Décimo Quinto Encontro Regional Ibero-americano do CIGRÉ Foz do Iguaçu-PR, Brasil 19 a 23 de maio de 2013

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1 Décimo Quinto Encontro Regional 9 a de maio de TÉCNICAS DE PREVISÃO LINEAR E NÃO-LINEAR PARA O MÉTODO DA CONTINUAÇÃO A. Bonini Neto () E. M. Magalhães D. A. Ales UNESP-Uniersidade Estadual Paulista Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira () Pós-Doutorando do DEE-FEIS-UNESP e Bolsista do CNPq-Brasil. RESUMO Neste trabalho apresentam-se os resultados da utilização do preditor não-linear para o traçado das curas P-V. O preditor é baseado na interpolação polinomial de Lagrange de segunda ordem permitindo reconstituir uma função passando por três pontos conhecidos na cura P-V. O principal benefício do uso deste preditor ocorre nas proximidades do ponto de máximo carregamento, ou sea, parte mais não-linear da cura P-V. Nessa região o preditor não-linear acompanha a cura da traetória de soluções e proporciona com isso, um menor número de iterações no passo corretor se comparado com alguns preditores lineares, como o secante de ordem zero. Apresentam-se os resultados da associação deste preditor com os preditores lineares (tangente e secante). Os preditores lineares são utilizados de forma mais eficiente para cargas lees onde a cura P-V tem um comportamento mais linear e o preditor não-linear para a parte não-linear da cura (carga pesada). No passo corretor se utiliza a magnitude da tensão nodal como parâmetro da continuação. Os testes são realizados para os sistemas do IEEE, e barras. São apresentadas as comparações, em termos de números de iterações e robustez, entre os métodos que utilizam os preditores lineares e o preditor não-linear. PALAVRAS-CHAVE Fluxo de carga continuado, técnica de parametrização, curas P-V, preditor não-linear, interpolação polinomial de Lagrange.. INTRODUÇÃO Nos países emergentes, o setor elétrico de um modo geral em sofrendo ao longo dos anos árias transformações, consequentes entre outros do crescimento da demanda de energia elétrica em decorrência sobretudo do crescimento socioeconômico, do aumento da competitiidade entre as empresas do setor elétrico em consequência da noa lesgilação e do atrazo nas obras de construções de noas linhas de transmissão. Este atual cenário tem motiado maiores inestimentos no setor elétrico, em especial no que diz respeito à geração e transmissão, isando um aumento do suprimento de energia de forma segura, porém a um custo reduzido. Diante desses acontecimentos torna-se cada ez mais importante o desenolimento e aprimoramento das ferramentas de análise da estabilidade estática de tensão dos sistemas elétricos de potência, isando garantir condições de operação mais seguras. Dentre as ferramentas mais utilizadas está o / 8

2 Décimo Quinto Encontro Regional 9 a de maio de Fluxo de Carga Continuado (FCC) e o método da continuação composto por quatro elementos básicos: um passo preditor, um controle de passo, um procedimento de parametrização e o passo corretor. O passo preditor desempenha um importante papel no FCC. Sua função é a de fornecer uma solução aproximada que será utilizada como alor inicial para o passo corretor. Pelo fato dessa preisão ser uma solução aproximada, torna-se necessário realizar a sua correção para obter-se a solução correta, eitando que esse erro se acumule. O fluxo de carga utilizando o método de Newton-Raphson é o mais utilizado no passo corretor. Portanto, o alor estimado pelo preditor influenciará a conergência do passo corretor. Entretanto, no caso de um bom preditor o ponto preisto encontra-se muito próximo da solução correta e poucas iterações são necessárias para obter-se a solução correta sobre a cura da traetória de soluções (cura P-V). Assim, a principal característica almeada para o preditor é que o mesmo forneça uma solução o mais próxima possíel da solução final de forma a produzir com