EEL 7100 Exercício: Fluxo de Potência pelo Método de Newton-Raphson
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- Luiz Fernando Aranha
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1 EEL 7100 Exercício: Fluxo de Potência pelo Método de Newton-Raphson Antonio Simões Costa UFSC - LABSPOT A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 1 / 21
2 Exercício: Fluxo de Potência pelo método de N-R (I) Dados de Barra Barra de folga: barra 1 Barra PV: barra 3 Barras PQ: barras 2 e 4 Tabela 1: Dados de barra Barra V 0 \δ 0 P g + jq g P d + jq d 1(V-δ) 1, 00\0 o... + j... 0, 00 + j0, 00 2(P-Q) 1, 00\0 o 0, 0 + j0, 0 1, 50 + j0, 30 3(P-V) 1, 02\0 o 1, 20 + j... 0, 30 + j0, 00 4(P-Q) 1, 00\0 o 0, 0 + j0, 0 0, 50 + j0, 40 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 2 / 21
3 Exercício: Fluxo de Potência pelo método de N-R (II) Dados de Ramo Barra de folga: barra 1 Barra PV: barra 3 Barras PQ: barras 2 e 4 Tabela 2: Dados de ramo Linha De Para Z série b shunt , j0, 10 0, , j0, 20 0, , j0, , j0, , j0, 20 0 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 3 / 21
4 Fluxo de Potência pelo método de N-R (III) Etapas: 1 Formação da matriz Y barra ; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 4 / 21
5 Fluxo de Potência pelo método de N-R (III) Etapas: 1 Formação da matriz Y barra ; 2 De nição da estrutura das submatrizes da matriz Jacobiana; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 4 / 21
6 Fluxo de Potência pelo método de N-R (III) Etapas: 1 Formação da matriz Y barra ; 2 De nição da estrutura das submatrizes da matriz Jacobiana; 3 Cálculo das potências P calc i e Q calc i injetadas nas barras; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 4 / 21
7 Fluxo de Potência pelo método de N-R (III) Etapas: 1 Formação da matriz Y barra ; 2 De nição da estrutura das submatrizes da matriz Jacobiana; 3 Cálculo das potências Pi calc e Qi calc injetadas nas barras; 4 Cálculo dos resíduos de potência ativa e reativa; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 4 / 21
8 Fluxo de Potência pelo método de N-R (III) Etapas: 1 Formação da matriz Y barra ; 2 De nição da estrutura das submatrizes da matriz Jacobiana; 3 Cálculo das potências Pi calc e Qi calc injetadas nas barras; 4 Cálculo dos resíduos de potência ativa e reativa; 5 Cálculo dos valores numéricos dos elementos da matriz Jacobiana; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 4 / 21
9 Fluxo de Potência pelo método de N-R (III) Etapas: 1 Formação da matriz Y barra ; 2 De nição da estrutura das submatrizes da matriz Jacobiana; 3 Cálculo das potências Pi calc e Qi calc injetadas nas barras; 4 Cálculo dos resíduos de potência ativa e reativa; 5 Cálculo dos valores numéricos dos elementos da matriz Jacobiana; δ 6 P Formação e solução do sistema linear F = ; V/V Q A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 4 / 21
10 Fluxo de Potência pelo método de N-R (III) Etapas: 1 Formação da matriz Y barra ; 2 De nição da estrutura das submatrizes da matriz Jacobiana; 3 Cálculo das potências Pi calc e Qi calc injetadas nas barras; 4 Cálculo dos resíduos de potência ativa e reativa; 5 Cálculo dos valores numéricos dos elementos da matriz Jacobiana; δ 6 P Formação e solução do sistema linear F = ; V/V Q 7 Atualização de δ e V. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 4 / 21
11 1. Formação da Matriz de Admitância das Barras Matriz Ybarra Cálculo das admitâncias série: Tabela 2: Dados de ramo Linha De Para Z série y série b shunt , j0, 10 0, 9900 j9, 90 0, , j0, 20 0, 4950 j4, 95 0, , j0, 10 0, 9900 j9, , j0, 40 0, 0125 j2, , j0, 20 0, 7335 j4, Matriz Y barra : 1, 48 j14, 84 0, 49 + j4, 95 0, 99 + j9, , 49 + j4, 95 2, 22 j19, 74 0, 99 + j9, 90 0, 73 + j4, 89 0, 99 + j9, 90 0, 99 + j9, 90 1, 99 j22, 29 0, j2, , 73 + j4, 89 0, j2, 50 0, 75 j7, A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 5 / 21
12 2. Estrutura das submatrizes da matriz Jacobiana (I) Submatriz H De nida como PPV H = e PQ =) H ik = P i δ δ k Linhas: correspondem a todas as barras exceto a barra de folga; Colunas: correspondem aos ângulos de todas as barras 6= barra de folga; Considerando que no exemplo a barra de folga é a barra 1 : 2 H 22 H 23 H 24 3 H = 4 H 32 H 33 H 34 5 H 42 H 43 H 44 Atenção: Os subscritos i e j em H ij são índices lógicos (correspondem a índices de barra) e não índices físicos de posição na matriz H! A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 6 / 21
