Transformador monofásico com fator de potência constante na carga. Modelo em Simulink

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1 Transformador monofásico com fator de potência constante na carga. Modelo em Simulink Introdução A tensão no secundário do transformador depende do valor de corrente e do fator de potência (fdp) da carga, variando de valor mesmo que a tensão no lado do primário seja mantida constante. Se se considerar uma situação típica de um transformador a ligar duas entidades distintas, com um fornecedor de energia elétrica a ligar a rede de abastecimento ao primário e um cliente com a instalação de utilização ligada ao secundário, percebe-se que esta característica do transformador constitui um ponto a merecer especial atenção das duas entidades. O cliente necessita de um valor de tensão adequado ás características dos equipamentos instalados, mas é ele que provoca a variação da tensão ao ligar e desligar equipamentos, por outro lado, o fornecedor, que só pode agir a partir do lado do primário, não sabe antecipadamente que equipamentos serão ligados pelo cliente nem o fdp daí resultante e assume muitas vezes compromisso contratual de manter o valor da tensão no cliente controlado, apesar das variações de carga criadas por este. A curva teórica de variação da tensão no secundário em função da corrente e do fdp da carga, carateriza o funcionamento do transformador e constitui uma boa ferramenta de análise desta situação. Como a tensão depende de duas variáveis, corrente e fdp, é usual, para simulação, fixar um valor para uma delas, por exemplo o fdp enquanto se faz variar a corrente desde zero até ao valor nominal. A curva assim obtida apresenta a variação da tensão relativamente à corrente, mas apenas para aquele fdp. Repetindo o procedimento para outros valores de fdp, obtêm-se outras tantas curvas, uma para cada fdp. Problema Calcular a tensão no secundário, mantendo constante um valor predefinido para o fdp do secundário. Um cálculo da tensão no secundário, baseada no circuito equivalente do transformador, com restrição de manter constantes a tensão e fdp no primário, pode realizar-se pela aplicação simples das Leis de Ohm e Kirchhoff. Contudo o valor do fdp que resulta para o secundário (carga) varia com a corrente, não permanece constante como se pretende. A manutenção de um valor constante para o fdp da carga durante o cálculo, obriga a ajustar o modelo, para além da simples aplicação das Leis enunciadas. Apresentam-se dois exemplos, em que se mantêm constantes a tensão e o fdp no primário e se calculam a tensão e o fdp no secundário em dois pontos de funcionamento distintos. Comparem-se no final os valores do fdp resultantes para o secundário. Vai ser usado nos exemplos um transformador monofásico com as seguintes características: S = 750 VA; V 1 = 150 V ; V = 300 V ; R eq = 1,88 Ω ; X eq = 13,19 Ω O modelo de transformador (fig. 1), é o circuito equivalente aproximado reduzido ao primário (circuito de Steinmetz), numa versão simplificada (fig. ) que não influencia as conclusões. fig. 1 - Circuito equivalente aproximado do transformador reduzido ao primário A simplificação consiste em desprezar o ramo paralelo com a resistência de perdas no ferro e a reatância de magnetização, R p e jx m, representados a cinzento na fig. 1. 1/8

