é a tensão da barra 4 antes do capacitor ser colocado Equivalente de Thèvenin por elemento de Zbarra

32 Exemplo 7..4 (Solução) Z 44 é a impedância equivalente da rede vistada barra 4. V 4 é a tensão da barra 4 antes do capacitor ser colocado 32 Equivalente de Thèvenin por elemento de Zbarra

33 Exercício para Aluno Calcule a Corrente de Curto Trifásico de todas as barras do exemplo Do exemplo 7..3 tem-se: Tensão Pré-falta 33 atriz Zbus Lembrando que: & I curto 3φ k E& Z

34 Sistema atricial Trifásica 34 abc abc abc abc abc abc V V V I I I & & & O & & & 2 abc [ ] c i b i a i abc i I I I I & & & & [ ] cc ij cb ij ca ij bc ij bb ij ba ij ac ij ab ij aa ij abc ij [ ] [ ] + n j abc ij abc i abc ii Prim Prim [ ] Prim abc ik abc ik

35 Formação da atriz bus Trifásica Elemento Série Trifásico: P Q A B C Z AB Z BC Z A Z B Z C Z AC A B C 35 V& V & V & PQ A PQ B PQ C z' z' z' A BA CA z' z' z' AB B CB z' z' z' AC BC C I&. I& I & [ abc] [ abc] Prim [ abc V. ] pq z pq I pq [ abc] [ abc] Prim [ abc I. ] pq pq Vpq PQ A PQ B PQ C ( ) Prim [ abc] Prim [ abc z ] pq pq z' z' z' A BA CA z' z' z' AB CB z' z' z' BC B AC C

36 Formação da atriz bus Trifásica Elemento em Derivação Trifásico: Conectado em Estrela (): 36 [ abc ] pq Prim A B C z A z B z C Conectado em Triângulo (Delta) [ abc ] pq Prim AB + ' AB CA CA BC + AB BC AB CA AC + BC BC AB z AB BC z BC CA zca

37 Formação da atriz Admitância odal ontagem da atriz bus ontagem Direta Através do Grafo da Rede 37 [ BUS ] O 2

38 ontagem Direta da bus(barra) 38 [ BUS ] O 2 Elemento da Diagonal Principal: Somatório de todas as admitâncias conectadas à barra ii i + n j ij Elemento Fora da Diagonal egativo da admitância entre barras ik ik

39 ontagem de busatravés do Grafo da Rede A matriz barrapode ser obtida, também, através das matrizes de impedância primitiva e de incidência: 39 [ BUS ] [ A] T. [ Primitiva ]. [ A] atriz de Incidência A: Obtida através de um grafo orientado das correntes. atriz Primitiva : Formada pelos elementos da rede. Procedimento: ontagem do grafo da rede adotando-se uma orientação ( aleatória ) em função do fluxo das correntes na rede; ontagem da atriz de Incidência A; ontagem da atriz Primitiva ; Cálculo da atriz Bus.

40 ontagem do Grafo da Rede 4

41 atriz de Incidência A 4 + ; se a corrente no ramo j sai do vértice i - ; se a corrente no ramo j entra no vértice i ; se a corrente no ramo j não incide no vértice i atriz Incidência (nº de ramos x nº de vértices) a ji a ji a ji C B A [ ] A

42 atriz de Incidência A (reduzida) Como a matriz incidência é linearmente dependente, deve-se eliminar um vértice o de referência do sistema (vértice ). Assim, tem-se: 42 [ ] A [ ] + + A

43 atriz Primitiva 43 C B A C B A C B A [ ] Pr C B A imitiva

44 atriz bus 44 [ ] [ ] [ ] [ ] A A Primitiva.. T BUS C B A C B A C B A C B A [ ] C B A BUS [ ] + + C B B B B A BUS

45 Exercício Determine a matriz incidência e a matriz admitância nodal do sistema abaixo: A 4 B 5 C Ref D Grafo Orientado

46 ontagem da atriz barra com Elementos Acoplados Seja um trecho de circuito em que existe admitância ou impedância mútua entre alguns elementos do sistema elétrico. 46

47 ontagem da atriz barra com Elementos Acoplados A polaridade da tensão induzida é importante. 47 Onde a matriz Z é denominada de matriz impedância primitiva do elemento.

48 ontagem da atriz barra com Elementos Acoplados 48 Passando-se para admitância vem: A matriz é chamada de matriz admitância primitiva do elemento. Expandindo-se a equação acima vem:

49 ontagem da atriz barra com Elementos Acoplados 49 Sabendo-se que e colocando-se a equação acima em forma matricial tem-se: otar que os dois blocos com ij e kl são termos da matriz barra sem mútua.

50 ontagem da atriz barra com Elementos Acoplados 5

51 Exemplo Sejam Z 2 Z 34 j,25 pu e Z m j,5. Determinar a matriz barra do sistema.

52 Exemplo 7..5 (Solução) 52 Sejam Z 2 Z 34 j,25 pu e Z m j,5. Determinar a matriz barra do sistema. ) Determinar a matriz Z primitiva dos elementos com mútua: 2) Inverter a matriz Z primitiva do elemento para encontrar a matriz primitiva

53 Exemplo 7..5 (Solução) 53 3) ontar a matriz barra sem considerar a admitância mútua (sem acoplamento): 4) Incluir o efeito das mútuas somando-se m aos elementos da matriz referentes aos terminais igualmente marcados e subtraindo-se m dos elementos da matriz referentes aos terminais diferentemente marcados: Acrescentar + m em (,3), (2,4), (3,) (4,2) Acrescentar m em (,4), (2,3), (3,2), (4,).

54 Exemplo 7..6 Sejam z 3 z 23 j,25 pu, z m j,5 pu. Determinar a matriz admitância de barra do circuito da figura abaixo. 54

55 Exemplo 7..6 (Solução) 55 Sejam z 3 z 23 j,25 pu, z m j,5 pu. ) atriz de impedâncias primitiva: 2) atriz de admitância primitiva: 3) ontar a matriz barra sem considerar a admitância mútua (sem acoplamento):

56 Exemplo 7..6 (Solução) j6,25 pu. m j3,75 pu. 3) ontar a matriz barra sem considerar a admitância mútua (sem acoplamento): 4) Incluir o efeito das mútuas somando-se m aos elementos da matriz referentes aos terminais igualmente marcados e subtraindo-se m dos elementos da matriz referentes aos terminais diferentemente marcados: Acrescentar + m em (3,3), (,2), (3,3), (2,). Acrescentar m em (3,2), (,3), (2,3), (3,). m j3,75 pu.

57 Exemplo 7..6 (Solução b) A seguir os cálculos que comprovam a exatidão da matriz barra encontrada com a utilização da regra acima: 57

58 Exemplo 7..6 (Solução b) Em forma matricial vem: 58 que confere com o exercício.