13 2. Estrutura das submatrizes da matriz Jacobiana (II) Submatriz J De nida como J = Q PQ δ =) J ik = Q i δ k A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 7 / 21
14 2. Estrutura das submatrizes da matriz Jacobiana (II) Submatriz J De nida como J = Q PQ δ =) J ik = Q i δ k Linhas: correspondem apenas às barra PQ; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 7 / 21
15 2. Estrutura das submatrizes da matriz Jacobiana (II) Submatriz J De nida como J = Q PQ δ =) J ik = Q i δ k Linhas: correspondem apenas às barra PQ; Colunas: correspondem aos ângulos de todas as barras 6= barra de folga; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 7 / 21
16 2. Estrutura das submatrizes da matriz Jacobiana (II) Submatriz J De nida como J = Q PQ δ =) J ik = Q i δ k Linhas: correspondem apenas às barra PQ; Colunas: correspondem aos ângulos de todas as barras 6= barra de folga; Para o exemplo (barra de folga = barra 1): J22 J J = 23 J 24 J 42 J 43 J 44 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 7 / 21
17 2. Estrutura das submatrizes da matriz Jacobiana (III) Submatriz N De nida como N = V P PV e PQ V =) N ik = V k P i V k A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 8 / 21
18 2. Estrutura das submatrizes da matriz Jacobiana (III) Submatriz N De nida como N = V P PV e PQ V =) N ik = V k P i V k Linhas: correspondem a todas as barras exceto a barra de folga; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 8 / 21
19 2. Estrutura das submatrizes da matriz Jacobiana (III) Submatriz N De nida como N = V P PV e PQ V =) N ik = V k P i V k Linhas: correspondem a todas as barras exceto a barra de folga; Colunas: correspondem às tensões das barras PQ; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 8 / 21
20 2. Estrutura das submatrizes da matriz Jacobiana (III) Submatriz N De nida como N = V P PV e PQ V =) N ik = V k P i V k Linhas: correspondem a todas as barras exceto a barra de folga; Colunas: correspondem às tensões das barras PQ; Para o exemplo (barra de folga = barra 1): 2 N = 4 N 22 N 24 N 32 N 34 N 42 N A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 8 / 21
21 2. Estrutura das submatrizes da matriz Jacobiana (IV) Submatriz L De nida como L = V Q PQ V =) L ik = V k Q i V k A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 9 / 21
22 2. Estrutura das submatrizes da matriz Jacobiana (IV) Submatriz L De nida como L = V Q PQ V =) L ik = V k Q i V k Linhas: correspondem apenas às barra PQ; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 9 / 21
23 2. Estrutura das submatrizes da matriz Jacobiana (IV) Submatriz L De nida como L = V Q PQ V =) L ik = V k Q i V k Linhas: correspondem apenas às barra PQ; Colunas: correspondem às tensões das barras PQ; A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 9 / 21
24 2. Estrutura das submatrizes da matriz Jacobiana (IV) Submatriz L De nida como L = V Q PQ V =) L ik = V k Q i V k Linhas: correspondem apenas às barra PQ; Colunas: correspondem às tensões das barras PQ; Para o exemplo (barra de folga = barra 1): L22 L J = 24 L 42 L 44 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 9 / 21
25 3. Potências ativa e reativa injetadas nas barras (I) As expressões originais para as injeções de potência ativa e reativa: Pi calc = N V i V k (G ik cos δ ik +B ik sen δ ik ) k=1 podem ser re-escritas como Qi calc = N V i V k (G ik sen δ ik B ik cos δ ik ) k=1 Pi calc = G ii Vi 2 + V i V k (G ik cos δ ik +B ik sen δ ik ) k6=i Qi calc = B ii Vi 2 + V i V k (G ik sen δ ik B ik cos δ ik ) k6=i A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 10 / 21
26 3. Potências ativa e reativa injetadas nas barras (II) Considerando que os ângulos de fase das tensões nodais são todos inicializados como 0 o : Pi calc = G ii Vi 2 + V i V k G ik k6=i Q calc i = B ii V 2 i V i V k B ik k6=i A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 11 / 21
27 3. Potências ativa e reativa injetadas nas barras (III) Para a barra 2, considerando que V (0) 1 = V (0) 2 = V (0) 4 = 1, 0 e V (0) 3 = 1, 02, G 22 = 2, 2186 G 21 = 0, 4950 G 23 = 0, 9901 G 24 = 0, 7335 B 22 = 19, 7365 B 21 = 4, 9505 B 23 = 9, 9010 B 24 = 4, 8900 temos: P calc 2 = G 22 V G 12V 1 V 2 + G 23 V 1 V 3 + G 24 V 1 V 4 = 2, , 0 2 0, , 0 2 0, , 0 1, 02 0, , 0 2 = 0, 0198 Q calc 2 = B 22 V 2 2 B 12 V 1 V 2 B 23 V 1 V 3 B 24 V 1 V 4 = ( 19, 7365) 1, 0 2 4, , 0 2 9, , 0 1, 02 4, , 0 2 = 0, 2030 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 12 / 21
