MODELAGEM E DINÂMICA DE UM DISPOSITIVO MICRO-ELETROMECÂNICO (MEMS). MODELING AND DYNAMICS OF MICRO-ELECTROMECHANICAL DEVICE (MEMS).

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1 MODELAGEM E DINÂMICA DE UM DISPOSITIVO MICRO-ELETROMECÂNICO (MEMS). MODELING AND DYNAMICS OF MICRO-ELECTROMECHANICAL DEVICE (MEMS). Douglas Roca Santo 1, José Manoel Balthazar 2, Bento Rodrigues de Pontes Junior 3 1- Campus de Bauru Faculdade de Ciências Licenciatura Plena em Física douglasroca@fc.unesp.br. 2-Campus de Rio Claro Instituto de Geociências e Ciências Exatas jmbaltha@rc.unesp.br. 3-Campus de Bauru Faculdade de Engenharia brpontes@feb.unesp.br. Palavras chaves: dispositivos micro-eletromecânicos; dinâmica não-linear; excitação paramétrica. Keywords: micro-electromechanical devices; nonlinear dynamics; parametric excitation. 1.INTRODUÇÃO Os Sistemas Micro-Eletromecânicos (MEMS - Micro-Electro-Mechanical Systems) são dispositivos que variam em tamanho de micrômetros a milímetros que combinam componentes mecânicos e elétricos e têm a capacidade de detectar, controlar e atuar em micro-escala. As pesquisas envolvendo Sistemas Micro-Eletromecânicos começaram em torno de 1950, mas foi a partir da década de 1990 que apareceram utilizações para MEMS em aplicações nos produtos comerciais. Estes dispositivos são utilizados, por exemplo, em acelerômetros de airbag e sensores de pressão em aparelhos biomédicos. Os fenômenos não-lineares são predominantes em dispositivos MEMS. Portanto, é necessário identificar e compreender essas não-linearidades para garantir um melhor desempenho do sistema. Este tema e exemplos de não-linearidades foram explorados por pesquisadores em [1-3]. 2.OBJETIVOS Nesse projeto de pesquisa é estudado o comportamento de um dispositivo tipo micro-viga, através de um modelo discreto equivalente (massa-mola-amortecedor) acionado eletrostaticamente, baseado em MEMS, em relação a: Ressonância do sistema não linear sob efeito de excitações forçadas e paramétricas. Comportamento dinâmico do sistema sob efeito de diferentes frequências de excitação. Comportamento dinâmico não-linear considerando o termo de rigidez não-linear da mola. 3.MATERIAIS E MÉTODOS O software utilizado nas simulações numéricas foi o MATLAB. O sistema proposto consiste de um capacitor de placas paralelas, sendo uma placa fixa e uma placa móvel. A placa móvel é conectada a uma mola e a um amortecedor e o sistema é excitado parametricamente e externamente por uma tensão aplicada nas placas do capacitor.

2 Figura 1 - Modelo simplificado de um dispositivo micro-vigas em MEMS [4]. Na figura 1, m é a massa da placa móvel do capacitor; y é o deslocamento da placa móvel; k é a constante de rigidez da mola; c é a constante de amortecimento; F e (t) é a força eletrostática entre as placas do capacitor, gerada ao aplicar uma tensão V, expressada como F e (t) = ε 0 A V 2 (t) / 2(d-y) 2. Onde ε 0 é a constante dielétrica absoluta no vácuo; A é a área sobreposta entre as duas placas e d é a distância entre as placas do capacitor. A equação de movimento que governa a dinâmica desse sistema pode ser escrita como, m + c + ky = ε 0 A V 2 (t) / 2(d - y) 2 (1) A equação 1 é adimensionalizada para efetuar a análise. Para diferenciar a forma dimensional da adimensional, utilizaremos as variáveis x,,. Assim, para a implementação computacional, a equação do movimento que governa a dinâmica do sistema na forma adimensional é escrita como, (2) + ζ + x = T V 2 (τ) / (1 x) 2 Na equação 2, adimensionalizada, x=y/d é o deslocamento da placa móvel; e são a velocidade e a aceleração da placa, respectivamente; ζ = c/ é o coeficiente de amortecimento viscoso; ω 0 = a frequência natural do sistema; T = ε 0 A / 2mω 0 2 d 3 é a força eletrostática entre as placas; τ = ω 0 t é o tempo adimensional. Introduzindo o termo não-linear da constante de rigidez da mola na equação 2, e aplicando sob o sistema uma tensão V = [(V 0 + V P )cos t], onde = ω/ω 0 é a razão entre a frequência de excitação e frequência natural do sistema. A equação de movimento que governa a dinâmica do sistema, na forma adimensional é: (3) + ζ + x + k 1 x 3 = T(V 0 + V p ) 2 cos 2 t / (1 - x) 2 4.RESULTADOS E DISCUSSÕES Para obter o comportamento do sistema, o modelo matemático expressado pelo sistema de equações diferenciais foi manipulado para implementação computacional no ambiente de simulação numérica de um aplicativo computacional denominado MATLAB. Através dessa implementação, foram obtidas as respostas que possibilitaram as posteriores análises conforme [5].