isso, uma redução do tempo computacional exigido para o traçado da cura P-V.. FLUXO DE CARGA CONTINUADO A seguir se apresenta o FCC utilizando o método de Newton-Raphson para a resolução das equações do fluxo de carga (obter os alores de V e para todas as barras, e é denominado por caso base) []: esp ΔP P P(, V) () esp ΔQ Q Q(, V) onde λ é o fator de carregamento, G(,V, λ) são as equações básicas do fluxo de carga (FC), V é o etor das magnitudes das tensões nodais e é o etor do ângulo das tensões nodais, λp esp = λp g esp - λp c esp é a diferença (mismatches ou resíduos) entre as potências atias geradas e consumidas para as barras de carga (PQ) e de geração (PV) e λq esp = Q g esp - λq c esp é a diferença entre as potências reatias geradas e consumidas para as barras PQ. As equações não-lineares de ineção de potência atia e reatia na barra são: P (, V) G Q (, V) B V V lω V V V (g l lω sendo que é o conunto de todas as barras diretamente conectadas à barra, então para λ= (caso base) tem-se: i ) Fazer e escolher os alores iniciais do ângulo das tensões das barras PQ e PV( ), e as magnitudes das tensões das barras PQ( V V ). ii ) Calcular P(, V ) para as barras PQ e PV e Q (, V ) para as barras PQ, e determinar os mismatches ΔP e ΔQ. iii ) Testar conergência: se Max{ΔP } e P Max{ΔQ }, o processo iteratio conergiu Q para a solução (, V ) ; caso contrário passar para (i). i ) Calcular a matriz J H(, V ) N(, V ) J (, V ) () M(, V ) L(, V ) onde as componentes das submatrizes Jacobianas H, N, M e L são H = P/,P/V, M= ΔQ/ e L=Q/V. ) Determinar a noa solução (, V ) : V l l V (g cos l Δ V ΔV l sen b l l b sen l l cos ) l ) () () / 8

3 Décimo Quinto Encontro Regional 9 a de maio de sendo Δ e ΔV determinados resolendo-se o sistema linear ΔP(, V ) H(, V ) N(, V ) Δ. (5) ΔQ(, V ) M(, V ) L(, V ) ΔV i ) Fazer e oltar para o passo (ii). Para λ=, o caso base é calculado (, V) por meio de um fluxo de carga. Depois de obtido o caso base, incrementa-se λ, ou sea, λ + = λ +λ, a solução do noo sistema de equações formado pelas equações () fornecerá o noo ponto de operação (, V e ) e assim por diante até próximo ao ponto de máximo carregamento (PMC). A distância do caso base ao ponto PMC é a margem de carregamento (MC), er figura. A MC também pode ser obtida atraés dos métodos da continuação, atraés de seus elementos básicos, um passo preditor, controle de passo, procedimento de parametrização e o passo corretor [], [], [] e [5]. Obsere que o procedimento acima descrito é um método da continuação que se utiliza do preditor linear de ordem zero e um passo fixo no parâmetro. Este método é muito empregado hoe em dia e diersas técnicas são empregadas para remoer a singularidade da matriz Jacobiana no PMC, porém este artigo está focado no passo preditor como um auste para o passo corretor. V (p.u.) ou (, (, V ) Caso base λ = V λ + MC ) PMC Figura. Curas P-V. TIPOS DE PREDITORES Uma ez calculado (, V), denominado caso base, é efetuada uma preisão. Existem ários tipos de preditores na literatura, mas os mais amplamente utilizados são: preditores lineares (tangente e secante) e mais recentemente, o preditor não-linear (preditor polinomial de Lagrange). O preditor polinomial de Lagrange é composto de árias ordens, mas para que sea um preditor não-linear é preciso que a ordem sea maior ou igual a dois. Neste trabalho será utilizado o preditor polinomial de Lagrange de ordem dois... Preditor Tangente O cálculo do etor tangente é obtido tomando a diferencial do sistema () [], e que colocado na forma matricial fornece: d G G V G λ G G V G λ dv t J t (6) m e e dλ onde G = [ΔP/ ΔQ/ ] T G V = [ΔP/V T ΔQ/V T ] T e G = [P esp Q esp ] T são as deriadas parciais de G em relação a, V e, respectiamente. G e G V compõem a matriz J do FC conencional. Acresce-se a J uma coluna (G ) correspondente a noa ariáel. O etor t é chamado de etor tangente e é o que se procura obter, e é um etor linha apropriadamente dimensionado, com todos os elementos nulos exceto o -ésimo, que é igual a, o número será colocado na coluna da / 8

