V Seminário da Pós-graduação em Engenharia Mecânica

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1 MODELAGEM, DINÂMICA E CONTROLE DE SISTEMA ELETROMECÂNICO SUJEITO A CONDIÇÃO DE IMPACTO Fernando de Haro Moraes Aluno do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica Unesp Bauru Prof. Dr. Bento Rodrigues de Pontes Júnior Orientador Depto de Engenharia Mecânica Unesp Bauru Prof. Dr. José Manoel Balthazar Co-Orientador IGCE Unesp Rio Claro RESUMO Neste trabalho, foram estudados sistemas mecânicos que necessitam a utilização do impacto para criar vibrações em determinadas partes do sistema. Esses sistemas são inerentemente não lineares. Como exemplos de aplicação é possível citar as furadeiras de impacto, britadeiras, máquinas perfuratrizes em geral, mesas vibratórias, esteiras, misturadores e uma infinidade de outros exemplos nos mais diferentes sistemas de engenharia. Apesar da dinâmica desses sistemas parecem simples, são complexas e variam do regime estacionário até o caótico. Um dos principais dispositivos vibro-impacto pesquisado é um sistema vibratório forçado de dois graus de liberdade constituído de duas massas diferentes, acopladas por um elemento elástico. O bloco de menor massa é excitado por uma força harmônica (ideal). O impacto ocorre quando os blocos percorrem uma distância relativa maior que a folga entre eles. Nesse contexto, o presente trabalho tem como objetivo representar os aspectos importantes do deslocamento e transferência de energia entre os dois blocos do modelo, representando a dinâmica da penetração de um sistema mecânico de perfuração. Para isso, apresenta-se a modelagem e a análise do comportamento do sistema, onde foram analisados os históricos no tempo, os retratos de fase, respostas em freqüência, mapa de Poincaré. As equações que governam a dinâmica do sistema foram deduzidas pelas equações de Lagrange, parte mecânica. Simulações numéricas dos dois modelos foram realizadas no software MATLAB. PALAVRAS-CHAVE: Sistema sujeito à condição de impacto, Dinâmica Não- Ideal, Dinâmica Não-Linear.

2 1 INTRODUÇÃO Vibração é definida como um movimento periódico, i.e., uma oscilação de uma partícula, um sistema de partículas ou um corpo rígido em torno de uma posição de equilíbrio. No nosso cotidiano, todos os objetos apresentam vibrações. As vibrações podem ser transmitidas na forma de deslocamentos, velocidades e acelerações. No ambiente industrial há várias fontes de vibrações. A presença de vibração conduz a efeitos indesejáveis, tais como falha estrutural ou mecânica. As vibrações devem ser eliminadas entretanto muitas vezes o custo torna-se muito alto. Em alguns casos as vibrações são inerentes da própria máquina e uma pequena força de excitação pode causar grandes e indesejáveis respostas principalmente quando o sistema é pouco amortecido. Nesses sistemas a amplitude da resposta pode ser reduzida significantemente utilizando um isolador ou uma massa auxiliar. A análise de vibrações tem fundamental importância para as mais diversas áreas da engenharia. Ela pode ajudar na manutenção preditiva de máquinas, construção de grandes obras de engenharia civil, estudos de resistência de materiais e nas mais diversas áreas. Nos sistemas mecânicos há várias aplicações onde é necessário o uso do impacto para criar vibrações em certas partes do sistema. Os mecanismos vibro-impacto merecem tanta atenção assim como os absorvedores de vibrações, pois estão presentes em uma vasta gama de sistemas de engenharia mecânica e civil. Como exemplo de aplicação sita-se as esteiras vibratórias, máquinas perfuratrizes, máquinas compactadoras, martelos de forjar, martelos de rompimento, misturadores de pó. Pavlovskaia et al. (2001), realizou estudos em um modelo de dois graus de liberdade de um sistema vibro- impacto e afirmou que apesar de parecer simples, a dinâmica do sistema é muito complexa, variando os regimes dede o periódico até o caótico. Essa transição de regimes geralmente ocorrerem ao mais leve contato entre duas massas durante o impacto. A maior importância do estudo de mecanismos vibro- impacto está na aplicação de máquinas perfuratrizes de solo, ou de petróleo devido aos altos custos envolvidos nesses tipos de projetos, sendo que uma broca pode ter mais de quilômetros de comprimento, e possui vários modos de vibrar. Nesses casos qualquer tipo de falha ou manutenção, torna-se altamente custosa e complexa, muitas vezes a operação de perfuração não permite o erro. R.R. Aguiar realizou estudos voltados à perfuração de petróleo onde afirma que uma condição de impacto na interação broca/rocha é capaz de facilitar a penetração e de propagar trincas na rocha dura a ser perfurada. A perfuração de materiais frágeis necessita de uma alta taxa de transferência de energia para que ocorra a fratura do material a ser perfurado e a maneira mais adequada de realizar essa transferência de energia é através do impacto. O objetivo dessa pesquisa é analisar os parâmetros que afetam a dinâmica do mecanismo vibro-impacto. Para isso será analisado as séries de histórico no tempo, diagramas de bifurcação, retratos de fases, resposta em freqüência e transferência de energia. Para atingirmos o objetivo principal deste trabalho algumas etapas, ou objetivos secundários, foram necessárias: - Elaboração de um modelo matemático mais completo e real possível, que contemplasse elementos lineares e não-lineares; - Simulações numéricas que mostrassem a eficiência dos absorvedores de vibrações eletromecânico em sistemas não-ideais e a interação entre sistemas mecânicos e elétricos; - Estudo do comportamento do sistema para diferentes valores dos parâmetros dos termos lineares e não-lineares e a importância de cada parâmetro;