2 fig. - Circuito equivalente simplificado como vai ser considerado nos exemplos fig. 3 - Diagrama vetorial geral de correntes e tensões correspondente ao circuito da fig.. V e I representam a tensão e a corrente do secundário e mantêm a desfasagem observada entre V e I. A tensão e o fdp do lado do primário são mantidos constantes nos dois exemplos. V 1 = 150 0º cos φ 1 = 0,8i (φ 1 = 36,87º) Exemplo 1: Cálculo da tensão e fdp no secundário para uma corrente de A. I 1 = 36,87º A Aplicando a lei de Kirchhoff na malha do circuito equivalente, V = V1 (R eq + jx eq ) I 1 V = (1,88 + j13,19) 36,87 = 13,51 8,18º V Como I = I1, a desfasagem entre a corrente e a tensão no secundário é No ponto de funcionamento deste exemplo, o fdp resultante para o secundário é: cos φ = 0,88i φ = 8,69 º Como pode ser observado na fig. 4. φ = φ (I ) φ (V ) = 36,87 ( 8,18) = 8,69 º Exemplo : Cálculo da tensão e fdp no secundário para uma corrente de 5 A. I 1 = 5 36,87 A fig. 4 - Diagrama vetorial de correntes e tensões correspondente ao exemplo 1. V = (1,88 + j13,19) 5 36,87 = 113,18 4,60 V Desfasagem entre a corrente e a tensão no secundário O fdp resultante para o secundário neste exemplo é: cos φ = 0,98i φ = 1,7 º φ = φ (I ) φ (V ) = 36,87 ( 4,60) = 1,7 º Como pode ser observado na fig. 5. fig. 5 - Diagrama vetorial de correntes e tensões correspondente ao exemplo. Conclusão: do primeiro para o segundo exemplo o objetivo de manter constante o valor do fdp do secundário não é atingido só com a aplicação das leis de Ohm e Kirchhoff. /8

3 A variação da corrente de para 5 A, teve como consequência a passagem do fdp de 0,88 para 0,98 com a correspondente variação na desfasagem entre a tensão e a corrente no secundário de -8,69º para -1,7º. Pode ver-se na fig. 6 e na fig. 7, a variação do valor do fdp e do angulo quando a simulação é alargada a todos os valores de corrente no secundário entre 0 e 5 A (I ). n solução fig. 6 - Variação do angulo de desfasagem entre tensão e corrente no secundário em função da corrente no secundário fig. 7 - Variação do fdp do secundário em função da corrente no secundário A solução para manter o fdp constante no secundário tem de respeitar a restrição de manter constante a tensão no primário. Se a questão se resumisse ao cálculo num ponto de funcionamento único, a solução estaria facilitada, com o desenvolvimento de um método de cálculo iterativo e as leis de Ohm e Kirschhoff seriam suficientes. Como se pretende desenhar uma curva e esta é obtida com os resultados da aplicação repetida do cálculo a uma elevada quantidade de pontos de funcionamento, o processo já requere uma abordagem diferente da aplicação simples das leis enunciadas. Propõe-se uma solução que tem por base algum desenvolvimento matemático envolvendo grandezas do diagrama vetorial de tensões e correntes como o da fig. 5, trigonometria, teorema de Pitágoras e equações de grau superior a 1. Ao tornar desnecessário o cálculo iterativo, fica facilitada a implementação da solução num programa de simulação tipo Simulink, em que o modelo é repetidas vezes aplicado para se obter a curva pretendida. Como resultado obter-se-ão algumas expressões matemáticas que constituirão o modelo de simulação, apesar de cada uma delas não representar em particular qualquer lei ou expressão do domínio da eletrotecnia. Para maior clareza, revejam-se as variáveis e a sua localização antes de se passar ao desenvolvimento. fig. 8 - Diagrama vetorial correspondente ao circuito equivalente fig. 9 - Grandezas a manter constantes durante a simulação: V 1 = 150 0º e cos φ = 0,8i 3/8