4 Tensão (pu) Décimo Quinto Encontro Regional 9 a de maio de ariáel que foi escolhida como parâmetro, V, ou λ. Uma ez que o número de incógnitas é maior do que o número de equações, uma ariáel do etor t dee ser especificada com um alor diferente de zero. Esta ariáel é denominada de parâmetro da continuação. A escolha do sinal + ou dependerá de como a ariáel escolhida como parâmetro estará ariando, positio se ela estier aumentando de alor, e negatio se estier diminuindo. Uma ez obtido o etor t, a estimatia para a próxima solução será dada por: e d e V V σ dv (7) e λ λ dλ onde o sobrescrito e indica estimatia, isto é, o etor tangente é usado para obter uma estimatia para, V, e a partir da solução atual. é um escalar que define o tamanho do passo preditor... Preditor Secante O método do de ordem um utiliza as soluções atuais ( x,λ ) e anteriores ( x,λ ), para se estimar a próxima solução ( x,λ ), os dois primeiros pontos da cura P-V são obtidos pelo FCC e os demais atraés do. V λ V λ σv V λ λ (8) onde σ é o tamanho de passo apropriado. Outro preditor é o triial ou polinomial modificado de ordem zero que utiliza a solução atual e um passo fixo no parâmetro como uma estimatia para a próxima solução. Na figura pode ser isto a etapa de preisão pelo etor tangente, pelo etor secante e pelo preditor não-linear, respectiamente obtidas utilizando tensão como parâmetro da continuação. Note que quanto mais perto se encontrarem os dois pontos, dentro de uma tolerância numérica razoáel, mais o se aproximará do preditor tangente; contudo mais pontos da cura serão calculados. Por outro lado, pontos muito distantes um do outro podem produzir diferenças razoáeis com relação ao ponto fornecido pelo etor tangente... Fórmula da Interpolação Polinomial de Lagrange Sea os pontos x, x,..., x n e seus respectios alores f(x ), f(x ),..., f(x n ), onde f(x ) é o alor da Preditor secante. Preditor tangente. Preditor não-linear. parametrizado por tensão Figura. Comparação entre os métodos da continuação com preditor tangente, secante e com o preditor nãolinear. / 8

5 Décimo Quinto Encontro Regional 9 a de maio de função no ponto x. Interpolação significa uma técnica que permite calcular o alor da função para um ponto entre dois pontos. A fórmula de interpolação polinomial de Lagrange é na erdade uma aproximação polinomial que passa por n+ pontos de ordem n. Especificamente, pode ser expresso pela seguinte equação: n P( x) L ( x) f ( ) (9) x onde P (x) representa a fórmula de interpolação polinomial de Lagrange, x são os pontos conhecidos (=,,, n) e L (x) o coeficiente interpolador de Lagrange, dado por: n x xm L ( x) () x x m m em que n é a ordem do polinômio e m é o número de indicação.. Preditor Não-Linear m m n. Neste trabalho são apresentadas duas condições para as parábolas de preisão não-linear, uma quando a parábola é oltada para cima ou para baixo (equações e ) e outra quando a parábola é oltada para esquerda (equações e ). Sea x representando os etores V ou. Conhecendo três pontos da cura λ-x, obtém-se uma cura passando por esses pontos, essa cura é denominada preditor não-linear. O ponto preisto será obtido sobre esta cura do tamanho de um passo estabelecido [6]: () Na figura, por exemplo, seam três pontos conhecidos da cura λ ersus x,, x ), (, x ) e (, x ) então x p será: ( p p p x p ( )( ) ( )( ) ( )( ) L ( ) x( ) xp xp x () m m p ( )( ) ( )( ) ( )( ) m Inertendo as posições de x e λ, obtém-se a parábola oltada para a esquerda, geometricamente este preditor pode ser isto na figura (b), as equações () e () passa a ser: λ L m m x p x Δx () p ( xp xp )( xp xp ) ( xp xp )( xp xp ) ( xp xp )( xp xp ) ( x) λ ( x ) () m ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) p p p p A figura apresenta o método para ambas as equações, utilizando a equação (), a parábola da traetória do preditor não-linear é oltada para baixo, á para a equação () a parábola é oltada para esquerda.. RESULTADOS Para todos os testes realizados, a tolerância adotada para o mismatch total de potência foi de p.u. A consideração dos limites de potência reatia (Q) nas barras PV's é feito da mesma forma que no método conencional de FC. Para isualização de como o preditor não-linear se comporta, segue um exemplo em um sistema de barras. O sistema é composto por uma barra V (referência), uma barra PV (geração) e uma barra PQ (carga), os dados das barras e linhas são fornecidos na Tabela. Na figura (a) mostram-se as curas P-V obtidas com o uso do preditor não-linear, onde se obsera geometricamente os pontos preistos de cada cura e de cada ponto. Na figura (b) apresenta-se a p p p p p p p p 5 / 8

6 Ângulo (p.u.) Tensão (pu) Número de iterações Décimo Quinto Encontro Regional 9 a de maio de Figura. (a) Preditor não linear utilizando a equação () e (), (b) Preditor não linear utilizando a equação () e (). Tabela. Dados das barras e das linhas de transmissão Barra Tipo P Q V Linha r x m V PV PQ região do PMC ampliada, nota-se que para uma melhor comparação entre os preditores lineares e o não-linear as correções são feitas conergindo para um mesmo ponto. A tensão é utilizada como parâmetro. Também se apresenta na figura (b) o número de iterações necessárias para obtenção de cada ponto da cura P-V. Outra obseração a ser feita para o método proposto é a troca da equação () (parábolas para baixo ou para cima) para a equação () (parábolas para a esquerda), isso é feito comparando-se as tensões das barras e o fator de carregamento λ do ponto atual e do ponto anterior, equação (5). eq max V V, λ λ (5) onde refere-se ao ponto da cura. A expectatia é de que a escolha de eq com base nesta última equação implique no bom desempenho do algoritmo. Caso a ariáel λ apresentar maior ariação.5 Preditor não linear obtido pela equação () Preditor não linear obtido pela equação () Preditor não linear obtido pela equação () V V V Região ampliada (a) V 8 sh b (b) preditor não linear preditor tangente Pontos na cura Figura. (a) Preditor não-linear utilizando a equação () e () para o sistema de barras, (b) Região do PMC ampliada utilizando todos os preditores propostos e o número de iterações utilizadas para obtenção da cura P-V. 6 / 8

7 Número de iterações Tensão (pu) Décimo Quinto Encontro Regional 9 a de maio de utiliza-se a equação (), caso contrário, se a tensão de alguma barra apresentar maior ariação utilizase a equação (). Com isso há um balanceamento no uso das equações, pois para cargas lees é normal o λ apresentar maior ariação e em cargas pesadas, próximo ao PMC, a tensão apresentar uma maior ariação. Na figura (b) do ponto 5 para 6 foi constatado que a tensão apresentou a maior ariação, então utilizando a equação () calcula-se o próximo ponto preisto 7. Neste trabalho o preditor não-linear obtido atraés da equação () é feito apenas na barra crítica, as demais barras são feitas atraés do de ordem zero. Uma ez haendo a troca de sinal para λ calcula-se no mínimo três pontos, o necessário para obter a parábola da preisão não-linear e também o fator de carregamento λ oltando a ser a maior ariação na equação (5), muda-se noamente para a equação () e obtém os restantes dos pontos, er figura (a)... Resultado para o sistema IEEE- barras A figura 5 apresenta resultados para o sistema IEEE- barras. A figura 5(a) apresenta a cura P-V da barra crítica (barra ) obtida com o uso do preditor não-linear, obsera-se também a região do PMC ampliada com o uso dos preditores lineares (secantes, triial e de ordem zero e o tangente) e o nãolinear. Na figura 5(b) apresentam a traetória do preditor não-linear em destaque (equações () e ()) e o número de iterações utilizadas para cada preditor na obtenção de cada ponto da cura P-V. Para a equação () as barras utilizadas