3 2- METODOLOGIA DA SIMULAÇÃO NUMÉRICA As entradas do experimento é a variação da frequência da força harmônica. As saídas são o deslocamento, a velocidade. Através do processamento computacional são obtidos o Histórico no Tempo, os Retratos de Fases, os Mapas de Poincaré, Espectros de Frequência e Diagrama de Bifurcação. Os parâmetros e condições iniciais foram previamente determinados a partir de valores obtidos de experimentos citados na referência bibliográfica. O experimento consiste em fixar o tamanho da distância entre os blocos e variar a frequência e assim avaliar a dinâmica do sistema. 3- MODELO DO SISTEMA VIBRO- IMPACTO O experimento consiste em um sistema de dois graus de liberdade composto por duas massas diferentes, a massa m 1 e m 2, sendo que m 2 é maior que m 1, presa por um elemento elástico, mola de comprimento Mu e rigidez k 1 e um amortecedor com coeficiente de amortecimento c 1. O Bloco-1 está excitado por uma força harmônica F(t), a qual gera uma excitação senoidal no sistema. O intervalo entre o bloco 1 e o ponto Xo é representada pelo comprimemto G. O ponto Xo representa a posição do extremo da mola de impacto de comprimento Li a qual possui constante elástica ko. A mola de impacto Li possui uma ridez muito alta representado a rigidez do material do bloco-2. O bloco-2 possui um prolongamento que atrita com a parede. Esse coeficiente de atrito c 2 representa a interação broca versus solo. A função deslocamento do bloco-1 é representado por X 1 e a função deslocamento do bloco 2 é representada por X 2. Figura 1- Sistema Vibro-Impacto

4 3- MODELO MATEMÁTICO O sistema comporta-se periodicamente quando não há impacto entre os blocos, ou seja, quando o deslocamento relativo entre os blocos é menor que o tamanho da folga D. A equação do movimento quando não há impacto é mostrada na equação (1), se X(2)-X(1)>=G: (1) Quando o deslocamento relativo entre os blocos é maior que o comprimento D, o impacto ocorre. Assim a equação do movimento é representado pela equação(2), se X(2)- X(1)<G: (2) A força harmônica F(t) é representada pela equação (3): A força da mola1, F spr é representada pela equação (4): (3) A força da mola de impacto, F stop é representada pela equação (5): (4) F stop =.(X 1 X 2 +G ) (5) A força de amortecimento, F damp é representada pela equação (6): F damp = c.( ) (6) Esse modelo matemático possui uma condição de compatibilidade cinemática: ele não é válido quando a posição do bloco 1 ultrapassar a posição do bloco 2, ou seja, o bloco 1 nunca deve ultrapassar o bloco 2. Caso contrário, o modelo é fisicamente inconsistente.