28 Potências ativa e reativa injetadas nas barras (IV) Adotando o mesmo procedimento para todas as barras, obtemos: Considerando que P i = P espec i Barra P calc i Q calc i 2 0, , , , , , 0500 P calc i e Q i = Q espec i os resíduos na primeira iteração podem ser então obtidos: Barra P gi Q gi P Li Q Li P espec i Q calc i, Q espec i P i Q i 2 0, 0 0, 0 1, 5 0, 3 1, 5 0, 3 1, , , 2 0, 3 0, 0 0, 9 0, , , 0 0, 0 0, 5 0, 4 0, 5 0, 4 0, , 3500 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 13 / 21
29 Valores numéricos da matriz Jacobiana (I) Submatriz H (I) Elementos diagonais: H ii = V 2 i B ii Q calc i H 22 = 1, 0 2 ( 19, 7365) ( 0, 203) = 19, 9395 H 33 = 1, 02 2 ( 22, 292) 0, 444 = 22, 7480 H 44 = 1, 0 2 ( 7, 3900) ( 0, 050) = 7, 4400 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 14 / 21
30 Valores numéricos da matriz Jacobiana (I) Submatriz H (I) Elementos diagonais: H ii = V 2 i B ii Q calc i H 22 = 1, 0 2 ( 19, 7365) ( 0, 203) = 19, 9395 H 33 = 1, 02 2 ( 22, 292) 0, 444 = 22, 7480 H 44 = 1, 0 2 ( 7, 3900) ( 0, 050) = 7, 4400 Elementos fora da diagonal, considerando δ i = 0 (1 a. iteração): H ik = B ik V i V k H 23 = 1, 0 1, 02 9, 9010 = 10, 0990 H 24 = 1, 0 1, 0 4, 8900 = 4, 8900 H 32 = 1, 02 1, 0 9, 9010 = 10, 0990 H 34 = 1, 02 1, 0 9, 9010 = 2, 5499 H 42 = 1, 0 1, 0 4, 8900 = 4, 8900 H 43 = 1, 0 1, 02 9, 9010 = 2, 5499 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 14 / 21
31 Valores numéricos da matriz Jacobiana (II) Submatriz H (II) 2 H = 4 19, , , , , , , , , A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 15 / 21
32 Valores numéricos da matriz Jacobiana (III) Submatriz J As expressões para os elementos de J são dados por: Para i = k : J ii = Vi 2 G ii + Pi calc Para i 6= k, com δ i = 0 (1 a. iteração): J ik = B ik V i V k Substituindo os valores já determinados, obtém-se: 2, , , 7335 J = 0, , , 7462 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 16 / 21
33 Valores numéricos da matriz Jacobiana (IV) Submatriz N As expressões para os elementos de N são dados por: Para i = k : N ii = Vi 2 G ii + Pi calc Para i 6= k, com δ i = 0 (1 a. iteração): N ik = J ik Substituindo os valores já determinados, obtém-se: 2 2, , 7335 J = 4 1, , , , 7457 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 17 / 21
34 Valores numéricos da matriz Jacobiana (V) Submatriz L As expressões para os elementos de L são dados por: Para i = k : N ii = Vi 2 B ii + Qi calc Para i 6= k, com δ i = 0 (1 a. iteração): N ik = H ik Substituindo os valores já determinados, obtém-se: 19, , 8900 J = 4, , 3399 A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 18 / 21
35 Matriz Jacobiana calculada H F = J N L 2 F = , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 19 / 21
36 Sistema linear da primeira iteração F δ V/V = P Q 19, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , = 6 4 1, , , , , δ 2 δ 3 δ 4 V 2 /V 2 V 4 /V A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 20 / 21
37 Solução da primeira iteração Resolvendo o sistema linear anterior, obtêm-se: δ = 0, , , 1672 T V/V = 0, , 0709 T A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 21 / 21
38 Solução da primeira iteração Resolvendo o sistema linear anterior, obtêm-se: δ = 0, , , 1672 T V/V = 0, , 0709 T Ângulos e magnitudes das tensões corrigidas ao nal da 1 a. iteração: h δ (1) = h V (1) = δ (1) 2 δ (1) 3 δ (1) 4 δ (1) = δ (0) + δ V (1) = V (0) + V (0) V V V (1) 2 V (1) 4 i T = 0, , , 1672 T i T = 0, , 9291 T A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 21 / 21
39 Solução da primeira iteração Resolvendo o sistema linear anterior, obtêm-se: δ = 0, , , 1672 T V/V = 0, , 0709 T Ângulos e magnitudes das tensões corrigidas ao nal da 1 a. iteração: h δ (1) = h V (1) = δ (1) 2 δ (1) 3 δ (1) 4 δ (1) = δ (0) + δ V (1) = V (0) + V (0) V V V (1) 2 V (1) 4 i T = 0, , , 1672 T i T = 0, , 9291 T Valores do ângulo da barra de folga, δ 1, e tensões V 1 e V 3, permanecem iguais aos seus valores especi cados. A. Simões Costa (UFSC - Labspot) 21 / 21
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