VI Seminário da Pós-graduação em Engenharia Mecânica

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1 INFLUÊNCIA DA FREQUÊNCIA DE EXCITAÇÃO NA DINÂMICA NÃO-LINEAR DE UM SISTEMA VIBRO-IMPACTO Fernando de Haro Moraes Aluno do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica Unesp Bauru Prof. Dr. Bento Rodrigues de Pontes Junior Orientador Depto de Engenharia Mecânica Unesp Bauru RESUMO Nas aplicações em engenharia existem várias situações onde é necessário o uso de vibrações em certas partes de um sistema mecânico, criadas a partir de transição brusca de um parâmetro do sistema, como por exemplo, em furadeiras de impacto, britadeiras, máquinas perfuratrizes, e uma infinidade de outros exemplos. Os sistemas mecânicos submetidos a essa forma de excitação, são chamados em geral de mecanismos tipo vibro-impacto. Uma aplicação de destaque desses mecanismos são as máquinas perfuratrizes de solo em exploração de petróleo onde a condição de impacto na interação broca-rocha facilita a penetração no solo. Os sistemas mecânicos que apresentam impactos e folgas são exemplos de sistemas não-suaves, tendo como principal característica, a operação em diferentes modos, sendo que a transição de um modo para outro ocorre em uma escala de tempo muito pequena. O presente trabalho tem como objetivo a análise da dinâmica do sistema tipo mecanismo com vibro-impacto para diferentes valores da frequência de excitação. Foram analisados os resultados das simulações numéricas através dos Históricos no Tempo, Retratos de Fase, Diagrama de Bifurcações, Mapa de Poincaré e Espectros de Frequências. Observou-se as velocidades de avanço do sistema (penetração), as taxas de transferência de energia, e as forças durante as transições bruscas da rigidez (condição tipo impacto) entre as massas, determinando-se as faixas dos parâmetros com comportamentos periódicas e caóticas e, também, faixas onde ocorreram ou não as transições bruscas de rigidez (condição tipo impacto). A partir dos resultados obtidos foi possível concluir que o mecanismo tipo vibro-impacto analisado possui maior velocidade de avanço (penetração) e maior força em determinada frequência de excitação onde o movimento apresenta-se no regime caótico. Palavras-chave: Mecanismo Tipo Vibro-Impacto, Dinâmica Não-Linear, Caos. 1. INTRODUÇÃO Nos sistemas mecânicos há várias aplicações onde é necessário o uso do impacto para criar vibrações em certas partes do sistema. Os mecanismos vibro-impacto merecem tanta atenção assim como os absorvedores de vibrações, pois estão presentes em uma vasta gama de sistemas de engenharia mecânica, civil, elétrica. Como exemplos de aplicação citam-se as esteiras vibratórias, máquinas perfuratrizes, máquinas compactadoras, martelos de forjar, martelos de impacto, misturadores de pó. Pavlovskaia et al (2001), realizou estudos em um modelo de dois graus de liberdade de um sistema vibro- impacto e afirmou que apesar de parecer simples, a dinâmica do sistema é