5 5. SIMULAÇÃO NUMÉRICA As equações diferenciais de segunda ordem (1) e (2) foram transformadas nas equações diferenciais de primeira ordem (7) e (8), onde X representa o deslocamento u e representa a velocidade v. The state variables are: = Block 1 displacement; = Block 1 velocity; = Block 2 displacement; = Block 2 velocity; A equação (7) representa a dinâmica do sistema quando não há impacto, ou seja, : (7) A equação (8) representa a dinâmica do sistema quando há impacto, ou seja, : (8)

6 6. RESULTADOS NUMÉRICOS PARA UMA VIBRAÇÃO FORÇADA HARMÔNICA Para efeitos de comparação alguns parâmetros como m 1, m 2, Lu, Li, G, ko, foram baseados em Ho et al (2010). Foi consideranda a folga entre os blocos 1 e a mola de impacto G= 1,0 mm, e o sistema oscilando em vibração forçada. A tabela 1 e tabela 2 mostra os parâmetros e as condições iniciais adotadas na simulação, baseados em pesquisas anteriores relatadas na revisão bibliográfica. Tabela-1 Parâmetros Descrição Símbolo Valor Massa do Bloco 1 Massa do Bloco 2 Rigidez da mola de união Mu Rigidez da mola de impacto Mi Coeficiente de amortecimento 1 1 Coeficiente de amortecimento 2 c 2 Comprimento da mola de união dos Blocos Lu 0,0020m Comprimento da mola de impacto Mi Li 0,0019m Folga entre Bloco 1 e mola de impacto Mi G 0,001m Amplitude A 0,08 m Freqüência de Excitação ---- Hz Tabela 2 Condições iniciais Descrição Símbolo Valor Posição inicial do bloco 1-0, 001 m Velocidade inicial do bloco 1 0,0 m/s Posição inicial do bloco 2 0,0 m Velocidade inicial do bloco 2 (0) 0,0 m/s Os diagramas de bifurcação apresentam informações muito úteis para identificar a influência de um dado parâmetro na resposta de um sistema. O diagrama de bifurcação apresenta a distribuição estroboscópica da resposta do sistema a partir de uma variação lenta de um dado parâmetro (Thompsom & Stewart, 1986). Desta forma, é possível ter-se uma visão global sobre os efeitos da variação deste parâmetro na resposta. O parâmetro de variação adotado foi a freqüência. Ela foi variada de 2,6 Hz à 4,2 Hz. O intervalo do parâmetro de variação foi escolhido de maneira a mostrar as variações da dinâmica do sistema entre regime periódico, caótico e suas principais características. A Figura 2 representa o Diagrama de Bifurcação. Nele é mostrado linhas tracejadas verticais que indicam as regiões onde serão analisados o Histórico no tempo, o Retrato de Fases, o Mapa de Poincaré e o Espectro de Frequências. A linha tracejada horizontal indica a região a partir da qual ocorre impacto. Serão analisadas as freqüências: -Frequência: 3,0 Hz (regime periódico, sem impacto)

7 -Frequência: 3,3 Hz (regime caótico, com impacto) -Frequência: 3,8 Hz (regime periódico, com impacto) -Frequência: 4,0 Hz (regime caótico, com impacto) -Frequência: 4,1 Hz (regime periódico, com impacto) Figura 2 Diagrama de bifurcação (parâmetro de controle: freqüência)

8 6.1- Freqüência 3.0 Hz: A Figura 3.a representa o deslocamento do sistema vibro-impacto, sendo que o mesmo permanece oscilando em torno de um referencial parado, ou seja, o sistema não adota um sentido de deslocamento. A Figura 3.b, 3.c, 3.d e 3.e demonstram a não existência de impacto e a peridiocidade do sistema para a freqüência de 3,0 Hz. A Figura 3.f mostra a freqüência de excitação 3 Hz, que predomina sobre o sistema para esse parâmetro de freqüência. Figura 3.a- Deslocamento Figura 3.b- Deslocamento Relativo Figura 3.c- Velocidade Figura 3.d- Retrato de Fases Figura 3.e- Mapa de Poincaré Figura 3.f- Espectro de Frequências

9 6.2- Freqüência 3.3 Hz: A Figura 4.a representa o deslocamento do sistema vibro-impacto, sendo que o mesmo adota um sentido de deslocamento positivo. Na Figura 4.b, ocorre o choque entre os blocos quando o deslocamento relativo atinge a linha contínua situada no eixo da ordenada (Deslocamento) no valor 0,0 m. A Figura 4.c, 4.d e 4.f demonstram a existência de impacto e caos no sistema. Evidênciado pelas perturbações dos gráficos do Espectro de freqüência e achatamento do Retrato de Fases. A Figura 4.e mostra a nevoa de pontos do Mapa de Poincaré que indica a presença de caos no sistema. Figura 4.a- Deslocamento Figura 4.b- Deslocamento Relativo Figura 4.c- Velocidade Figura 4.d- Retrato de Fases Figura 4.e- Mapa de Poincaré Figura 4.f- Espectro de Frequências