3 Na tabela 1, são apresentados os valores adotados conforme a referência bibliográfica [4] para obtenção dos resultados mostrados na figura 2. A partir desses resultados, procura-se averiguar o comportamento dinâmico do sistema sob o efeito de diferentes frequências de excitação. Na figura 2, são apresentados os históricos dos deslocamentos e os retratos de fase para os diferentes valores de razão de frequências, = 1/2 e = 1. Os valores das condições iniciais adotados para os diferentes casos foram x=0.4 e = 0. O valor do parâmetro de amortecimento viscoso, ζ, foi adotado como sendo ζ = conforme [4]. Tabela 1 - Valores utilizados para a obtenção dos históricos no tempo e retratos de fase. Caso d V0 a 1/2 3e-6 20 b 1 3e-6 20 O plano de fase mostra o comportamento do sistema para o conjunto de valores de parâmetros e de excitação externa na vibração forçada conforme a Tabela 1. Na figura 2, são ilustrados os retratos de fase para investigar o comportamento dinâmico não-linear do sistema. Para = 1/2 (figura 2a) e = 1 (figura 2b), podem ser notados laços bidimensionais nos retratos de fase. O sistema é estável para diferentes valores da frequência de excitação quando não considera-se a componente da tensão alternada (ac) e o termo de rigidez não-linear da mola. (a) (b)

4 Figura 2 - Históricos do deslocamento e retratos de fase para diferentes frequências. (a) = 1/2; (b) = 1. Na tabela 2, são apresentados os valores adotados conforme a referência bibliográfica [4] para o conjunto de resultados mostrados na figura 3. A partir desse conjunto de resultados, procura-se averiguar o comportamento dinâmico do sistema ao introduzir o termo não-linear da constante de rigidez da mola e aplicando-se uma tensão V = [(V 0 + V P )cos t]. Na figura 3, são apresentados o histórico do deslocamento e o retrato de fase. Os valores das condições iniciais adotados foram x = 0.4, = 0. O valor do parâmetro de amortecimento viscoso, ζ, foi adotado como sendo ζ = conforme [4]. Tabela 2 - Valores utilizados para a obtenção dos históricos no tempo e retratos de fase. d V o V p k 1 1/2 1e Ao introduzir o termo não-linear da constante de rigidez da mola na equação governante que rege o sistema e aplicando sob o sistema uma tensão V = [(V 0 + V P )cos t] é possível observar um regime de movimento menos regular do que os resultados anteriormente obtidos. Na figura 3, o retrato de fase do sistema apresenta um atrator bidimensional e o movimento de sua trajetória a partir da órbita exterior à órbita interior se aproxima de um estado estável. Nota se a influência da frequência de excitação na resposta dinâmica do sistema com a mola não-linear.

5 (a) (b) Figura 3 Histórico do deslocamento (a) e retrato de fase (b) com o termo não-linear da mola e sob tensão V = [(V 0 + V P )cos t]. 5.CONCLUSÕES Os estudos sobre Micro-Electro-Mechanical Systems (MEMS), apresentaram o modelo proposto de dispositivo MEMS e os resultados preliminares obtidos pela implementação do mesmo. Os resultados demonstraram o comportamento do sistema estudado e permitiram a verificação da consistência dos algoritmos implementados (programas). A partir dos resultados foi possível verificar a influência da frequência de excitação, da tensão aplicada e da mola não-linear no comportamento do modelo de MEMS estudado. 6.REFERÊNCIAS [1] NAYFEH A.H., MOOK D.T. Nonlinear oscillations. Canada: Wiley, p. [2] STROGATZ, S.H. Nonlinear dynamics and chaos: With applications to physics, biology, chemistry, and engineering. Cambridge: Perseus Books, Cambridge, p.

6 [3] R.M. Lin, W.J. Wang, Structural dynamics of microsystems current state of research and future directions, Mechanical Systems and Signal Processing 20 (2006) [4] ZHANG, W.M.; MENG, G. Nonlinear dynamical system of micro-cantilever under combined parametric and forcing excitations in MEMS. Sens. Actuators A 119 (2005) [5] THOMPSON, J. M. T., STEWART, H.B. Nonlinear Dynamics and Chaos. 2 nd ed. London: John Wiley and Sons, p. APOIO FINANCEIRO: Os autores agradecem a FAPESP, CAPES e CNPq.