2 muito complexa, variando os regimes desde o periódico até o caótico. Essa transição de regimes geralmente ocorre ao mais leve contato entre duas massas durante o impacto. A maior importância do estudo de mecanismos vibro-impacto está na aplicação de máquinas perfuratrizes de solo, ou de petróleo devido aos altos custos envolvidos nesses tipos de projetos, sendo que uma broca pode ter mais de quilômetros de comprimento, e possuir vários modos de vibrar. Nesses casos qualquer tipo de falha ou manutenção, torna-se altamente custosa e complexa. Muitas vezes a operação de perfuração não permite o erro. Aguiar (2010) realizou estudos voltados à perfuração de petróleo onde afirma que uma condição de impacto na interação broca/rocha é capaz de facilitar a penetração e de propagar trincas na rocha dura a ser perfurada. A perfuração de materiais frágeis necessita de uma alta taxa de transferência de energia para que ocorra a fratura do material a ser perfurado. A maneira mais adequada de realizar a transferência de energia entre Broca/Rocha é através do impacto. 2. OBJETIVOS O presente trabalho tem como objetivo a análise da dinâmica do sistema tipo mecanismo com vibro-impacto para diferentes valores da frequência de excitação. Foram analisados os resultados das simulações numéricas através dos Históricos no Tempo, Retratos de Fase, Diagrama de Bifurcações, Mapa de Poincaré e Espectros de Frequências. 3. MATERIAIS E MÉTODOS Para os ensaios numéricos deste artigo utilizou rotinas de programação aplicadas ao software MATLAB. Foi utilizado o integrador numérico ODE MODELAGEM MATEMÁTICA Segundo Nayfeh (1981), é raro obter respostas exatas de problemas descontínuos. Isso devido as não linearidades, não homogeneidades e as diferentes condições de contorno presente nesses tipos de problema. Assim engenheiros, físicos, matemáticos aplicados, são forçados a determinar soluções aproximadas dos problemas em questão. Essas aproximações podem ser obtidas através de técnicas puramente numéricas, analíticas ou uma mistura de numérica e analítica. A chave para solucionar os problemas modernos é o modelamento matemático. Esse processo consiste em manter certos parâmetros, retirar ou aproximar outros. O modelo apresentado na Fig.(1) representa um mecanismo de dois graus de liberdade com uma mola de dois estágios, os parâmetros utilizados estão apresentados na Tab.(1) e as condições iniciais estão apresentadas na Tab.(2) abaixo: Figura 1. Modelo físico do mecanismo com mola de dois estágios

3 Tabela 1. Parâmetros do modelo Descrição Símbolo Valor Massa do Bloco 1 Massa do Bloco 2 Rigidez da mola de união Um Rigidez da mola de impacto Mi Coeficiente de amortecimento 1 1 Coeficiente de amortecimento 2 c 2 Comprimento da mola de união dos Blocos Lu 0,001m Posição da mola de impacto Mi Li 0,000m Folga entre Bloco 1 e mola de impacto Mi G 0,001m Amplitude A 0,08 m Freqüência de Excitação Parâmetro de variação Hz Tabela 2. Condições iniciais Descrição Símbolo Valor Posição inicial do bloco 1 0, 0 m Velocidade inicial do bloco 1 0,0 m/s Posição inicial do bloco 2 0,0 m Velocidade inicial do bloco 2 (0) 0,0 m/s O experimento consiste em um sistema de dois graus de liberdade composto por dois blocos de massas diferentes, a massa m1 e m2, sendo que m2 é maior que m1, elas estão acopladas por um elemento elástico (mola de comprimento Lu e rigidez k1) e um amortecedor com coeficiente de amortecimento c1. O Bloco-1 é excitado por uma força harmônica F(t), a qual gera uma excitação senoidal no sistema.a folga G é representa pelo intervalo entre o bloco e o ponto Xo. O ponto Xo representa a posição do extremo da mola de impacto de comprimento Li a qual possui constante elástica ko. A mola de impacto Li possui uma ridez muito alta representado a rigidez do material do bloco-2. O bloco-2 possui um prolongamento que sofre atrito contra uma superfície. Esse coeficiente de atrito c2 representa um atrito Coulomb. A função deslocamento do bloco-1 é representado por X1 e a função deslocamento do bloco 2 é representada por X2. O sistema comporta-se periodicamente quando não há impacto entre os blocos, ou seja, quando o deslocamento relativo entre os blocos é menor que o tamanho da folga G. A Fig.(2) abaixo mostra a constante de rigidez da mola do sistema: Figura 2. Constante de Rigidez da mola do sistema (mola de dois estágios)