10 6.3- Freqüência 3.8 Hz: A Figura 4.a representa o deslocamento do sistema vibro-impacto, sendo que o mesmo adota um sentido de deslocamento positivo. Na Figura 5.b, ocorre o choque entre os blocos quando o deslocamento relativo atinge a linha contínua situada no eixo da ordenada (Deslocamento) no valor 0,0 m. As Figuras 5.c, 5.d e 5.e demonstram a existência de impacto e a peridiocidade do sistema para a freqüência de 3,8 Hz. Evidenciado pelo achatamento do Retrato de Fases. A Figura 5.f mostra as freqüências que predominam sobre o sistema. Figura 5.a- Deslocamento Figura 5.b- Deslocamento Relativo Figura 5.c- Velocidade Figura 5.d- Retrato de Fases Figura 5.e- Mapa de Poincaré Figura 5.f- Espectro de Frequências

11 6.4- Freqüência 4.0 Hz: A Figura 6.a representa o deslocamento do sistema vibro-impacto, sendo que o mesmo adota um sentido de deslocamento positivo. Na Figura 6.b, ocorre o choque entre os blocos quando o deslocamento relativo atinge a linha contínua situada no eixo da ordenada (Deslocamento) no valor 0,0 m. As Figuras 6.c, 6.d e 6.f demonstram a existência de impacto e caos no sistema. Evidenciado pelas perturbações dos gráficos do Espectro de Freqüência e achatamento do Retrato de Fases. A Figura 6.e mostra a nevoa de pontos do Mapa de Poincaré que indica a presença de caos no sistema. Figura 6.a- Deslocamento Figura 6.b- Deslocamento Relativo Figura 6.c- Velocidade Figura 6.d- Retrato de Fases Figura 6.e- Mapa de Poincaré Figura 6.f- Espectro de Frequências

12 6.5- Freqüência 4.1 Hz: A Figura 7.a representa o deslocamento do sistema vibro-impacto, sendo que o mesmo adota um sentido de deslocamento negativo. Na Figura 7.b, ocorre o choque entre os blocos quando o deslocamento relativo atinge a linha contínua situada no eixo da ordenada (Deslocamento) no valor 0,0 m. As Figuras 7.c, 7.d e 7.e demonstram a existência de impacto no sistema. Evidenciado pelo achatamento do Retrato de Fases. A Figura 7.f mostra pontos bem definidos no Mapa de Poincaré que indica a periodicidade do sistema. Figura 7.a- Deslocamento Figura 7.b- Deslocamento Relativo Figura 7.c- Velocidade Figura 7.d- Retrato de Fases Figura 7.e- Mapa de Poincaré Figura 7.f- Espectro de Frequências

13 CONCLUSÃO Este trabalho apresentou o modelamento matemático e a simulação numérica de um Sistema Vibro- Impacto. Foi caracterizado importantes resultados da dinâmica não linear. O sistema é descontínuo e apresenta dois comportamentos distintos: com a ocorrência de impacto ou não. Assim o regime pode variar entre o periódico e o caótico, mostrado no diagrama de bifurcações. O sistema adota um sentido de deslocamento para cada parâmetro de Freqüência. Considerando que a aplicação de mecanismos Vibro-Impacto são as Máquinas Perfuratrizes, devemos considerar aceitáveis para projeto, somente as freqüências que obtiveram o sentido do deslocamento adotado como positivo e com a ocorrência de impacto. O deslocamento positivo significa que o sistema está se deslocando no sentido de penetrar no obstáculo, no solo ou na rocha. A existência de impacto é necessirária para a melhor transferência de energia do sistemas para o obstáculo a ser perfurado. Para trabalhos futuros, pretende-se analisar os valores das forças causadas pelos impactos em diferentes freqüências e a substituição da força harmônica por um rotor desbalanceado. AGRADECIMENTOS O autor agradece às agencias financiadoras Brasileiras FAPESP, CNPq e CAPES. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] Wiercigroch, M.: Applied nonlinear dynamics of nonsmooth mechanical systems. J. Braz. Soc. Mech. Sci. Eng. 28(4), (2006) [2] Pavlovskaia, E., Wiercigroch, M., Grebogi, C.: Modelling of an impact system with a drift. Phys. Rev. E 64, (2001) (9 pages) [3] Nguyen, V.-D., Woo, K.-C.: Nonlinear dynamic responses of new electro-vibroimpact system. J. Sound Vib. 310, (2008) [4] Ho, J.-H., Nguyen, V.-D., Woo, K.-C.: Nonlinear dynamics of a new electro-vibro-impact system. Nonlinear Dynamics V. 63, n. 1-2, 35-49, (2010) DOI: /s