para fazer a preisão não-linear são as barras PQ, estas barras apresentam uma curatura que mais se aproxima das parábolas e assim uma melhor preisão preditor tangente Preditor não linear obtido pela equação () Preditor não linear obtido pela equação () Figura 5. (a) Preditor não-linear utilizando a equação () e () para o sistema IEEE- barras, (b) parábolas do preditor não-linear e o número de iterações utilizadas para obtenção da cura P-V por cada preditor.. Resultado para o sistema IEEE e barras A figura 6 mostra resultados para o sistema IEEE- e barras. Na figura 6(a) é apresentada a cura P-V da barra crítica (barra ) e na figura 6(b) o número de iterações utilizadas para obtenção da cura P-V. Na figura 6(c) e (d) apresentam a cura P-V da barra crítica (V 56 ) do sistema IEEE- barras e o número de iterações utilizadas para a obtenção das curas P-V do sistema. Obsera-se que o número de iterações do preditor não-linear ficou em torno de iterações, isto ocorreu deido algumas barras PQ do sistema ter um comportamento muito agudo, fazendo com que a parábola de preisão da equação () se afastasse um pouco da cura traetória de soluções. 5. CONCLUSÃO V Região do PMC ampliada PMC Pontos na cura Neste trabalho apresentou os resultados da utilização do preditor não-linear para o traçado das curas P-V. O preditor é baseado na interpolação polinomial de Lagrange de segunda ordem permitindo reconstituir uma função passando por três pontos conhecidos na cura P-V. Duas equações foram (a) 6 Preditor não linear (equação ()) passando pelos pontos, e. Preditor não linear (equação ()) passando pelos pontos, e. Cura P-V da barra. preditor não linear 5 preditor tangente (b) 7 / 8

8 Número de iterações Número de iterações Tensão (pu) Tensão (pu) Décimo Quinto Encontro Regional 9 a de maio de utilizadas para obtenção do preditor não-linear, uma com concaidade para cima ou para baixo e outra com a concaidade oltada para a esquerda. Foram apresentadas as comparações, em termos de números de iterações e robustez, entre os métodos que utilizam os preditores lineares (tangente e secante) e o preditor não-linear. No passo corretor se utilizou a magnitude da tensão nodal como parâmetro da continuação V preditor não linear Pontos na cura Pontos na cura Figura 6. (a) Sistema IEEE- barras, (b) Número de iterações utilizadas para obtenção do sistema IEEE-, (c) Sistema IEEE- barras, (d) Número de iterações utilizadas para obtenção do sistema IEEE-. 6. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem os apoios financeiros da CAPES-Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Níel Superior, CNPq-Conselho Nacional de Desenolimento Científico e Tecnológico, e FAPESP-Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (Proc.9/58-7R e /79-5). BIBLIOGRAFIA preditor tangente (a) (b) preditor não linear preditor tangente [] MONTICELLI, A. J. Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica, Editora Edgard Blücher Ltda, S. Paulo SP, Brasil, 98. [] AJJARAPU V. e CHRISTY C. The continuation power flow: A tool for steady state oltage stability analysis, IEEE Trans. on Power Systems, ol. 7, pp. 6-, Feb. 99. [] GARBELINI, E.; ALVES, D. A.; BONINI NETO, A.; RIGHETO, E.; SILVA, L. C. P.; CASTRO, C. A. An efficient geometric parameterization technique for the continuation power flow, Electr. Power Syst. Res., 77, (), pp. 7-8, 7. [] ALVES, D. A.; SILVA, L. C. P.; CASTRO, C. A.; DA COSTA, V. F. Continuation load flow method parameterized by power losses, IEEE Power Engineering Society Winter Meeting, January, ol., pp. -8,. [5] BONINI NETO, A. e ALVES, D. A. Improed geometric parameterization techniques for continuation power flow, IET Generation, Transmission & Distribution, ol., no., pp.9-59, October,. [6] LI, S. H. e CHIANG, H. D. Nonlinear predictors and hybrid corrector for fast continuation power flow, IET Generation, Transmission & Distribution, ol., no., pp. -5, V (c) (d) 8 / 8