4 A equação do movimento quando não há transição brusca na rigidez é mostrada na Eq.(1), se X(2)-X(1)>=G: Eq.(1) Quando o deslocamento relativo entre os blocos é maior que o comprimento G, a transição brusca na rigidez ocorre. Assim a equação do movimento é representado pela Eq.(2), se X(2)-X(1)<G: Eq.(2) Esse modelo matemático possui uma condição de compatibilidade cinemática: ele não é válido quando a posição X 1 do bloco 1 ultrapassar a posição X 2 do bloco 2, ou seja, o bloco 1 nunca deve ultrapassar o bloco 2. Caso contrário, o modelo é fisicamente inconsistente. 5. METODOLOGIA DA SIMULAÇÃO NUMÉRICA A entrada do experimento é a variação da frequência da força harmônica. As saídas são o deslocamento, a velocidade. Através do processamento computacional são obtidos a Força dos Impactos, os Retratos de Fases, os Mapas de Poincaré e os Espectros de Frequência. O experimento consiste em fixar o tamanho das distâncias entre os blocos e variar a frequência e assim avaliar a intensidade da força gerada a cada impacto. O valor do intervalo G adotado foi 1,0 mm baseado em Ho et al (2010). 6. RESULTADOS DOS ENSAIOS NUMÉRICOS Os diagramas de bifurcação apresentam informações muito úteis para identificar a influência de um dado parâmetro na resposta de um sistema. Desta forma, é possível ter-se uma visão global sobre os efeitos da variação da frequência na resposta. O parâmetro de variação adotado foi a freqüência. Ela foi variada de 2,6 Hz à 4,2 Hz com referencia ao artigo de Ho et al (2010). O intervalo do parâmetro de variação foi escolhido de maneira a mostrar as variações da dinâmica do sistema entre regime periódico, caótico e suas principais características, mostradas na tabela 3. A Fig.(3) representa o Diagrama de Bifurcação. Nele são mostradas linhas tracejadas verticais que indicam as regiões onde será analisado o Histórico no tempo, o Retrato de Fases, o Mapa de Poincaré e o Espectro de Freqüências. A linha tracejada horizontal indica a região a partir da qual ocorre o contato entre o bloco 1 e o segundo estágio da mola. Serão analisadas as freqüências: -Frequência: 3,0 Hz -Frequência: 3,3 Hz -Frequência: 3,8 Hz -Frequência: 4,0 Hz -Frequência: 4,1 Hz

5 Figura 3. Diagrama de bifurcação (parâmetro de controle: frequência) A Tab.(3) apresenta classificação do tipo de regime e a presença ou não da transição brusca de rigidez presente para cada variação da frequência. Tabela 3. Regiões do Diagrama de Bifurcações Freqüência 3,0 Hz 3,3 Hz 3,8 Hz 4,0 Hz 4,1 Hz Regime periódico Caótico periódico caótico periódico Transição brusca da rigidez não ocorre Ocorre ocorre ocorre ocorre A Fig.(4.a) representa o deslocamento dos blocos que constituem o sistema vibroimpacto, o bloco 1 é representado pela linha mais grossa e o bloco 2 é representado pela linha mais fina. O sistema oscila em regime periódico e não ocorre o contato com a mola do segundo estágio. O conjunto permanece oscilando em torno de um referencial fixo, ou seja, o sistema não adota um sentido de deslocamento. A Fig.(4.b) representa o espectro de freqüências do sistema o qual apresenta a freqüência predominante no sistema 3Hz. Figura 4.a. Deslocamento- zoom f=3 Hz Figura 4.b. Espectro de Freqüências f=3 Hz

6 Na freqüência de excitação 3,3Hz, ocorre o primeiro contato com a mola do segundo estágio, onde ao mais leve toque o sistema entra em uma dinâmica caótica, exemplificado pela Fig.(5.a). A Fig.(5.b) apresenta as freqüências existentes no mecanismo, sendo possível notar a presença perturbações em todo o espectro de freqüências. Figura 5.a. Deslocamento- zoom f=3,3 Hz Figura 5.b. Espectro de Freqüências f=3,3 Hz Nas Fig.(6.a) o deslocamento do sistema é periódico, e ocorre a transição brusca da rigidez causada pelo contato entre o bloco 1 e a mola do segundo estagio. O espectro de freqüências apresenta a freqüência de excitação predominante no sistema assim como outras mais oriundas da mola de dois estágios, Fig.(6.b). Figura 6.a. Deslocamento- zoom f= 3,8 Hz Figura 6.b. Espectro de Freqüências f= 3,8 Hz Na Fig.(7.a) o sistema volta a apresentar o movimento caótico e assim perturbar todo o espectro de freqüências na Fig.(7.b). Figura 7.a. Deslocamento- zoom f= 4,0 Hz Figura 7.b. Espectro de Freqüências f= 4,0 Hz