4 fig Grandeza a calcular fig Grandeza a variar entre os limites 0A e 5A fig. 1 - Grandezas a variar de forma dependente V ; Zeq V ; Req V Xeq e φ 1 fig. 13 Triangulo de tensões Passe-se à análise e observe-se em particular do triangulo de tensões formado pelos vetores [V 1, V, VZeq ] e os ângulos φ e θ da fig. 13. φ = angulo correspondente ao fdp pretendido θ = atan ( X eq Req ) São ambos independentes do ponto de funcionamento, têm por isso valores constantes durante a simulação (Nota: neste exemplo considera-se uma carga indutiva, logo o angulo φ de desfasagem entre a tensão e corrente no secundário é negativo e o angulo θ correspondente à impedância equivalente é positivo.) Observem-se agora os ângulos α e β. β = 180º + φ [1] α = 360º β θ [] Os ângulos α e β, em consequência também mantêm valores constantes durante a simulação. Considere-se o angulo α dividido em dois ângulos, a 1 e a e as variáveis assinaladas na fig. 14. Desenvolvendo o seno do angulo α. ' V b d a1 a c V 1 Como Substituindo na eq. [3]. Como. fig. 14 Diagrama com as variáveis a considerar no cálculo. sen α = sen(a 1 + a ) = sen a 1 cos a + sen a cos a 1 [3] sen a 1 = b V cos a 1 = d V sen a = c cos a = d sen α = b V d + c d d(b + c) = V V V 1 = b + c [4] 4/8

5 sen α = V 1d V d = V sen α V 1 [5] Aplicando agora o teorema de Pitágoras aos triângulos [V, b, d] e [, d, c]. { V = b + d V Zeq = d + c { V VZeq = (b + d ) (d + c ) Substituindo b = V 1 c, retirado da eq. [4]. { V VZeq = (V 1 c) + c Explicitando c. { V VZeq = V 1 + c V 1 c + c Aplicando o teorema de Pitágoras ao triangulo [, d, c] Substituindo d e c das equações [5] e [6]. { V VZeq = b c { V VZeq = V 1 V 1 c c = V 1 V +VZeq V 1 [6] = d + c [7] V Zeq = ( V sen α ) + ( V 1 V +VZeq ) V 1 V 1 Desenvolvendo. V Zeq = V VZeq sen α (V + 1 V +VZeq ) V 1 4 V 1 (4 V 1 ) (4) (1) 4 V 1 = 4V VZeq sen α + (V 1 V +VZeq ) [8] Considerando temporariamente uma variável intermédia h. h = V [9] e substituindo V Zeq V por h na eq. [8]. 4 V 1 V Zeq = 4V VZeq sen α + (V 1 + h ) 4 V 1 V Zeq = 4V VZeq sen α + (V 1 ) + (h ) + V 1 h Voltando a substituir a variável temporária h pela eq. [9]. 4 V 1 V Zeq = 4V VZeq sen α + V (V Zeq V ) + V1 (V Zeq V ) 4 V 1 V Zeq = 4V VZeq sen α + V ((V Zeq ) + (V ) VZeq V ) + V1 V Zeq V 1 V 4 V 1 V Zeq = 4V VZeq sen α + V V 4 4 Zeq + V VZeq V + V1 V Zeq V 1 V Reordenando as parcelas para melhor clareza do passo seguinte. 4 V + 4V VZeq sen α V Zeq V V1 V + 4 V1 + V 4 Zeq + V 1 V Zeq 4 V 1 V Zeq = 0 4 V + 4V VZeq sen α V Zeq V V1 V + 4 V1 + V 4 Zeq V 1 V Zeq = 0 [10] 5/8

6 V 4 + V (4VZeq sen α V 1 ) + V V 1 = 0 [11] Considerando temporariamente uma variável intermédia z. z = V [1] E duas constantes w e k. w = 4 sen α V 1 k = V V 1 [13] [14] Pode reescrever-se a eq. [11]. Como equação do segundo grau tem as seguintes soluções para z: z + wz + k = 0 [15] z = w + w 4k z = w w 4k Substituindo agora nas equações [16] e [17] z por V da eq. [1]. [16] [17] V = w + w 4k V = w w 4k Têm-se finalmente as soluções para a equação [11] que é do grau 4. V = + w + w 4k [18] V = w + w 4k [19] V = + w w 4k [0] V = w w 4k [1] As quatro expressões acima constituem as raízes da equação [11] numa conceção puramente matemática, contudo, numa análise ao circuito equivalente, rapidamente se encontrarão as que não fazem sentido nesse contexto, ficando apenas naturalmente a que constitui a solução procurada. Tome-se como exemplo um ponto de funcionamento correspondente aos seguintes dados do exemplo 1: Elementos do circuito equivalente Tensão constante no primário Fator de potência pretendido para o secundário : R eq = 1,88 Ω; X eq = 13,19 Ω; : V 1 = 150 V; : cos φ = 0,8i (φ = 36,87º); Corrente no ponto de funcionamento do exemplo : I 1 = 36,87º A. Desenvolvimento do cálculo. β = 180º + φ = ( 36,87) = 143,13º 6/8