7 E finalmente a dinâmica do sistema torna-se novamente periódica apesar de estar ocorrendo à transição brusca de rigidez da mola de dois estágios Fig.(8.a). A Fig.(8.b) representa o espectro de freqüências dessa situação. Figura 8.a. Deslocamento- zoom f= 4,1 Hz Figura 8.b. Espectro de Freqüências f= 4,1 Hz Os Retratos de fases e Mapas de Poincaré apresentados a seguir são referentes ao deslocamento relativo entre os Blocos 1 e 2, assim como o diagrama de bifurcações apresentado anteriormente. A Fig.(9.a) apresenta o retrato de fase de um movimento periódico de um período para a freqüência de excitação de 3Hz. A Fig.(9.b) apresenta o Mapa de Poincaré confirma a existência de apenas um período. A órbita simétrica do retrato de fases indica que não está ocorrendo o contato com a mola do segundo estagio. Figura 9.a. Retrato de Fases f=3 Hz Figura 9.b. Mapa de Poincaré f= 3 Hz A Fig.(10.a) apresenta o retrato de fases todo perturbado, indicando uma situação de caos isso ocorre devido ao contato entre o bloco 1 e a mola do segundo estágio. A partir da freqüência de excitação de 3,3Hz o achatamento da órbita representa o instante em que ocorre o choque entre bloco 1x mola do segundo estágio. O Mapa Poincaré apresentado na Fig.(10.b) indica a existência de muitos períodos, representado por uma nuvem de pontos. Figura 10.a. Retrato de Fases f= 3,3 Hz Figura 10.b. Mapa de Poincaré f= 3,3 Hz

8 A Fig.(11.a) apresenta o retrato de fases de um movimento periódico. As órbitas são bem definidas e a partir da Fig.(11.b) verificamos a existência de dois períodos para a freqüência de excitação de 3,8Hz. Figura 11.a. Retrato de Fases f= 3,8 Hz Figura 11.b. Mapa de Poincaré f= 3,8 Hz A Fig.(12.a) apresenta o retrato de fases todo perturbado, indicando uma situação de caos. O Mapa de Poincaré apresentado na Fig(12.b) indica a existência de muitos períodos, representado por uma nuvem de pontos. Figura 12.a. Retrato de Fases f= 4,0 Hz Figura 12.b. Mapa de Poincaré f= 4,0 Hz A Fig.(13.a) apresenta o retrato de fases de um movimento periódico para a freqüência de excitação de 4,1Hz. As órbitas são bem definidas e a partir da Fig.(13.b) verificamos a existência de três períodos. Figura 13.a. Retrato de Fases f= 4,1 Hz Figura 14.b. Mapa de Poincaré f= 4,1 Hz 7. RESULTADOS COMPARATIVOS O mecanismos tipo vibro-impacto desta pesquisa tem como principal função penetrar em uma superfície, baseado nessa afirmação, neste capítulo será analisada a influência do

9 parâmetro de controle (freqüência) somente quando o ângulo de inclinação da reta do deslocamento do sistema for positivo. O ângulo positivo da inclinação da reta do deslocamento indica que o sistema desloca-se da esquerda para a direita, representando a penetração do sistema em uma superfície. A inclinação da reta dos gráficos das figura 15.a, 16.a e 17.a indicam a velocidade média do deslocamento do sistema. Assim é possível afirmar que o sistema desloca-se mais rapidamente utilizando a freqüência de 3,3Hz, depois a freqüência de 4,0Hz e a de 3,8Hz sucessivamente. A mola do segundo estágio possui a constante de rigidez elevada em relação a mola do primeiro estágio. Assim, ela é responsável pela transição brusca que ocorre na dinâmica do sistema. A partir da deformação observada nessa mola, foram gerados os gráficos das forças de compressão atuantes(figuras 15.b, 16.b e 17.b). Então, a mola do segundo estágio sofre maiores forças de compressão quando é utilizada a frequencia de 3,3Hz, considerando que o movimento é caótico e a força apresenta o maior intervalo de variação de 1N até 5,5N. Depois a freqüência de 4,0Hz e a de 3,8Hz sucessivamente. Serão analisadas somente as três condições onde o sistema se desloca de maneira a penetrar na superfície (freqüências 3,3Hz; 3,8Hz e 4,0Hz). Não convém analisar a condição onde o sistema oscila em torno do próprio eixo (freqüência 3,0Hz) e onde o sistema se afasta da superfície (frequência 4,1Hz) sendo que este artigo visa analisar a dinâmica do sistema durante a penetração em uma superfície e não quando se afasta dela. A partir da Tab.(4) e da Tab.(5) é possível comparar os valores atingidos da velocidade do sistema e da força de compressão aplicada a mola do segundo estágio. Tabela 4- Velocidade do sistema x Freqüência Freqüência 3,3 Hz 3,8 Hz 4,0 Hz Velocidade do sistema Portanto o sistema possui maior velocidade para a freqüência de 3,3 Hz. Analisando os gráficos da força de impacto, através das Fig.(15.b), Fig.(16.b) e Fig.(17.b) foi construída a Tab.(5), abaixo: Tabela 5- Força de compressão da mola do segundo estágio x Freqüência Freqüência 3,3 Hz 3,8 Hz 4,0 Hz Força de compressão da mola do segundo estágio 5,5 N 3,4 N 5,0 N Portanto o sistema possui maior força de impacto para a freqüência de 3,3 Hz. Figura 15.a. Deslocamento 3,3 Hz Figura 15.b. Força de compressão da mola do segundo estágio 3,3 Hz