7 θ = atan ( X eq Req ) = ( 13,19 1,88 ) = 81,89º α = 360º β θ = ,13 81,89 = 134,98º Z eq = R eq + X eq = 1, ,19 = 13,3 Ω = Z eq I 1 = 13,3 = 6,65 V w = 4 sen α V 1 w = 4(6,65) sen (134,98) (6,65) (150) = 44999,10 k = V V 1 Calculando as raízes k = (150) 4 + (6,65) 4 (150) (6,65) = ,64 V = + ( 44999,10) + ( 44999,10) ,64 V = ( 44999,10) + ( 44999,10) ,64 V = + ( 44999,10) ( 44999,10) ,64 V = ( 44999,10) ( 44999,10) ,64 = 167,65 V = 167,65 V = 19,98 V = 19,98 V Confrontando estes valores com o circuito equivalente, verifica-se a existência de duas raízes negativas que podem ser excluídas por não fazerem sentido no contexto. Restam os valores positivos. Como se pode observar na fig. 15, o vetor V desloca-se sobre a linha ponteada que representa o lugar geométrico da ponta do vetor V, quando a corrente do secundário varia da situação de vazio (I 1 = 0 A; V = 150 V ) até à situação de curto-circuito ( V = 0 V ), sendo por isso sempre inferior ao valor de V 1 = 150 V, por esse motivo pode desprezar-se o valor 167,65 V. ' V fig. 15 Lugar geométrico da ponta do vetor V. O valor procurado é 19,98 V e correspondente à equação [0] que é a que se deve usar na simulação. Implementação em Simulink. O modelo consiste apenas na implementação das equações [1], [], [13], [14] e [0], todavia, no modelo da fig. 16, também foram implementadas as equações [18], [19] e [1] para se poderem observar as outras raízes. O Clock representa o módulo de I. Os valores mínimo e máximo para a simulação são 0 e como pode ver-se na fig. 17 com janela da opção: Simulation/Configuration Parameters. fig. 16 Modelo implementado em Simulink. V 1 7/8

8 Para facilitar a compreensão do modelo, os cálculos estão divididos em dois subsistemas: CÁLCULO DAS CONSTANTES W; K e CÁLCULO DE V'. Apresentam-se a seguir e crê-se que sejam suficientemente claros para dispensarem explicações adicionais. fig. 17 Atribuição de limites à variável I. fig. 18 Interior do subsistema CÁLCULO DAS CONSTANTES W; K da fig. 16. fig. 19 Interior do subsistema CÁLCULO DE V' da fig. 16. Observe-se que na fig. 16, para I = A, constam os quatro valores calculados teoricamente para V, dos quais apenas interessa o correspondente à eq. [0], V = 19,98 V. Alterando os limites da corrente I (fig. 17) para 0 e 5, obtém-se a curva para todos os valores de corrente. Podem comparar-se na fig. 0 a curva de V obtida com a solução proposta para fdp constante no secundário (linha contínua), com a que se obtém com um modelo de fdp constante no primário (linha ponteada). Para a corrente nominal, observa-se uma redução aproximada de 19,5% no valor da tensão V calculada com a solução proposta. fig. 0 Tensão V com fdp constante no secundário e fdp constante no primário. Considera-se que este valor percentual (19,5%) possa ter alguma variação consoante o transformador, contudo o valor encontrado não é negligenciável e justifica a adoção de uma metodologia mais rigorosa com a da solução proposta. 8/8