10 Figura 16.a. Deslocamento 3,8 Hz Figura 16.b. Força de compressão da mola do segundo estágio 3,8 Hz Figura 17.a. Deslocamento 4,0 Hz Figura 17.b. Força de compressão da mola do segundo estágio 4,0 Hz 8. CONCLUSÕES A análise deste modelo possibilitou concluir que para cada valor do parâmetro de freqüência de excitação, o sistema apresenta um determinado comportamento. De acordo com a aplicação deste modelo a um mecanismo do tipo vibro- impacto, a freqüência de excitação 3,3 Hz apresenta maiores velocidades de deslocamento, maiores forças de compressão na mola do segundo estágio e logo maior transferência de energia entre os blocos, considerando que o movimento apresentou- se caótico. Como conclusão desta pesquisa foi gerada a Tab.(6), a qual apresenta um resumo de todos os resultados mais importantes obtidos para a dinâmica desse sistema. Tabela 6. Resumo da dinâmica do sistema Freqüência 3,0 Hz 3,3 Hz 3,8 Hz 4,0 Hz 4,1 Hz Regime periódico Caótico periódico caótico periódico Transição brusca de rigidez não ocorre Ocorre ocorre ocorre ocorre Sentido do Deslocamento neutro Positivo positivo positivo negativo Velocidade de deslocamento do sistema n.c. n.c.

11 Força de compressão da mola do segundo estágio Energia Cinética Máxima do bloco-1 n.c. 5,5 N 3,4 N 5,0 N n.c. n.c. n.c. REFERÊNCIAS Aguiar, R.R., 2010, Experimental investigation and numerical analysis of the vibro-impact phenomenon, Doctor's thesis, Department of Mechanical Engineering, PUC-Rio, Rio de Janeiro, RJ, Brazil. Divenyi, S.; Savi, M.A.; Weber, H.I. & Franca, L.F.P., 2008, Experimental investigation of an oscillator with discontinuous support considering different system aspects, Chaos, Solitons and Fractals 38 (2008) Ho, J.-H., Nguyen, V.-D., Woo, K.-C., 2010, Nonlinear dynamics of a new electro-vibroimpact system. Nonlinear Dynamics, V. 63, n. 1-2, 35-49, DOI: /s Ing, J., Pavlovskaia, E., Wiercigroch M., Banerjee, S., 2010, Bifurcation analysis of an impact oscillator with a one-sided elastic constraint near grazing Physica D 239 (2010) 312_321, DOI: /j.physd Nayfeh, A.H., (1981), Introduction to Perturbation Techniques, John Wiley & Sons. Nguyen, V.-D., Woo, K.-C.,2008, Nonlinear dynamic responses of new electro-vibroimpact system. J. Sound Vib, 310, Souza, S. L.T., Caldas, I. L., Viana, R. L, Balthazar J. M., 2008, Control and chaos for vibroimpact and Non-ideal oscillators, Journal of theoretical and applied mechanics. 46, 3, pp , Warsaw. DIREITOS AUTORAIS Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo do material impresso incluído neste trabalho.